【方法揭秘】揭示思想方法，提升解題效率
1.一元一次方程的應(yīng)用及主要類型
（1）銷售打折問題：利潤(rùn)售價(jià)-成本價(jià)；利潤(rùn)率=×100％；售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣；銷售額=售價(jià)×數(shù)量．
（2）儲(chǔ)蓄利息問題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數(shù))；貸款利息=貸款額×利率×期數(shù)．
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間．
（4）行程問題：路程=速度×?xí)r間．
（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問題一（同地不同時(shí)出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問題二（同時(shí)不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．
（9）飛機(jī)航行問題：順風(fēng)速度=靜風(fēng)速度+風(fēng)速度；逆風(fēng)速度=靜風(fēng)速度-風(fēng)速度．
2.二元一次方程組的應(yīng)用
列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟：
（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．
（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái)．
（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組．
（4）求解．
（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．
3.一元二次方程的應(yīng)用
4.分式方程的應(yīng)用
（1）、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．
必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．
（2）、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時(shí)間；工作量問題：工作效率=工作量工作時(shí)間
等等．
列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．
5.不等式（組）的應(yīng)用
（1）.由實(shí)際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實(shí)際問題的答案．
（2）.列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．
（3）列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下：審題；設(shè)未知數(shù)；列不等式(組)，根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列不等式(組)；解不等式(組)，找出滿足題意的解(集)；檢驗(yàn)并寫出答案。
【專項(xiàng)突破】深挖考點(diǎn)考向，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)
考向一、一元一次方程的應(yīng)用
1．（2022?蘇州模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩(shī)：我問開店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩(shī)中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無(wú)房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．
（1）求該店有客房多少間？房客多少人？
（2）假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后，房間數(shù)大大增加．每間客房收費(fèi)20錢，且每間客房最多入住4人，一次性定客房18間以上（含18間），房費(fèi)按8折優(yōu)惠．若詩(shī)中“眾客”再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤?？?qǐng)寫出你作出這種決策的理由．
2．（2021?靖江市一模）現(xiàn)有一塊質(zhì)量為10kg的甲、乙兩種金屬的合金．用甲種金屬若干與這塊合金重新熔煉，所得的新合金中甲種金屬占3份，乙種金屬占2份．如果再用相同數(shù)量的甲種金屬與新合金重新熔煉，那么所得合金中甲種金屬占7份，乙種金屬占3份．求每次所用的甲種金屬的質(zhì)量．
3．（2021?泰州模擬）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算術(shù)》）意思是：同樣時(shí)間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定兩者步長(zhǎng)相等，據(jù)此回答以下問題：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，問孰至于前，兩者幾步之隔？即；走路慢的人先走100步，走路快的人開始追趕，當(dāng)走路慢的人再走600步時(shí)，請(qǐng)問誰(shuí)在前面，兩人相隔多少步？
（2）今不善行者先行兩百步，善行者追之，問幾何步及之？即：走路慢的人先走200步，請(qǐng)問走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
4．（2020?盱眙縣校級(jí)模擬）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長(zhǎng)多少尺？請(qǐng)你用一元一次方程的知識(shí)解決．
5．（2021?清江浦區(qū)二模）某公司組織“愛心義賣”活動(dòng)，購(gòu)進(jìn)了黑白兩種顏色的文化衫共100件，進(jìn)行手繪設(shè)計(jì)后出售，所獲利潤(rùn)全部捐給山區(qū)困難兒童．每件文化衫的批發(fā)價(jià)和零售價(jià)如下表：
假設(shè)文化衫全部售出，共獲利1380元，求購(gòu)進(jìn)黑白兩種文化衫各多少件？
6．（2021?東海縣模擬）某班開展了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽．學(xué)習(xí)委員為班級(jí)購(gòu)買獎(jiǎng)品后與生活委員對(duì)話如下：
（1）請(qǐng)用方程的知識(shí)幫助學(xué)習(xí)委員計(jì)算一下，為什么說(shuō)學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了；
（2）學(xué)習(xí)委員連忙拿出發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確錯(cuò)了，因?yàn)樗€買了一本筆記本，但筆記本的單價(jià)已模糊不清，只能辨認(rèn)出單價(jià)是小于10元的整數(shù)，那么筆記本的單價(jià)可能是多少元？
考向二、二元一次方程組的應(yīng)用
7．（2022?漣水縣校級(jí)模擬）實(shí)驗(yàn)中學(xué)為迎接體育中考，決定在體育用品商店購(gòu)買30個(gè)足球和60條跳繩共用720元，購(gòu)買10個(gè)足球和50條跳繩共用360元．
（1）足球、跳繩的單價(jià)各是多少元？
（2）該店在“3?15”期間開展促銷活動(dòng)，所有商品按同樣的折數(shù)打折銷售，“3?15”期間購(gòu)買100個(gè)足球和100條跳繩只需1800元，該店的商品按原價(jià)的幾折銷售？
