答卷前，請考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座號、考試科目涂寫在答題卡上，并同時將考點(diǎn)、姓名、準(zhǔn)考證號、座號填寫在試卷規(guī)定的位置．考試結(jié)束后，將試卷、答題卡一并交回．本考試不允許使用計算器．
第I卷（選擇題共40分）
注意事項(xiàng)：
第I卷為選擇題，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．答案寫在試卷上無效．
一、選擇題（本大題共10個小題．每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1. 已知四條線段a，b，c，d是成比例線段，其中，則線段a的長度為（ ）
A. 8cmB. 2cmC. 4cmD. 1cm
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)比例線段定義求解，注意線段順序；
【詳解】解：由題意，得
∴．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段的定義，掌握成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．
2. 如圖，點(diǎn)，，在上，若，則的度數(shù)是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理；根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得答案．
【詳解】解：，
．
故選：D．
3. 已知，且，，若的周長為20，則的周長為（ ）
A. 5B. 10C. 40D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)．根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比解答即可．
【詳解】解：，
∴的周長的周長，
周長為20，
的周長為40．
故選：C．
4. 10月8日，杭州亞運(yùn)會乒乓球比賽全部結(jié)束，國乒攬獲除女雙項(xiàng)目外的6塊金牌，展現(xiàn)了在乒乓球領(lǐng)域強(qiáng)大的統(tǒng)治力．乒乓球比賽采用雙循環(huán)制（每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽），比賽總場數(shù)為380場，若設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是設(shè)參賽隊(duì)伍有支，根據(jù)參加乒乓球比賽的每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽，共要比賽380場，可列出方程．
【詳解】解：設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，
由題意可得：，
故選B．
5. 如圖，矩形為一個正在倒水的水杯的截面圖，cm，杯中水面與的交點(diǎn)為E，當(dāng)水杯底面與水平面的夾角為時，杯中水的最大深度為（ ）cm

A. 9B. 15C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，如圖，則的長即為杯中水的最大深度，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.
【詳解】解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，如圖，則，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵cm，
∴cm，
∴cm，即杯中水的最大深度為cm；
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識，正確理解題意、掌握解答的方法是關(guān)鍵.
6. 中國結(jié)寓意團(tuán)圓、美滿，以獨(dú)特的東方神韻體現(xiàn)中國人民的智慧和深厚的文化底蘊(yùn)，小陶家有一個菱形中國結(jié)裝飾，測得，，直線交兩對邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，則的長為（ ）

A. 8cmB. 10cmC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)與勾股定理可求出菱形的邊長，再根據(jù)菱形的面積為對角線乘積的一半，或底乘以高可求出高．
【詳解】∵四邊形是菱形
∴
∴在中，
∵或
∴，即
∴
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的面積，熟練運(yùn)用菱形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
7. 2022年的卡塔爾世界杯受到廣泛關(guān)注，在半決賽中，梅西的一腳射門將足球沿著拋物線飛向球門，此時，足球距離地面的高度h與足球被踢出后經(jīng)過的時間t之間的關(guān)系式為．已知足球被踢出9s時落地，那么足球到達(dá)距離地面最大高度時的時間t為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)時，，再代入，可得到該函數(shù)解析式為，然后化為頂點(diǎn)式，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)時，，
∴，
解得：，
∴該函數(shù)解析式為，
∵，
∴足球到達(dá)距離地面最大高度時的時間t為．
故選：D
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確確定函數(shù)解析式，掌握函數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)必能滿足解析式．
8. 翻花繩是中國民間流傳的兒童游戲，在中國不同的地域，有不同的稱法，如線翻花、翻花鼓、挑繃繃、解股等等，如圖1是翻花繩的一種圖案，可以抽象成如右圖，在矩形中，，，的度數(shù)為（ ）．

A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得；再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得；然后再證四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得，最后由對頂角相等即可解答．
【詳解】解：如圖：∵矩形中，
∴
∵，
∴,
∴,
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴,
∴．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定、性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
9. 中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點(diǎn)為，曲線終點(diǎn)為，過點(diǎn)的兩條切線相交于點(diǎn)，列車在從到行駛的過程中轉(zhuǎn)角為．若圓曲線的半徑，則這段圓曲線的長為（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由轉(zhuǎn)角為可得，由切線的性質(zhì)可得，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)弧長公式計算即可．
【詳解】解：如圖：

