1. 如圖是一個由4個相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的主視圖是（ ）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．
【詳解】解：從正面看易得上面第一層右邊有1個正方形，第二層有兩個正方形，如圖所示：
故選：A．
【點睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
2. 方程的根的情況是（ ）
A. 有一個實數(shù)根B. 有兩個不相等的實數(shù)根C. 有兩個相等的實數(shù)根D. 無實數(shù)根
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵，
∴，
一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根．
故選：C．
【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
3. 如果，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)合比性質(zhì)求解即可.
【詳解】解：由，
，
故選：
【點睛】考查了比例的性質(zhì)，熟記合比性質(zhì)即可解題．
4. 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則k的值是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接將點代入反比例函數(shù)中，即可求解．
【詳解】解：將點代入反比例函數(shù)，
得：，
解得：，
故選：B．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
5. 拋物線的頂點坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在中，頂點坐標(biāo)為，對稱軸為．根據(jù)拋物線的解析式直接寫出頂點坐標(biāo)即可．
【詳解】解：∵是拋物線的頂點式，
根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點可知，
拋物線的頂點坐標(biāo)是．
故選：D．
6. 如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先計算正五邊形的內(nèi)角，再計算正五邊形的中心角，作差即可．
【詳解】∵，
∴，
故選D．
【點睛】本題考查了正五邊形的外角，內(nèi)角，中心角的計算，熟練掌握計算公式是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，將一個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤平均分成4份，分別標(biāo)上“最”“美”“咸”“陽”四個字，隨意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，記錄下指針?biāo)竻^(qū)域的漢字（若指針指在分割線上，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），通過轉(zhuǎn)動兩次轉(zhuǎn)盤后，指針?biāo)竻^(qū)域的漢字可以組成詞語“咸陽”的概率為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．
【詳解】解：設(shè)分別用A、B、C、D表示“最”“美”“咸”“陽”四個字，列表如下：
由表格可知，一共有16種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中指針?biāo)竻^(qū)域的漢字可以組成詞語“咸陽”的結(jié)果數(shù)有2種，即抽到（C，D），（D，C），
∴通過轉(zhuǎn)動兩次轉(zhuǎn)盤后，指針?biāo)竻^(qū)域的漢字可以組成詞語“咸陽”的概率為，
故選B．
【點睛】本題主要考查了用樹狀圖法或列表法求解概率，正確列出表格或畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖, 每個小正方形的邊長均為, 若點, ,都在格點上, 則的值為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，銳角三角函數(shù)．連接，由勾股定理可求得，，的長，根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根據(jù)正切的定義即可解答．
【詳解】解：連接，
，，，
，
是直角三角形，，
，
故選：D．
9. 如圖，點在的邊BC上，點是的中點，連接、，若，，，，則的長為（ ）

A. 3B. 4C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意和勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可得是直角三角形，根據(jù)得，在中，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算即可得．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
在中，，，根據(jù)勾股定理得，
，
故選：D．
【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點．
10. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，，連接，則最小值是（ ）
A. 6B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】連接，過點P作垂足為H，過點Q作垂足為，先求出A，C，B的坐標(biāo)，得到為等腰直角三角形，求出，得到，利用垂線段最短可知，的最小值為，進(jìn)而得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，連接，過點P作，垂足為H，過點Q作，垂足為，
令，即，
解得：或，
，，
當(dāng)時，，
，，
，
，
，
即，
根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為的長度，
，
，
，
即的最小值為6．
故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)中的線段最值問題，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊三角函數(shù)的應(yīng)用，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵得到的最小值為的長度．
二、填空（每小題4分，共24分）
11. 如圖，在中，，，，則等于________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．先利用勾股定理計算出，然后根據(jù)余弦的定義求解．
【詳解】解：，，，
，
．
故答案為：．
12. 投擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩枚硬幣恰好是一正一反的概率是________
【答案】
【解析】
【分析】畫樹狀圖可得共有4種等可能的結(jié)果，其中兩枚硬幣恰好是一正一反有2種等可能的結(jié)果，再利用概率公式求解即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
共有4種等可能的結(jié)果，其中兩枚硬幣恰好是一正一反有2種等可能的結(jié)果，
∴兩枚硬幣恰好是一正一反的概率是，
故答案為：．
【點睛】本題考查列表法或樹狀圖求概率、概率公式，熟練掌握列表法或樹狀圖求概率的方法找出所有等可能的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．
13. 若二次函數(shù)與x軸只有1個公共點，則銳角________度．
【答案】60
【解析】
【分析】本題考查了拋物線與軸的交點問題，特殊角的三角函數(shù)值．先利用根的判別式的意義得到，則可得到，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值確定銳角的度數(shù)．
【詳解】解：∵二次函數(shù)與軸只有1個公共點，
∴，
解得，
∴銳角．
故答案為：60．
14. 如圖，、是的半徑，A是上一點，若，，則________度

【答案】.##100度
【解析】
【分析】連接，利用等腰三角形的性質(zhì)易得，，則可得，再利用同弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半即可得出答案.
【詳解】解：連接，

