（知識(shí)精講+考點(diǎn)例析+舉一反三+實(shí)戰(zhàn)演練）
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知識(shí)精講
第一章 全等三角形
一、全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形狀與大小完全相等，與位置無(wú)關(guān)；
②一個(gè)三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后得到的三角形，與原三角形仍然全等；
③三角形全等不因位置發(fā)生變化而改變。
二、全等三角形的性質(zhì)：
⑴全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。
理解：①長(zhǎng)邊對(duì)長(zhǎng)邊，短邊對(duì)短邊；最大角對(duì)最大角，最小角對(duì)最小角；
②對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊對(duì)的角為對(duì)應(yīng)角。
⑵全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等。
⑶全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。
三、全等三角形的判定：
①邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。
②角邊角公理(ASA) 有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。
③推論(AAS) 有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。
④邊邊邊公理(SSS) 有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。
⑤斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。
四、證明兩個(gè)三角形全等的基本思路：
⑴已知兩邊：①找第三邊（SSS）；②找夾角（SAS）；③找是否有直角（HL）.
⑵已知一邊一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夾邊（SAS）.
⑶已知兩角：①找夾邊（ASA）；②找其它邊（AAS）.
考點(diǎn)例析
【考點(diǎn)1】全等圖形
【例1】（2022·北京房山·八年級(jí)期中）下列各組圖形中，是全等圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形可得答案．
【詳解】解：根據(jù)全等圖形的定義可得C是全等圖形，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握形狀大小完全相同的兩個(gè)圖形是全等形．
【例2】（2022·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，有6個(gè)條形方格圖，在由實(shí)線圍成的圖形中，全等圖形有：（1）與__；（2）與__．
【答案】 （6） （3）（5）
【分析】利用全等圖形的概念可得答案．
【詳解】解：（1）與（6）是全等圖形，
（2）與（3）（5）是全等圖形，
故答案為：（6），（3）（5）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．
【考點(diǎn)2】全等三角形
【例3】（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B、D、E、C在同一直線上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，則∠DAE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．80°
【答案】B
【分析】由全等三角形的性質(zhì)，得到，然后得到，利用三角形的內(nèi)角和定理，即可求出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行解題．
【例4】（2022·山東菏澤·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，，，，在同一直線上，，，若用判定，需加上一個(gè)條件______．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形全等的判定()，已知，，只需添加相等，即可判定．
【詳解】解：添加條件為：
∵
∴
∴
又∵
∴在和中
∴()
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形判定的條件是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3】探索三角形全等的條件
【例5】（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，甲、乙、丙三個(gè)三角形和左側(cè)△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．只有丙
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法得出乙和丙與△ABC全等，甲與△ABC不全等．
【詳解】解：在△ABC和乙的三角形中，兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，滿足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和丙的三角形中，兩個(gè)及一角對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，滿足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
在△ABC和甲的三角形中，只有一邊一角對(duì)應(yīng)相等南，不能判定甲與△ABC全等；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
【例6】（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）如圖，要測(cè)量河岸相對(duì)兩點(diǎn)A、B間的距離，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90°角方向，向前走25米到C點(diǎn)處立一根標(biāo)桿，然后方向不變繼續(xù)朝前走25米到點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處轉(zhuǎn)90°沿DE方向走17米，到達(dá)E處，使A、C與E在同一直線上，那么測(cè)得A、B之間的距離為______米．
【答案】17
【分析】根據(jù)題意可得條件BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，再加上對(duì)頂角∠ACB=∠DCE可利用ASA判定△ABC≌△EDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：由題意得：BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，
∵在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE=AB=17米，
故答案為：17．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握判定三角形全等的方法．
舉一反三
一、選擇題（共3小題）