∵，
∴，
∵過點(diǎn)的兩條切線相交于點(diǎn)，
∴,
∴,
∴．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、弧長公式等知識點(diǎn)，根據(jù)題意求得是解答本題的關(guān)鍵．
10. 新定義：若一個點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：，，等都是“三倍點(diǎn)”．若二次函數(shù)的圖像在的范圍內(nèi)，至少存在一個“三倍點(diǎn)”，則c的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，由題意得，三倍點(diǎn)所在的直線為，根據(jù)二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為和至少有一個交點(diǎn)，求，再根據(jù)和時兩個函數(shù)值大小即可求出答案．
【詳解】解：由題意得，三倍點(diǎn)所在的直線為，
在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點(diǎn)”，
即在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)和至少有一個交點(diǎn)，
令，整理得，，
則，解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
綜上，c的取值范圍為：．
故選：A．
第II卷（非選擇題共110分）
注意事項(xiàng)：
所有答案必須用0.5毫米的黑色簽字筆（不得使用鉛筆和圓珠筆）寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)（超出方框無效），不能寫在試卷上，不能使用涂改液、修正帶等．
不按以上要求作答，答案無效．
二、填空題（本大題共6個小題．每小題4分，共24分．把答案填在答題卡的橫線上．）
11. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒有實(shí)數(shù)根．
12. 如圖，P是反比例函數(shù)y = 圖象上一點(diǎn)，PA⊥x軸于點(diǎn)A，則_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義即可求解．
【詳解】解：∵P是反比例函數(shù)y = 圖象上一點(diǎn)PA⊥x軸于點(diǎn)A，
∴，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
13. 如圖，有一個直徑為4cm的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個最大正六邊形紙片，則這個正六邊形紙片的面積是__________．

【答案】
【解析】
【分析】如圖，連接，則，可得是等邊三角形，作于C，利用等邊三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而求解．
【詳解】如圖，連接，則，
∴是等邊三角形，
作于C，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∵cm，
∴cm，
∴cm，
∴這個正六邊形紙片的面積是；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，本題中，求出是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，在矩形中，點(diǎn)E為延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，以B為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點(diǎn)G，連接．若，，則_________．
【答案】3
【解析】
【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)中點(diǎn)和矩形的性質(zhì)，利用勾股定理即可求得答案．
【詳解】解：∵，F(xiàn)為的中點(diǎn)，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
在中，．
故答案為：3．
15. 只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑?小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A，B，C，D四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為，，．請你幫忙計算紙杯的直徑為___________cm．

【答案】10
【解析】
【分析】設(shè)圓心為O，根據(jù)垂徑定理可以得到，，再根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程解題即可．
【詳解】解：設(shè)圓心為O，為紙條寬，連接，，

則，，
∴，，
設(shè)，則，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴半徑，
即直徑為，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵．
16. 京劇是中國一門傳統(tǒng)文化藝術(shù)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，某臉譜輪廓可以近似的看成是一個半圓與拋物線的一部分組合成的封閉圖形，記作圖形G．點(diǎn)A，B，C，D分別是圖形G與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為，為半圓的直徑，且，半圓圓心M的坐標(biāo)為．關(guān)于圖形G給出下列五個結(jié)論，其中正確的是______（填序號）．
①圖形G關(guān)于直線對稱；
②線段的長為；
③圖形G圍成區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有12個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；
④當(dāng)時，直線與圖形G有兩個公共點(diǎn)；
⑤圖形G的面積小于．
【答案】①②
【解析】
【分析】本題以半圓為拋物線合成的封閉圖形為背景、曲線的對稱性、整點(diǎn)問題、構(gòu)造直角三角形、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
由題意很明顯可以得到圖形G的對稱軸為，故①正確；構(gòu)造直角三角形、利用勾股定理求得的長，進(jìn)而求得的長，故②正確；從圖中可以很直觀的得到③錯誤；根據(jù)圖形可得當(dāng)、，直線與圖形G有一個公共點(diǎn)，即不能得出結(jié)論④，故④錯誤；如圖：連接,可求得，從而判定⑤錯誤．
【詳解】解：如圖：由圓M可知且點(diǎn)A，B在拋物線上，
∴圖形G關(guān)于對稱，即①正確；
如圖：連接，
在中，
∵， ，
，
又，
，
，故②正確；
根據(jù)題意得，由圖形G圍成區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有13個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），故③錯誤；
由圖形可得：當(dāng)、，直線與圖形G有一個公共點(diǎn)，故④錯誤；
如圖：連接, ，
∴，故⑤錯誤．
故答案為①②．
三、解答題（本大題共10個小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
17. 計算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查特殊銳角的三角函數(shù)值．利用特殊銳角的三角函數(shù)值計算即可．
【詳解】解：
．
18. 在中， ， 且 ，求邊的長度．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而勾股定理即可求解．
【詳解】中，，，，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖，在中，D為上一點(diǎn)，．求的長．