8．（2022?泰州二模）為有效防控新冠肺炎疫情，小明的媽媽讓他到藥店購(gòu)買口罩和酒精濕巾，若購(gòu)買2包口罩和3包酒精濕巾共需19元，購(gòu)買5包口罩和1包酒精濕巾共需28元．
（1）求每包口罩和每包酒精濕巾的單價(jià)；
（2）媽媽給了小明50元錢全部用于購(gòu)買此口罩和酒精濕巾（且都要購(gòu)買），請(qǐng)問小明有哪幾種購(gòu)買方案？
9．（2022?武進(jìn)區(qū)二模）某大學(xué)計(jì)劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去冬奧會(huì)會(huì)場(chǎng)參與服務(wù)工作，若單獨(dú)調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若單獨(dú)調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個(gè)座位．
（1）計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車多少輛？該大學(xué)共有多少名志愿者？
（2）經(jīng)調(diào)查：租用一輛36座和一輛22座車型的價(jià)格分別為1800元和1200元．學(xué)校計(jì)劃租用8輛車運(yùn)送志愿者，既要保證每人有座，又要使得本次租車費(fèi)用最少，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)租車方案？
10．（2022?無(wú)錫模擬）某快遞公司在我市新設(shè)了一處中轉(zhuǎn)站，預(yù)計(jì)每周將運(yùn)送快遞308噸．為確保完成任務(wù)，該中轉(zhuǎn)站計(jì)劃向汽車廠家購(gòu)買電動(dòng)、燃油兩種類型的貨車．根據(jù)測(cè)算，每輛電動(dòng)貨車每周能運(yùn)送快遞48噸，每輛燃油貨車每周能運(yùn)送快遞36噸．已知汽車廠家售出1輛電動(dòng)貨車、2輛燃油貨車的總價(jià)為39萬(wàn)元；售出3輛電動(dòng)貨車、1輛燃油貨車的總價(jià)為57萬(wàn)元．
（1）分別求出每輛電動(dòng)、燃油貨車的價(jià)格；
（2）考慮到環(huán)保因素，電動(dòng)貨車最少購(gòu)買4輛，為確保完成每周的快遞運(yùn)送任務(wù)，求該中轉(zhuǎn)站最低的購(gòu)車成本．
11．（2022?無(wú)錫二模）某運(yùn)動(dòng)器械廠根據(jù)市場(chǎng)需求，計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的按摩椅，其部分信息如下：A、B兩種型號(hào)的按摩椅共生產(chǎn)40臺(tái)，現(xiàn)已知A、B兩種按摩椅的生產(chǎn)成本和售價(jià)如表：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）若該公司銷售完兩種型號(hào)按摩椅恰好獲利18.8萬(wàn)元，則該公司分別生產(chǎn)A、B種型號(hào)按摩椅各多少臺(tái)？
（2）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每臺(tái)A型按摩椅的售價(jià)將會(huì)提高a萬(wàn)元（a＞0），每臺(tái)B型按摩椅售價(jià)不會(huì)改變，現(xiàn)受資金影響，該公司生產(chǎn)A型按摩椅不超過20臺(tái)但是不少于18臺(tái)，則該公司應(yīng)如何生產(chǎn)才可以獲得最大利潤(rùn)？
12．（2022?張家港市一模）某校組織“衫衫來(lái)了，愛心義賣”活動(dòng)，購(gòu)進(jìn)了黑白兩種純色的文化衫共100件，進(jìn)行DIY手繪設(shè)計(jì)后出售，所獲利潤(rùn)全部捐給“幸福村”．每種文化衫的成本和售價(jià)如表：
假設(shè)文化衫全部售出，共獲利720元，求購(gòu)進(jìn)兩種文化衫各多少件？
考向三、一元二次方程的應(yīng)用
13．（2022?邳州市校級(jí)模擬）某廣場(chǎng)有一塊長(zhǎng)為100米，寬為60米的矩形空地，政府決定利用這塊空地上修建一橫兩縱的小路方便群眾通行，其他部分種植花草供群眾欣賞休閑，若三條小路的寬度均為x米．
（1）若種植花草的價(jià)格為10元/平方米，種植花草的總費(fèi)用為49500元，求修建的小路的寬度；
（2）若修建小路的價(jià)格為40元/平方米，求修建小路的總造價(jià)．
14．（2022?新吳區(qū)二模）北京冬奧會(huì)期間，某商場(chǎng)進(jìn)了一批冰墩墩鑰匙扣，將進(jìn)價(jià)為20元的鑰匙扣以45元售出，平均每月能售出50個(gè)，現(xiàn)商場(chǎng)決定采取降價(jià)措施，調(diào)查表明：這種鑰匙扣的售價(jià)每降低0.5元，平均每月就能多售出5個(gè)．
（1）商場(chǎng)要想在這種鑰匙扣銷售中每月盈利2000元，同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠，則每個(gè)鑰匙扣應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）物價(jià)部門規(guī)定，每個(gè)鑰匙扣獲利必須低于60%，為了便于銷售，商場(chǎng)將每個(gè)鑰匙扣的售價(jià)定為整數(shù)，問每個(gè)鑰匙扣定價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每月銷售利潤(rùn)高于2000元？
15．（2022?建湖縣一模）3月初某商品價(jià)格下跌，每件價(jià)格下跌20%，用3000元買到的該商品件數(shù)比下跌前多25件．3月下旬該商品開始漲價(jià)，經(jīng)過兩次漲價(jià)后，該商品價(jià)格為每件29.04元．
（1）求3月初該商品下跌后的價(jià)格；
（2）若該商品兩次漲價(jià)率相同，求該商品價(jià)格的平均漲價(jià)率．
16．（2022?常州一模）某區(qū)各街道居民積極響應(yīng)“創(chuàng)文明社區(qū)”活動(dòng)，據(jù)了解，某街道居民人口共有7.5萬(wàn)人，街道劃分為A，B兩個(gè)社區(qū)，B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍．
（1）求A社區(qū)居民人口至少有多少萬(wàn)人？
（2）街道工作人員調(diào)查A，B兩個(gè)社區(qū)居民對(duì)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”知曉情況發(fā)現(xiàn)：A社區(qū)有1.2萬(wàn)人知曉，B社區(qū)有1萬(wàn)人知曉，為了提高知曉率，街道工作人員用了兩個(gè)月的時(shí)間加強(qiáng)宣傳，A社區(qū)的知曉人數(shù)平均月增長(zhǎng)率為m%，B社區(qū)的知曉人數(shù)第一個(gè)月增長(zhǎng)了m%，第二個(gè)月增長(zhǎng)了2m%，兩個(gè)月后，街道居民的知曉率達(dá)到76%，求m的值．
17．（2021?興化市模擬）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進(jìn)價(jià)為每頂80元，售價(jià)為每頂120元，平均每周可售出200頂．商店計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷售，每頂售價(jià)不高于108元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，平均每周可多售出20頂．
（1）該商店若希望每周獲利12000元，則每頂頭盔應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）當(dāng)每頂頭盔的售價(jià)為多少元，商店每月獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？