，，
,
.
故答案為：
【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.
15. 如圖，在中，點是邊上一點，連接．已知，，，，那么線段的長度是________．

【答案】
【解析】
【分析】證明，根據(jù)相似比即可求解；
【詳解】，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．
16. 如圖，A、B兩點在反比例函數(shù)圖象上，過點A作軸于點C，交OB于點D．若，的面積為1，則k的值為____________．
【答案】
【解析】
【分析】作軸于E，證明，可得，設(shè)，可得，求出，然后根據(jù)的面積為1列式即可求出k的值．
【詳解】解：作軸于E，
∵軸于點C，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)的面積為1列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
三、解答題: （共78分）
17. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值．先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：
．
18. 用配方法解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程配方法．把常數(shù)項移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)4的一半的平方．
【詳解】解：由原方程移項，得
，
方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到，
配方得．
開方，得
，
解得，．
19. 如圖，菱形中，過點分別作邊上的高，求證：．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形性質(zhì)等知識，由菱形性質(zhì)結(jié)合條件，利用全等三角形的判定與性質(zhì)即可得證，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】證明：在四邊形是菱形，，
，
，
在和中，
，
∴．
20. 如圖1，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂，連桿，懸臂和安裝在處的攝像頭組成．如圖2是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖，已知支撐臂，，固定，可通過調(diào)試懸臂與連桿的夾角提高拍攝效果．

（1）當(dāng)懸臂與桌面平行時，=___________°
（2）問懸臂端點到桌面的距離約為多少？
（3）已知攝像頭點到桌面的距離為30cm時拍攝效果較好，那么此時懸臂與連桿的夾角的度數(shù)約為多少？（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出對應(yīng)的圖，關(guān)鍵平行線的性質(zhì)即可求解；
（2）過作與交于，過作與交于，可推出四邊形為矩形，；在中解出，即可求解；
（3）過作，，在中解出即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖：當(dāng)懸臂與桌面平行時，作

，懸臂也與桌面平行
∴
故答案為：
【小問2詳解】
解：過作與交于，過作與交于

∴四邊形為矩形
∴，
∵
∴
在中
∵
∴
∴
【小問3詳解】
解：過作，，

∴
在中
∴
∵
∴
∴
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的實際應(yīng)用．作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
21. 小穎設(shè)計了一個“配紫色”游戲：如圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A、，A轉(zhuǎn)盤被分成了面積的兩個扇形，轉(zhuǎn)盤被分成了面積相等的三個扇形，游戲者同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，如果一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么他就贏了（紅色與藍(lán)色能配成紫色）．
（1）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，指針指向紅色的概率是______；
（2）請利用畫樹狀圖或列表的方法求游戲者獲勝的概率是多少？
【答案】（1）
（2）游戲者獲勝的概率是
【解析】
【分析】（1）根據(jù)幾何概率的意義求解即可；
（2）用列表法同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針指向區(qū)域所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率．
【小問1詳解】
解：∵轉(zhuǎn)盤被分成了面積相等的三個扇形，且紅色區(qū)域占一個扇形，
∴紅色區(qū)域占整體的，
∴轉(zhuǎn)動A轉(zhuǎn)盤一次，指針指向紅色的概率是；
故答案為：；
【小問2詳解】
解：用列表法表示同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針指向區(qū)域所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：
∵共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“能配成紫色”的有5種，
∴“能配成紫色”的概率為，
答：游戲者獲勝的概率是．
【點睛】本題考查列表法或樹狀圖法求等可能事件發(fā)生的概率，使用此方法一定注意每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的，即為等可能事件．
22. 如圖在中，，以為直徑的交于點，過點作的切線交的延長線于點，交于．
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）證明見解析
（2）的半徑為4．
【解析】
【分析】本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．
（1）連結(jié)、，首先證得，結(jié)合是的切線，，，得到；
（2）設(shè)的半徑為，則，，，連接，由，得列出方程即可解決問題．
【小問1詳解】
解析：連結(jié)、，如圖，
為的直徑，
，即，
，
，
而，
為 的中位線，
∴，
是的切線；
∵，
；
【小問2詳解】
解：設(shè)的半徑為，
∵，
，
，
，
或舍棄）．
的半徑為4．
23. 2022年9月，教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》，《勞動教育》稱為一門獨立的課程，某學(xué)校率先行動，在校園開辟了一塊勞動教育基地；一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長度為15米），用長為30米的籬笆，圍成矩形養(yǎng)殖園如圖1，已知矩形的邊靠院墻，和與院墻垂直，設(shè)的長為．
（1）當(dāng)圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為時，求的長；
（2）如圖2，該學(xué)校打算在養(yǎng)殖園飼養(yǎng)雞、鴨、鵝三種家禽，需要在中間多加上兩道籬笆作為隔離網(wǎng)，并與院墻垂直，請問此時養(yǎng)殖園的面積能否達(dá)到？若能，求出的長；若不能，請說明理由．
【答案】（1）的長為10m；
（2）不能，理由見解析
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式．
（1）設(shè)的長為，根據(jù)籬笆的總長及的長，可得出的長，利用矩形的面積公式，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之即可求出結(jié)論；
（2）假設(shè)養(yǎng)殖園的面積能達(dá)到，設(shè)的長為，則的長為，利用矩形的面積公式，可列出關(guān)于的一元二次方程，由根的判別式△，可得出原方程沒有實數(shù)根，進(jìn)而可得出假設(shè)不成立，即養(yǎng)殖園的面積不能達(dá)到．
小問1詳解】
解：設(shè)的長為，則矩形的寬，
由題意得：，
解得．，
墻的最大可用長度為15米，
，
，
即的長為；
【小問2詳解】
解：不能，理由如下：
設(shè)AB的長為，則矩形的寬，
由題意得：，
整理得：，
∵，
∴該方程沒有實數(shù)根，
∴此時養(yǎng)殖園的面積不能達(dá)到．
24. 如圖①，有一塊邊角料，其中，，，是線段，曲線可以看成反比例函數(shù)圖象的一部分．測量發(fā)現(xiàn)：，，，點C到，所在直線的距離分別為2，4．