1．（2022·山東德州·八年級(jí)期末）下列各組的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河北廊坊·八年級(jí)期末）如圖，已知△ABC△BDE，，則∠ABE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
3．（2022·黑龍江黑河·八年級(jí)期末）下列條件，不能判定的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
二、填空題（共3小題）
4．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圖中由實(shí)線圍成的圖形與①是全等形的有______．（填番號(hào)）
5．（2022·山東青島·八年級(jí)期中）如圖，將△BDE沿直線BA向左平移后，到達(dá)△ABC的位置，若∠EBD=55o，∠ADE=95o，則∠CBE的度數(shù)為________o．
6．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期中）如圖，已知∠MAB是銳角，，，．點(diǎn)C是射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．利用圖形畫圖說(shuō)明命題“有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是假命題．你畫圖時(shí)，BC長(zhǎng)可選取的范圍是______cm．若的形狀、大小是唯一確定的，則BC的取值范圍是______．
二、簡(jiǎn)答題（共3小題）
7．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）找出下列圖形中的全等圖形．
8．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，E，C三點(diǎn)在同一直線上，且△ABC≌△DAE．
(1)線段DE，CE，BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)請(qǐng)你猜想△ADE滿足什么條件時(shí)，DE∥BC，并證明．
9．（2022·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)期中）工人師傅經(jīng)常利用角尺平分一個(gè)任意角．如圖所示，是一個(gè)任意角，在邊OA，邊OB上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，這時(shí)過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是的平分線．
(1)證明：OP平分；
(2)在（1）的條件下，請(qǐng)你在射線OP上任取一點(diǎn)Q，作，試判斷線段QC與線段QD的數(shù)量關(guān)系并證明．
實(shí)戰(zhàn)演練
一、選擇題（共3小題）
1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）觀察下面的6組圖形，其中是全等圖形的有（ ）
A．3組B．4組C．5組D．6組
2．（2022·廣西崇左·八年級(jí)期末）如圖，若，，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖所示，在△ABC中P為BC上一點(diǎn)，PR⊥BC，垂足為R，PS⊥AC，垂足為S，AQ=PQ，PR=PS．下面三個(gè)結(jié)論：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正確的是 （ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空題（共3小題）
4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖中有6個(gè)條形方格圖，圖上由實(shí)線圍成的圖形與（1）是全等形的有__________．
5．（2022·四川雅安·八年級(jí)期末）如圖，銳角△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′，BE，CD交于點(diǎn)F．若∠BAC＝40°，則∠BFC的度數(shù)為 _____．
6．（2022·重慶八中八年級(jí)期末）如圖，在等腰直角三角形中，，，D是邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)B，C作，分別交于E，F(xiàn)，若，，則_______．
二、簡(jiǎn)答題（共3小題）
7．（2022·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，用三種不同的方法沿網(wǎng)格線把正方形分割成4個(gè)全等的圖形（三種方法得到的圖形相互間不全等）．
8．（2022·遼寧·寬甸滿族自治縣第一初中八年級(jí)階段練習(xí)）已知，如圖，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分線AD與BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的直線DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F（或AC延長(zhǎng)線）
(1)求證：AE=AF；
(2)求證：BE=CF；
(3)求AE的長(zhǎng)．
9．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
求證：CF＝FG+CE．
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【單元復(fù)習(xí)】第1章 全等三角形
（知識(shí)精講+考點(diǎn)例析+舉一反三+實(shí)戰(zhàn)演練）
溫馨提示：一分努力勤奮一份收獲，必考重難點(diǎn)突破是培優(yōu)最佳途徑！
知識(shí)精講
第一章 全等三角形
一、全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形狀與大小完全相等，與位置無(wú)關(guān)；
②一個(gè)三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后得到的三角形，與原三角形仍然全等；
③三角形全等不因位置發(fā)生變化而改變。
二、全等三角形的性質(zhì)：
⑴全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。
理解：①長(zhǎng)邊對(duì)長(zhǎng)邊，短邊對(duì)短邊；最大角對(duì)最大角，最小角對(duì)最小角；
②對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊對(duì)的角為對(duì)應(yīng)角。
⑵全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等。
⑶全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。
三、全等三角形的判定：
①邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。
②角邊角公理(ASA) 有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。
③推論(AAS) 有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。
④邊邊邊公理(SSS) 有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。
⑤斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。
四、證明兩個(gè)三角形全等的基本思路：
⑴已知兩邊：①找第三邊（SSS）；②找夾角（SAS）；③找是否有直角（HL）.