18．（2021?射陽(yáng)縣模擬）為積極響應(yīng)國(guó)家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實(shí)施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．
（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬(wàn)戶增長(zhǎng)到2022年底的4.32萬(wàn)戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長(zhǎng)率；
（2）該市計(jì)劃對(duì)某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計(jì)劃改造300戶，計(jì)劃投入改造費(fèi)用平均20000元/戶，且計(jì)劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費(fèi)平均減少50元/戶，求舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用是多少元？
考向四、分式方程的應(yīng)用
19．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)模擬）每年的4月23日是世界讀書日，某校計(jì)劃購(gòu)買A、B兩種圖書作為“校園讀書節(jié)”的獎(jiǎng)品，已知A種圖書的單價(jià)比B種圖書的單價(jià)多10元，且購(gòu)買4本A種圖書和3本B種圖書共需花費(fèi)180元．
（1）A、B兩種圖書的單價(jià)分別為多少元？
（2）學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買這兩種圖書共50本，且投入總經(jīng)費(fèi)不超過1300元，則最多可以購(gòu)買A種圖書多少本？
20．（2022?宿城區(qū)校級(jí)模擬）“冰墩墩”和“雪容融”作為第24屆北京冬奧會(huì)和殘奧會(huì)的吉祥物深受大家喜愛，某文旅店訂購(gòu)“冰墩墩”花費(fèi)6000元，訂購(gòu)“雪容融”花費(fèi)3200元，其中“冰墩墩”的訂購(gòu)單價(jià)比“雪容融”的訂購(gòu)單價(jià)多20元，并且訂購(gòu)“冰墩墩”的數(shù)量是“雪容融”的1.25倍．
（1）求文旅店訂購(gòu)“冰墩墩”和“雪容融”的數(shù)量分別是多少個(gè)；（請(qǐng)列分式方程作答）
（2）該文旅店以100元和80元的單價(jià)銷售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出34，“雪容融”售出12后，文旅店為了盡快回籠資金，決定對(duì)剩余的“冰墩墩”每個(gè)打a折銷售，對(duì)剩余的“雪容融”每個(gè)降價(jià)2a元銷售，很快全部售完，若要保證文旅店總利潤(rùn)不低于6060元，求a的最小值．
21．（2022?高郵市模擬）某中學(xué)為了創(chuàng)建“書香校園”，計(jì)劃購(gòu)買書架放置圖書．在購(gòu)買時(shí)發(fā)現(xiàn)：A種書架的單價(jià)比B種書架的單價(jià)貴50元，用1000元購(gòu)買A種書架的個(gè)數(shù)與用800元購(gòu)買B種書架的個(gè)數(shù)相同．
（1）求兩種書架的單價(jià)各是多少元？
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種書架共20個(gè)，且購(gòu)買的總費(fèi)用不超過4500元，求最多可以購(gòu)買多少個(gè)A種書架？
22．（2022?江都區(qū)二模）為迎接科技活動(dòng)節(jié)，甲、乙兩個(gè)社團(tuán)承接制作彩旗的任務(wù)．已知甲社團(tuán)比乙社團(tuán)每小時(shí)少制作12面彩旗，甲社團(tuán)制作120面彩旗所用的時(shí)間與乙社團(tuán)制作150面彩旗所用的時(shí)間相等．
（1）甲、乙兩個(gè)社團(tuán)每小時(shí)各制作多少面彩旗？
（2）現(xiàn)在需要制作一批彩旗，已知甲社團(tuán)單獨(dú)完成比乙社團(tuán)單獨(dú)完成多用1個(gè)小時(shí)，那么甲、乙兩個(gè)社團(tuán)同時(shí)合作， 小時(shí)可完成．（直接寫答案）
23．（2022?廣陵區(qū)一模）2020年12月11日揚(yáng)州人民高鐵夢(mèng)圓，小明一家準(zhǔn)備在端午節(jié)期間從揚(yáng)州到上海游玩，小明借助網(wǎng)絡(luò)信息制定了以下兩套出行方案：
方案一：從揚(yáng)州西站乘坐動(dòng)車，全程約450km，所用時(shí)間比從東站乘坐高鐵多1h；
方案二：從揚(yáng)州東站乘坐高鐵，全程約480km，高鐵的平均速度是動(dòng)車的1.6倍．
求從揚(yáng)州東站乘坐高鐵到上海的平均速度．
24．（2022?儀征市二模）為讓學(xué)生們近距離接觸大自然，積累寫作素材，提高寫作能力，某校策劃了以“擁抱自然”為主題的作文大賽，某班開展了此項(xiàng)活動(dòng)，學(xué)習(xí)委員為班級(jí)購(gòu)買獎(jiǎng)品后與生活委員對(duì)話如圖所示．
試用方程的知識(shí)幫助學(xué)習(xí)委員計(jì)算一下，為什么說(shuō)學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了？
考向五、不等式（組）的應(yīng)用
25．（2022?漣水縣一模）某班計(jì)劃購(gòu)買兩種畢業(yè)紀(jì)念冊(cè)，已知購(gòu)買4本手繪紀(jì)念冊(cè)和1本圖片紀(jì)念冊(cè)共需215元，購(gòu)買2本手繪紀(jì)念冊(cè)和5本圖片紀(jì)念冊(cè)共需265元．
（1）每本手繪紀(jì)念冊(cè)和每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格分別為多少元？
（2）該班計(jì)劃購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)和圖片紀(jì)念冊(cè)共50本，總費(fèi)用不超過1900元，則最少要購(gòu)買圖片紀(jì)念冊(cè)多少本？
26．（2022?海陵區(qū)二模）某玩具店購(gòu)進(jìn)2022年冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩與冬殘奧會(huì)吉祥物雪容融共120個(gè)，花去3350元，這兩種吉祥物的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表：
（1）求冰墩墩、雪容融各購(gòu)進(jìn)了多少個(gè)？
（2）售賣中途由于冰墩墩受到廣大游客的喜愛被一搶而空，商家又緊急購(gòu)進(jìn)了一批冰墩墩，最后和雪容融一起被賣完．若已知商家最后獲取的利潤(rùn)不少于4050元，請(qǐng)問商家第二次至少購(gòu)進(jìn)了多少個(gè)冰墩墩？
27．（2022?濱湖區(qū)一模）為加快“智慧校園”建設(shè)，某市準(zhǔn)備為試點(diǎn)學(xué)校采購(gòu)一批 A、B兩種型號(hào)的一體機(jī)．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，今年每套B型一體機(jī)的價(jià)格比每套A型一體機(jī)的價(jià)格多1萬(wàn)元，且用1200萬(wàn)元恰好能購(gòu)買300套A型一體機(jī)和200套B型一體機(jī)．
（1）求今年每套A型、B型一體機(jī)的價(jià)格各是多少萬(wàn)元？