（1）小寧把A，B，C，D，E這5個點先描到平面直角坐標(biāo)系上，記點A的坐標(biāo)為；點B的坐標(biāo)為．
請你在圖②中補全平面直角坐標(biāo)系并畫出圖形；
（2）求直線，曲線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）小寧想利用這塊邊角料截取一個矩形，其中M，N在上（點M在點N左側(cè)），點P在線段上，點Q在曲線上．若矩形的面積是，則PM=________________．
【答案】（1）見解析 （2）直線的函數(shù)表達(dá)式，曲線的函數(shù)表達(dá)式
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為補全平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，， ，點C到，所在直線的距離分別為2，4，，，，是線段，曲線是反比例函數(shù)圖象的一部分畫圖；
（2）設(shè)線段的解析式為，把，代入，得到k、b的方程組，解方程組得到k、b的值，即得線段的解析式；再設(shè)曲線的解析式為，把代入，得到方程，解方程得到的值，即得曲線的解析式；
（3）設(shè)，根據(jù)軸，，點P在上，點Q在上，用m的表達(dá)式寫出點P、Q的坐標(biāo)，得到線段、的長的表達(dá)式，根據(jù)建立方程，解方程得到m的值，即可求出的長．
【小問1詳解】
根據(jù)點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，補全x軸和y軸，
∵，，，點C到，所在直線的距離分別為2，4，
∴，，
根據(jù)，，，是線段，曲線是反比例函數(shù)圖象的一部分，畫出圖形ABCDE，如圖所示，
【小問2詳解】
設(shè)線段的解析式為，
把，代入得，
，
解得，，
∴，
設(shè)曲線的解析式為，
把代入得，，，
∴；
【小問3詳解】
設(shè)，則，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，或（舍去），
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了補全平面直角坐標(biāo)系，畫圖形，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，矩形面積，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握依照點的坐標(biāo)補全平面直角坐標(biāo)系，畫出坐標(biāo)系中的圖形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)點坐標(biāo)寫線段長的表達(dá)式，運用矩形面積公式列方程解方程．
25. 【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，，D是邊上一點，F(xiàn)是邊上一點，．求證：；
【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABFC中，點D是邊的中點，，若，，求線段的長．
【拓展提高】（3）在中．，，以A為直角頂點作等腰直角三角形，點D在上，點E在上．若，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）5；（3）10
【解析】
【分析】（1）利用一線三等角模型，可說明，得；
（2）如圖2中，延長交的延長線于點．證明，推出，求出，，再利用勾股定理求解；
（3）過點作與交于點，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案；
【詳解】（1）證明：，，
，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：如圖2中，延長交的延長線于點．
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：如圖，過點作與交于點，使，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一線三等角基本幾何模型是解題的關(guān)鍵．
26. 如圖①，拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C，點P是直線下方拋物線上點，于點D，軸于點F，交線段于點E，
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)?shù)闹荛L最大時，求P點的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），點M是在直線上方的拋物線上一動點，當(dāng)時，求點M的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出，由，得到，則，證明，得到，則，即可推出當(dāng)最大時，的周長最大；求出直線解析式為，設(shè)，則，則，則當(dāng)時，有最大值，即此時的周長最大，此時；
（3）如圖所示，設(shè)直線交y軸于D，證明，得到，則，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，則．
【小問1詳解】
解：把代入中得：，
∴，
∴拋物線解析式為；
【小問2詳解】
解：在中，當(dāng)時，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，軸，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周長，
∴當(dāng)最大時，的周長最大，
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
設(shè)，則，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時，有最大值，即此時的周長最大，此時；
【小問3詳解】
解：如圖所示，設(shè)直線交y軸于D，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得直線解析式為，
聯(lián)立，解得或，
∴．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，數(shù)量掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
紅
紅
藍(lán)
紅
（紅，紅）
（紅，紅）
（紅，藍(lán)）
藍(lán)
（藍(lán)，紅）
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