【答案】的長為9．
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件證明，得到求出即可．
【詳解】解：∵，
∴
∴
∴．
故的長為9．
【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．
20. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，．
（1）以點(diǎn)B為位似中心，在點(diǎn)B的下方畫出，使與位似，且位似比為；
（2）求四邊形的面積．
【答案】（1）作圖詳見解析
（2）
【解析】
【分析】本題考查了位似的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形面積的求法，
（1）根據(jù)相似比的以及點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得；
（2）根據(jù)位似的性質(zhì)可得到的坐標(biāo)，利用割補(bǔ)法即可求得四邊形的面積．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求，
【小問2詳解】
解：，
∵與位似，且位似比為；
則，
∴．
．
21. 祖沖之發(fā)明的水碓（duì）是一種舂米機(jī)具（如圖1），在我國古代科學(xué)家宋應(yīng)星的著作《天工開物》中有詳細(xì)記載，其原理是以水流推動輪軸旋轉(zhuǎn)進(jìn)而撥動碓桿上下舂米．圖2是碓桿與支柱的示意圖，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓桿長16尺，．當(dāng)點(diǎn)A最低時，，此時點(diǎn)B位于最高點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時，，此時點(diǎn)B位于最低點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A位于最低點(diǎn)時與地面的垂直距離；
（2）求最低點(diǎn)與地面的垂直距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】（1）點(diǎn)A距離地面2尺
（2）點(diǎn)到地面之間的垂直距離約為尺
【解析】
【分析】（1）分別過點(diǎn)O作直線，作，H為垂足，分別過點(diǎn)B、作、，垂足分別為C、D；根據(jù)30度角所對的邊是斜邊的一半，可得，，即可求得；
（2）根據(jù)，，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，即可求得．
【小問1詳解】
分別過點(diǎn)O作直線，作，H為垂足，分別過點(diǎn)B、作、，垂足分別為C、D．

∵，
∵
∴，
∴點(diǎn)A距離地面2尺；
【小問2詳解】
∵，
∴
∴
∴
故點(diǎn)到地面之間的垂直距離約為0.28尺．
【點(diǎn)睛】本題考查含30度角的直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
22. 芯片目前是全球緊缺資源，市政府通過資本招商引進(jìn)“芯屏汽合、集終生智”等優(yōu)勢產(chǎn)業(yè)，發(fā)展新興產(chǎn)業(yè)．某芯片公司，引進(jìn)了一條內(nèi)存芯片生產(chǎn)線，開工第一季度生產(chǎn)200萬個，第三季度生產(chǎn)288萬個．試回答下列問題：
（1）已知每季度生產(chǎn)量的平均增長率相等，求前三季度生產(chǎn)量的平均增長率；
（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是600萬個/季度，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少20萬個/季度．現(xiàn)該公司要保證每季度生產(chǎn)內(nèi)存芯片2600萬個，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入成本的條件下（生產(chǎn)線越多，投入成本越大），應(yīng)該再增加幾條生產(chǎn)線？
【答案】（1）20% （2）4條
【解析】
【分析】（1）設(shè)求前三季度生產(chǎn)量的平均增長率為x， 根據(jù)第一季度生產(chǎn)200萬個，第三季度生產(chǎn)288萬個，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)應(yīng)該增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（600-20m）萬個/季度，利用總產(chǎn)量=每條生產(chǎn)線的產(chǎn)量×生產(chǎn)線的數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入，即可確定m的值．
【小問1詳解】
解：設(shè)求前三季度生產(chǎn)量的平均增長率為x，
依題意得：，
解得：=02=20%，=-2.2（不合題意，舍去）．
答：前三季度生產(chǎn)量的平均增長率20%；
【小問2詳解】
解：設(shè)應(yīng)該增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（600-20m）萬個/季度，
依題意得：（1+m）（600-20m）=2600，
整理得：，
解得：=4，=25，
∵在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入，
∴m=4．
答：應(yīng)該再增加4條生產(chǎn)線
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
23. 如圖，為的直徑，是上兩點(diǎn)，延長至C，連接，．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）證明見解析
（2）的半徑為
【解析】
【分析】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵；
（1）連接，由圓周角定理得出，證出，由切線的判定可得出結(jié)論；
（2）證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，由比例線段求出和的長，可求出的長，則可得出答案．
【小問1詳解】
證明：連接，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是切線；
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的半徑為．
24. 【背景】在一次物理實(shí)驗(yàn)中，小冉同學(xué)用一固定電壓為的蓄電池，通過調(diào)節(jié)滑動變阻器來改變電流大小，完成控制燈泡（燈絲的阻值）亮度的實(shí)驗(yàn)（如圖），已知串聯(lián)電路中，電流與電阻之間關(guān)系為，通過實(shí)驗(yàn)得出如下數(shù)據(jù)：