（2）該市明年計(jì)劃采購(gòu)A型、B型一體機(jī)共600套，考慮物價(jià)因素，預(yù)計(jì)明年每套A型一體機(jī)的價(jià)格比今年上漲20%，每套B型一體機(jī)的價(jià)格不變，若購(gòu)買B型一體機(jī)的總費(fèi)用不低于購(gòu)買A型一體機(jī)的總費(fèi)用的34，那么該市明年至少需要投入多少萬(wàn)元才能完成采購(gòu)計(jì)劃？
28．（2022?惠山區(qū)一模）無(wú)錫水蜜桃享譽(yù)海內(nèi)外，老王用3000元購(gòu)進(jìn)了一批水蜜桃．第一天，很快以比進(jìn)價(jià)高40%的價(jià)格賣出150千克．第二天，他發(fā)現(xiàn)剩余的水蜜桃賣相已不太好，于是果斷地以比進(jìn)價(jià)低20%的價(jià)格將剩余的水蜜桃全部售出，本次生意老王一共獲利750元．
（1）求這批水蜜桃進(jìn)價(jià)為多少元？
（2）老王用3000元按第一次的價(jià)格又購(gòu)進(jìn)了一批水蜜桃．第一天同樣以比進(jìn)價(jià)高40%的價(jià)格賣出150千克，第二天老王把賣相不好的水蜜桃挑出，單獨(dú)打折銷售，售價(jià)為10元/千克，結(jié)果很快被一搶而空，其余的仍按第一天的價(jià)格銷售，且當(dāng)天全部售完．若老王這次至少獲利1000元，請(qǐng)問打折銷售的水蜜桃最多多少千克？（精確到1千克）
29．（2021?無(wú)錫模擬）某景點(diǎn)投入40輛同型號(hào)電動(dòng)代步車準(zhǔn)備成立代步車租賃公司，市運(yùn)管所規(guī)定每輛代步車的日租金按10元的整數(shù)倍收取，但不得超過250元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每輛代步車的日租金不超過150元時(shí)，40輛代步車可以全部租賃出去；當(dāng)每輛代步車的日租金超過150元時(shí)，每增加10元，租賃出去的代步車數(shù)量將減少2輛，已知租賃去的代步車每輛一天各項(xiàng)支出共需20元，沒有租賃出去的代步車每輛一天各項(xiàng)支出共需10元，另外公司每天還需支出其他各項(xiàng)費(fèi)用共1800元．
（1）若40輛代步車能全部租出，當(dāng)每天總租金不低于總支出時(shí)，每輛代步車的日租金至少為多少元？
（2）該代步車租賃公司一天總利潤(rùn)最多為多少元？（總利潤(rùn)＝總租金﹣總支出）
30．（2021?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）2020年6月1日上午，國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)在山東煙臺(tái)考察時(shí)表示，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來(lái)源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國(guó)的生機(jī)．波波準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種類型的便攜式風(fēng)扇到華潤(rùn)萬(wàn)家門口出售．已知2臺(tái)A型風(fēng)扇和5臺(tái)B型風(fēng)扇進(jìn)價(jià)共100元，3臺(tái)A型風(fēng)扇和2臺(tái)B型風(fēng)扇進(jìn)價(jià)共62元．
（1）求A型風(fēng)扇、B型風(fēng)扇進(jìn)貨的單價(jià)各是多少元？
（2）波波準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種風(fēng)扇共100臺(tái)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A型風(fēng)扇銷售情況比B型風(fēng)扇好，波波準(zhǔn)備多購(gòu)進(jìn)A型風(fēng)扇，但數(shù)量不超過B型風(fēng)扇數(shù)量的3倍，購(gòu)進(jìn)A、B兩種風(fēng)扇的總金額不超過1170元．根據(jù)以上信息，波波共有幾種進(jìn)貨方案？哪種進(jìn)貨方案的費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少元？
【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實(shí)戰(zhàn)培優(yōu)提升
一．解答題（共14小題）
1．（2022?揚(yáng)州）某中學(xué)為準(zhǔn)備十四歲青春儀式，原計(jì)劃由八年級(jí)（1）班的4個(gè)小組制作360面彩旗，后因1個(gè)小組另有任務(wù)，其余3個(gè)小組的每名學(xué)生要比原計(jì)劃多做3面彩旗才能完成任務(wù)．如果這4個(gè)小組的人數(shù)相等，那么每個(gè)小組有學(xué)生多少名？
2．（2022?連云港）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”其大意是：今有幾個(gè)人共同出錢購(gòu)買一件物品．每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4錢．問人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？請(qǐng)你求出以上問題中的人數(shù)和物品價(jià)格．
3．（2021?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”．下面是其卷中記載的關(guān)于“盈不足”的一個(gè)問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)、金價(jià)各幾何？這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會(huì)剩余3400錢；每人出300錢，會(huì)剩余100錢．合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少？請(qǐng)解決上述問題．
4．（2021?泰州）甲、乙兩工程隊(duì)共同修建150km的公路，原計(jì)劃30個(gè)月完工．實(shí)際施工時(shí)，甲隊(duì)通過技術(shù)創(chuàng)新，施工效率提高了50%，乙隊(duì)施工效率不變，結(jié)果提前5個(gè)月完工．甲、乙兩工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月分別修建多長(zhǎng)？
5．（2021?徐州）某網(wǎng)店開展促銷活動(dòng)，其商品一律按8折銷售，促銷期間用400元在該網(wǎng)店購(gòu)得某商品的數(shù)量較打折前多出2件．問：該商品打折前每件多少元？
6．（2021?常州）為落實(shí)節(jié)約用水的政策，某旅游景點(diǎn)進(jìn)行設(shè)施改造，將手?jǐn)Q水龍頭全部更換成感應(yīng)水龍頭．已知該景點(diǎn)在設(shè)施改造后，平均每天用水量是原來(lái)的一半，20噸水可以比原來(lái)多用5天．該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水多少噸？
7．（2021?無(wú)錫）為了提高廣大職工對(duì)消防知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)職工的消防意識(shí)，某單位工會(huì)決定組織消防知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，本次活動(dòng)擬設(shè)一、二等獎(jiǎng)若干名，并購(gòu)買相應(yīng)獎(jiǎng)品．現(xiàn)有經(jīng)費(fèi)1275元用于購(gòu)買獎(jiǎng)品，且經(jīng)費(fèi)全部用完，已知一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)與二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)之比為4：3．當(dāng)用600元購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品時(shí)，共可購(gòu)買一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品25件．