⑵已知一邊一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夾邊（SAS）.
⑶已知兩角：①找夾邊（ASA）；②找其它邊（AAS）.
考點(diǎn)例析
【考點(diǎn)1】全等圖形
【例1】（2022·北京房山·八年級(jí)期中）下列各組圖形中，是全等圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形可得答案．
【詳解】解：根據(jù)全等圖形的定義可得C是全等圖形，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握形狀大小完全相同的兩個(gè)圖形是全等形．
【例2】（2022·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，有6個(gè)條形方格圖，在由實(shí)線圍成的圖形中，全等圖形有：（1）與__；（2）與__．
【答案】 （6） （3）（5）
【分析】利用全等圖形的概念可得答案．
【詳解】解：（1）與（6）是全等圖形，
（2）與（3）（5）是全等圖形，
故答案為：（6），（3）（5）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．
【考點(diǎn)2】全等三角形
【例3】（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B、D、E、C在同一直線上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，則∠DAE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．80°
【答案】B
【分析】由全等三角形的性質(zhì)，得到，然后得到，利用三角形的內(nèi)角和定理，即可求出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行解題．
【例4】（2022·山東菏澤·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，，，，在同一直線上，，，若用判定，需加上一個(gè)條件______．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形全等的判定()，已知，，只需添加相等，即可判定．
【詳解】解：添加條件為：
∵
∴
∴
又∵
∴在和中
∴()
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形判定的條件是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3】探索三角形全等的條件
【例5】（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，甲、乙、丙三個(gè)三角形和左側(cè)△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．只有丙
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法得出乙和丙與△ABC全等，甲與△ABC不全等．
【詳解】解：在△ABC和乙的三角形中，兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，滿足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和丙的三角形中，兩個(gè)及一角對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，滿足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
在△ABC和甲的三角形中，只有一邊一角對(duì)應(yīng)相等南，不能判定甲與△ABC全等；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
【例6】（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）如圖，要測(cè)量河岸相對(duì)兩點(diǎn)A、B間的距離，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90°角方向，向前走25米到C點(diǎn)處立一根標(biāo)桿，然后方向不變繼續(xù)朝前走25米到點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處轉(zhuǎn)90°沿DE方向走17米，到達(dá)E處，使A、C與E在同一直線上，那么測(cè)得A、B之間的距離為______米．
【答案】17
【分析】根據(jù)題意可得條件BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，再加上對(duì)頂角∠ACB=∠DCE可利用ASA判定△ABC≌△EDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：由題意得：BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，
∵在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE=AB=17米，
故答案為：17．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握判定三角形全等的方法．
舉一反三
一、選擇題（共3小題）
1．（2022·山東德州·八年級(jí)期末）下列各組的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)全等圖形的定義，逐一判斷選項(xiàng)，即可．
【詳解】解：A、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意，
B.兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，符合題意，
C.兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意，
D.兩個(gè)圖形能完全重合，是全等圖形，不符合題意，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等圖形的定義，熟練掌握“能完全重合的兩個(gè)圖形，是全等圖形”是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·河北廊坊·八年級(jí)期末）如圖，已知△ABC△BDE，，則∠ABE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和及全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可解答．