（1）_______，_______；
（2）【探究】根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)，構(gòu)建出函數(shù)，結(jié)合表格信息，探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
①在平面直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象；

②隨著自變量的不斷增大，函數(shù)值的變化趨勢是_________．
（3）【拓展】結(jié)合（2）中函數(shù)圖象分析，當(dāng)時，的解集為________．
【答案】（1）2，
（2）①見解析；②函數(shù)值逐漸減小
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)解析式求解即可；
（2）①根據(jù)表格數(shù)據(jù)，描點(diǎn)連線畫出函數(shù)圖象；②根據(jù)圖象可得出結(jié)論；
（3）求出第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象可得結(jié)論．
【小問1詳解】
解：由題意，，
當(dāng)時，由得，
當(dāng)時，，
故答案為：2，；
【小問2詳解】
解：①根據(jù)表格數(shù)據(jù)，描點(diǎn)、連線得到函數(shù)的圖象如圖：

②由圖象可知，隨著自變量的不斷增大，函數(shù)值逐漸減小，
故答案為：函數(shù)值逐漸減??；
【小問3詳解】
解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，如圖，

由圖知，當(dāng)或時，，
即當(dāng)時，的解集為或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象、兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，根據(jù)表格畫出函數(shù)的圖象，并利用數(shù)形結(jié)合思想探究函數(shù)性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
25. 如圖1，已知二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)為，其頂點(diǎn)為．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）直線與軸交于，現(xiàn)將線段上下移動，若線段與二次函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，求向上和向下平移的最大距離；
（3）若將（1）中二次函數(shù)圖象平移，使其頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，然后將其圖象繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到拋物線，如圖2所示，直線與交于，兩點(diǎn)，為上位于直線左側(cè)一點(diǎn)，求面積最大值，及此時點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）CM向下平移的最大距離為，向上平移的最大距離為6．
（3）
【解析】
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）①設(shè)直線向下平移最大距離為，由△，即可求解；②設(shè)直線向上平移最大距離為，同理可解；
（3）由，即可求解．
【小問1詳解】
解：頂點(diǎn)，
設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
把代入得：，
，
，
即；
【小問2詳解】
解：由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線解析式為，
，
①設(shè)直線向下平移最大距離為，
平移后的直線解析式為，
此時直線與拋物線有一個交點(diǎn)，
把 代入，
得，
，
△，
即：．
②設(shè)直線向上平移最大距離為，
此時，對應(yīng)點(diǎn)為，，
則，
當(dāng)恰在二次函數(shù)上時，
，
，
向上平移的最大距離為6．
綜上，向下平移的最大距離為，向上平移的最大距離為6；
【小問3詳解】
解：二次函數(shù)平移后頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合時頂點(diǎn)為，
則函數(shù)的解析式為：，
設(shè) 為 上一點(diǎn)，
繞順時針旋轉(zhuǎn) 后，對應(yīng)點(diǎn)為，
則，
則，，
，
若在軸左側(cè)同理可證成立，即滿足橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)的平方，
所以，
把 代入，
，
解得：，；
則，，
設(shè)：，
過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
，
，
，
，
當(dāng) 時，有最大值，，
此時．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的基本性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、面積的計算、圖象的旋轉(zhuǎn)等，有一定的綜合性，難度較大．
26. 在矩形中，，，點(diǎn)E在射線上，將射線繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，交延長線于點(diǎn)G，以線段為鄰邊作矩形．
（1）如圖1，若E在線段上，連接，則______，______；
（2）如圖2，若E在線段延長線上，當(dāng)點(diǎn)共線時，求線段的長；
（3）如圖3，若E在線段上，當(dāng)時，在平面內(nèi)有一動點(diǎn)P，滿足，連接，請直接寫出的最小值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通過證明，可得；
（2）同理可證，可求的長，由銳角三角函數(shù)可列出方程，即可求解；
（3）由勾股定理可求的長，由銳角三角函數(shù)可求，通過證明，可得，則當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，有最小值，最小值為的長，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解．
【小問1詳解】
解：∵四邊形是矩形，
∵將射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，
又
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
過作交延長線于，

由（1）可知：，
∴
，
則，
設(shè)，
∴在中，
解得，
【小問3詳解】
設(shè)，
，
作，且，連接，

又
∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，有最小值，最小值為的長，
又
又
在中，．
【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．…
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