（1）求一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)；
（2）若購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購(gòu)買方式？
8．（2021?揚(yáng)州）為保障新冠病毒疫苗接種需求，某生物科技公司開啟“加速”模式，生產(chǎn)效率比原先提高了20%，現(xiàn)在生產(chǎn)240萬(wàn)劑疫苗所用的時(shí)間比原先生產(chǎn)220萬(wàn)劑疫苗所用的時(shí)間少0.5天．問原先每天生產(chǎn)多少萬(wàn)劑疫苗？
9．（2020?常州）某水果店銷售蘋果和梨，購(gòu)買1千克蘋果和3千克梨共需26元，購(gòu)買2千克蘋果和1千克梨共需22元．
（1）求每千克蘋果和每千克梨的售價(jià)；
（2）如果購(gòu)買蘋果和梨共15千克，且總價(jià)不超過100元，那么最多購(gòu)買多少千克蘋果？
10．（2020?淮安）某停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：中型汽車的停車費(fèi)為15元/輛，小型汽車的停車費(fèi)為8元/輛．現(xiàn)在停車場(chǎng)內(nèi)停有30輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費(fèi)324元，求中、小型汽車各有多少輛？
11．（2020?揚(yáng)州）如圖，某公司會(huì)計(jì)欲查詢乙商品的進(jìn)價(jià)，發(fā)現(xiàn)進(jìn)貨單已被墨水污染．
進(jìn)貨單
商品采購(gòu)員李阿姨和倉(cāng)庫(kù)保管員王師傅對(duì)采購(gòu)情況回憶如下：
李阿姨：我記得甲商品進(jìn)價(jià)比乙商品進(jìn)價(jià)每件高50%．
王師傅：甲商品比乙商品的數(shù)量多40件．
請(qǐng)你求出乙商品的進(jìn)價(jià)，并幫助他們補(bǔ)全進(jìn)貨單．
12．（2020?揚(yáng)州）閱讀感悟：
有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：
已知實(shí)數(shù)x、y滿足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．
解決問題：
（1）已知二元一次方程組2x+y=7，x+2y=8，則x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？
（3）對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，定義新運(yùn)算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．
13．（2020?徐州）本地某快遞公司規(guī)定：寄件不超過1千克的部分按起步價(jià)計(jì)費(fèi)：寄件超過1千克的部分按千克計(jì)費(fèi)．小麗分別寄快遞到上海和北京，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)及實(shí)際收費(fèi)如下表：
收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)
實(shí)際收費(fèi)
求a，b的值．
14．（2020?連云港）甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關(guān)”捐款活動(dòng)，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話：
（1）甲、乙兩公司各有多少人？
（2）現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購(gòu)買A、B兩種防疫物資，A種防疫物資每箱15000元，B種防疫物資每箱12000元．若購(gòu)買B種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購(gòu)買方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來(lái)（注：A、B兩種防疫物資均需購(gòu)買，并按整箱配送）．
增長(zhǎng)率等量關(guān)系
1.增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)量÷基礎(chǔ)量．
2.設(shè)為原來(lái)量，為平均增長(zhǎng)率，為增長(zhǎng)次數(shù)，為增長(zhǎng)后的量，則；當(dāng)為平均下降率時(shí)，則有．
利潤(rùn)等量關(guān)系
1.利潤(rùn)=售價(jià)－成本．
2.利潤(rùn)率=×100％．
面積問題
1.類型1：如圖1所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．
2.類型2：如圖2所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．
3.類型3：如圖3所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．

圖1 圖2 圖3
碰面問題（循環(huán)問題）
1.重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m=n（n－1）
2.不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次為m=n（n－1）
批發(fā)價(jià)（元）
零售價(jià)（元）
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
型號(hào)
成本（萬(wàn)元/臺(tái)）
售價(jià)（萬(wàn)元/臺(tái)）
A
2
2.4
B
2.5
3
白色文化衫
黑色文化衫
成本（元）
25
28
售價(jià)（元）
31
36
進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）
售價(jià)（元/個(gè)）
冰墩墩
30
45
雪容融
25
35
商品
進(jìn)價(jià)（元/件）
數(shù)量（件）
總金額（元）
甲
7200
乙
3200
目的地
起步價(jià)（元）
超過1千克的部分（元/千克）
上海
a
b
北京
a+3
b+4
目的地
質(zhì)量
費(fèi)用（元）
上海
2
9
北京
3
22
2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（江蘇專用）
專題03方程與不等式的應(yīng)用
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解題效率
1.一元一次方程的應(yīng)用及主要類型
（1）銷售打折問題：利潤(rùn)售價(jià)-成本價(jià)；利潤(rùn)率=×100％；售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣；銷售額=售價(jià)×數(shù)量．
（2）儲(chǔ)蓄利息問題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數(shù))；貸款利息=貸款額×利率×期數(shù)．
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間．
（4）行程問題：路程=速度×?xí)r間．