【詳解】解：，，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
∵△ABC△BDE，
∴∠DBE=∠A=40°，
∴∠ABE=∠ABC-∠DBE=70°-40°=30°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·黑龍江黑河·八年級(jí)期末）下列條件，不能判定的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【分析】根據(jù)全等三角形的判定SSS，AAS，ASA，SAS，進(jìn)行判斷即可得．
【詳解】解：A、∠A=∠A′，AB=A′B′，，根據(jù)SSA不能推出，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，，，根據(jù)ASA即可推出，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；
C、，，，根據(jù)AAS即可推出，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；
D、，，，根據(jù)SSS即可推出，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定．
二、填空題（共3小題）
4．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圖中由實(shí)線圍成的圖形與①是全等形的有______．（填番號(hào)）
【答案】②③
【分析】根據(jù)全等圖形的定義，兩個(gè)圖形必須能夠完全重合才行．
【詳解】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)②③圖形可以和①圖形完全重合
故答案為：②③．
【點(diǎn)睛】本題考查全等的概念，任何一組圖形，要想全等，則這組圖形必須能夠完全重合．
5．（2022·山東青島·八年級(jí)期中）如圖，將△BDE沿直線BA向左平移后，到達(dá)△ABC的位置，若∠EBD=55o，∠ADE=95o，則∠CBE的度數(shù)為________o．
【答案】30
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得△BDE≌△ABC，求出∠ABC =∠ADE=95o，再根據(jù)平角的定義即可求出∠CBE．
【詳解】解：由平移可知△BDE≌△ABC，
∴∠ABC =∠ADE=95o，
又∵∠EBD=55o，
∴∠CBE=180 o -∠ABC-∠EBD
=180 o -95 o -55 o
=30 o．
故答案為：30．
【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及平角的定義，解題關(guān)鍵是理解平移的性質(zhì)．
6．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期中）如圖，已知∠MAB是銳角，，，．點(diǎn)C是射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．利用圖形畫圖說(shuō)明命題“有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是假命題．你畫圖時(shí)，BC長(zhǎng)可選取的范圍是______cm．若的形狀、大小是唯一確定的，則BC的取值范圍是______．
【答案】 或
【分析】當(dāng)以B為圓心，BC為半徑畫弧，弧與AM有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，就符合題意；當(dāng)BC=BN=1時(shí)，三角形是唯一的；當(dāng)以B為圓心的圓畫弧與AM有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)即半徑大于AB=2時(shí)也是符合題意的．
【詳解】如圖，當(dāng)以B為圓心，BC為半徑畫弧，弧與AM有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，就符合題意，
此時(shí)；
故答案為：；
當(dāng)BC=BN=1時(shí)，三角形是唯一的；
當(dāng)以B為圓心的圓畫弧與AM有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)即半徑大于AB=2時(shí)也是符合題意的．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的存在個(gè)數(shù)，熟練掌握三角形的基本作圖是解題的關(guān)鍵．
二、簡(jiǎn)答題（共3小題）
7．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）找出下列圖形中的全等圖形．
【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等圖形
【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)圖形是全等形即可判斷出答案．
【詳解】解：由題意得：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等圖形．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等形的定義，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握全等形的定義．
8．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，E，C三點(diǎn)在同一直線上，且△ABC≌△DAE．
(1)線段DE，CE，BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)請(qǐng)你猜想△ADE滿足什么條件時(shí)，DE∥BC，并證明．
【答案】(1)DE＝CE+BC，理由見解析
(2)當(dāng)△ADE滿足∠AED＝90°時(shí)，DE//BC．證明見詳解
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠AED＝∠C，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出∠C＝∠DEC，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)得出∠AED+∠DEC＝180°，再求出∠AED＝90°即可．
【詳解】（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三點(diǎn)在同一直線上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC．
（2）猜想：當(dāng)△ADE滿足∠AED＝90°時(shí)，DE//BC．
證明：∵△ABC≌△DAE，
∴∠AED＝∠C，
又∵DEBC，
∴∠C＝∠DEC，
∴∠AED＝∠DEC．
又∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠DEC＝90°，
∴當(dāng)△ADE滿足∠AED＝90°時(shí)，DEBC．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、等量代換、平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．
9．（2022·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)期中）工人師傅經(jīng)常利用角尺平分一個(gè)任意角．如圖所示，是一個(gè)任意角，在邊OA，邊OB上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，這時(shí)過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是的平分線．
(1)證明：OP平分；
(2)在（1）的條件下，請(qǐng)你在射線OP上任取一點(diǎn)Q，作，試判斷線段QC與線段QD的數(shù)量關(guān)系并證明．
【答案】(1)見解析
(2)，證明見解析
【分析】（1）由SSS可得△OPM≌△OPN，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證得OP平分∠AOB；
（2）先證，再證，從而證得，最后可得結(jié)果．
【詳解】（1）證明：在和中

，
，
即OP平分．
（2）證明：，
，
由（1）知OP平分，
，
和內(nèi)角和都是
，
由，
得，
．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
實(shí)戰(zhàn)演練
一、選擇題（共3小題）
1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）觀察下面的6組圖形，其中是全等圖形的有（ ）
A．3組B．4組C．5組D．6組
【答案】B
【分析】根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：觀察圖①④⑤⑥四組圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)折后能夠完全重合，是全等圖形，共4組，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的定義，能夠完全重合的圖形是全等形，難度不大．
2．（2022·廣西崇左·八年級(jí)期末）如圖，若，，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠BAC，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DAE=∠BAC，然后根據(jù)∠EAC=∠DAE-∠DAC即可解答．
【詳解】解：∵∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=80°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=80°-35°=45°．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形對(duì)應(yīng)角相等是解題本題的關(guān)鍵．
3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖所示，在△ABC中P為BC上一點(diǎn)，PR⊥BC，垂足為R，PS⊥AC，垂足為S，AQ=PQ，PR=PS．下面三個(gè)結(jié)論：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正確的是 （ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】A
【分析】連接AP，可證AP是∠BAC的角平分線，再證明△APR≌△APS，得AS＝AR，由已知可得∠2＝∠3，得到∠1＝∠3，得QP∥AR，答案可得．
【詳解】解：連接AP，
∵PR＝PS，PR⊥AB， PS⊥AC，
∴AP是∠BAC的平分線，
∴∠1＝∠2，
在△APR和△APS中:

∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
故①正確；
又AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴QP∥AR，
故②正確；
BC只是過點(diǎn)P，不能證明△BRP≌△CSP，③不成立．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的判定和平行線的判定；準(zhǔn)確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題（共3小題）
4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖中有6個(gè)條形方格圖，圖上由實(shí)線圍成的圖形與（1）是全等形的有__________．
【答案】(2)(3)(6)
【分析】根據(jù)全等形是可以完全重合的圖形并觀察對(duì)比圖形，進(jìn)行判定即可．
【詳解】(6)以左下角頂點(diǎn)為定點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，與(1)兩個(gè)實(shí)線圖形剛好重合，
(3)可上下反轉(zhuǎn)成(1)的情況，與(1)兩個(gè)實(shí)線圖形剛好重合，
(2)以右下角頂點(diǎn)為定點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后成圖(3)，然后反轉(zhuǎn)成(1)的情況，與(1)兩個(gè)實(shí)線圖形剛好重合，
(4)為平行四邊形，而(1)為梯形，所以不能和(1)中圖形完全重合，
(5)為直角梯形，而(1)不是，所以不能和(1)中圖形完全重合，
故答案是：(2)(3)(6)
【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)全等形的概念的理解及運(yùn)用，認(rèn)真對(duì)觀察對(duì)比是正確解答本題的關(guān)鍵．
5．（2022·四川雅安·八年級(jí)期末）如圖，銳角△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′，BE，CD交于點(diǎn)F．若∠BAC＝40°，則∠BFC的度數(shù)為 _____．
【答案】100°##100度