（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問題一（同地不同時(shí)出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問題二（同時(shí)不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．
（9）飛機(jī)航行問題：順風(fēng)速度=靜風(fēng)速度+風(fēng)速度；逆風(fēng)速度=靜風(fēng)速度-風(fēng)速度．
2.二元一次方程組的應(yīng)用
列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟：
（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．
（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái)．
（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組．
（4）求解．
（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．
3.一元二次方程的應(yīng)用
4.分式方程的應(yīng)用
（1）、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．
必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．
（2）、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時(shí)間；工作量問題：工作效率=工作量工作時(shí)間
等等．
列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．
5.不等式（組）的應(yīng)用
（1）.由實(shí)際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實(shí)際問題的答案．
（2）.列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．
（3）列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下：審題；設(shè)未知數(shù)；列不等式(組)，根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列不等式(組)；解不等式(組)，找出滿足題意的解(集)；檢驗(yàn)并寫出答案。
【專項(xiàng)突破】深挖考點(diǎn)考向，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)
考向一、一元一次方程的應(yīng)用
1．（2022?蘇州模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩(shī)：我問開店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩(shī)中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無(wú)房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．
（1）求該店有客房多少間？房客多少人？
（2）假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后，房間數(shù)大大增加．每間客房收費(fèi)20錢，且每間客房最多入住4人，一次性定客房18間以上（含18間），房費(fèi)按8折優(yōu)惠．若詩(shī)中“眾客”再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤?？?qǐng)寫出你作出這種決策的理由．
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出房間數(shù)，進(jìn)而表示出總?cè)藬?shù)得出等式方程求出即可；
（2）根據(jù)已知條件分別列出兩種住房方法所用的錢數(shù)，進(jìn)而比較即可．
【解答】解：（1）設(shè)客房有x間，則根據(jù)題意可得：
7x+7＝9x﹣9，
解得x＝8；
即客人有7×8+7＝63（人）；
答：客人有63人．
（2）如果每4人一個(gè)房間，需要63÷4＝1534，需要16間客房，總費(fèi)用為16×20＝320（錢），
如果定18間，其中有四個(gè)人一起住，有三個(gè)人一起住，則總費(fèi)用＝18×20×0.8＝288（錢）＜320錢，
所以他們?cè)俅稳胱《?8間房時(shí)更合算．
答：他們?cè)俅稳胱《?8間房時(shí)更合算．
2．（2021?靖江市一模）現(xiàn)有一塊質(zhì)量為10kg的甲、乙兩種金屬的合金．用甲種金屬若干與這塊合金重新熔煉，所得的新合金中甲種金屬占3份，乙種金屬占2份．如果再用相同數(shù)量的甲種金屬與新合金重新熔煉，那么所得合金中甲種金屬占7份，乙種金屬占3份．求每次所用的甲種金屬的質(zhì)量．
【分析】設(shè)每次所用的甲種金屬有xkg，根據(jù)兩次重新熔煉后甲種金屬所占份額，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)每次所用的甲種金屬有xkg，
依題意得：.23+2(10+x)=37+3(10+x+x)，
解得：x＝5，
答：每次所用的甲種金屬有5kg．
3．（2021?泰州模擬）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算術(shù)》）意思是：同樣時(shí)間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定兩者步長(zhǎng)相等，據(jù)此回答以下問題：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，問孰至于前，兩者幾步之隔？即；走路慢的人先走100步，走路快的人開始追趕，當(dāng)走路慢的人再走600步時(shí)，請(qǐng)問誰(shuí)在前面，兩人相隔多少步？
（2）今不善行者先行兩百步，善行者追之，問幾何步及之？即：走路慢的人先走200步，請(qǐng)問走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
【分析】（1）設(shè)當(dāng)走路慢的人再走600步時(shí)，走路快的人的走x步，根據(jù)同樣時(shí)間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可；
（2）設(shè)走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根據(jù)同樣時(shí)間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及問題可列方程求解．
【解答】解：（1）設(shè)當(dāng)走路慢的人再走600步時(shí)，走路快的人的走x步，
由題意得：x：600＝100：60，
∴x＝1000，
∴1000﹣600﹣100＝300，
答：當(dāng)走路慢的人再走600步時(shí)，走路快的人在前面，兩人相隔300步；
（2）設(shè)走路快的人走y步才能追上走路慢的人，
由題意得y＝200+60100y，
解得y＝500，
答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．
4．（2020?盱眙縣校級(jí)模擬）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長(zhǎng)多少尺？請(qǐng)你用一元一次方程的知識(shí)解決．
【分析】設(shè)木頭長(zhǎng)x尺，則繩子長(zhǎng)（x+4.5）尺，根據(jù)“將繩子對(duì)折再量木條，木頭剩余1尺”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)木頭長(zhǎng)x尺，則繩子長(zhǎng)（x+4.5）尺，
根據(jù)題意得：x?12（x+4.5）＝1，
解得x＝6.5．
答：木頭長(zhǎng)6.5尺．
5．（2021?清江浦區(qū)二模）某公司組織“愛心義賣”活動(dòng)，購(gòu)進(jìn)了黑白兩種顏色的文化衫共100件，進(jìn)行手繪設(shè)計(jì)后出售，所獲利潤(rùn)全部捐給山區(qū)困難兒童．每件文化衫的批發(fā)價(jià)和零售價(jià)如下表：
假設(shè)文化衫全部售出，共獲利1380元，求購(gòu)進(jìn)黑白兩種文化衫各多少件？
【分析】設(shè)學(xué)校購(gòu)進(jìn)黑色文化衫x件，白色文化衫（100﹣x）件，根據(jù)該校購(gòu)進(jìn)黑、白兩種顏色的文化衫共獲利1380元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)學(xué)校購(gòu)進(jìn)黑文化衫x件，白文化衫（100﹣x）件，
依題意得：（25﹣10）x+（20﹣8）（100﹣x）＝1380，
解得：x＝60，
100﹣x＝40，
答：學(xué)校購(gòu)進(jìn)黑文化衫60件，白文化衫40件．
6．（2021?東海縣模擬）某班開展了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽．學(xué)習(xí)委員為班級(jí)購(gòu)買獎(jiǎng)品后與生活委員對(duì)話如下：
（1）請(qǐng)用方程的知識(shí)幫助學(xué)習(xí)委員計(jì)算一下，為什么說(shuō)學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了；
（2）學(xué)習(xí)委員連忙拿出發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確錯(cuò)了，因?yàn)樗€買了一本筆記本，但筆記本的單價(jià)已模糊不清，只能辨認(rèn)出單價(jià)是小于10元的整數(shù)，那么筆記本的單價(jià)可能是多少元？
【分析】（1）設(shè)單價(jià)為6元的鋼筆買了x支，則單價(jià)為10元的鋼筆買了（100﹣x）支，根據(jù)總共的費(fèi)用為（1300﹣378）元列方程解答即可；
（2）設(shè)筆記本的單價(jià)為a元，根據(jù)總共的費(fèi)用為（1300﹣378）元列方程解求出方程的解，再根據(jù)a的取值范圍以及一次函數(shù)的性質(zhì)求出x的值，再把x的值代入方程的解即可求出a的值．
【解答】解：（1）設(shè)單價(jià)為6元的鋼筆買了x支，則單價(jià)為10元的鋼筆買了（100﹣x）支，根據(jù)題意得：
6x+10（100﹣x）＝1300﹣378，
解得x＝19.5，
因?yàn)殇摴P的數(shù)量不可能是小數(shù)，所以學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了；
（2）設(shè)筆記本的單價(jià)為a元，根據(jù)題意得：
6x+10（100﹣x）+a＝1300﹣378，
整理得：x=14a+392，
因?yàn)?＜a＜10，x隨a的增大而增大，
所以19.5＜x＜22，
∵x取整數(shù)，
∴x＝20，21．
當(dāng)x＝20時(shí)，a＝4×20﹣78＝2；
當(dāng)x＝21時(shí)，a＝4×21﹣78＝6，
所以筆記本的單價(jià)可能是2元或6元．
考向二、二元一次方程組的應(yīng)用
7．（2022?漣水縣校級(jí)模擬）實(shí)驗(yàn)中學(xué)為迎接體育中考，決定在體育用品商店購(gòu)買30個(gè)足球和60條跳繩共用720元，購(gòu)買10個(gè)足球和50條跳繩共用360元．
（1）足球、跳繩的單價(jià)各是多少元？
（2）該店在“3?15”期間開展促銷活動(dòng)，所有商品按同樣的折數(shù)打折銷售，“3?15”期間購(gòu)買100個(gè)足球和100條跳繩只需1800元，該店的商品按原價(jià)的幾折銷售？
【分析】（1）設(shè)足球的單價(jià)為x元/個(gè)，跳繩的單件為y元/條，條據(jù)：購(gòu)買30個(gè)足球和60條跳繩共用720元，購(gòu)買10個(gè)足球和50條跳繩共用360元，列方程組求解即可；
（2）設(shè)該店的商品按原價(jià)的x折銷售，條據(jù)：購(gòu)買100條足球和100條跳繩只需1800元，列出方程求解可得．
【解答】解：（1）設(shè)足球的單價(jià)為x元/個(gè)，跳繩的單件為y元/條，可得：30x+60y=72010x+50y=360，
解得：x=16y=4，
答：足球的單價(jià)為16元/個(gè)，跳繩的單件為5元/條；
（2）設(shè)該店的商品按原價(jià)的x折銷售，可得：(100×16+100×4)×x10=1800，
解得：x＝9，
答：該店的商品按原價(jià)的9折銷售．
8．（2022?泰州二模）為有效防控新冠肺炎疫情，小明的媽媽讓他到藥店購(gòu)買口罩和酒精濕巾，若購(gòu)買2包口罩和3包酒精濕巾共需19元，購(gòu)買5包口罩和1包酒精濕巾共需28元．
（1）求每包口罩和每包酒精濕巾的單價(jià)；
（2）媽媽給了小明50元錢全部用于購(gòu)買此口罩和酒精濕巾（且都要購(gòu)買），請(qǐng)問小明有哪幾種購(gòu)買方案？
【分析】（1）設(shè)每包口罩的單價(jià)為x元，每包酒精濕巾的單價(jià)為y元，由題意：購(gòu)買2包口罩和3包酒精濕巾共需19元，購(gòu)買5包口罩和1包酒精濕巾共需28元．列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)小明購(gòu)買口罩m包，酒精濕巾n包，由題意：小明50元錢全部用于購(gòu)買此口罩和酒精濕巾（且都要購(gòu)買），列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可．
【解答】解：（1）設(shè)每包口罩的單價(jià)為x元，每包酒精濕巾的單價(jià)為y元，
依題意得：2x+3y=195x+y=28，
解得x=5y=3，
答：每包口罩的單價(jià)為5元，每包酒精濕巾的單價(jià)為3元．
（2）設(shè)小明購(gòu)買口罩m包，酒精濕巾n包，
由題意得：5m+3n＝50，
∴m＝10?35n，
∵m、n為正整數(shù)，
∴m=7n=5或m=4n=10或m=1n=15，
∴小明有3種購(gòu)買方案：
①購(gòu)買口罩9包，酒精濕巾5包；②購(gòu)買口罩6包，酒精濕巾10包；③購(gòu)買口罩1包，酒精濕巾15包．
9．（2022?武進(jìn)區(qū)二模）某大學(xué)計(jì)劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去冬奧會(huì)會(huì)場(chǎng)參與服務(wù)工作，若單獨(dú)調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若單獨(dú)調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個(gè)座位．
（1）計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車多少輛？該大學(xué)共有多少名志愿者？
（2）經(jīng)調(diào)查：租用一輛36座和一輛22座車型的價(jià)格分別為1800元和1200元．學(xué)校計(jì)劃租用8輛車運(yùn)送志愿者，既要保證每人有座，又要使得本次租車費(fèi)用最少，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)租車方案？