【分析】延長(zhǎng)C′D交AC于M，如圖，根據(jù)全等的性質(zhì)得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=×40°，再利用三角形外角性質(zhì)得∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2×40°，接著利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠AEB′=180°-∠B′-40°，則∠C′+2×40°=180°-∠B′-40°，所以∠C′+∠B′=180°-3×40°，利用三角形外角性質(zhì)和等角代換得到∠BFC=∠C=40°+∠C′+∠B′，所以∠BFC=180°-2×40°=100°．
【詳解】延長(zhǎng)C′D交AC于M，如圖，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=40°，
∴∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2×40°，
∵C′D∥B′E，
∴∠AEB′=∠C′MC，
∵∠AEB′=180°?∠B′?∠B′AE=180°?∠B′?40°，
∴∠C′+2×40°=180°?∠B′?×40°，
∴∠C′+∠B′=180°?3×40°，
∵∠BFC=∠BDF+∠DBF
=∠DAC+∠B′+∠ACD
=40°+∠ACD+∠B′=40°+∠C′+∠B′
=40°+180°?3×40°=180°?2×40°
=．
故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·重慶八中八年級(jí)期末）如圖，在等腰直角三角形中，，，D是邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)B，C作，分別交于E，F(xiàn)，若，，則_______．
【答案】1.2
【分析】由題意易得，則有，然后可得，則可證，進(jìn)而可得，最后問題可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴（AAS），
∵，，
∴，
∴；
故答案為1.2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
二、簡(jiǎn)答題（共3小題）
7．（2022·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，用三種不同的方法沿網(wǎng)格線把正方形分割成4個(gè)全等的圖形（三種方法得到的圖形相互間不全等）．
【答案】詳見解析
【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：這個(gè)正方形網(wǎng)格的總面積為16，因此只要將面積分為4，即占4個(gè)方格，并且圖形要保證為相同即可．
【詳解】解：如圖所示：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形和作圖，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·遼寧·寬甸滿族自治縣第一初中八年級(jí)階段練習(xí)）已知，如圖，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分線AD與BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的直線DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F（或AC延長(zhǎng)線）
(1)求證：AE=AF；
(2)求證：BE=CF；
(3)求AE的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）由AAS證明，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊線段解答；
（2）由垂直平分線的性質(zhì)得到，由角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)HL證明，最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊線段解答；
（3）由線段的和差解得AC=AF-CF，AB=AE+BE，AC+AB=2AE，結(jié)合全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，代入AB=8cm，AC=4cm，解答即可．
【詳解】（1）證明：DE⊥AB，DF⊥AC，
，
AD平分，
，
，
AE=AF；
（2）連接BD，CD，
DG平分且垂直BC，
，
，
平分，且DE⊥AB，DF⊥AC，
，
，
；
（3）
∵ AC=AF-CF，AB=AE+BE，
∴AC+AB=2AE，
在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，
∴AE=6cm．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
9．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
求證：CF＝FG+CE．
【答案】見解析
【分析】在BC上取點(diǎn)M，使CM=CE，證明△CDE≌△CDM（SAS），可得DE=DM，∠DEC=∠DMC，∠EDC=∠MDC，證明∠BDM=180°-∠ABC-∠DMB=180°-∠ABC-∠AEB=∠A，然后證明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF=MF，進(jìn)而可以解決問題．
【詳解】證明：如圖，在BC上取點(diǎn)M，使CM=CE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△CDE和△CDM中，，
∴△CDE≌△CDM（SAS），
∴DE=DM，∠DEC=∠DMC，∠EDC=∠MDC，
∵GD=DE，
∴GD=MD，
∵∠DEC+∠AEB=180°，∠DMC+∠DMF=180°，
∴∠AEB=∠DMF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，
∴∠BDM=180°-∠ABC-∠DMB=180°-∠ABC-∠AEB=∠A，
∵∠A=2∠BDF，
∴∠BDM=2∠BDF，
∴∠FDM=∠FDG，
在△DGF和△DMF中，
∵，
∴△DGF≌△DMF（SAS），
∴GF=MF，
∴CF=CM+FM=CE+GF．
∴CF=FG+CE．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意準(zhǔn)確作出輔助線得到△DGF≌△DMF．

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