【分析】（1）設(shè)計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車x輛，該大學(xué)共有y名志愿者，根據(jù)“單獨(dú)調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；單獨(dú)調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個(gè)座位”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)租用m輛36座新能源客車，則租用（8﹣m）輛22座新能源客車，根據(jù)要保證每人有座，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設(shè)總租車費(fèi)用為w元，利用總租車費(fèi)用＝每輛車的租車費(fèi)用×租車數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車x輛，該大學(xué)共有y名志愿者，
依題意得：y?36x=222(x+4)?y=2，
解得：x=6y=218．
答：計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車6輛，該大學(xué)共有218名志愿者．
（2）設(shè)租用m輛36座新能源客車，則租用（8﹣m）輛22座新能源客車，
依題意得：36m+22（8﹣m）≥218，
解得：m≥3．
設(shè)總租車費(fèi)用為w元，則w＝1800m+1200（8﹣m）＝600m+9600．
∵600＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m＝3時(shí)，w取得最小值，此時(shí)8﹣m＝8﹣3＝5，
∴符合題意的租車方案為：租用3輛36座新能源客車，5輛22座新能源客車．
10．（2022?無(wú)錫模擬）某快遞公司在我市新設(shè)了一處中轉(zhuǎn)站，預(yù)計(jì)每周將運(yùn)送快遞308噸．為確保完成任務(wù)，該中轉(zhuǎn)站計(jì)劃向汽車廠家購(gòu)買電動(dòng)、燃油兩種類型的貨車．根據(jù)測(cè)算，每輛電動(dòng)貨車每周能運(yùn)送快遞48噸，每輛燃油貨車每周能運(yùn)送快遞36噸．已知汽車廠家售出1輛電動(dòng)貨車、2輛燃油貨車的總價(jià)為39萬(wàn)元；售出3輛電動(dòng)貨車、1輛燃油貨車的總價(jià)為57萬(wàn)元．
（1）分別求出每輛電動(dòng)、燃油貨車的價(jià)格；
（2）考慮到環(huán)保因素，電動(dòng)貨車最少購(gòu)買4輛，為確保完成每周的快遞運(yùn)送任務(wù)，求該中轉(zhuǎn)站最低的購(gòu)車成本．
【分析】（1）設(shè)每輛電動(dòng)貨車的價(jià)格為x萬(wàn)元，每輛燃油貨車的價(jià)格為y萬(wàn)元，由汽車廠家售出1輛電動(dòng)貨車、2輛燃油貨車的總價(jià)為39萬(wàn)元；售出3輛電動(dòng)貨車、1輛燃油貨車的總價(jià)為57萬(wàn)元，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)購(gòu)買電動(dòng)貨車m輛，燃油貨車n輛，由每周將運(yùn)送快遞308噸，每輛電動(dòng)貨車每周能運(yùn)送快遞48噸，每輛燃油貨車每周能運(yùn)送快遞36噸，列出一元一次不等式，再由m≥4，n為正整數(shù)，求出n的最小值進(jìn)行比較，即可得出結(jié)果．
【解答】解：（1）設(shè)每輛電動(dòng)貨車的價(jià)格為x萬(wàn)元，每輛燃油貨車的價(jià)格為y萬(wàn)元，
由題意得：x+2y=393x+y=57，
解得：x=15y=12，
答：每輛電動(dòng)貨車的價(jià)格為15萬(wàn)元，每輛燃油貨車的價(jià)格為12萬(wàn)元；
（2）設(shè)購(gòu)買電動(dòng)貨車m輛，燃油貨車n輛，
由題意得：48m+36n≥308，
整理得：n≥779?43m，
∵m≥4，
∴43m≥163，
∴779?43m≤299，
當(dāng)m＝4時(shí)，n最小為4，
此時(shí)購(gòu)車成本為：4×15+4×12＝108（萬(wàn)元）；
當(dāng)m＝5時(shí)，n最小為2，
此時(shí)購(gòu)車成本為：5×15+2×12＝99（萬(wàn)元）；
當(dāng)m＝6時(shí)，n最小為1，
此時(shí)購(gòu)車成本為：6×15+1×12＝102（萬(wàn)元）；
∴該中轉(zhuǎn)站最低的購(gòu)車成本為99萬(wàn)元，
答：該中轉(zhuǎn)站最低的購(gòu)車成本為99萬(wàn)元．
11．（2022?無(wú)錫二模）某運(yùn)動(dòng)器械廠根據(jù)市場(chǎng)需求，計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的按摩椅，其部分信息如下：A、B兩種型號(hào)的按摩椅共生產(chǎn)40臺(tái)，現(xiàn)已知A、B兩種按摩椅的生產(chǎn)成本和售價(jià)如表：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）若該公司銷售完兩種型號(hào)按摩椅恰好獲利18.8萬(wàn)元，則該公司分別生產(chǎn)A、B種型號(hào)按摩椅各多少臺(tái)？
（2）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每臺(tái)A型按摩椅的售價(jià)將會(huì)提高a萬(wàn)元（a＞0），每臺(tái)B型按摩椅售價(jià)不會(huì)改變，現(xiàn)受資金影響，該公司生產(chǎn)A型按摩椅不超過20臺(tái)但是不少于18臺(tái)，則該公司應(yīng)如何生產(chǎn)才可以獲得最大利潤(rùn)？
【分析】（1）設(shè)生產(chǎn)A種型號(hào)的按摩椅x臺(tái)，B型按摩椅y臺(tái)，根據(jù)等量關(guān)系：A、B兩種型號(hào)的按摩椅共生產(chǎn)40臺(tái)；該公司銷售完兩種型號(hào)按摩椅恰好獲利18.8萬(wàn)元；列出方程組計(jì)算即可求解；
（2）設(shè)生產(chǎn)A型按摩椅m臺(tái)，則B型按摩椅（40﹣m）臺(tái)，可得w′＝（0.4+a）m+0.5（40﹣m）＝（a﹣0.1）m+20，必須把（a﹣0.1）正負(fù)性考慮清楚，即a＞0.1，a＝0.1，a＜0.1三種情況，最終才能得出結(jié)論，即怎樣安排，完全取決于a的大?。?br>【解答】解：（1）設(shè)生產(chǎn)A種型號(hào)的按摩椅x臺(tái)，B型按摩椅y臺(tái)，依題意有：
x+y=40(2.4?2)x+(3?2.5)y=18.8，
解得x=12y=28．
故生產(chǎn)A種型號(hào)的按摩椅12臺(tái)，B型按摩椅28臺(tái)；
（2）設(shè)生產(chǎn)A型按摩椅m臺(tái)，則B型按摩椅（40﹣m）臺(tái)，當(dāng)每臺(tái)A型按摩椅的售價(jià)將會(huì)提高a萬(wàn)元（a＞0），每臺(tái)B型按摩椅售價(jià)不會(huì)改變時(shí)，此時(shí)的利潤(rùn)為：
w′＝（0.4+a）m+0.5（40﹣m）＝（a﹣0.1）m+20，
當(dāng)a﹣0.1＞0時(shí)，即a＞0.1，
∴當(dāng)m＝20時(shí)，w′最大＝20a+18，
即當(dāng)生產(chǎn)A型按摩椅20臺(tái)，B型按摩椅20臺(tái)，獲得最大利潤(rùn)．
當(dāng)a﹣0.1＝0時(shí)，即a＝0.1，
∴當(dāng)x＝20時(shí)，w′＝20，
即三種生產(chǎn)方案：①A型按摩椅18臺(tái)，B型按摩椅22臺(tái)；②A型按摩椅19臺(tái)，B型按摩椅21臺(tái)；③A型按摩椅20臺(tái)，B型按摩椅20臺(tái)；獲利一樣大．
當(dāng)a﹣0.1＜0時(shí)，即a＜0.1，
∴當(dāng)x＝18時(shí)，w′最大＝18a+18.2，
即當(dāng)生產(chǎn)A型按摩椅18臺(tái)，B型按摩椅22臺(tái)，獲得最大利潤(rùn)．
答：當(dāng)a＞0.1時(shí)，當(dāng)生產(chǎn)A型按摩椅20臺(tái)，B型按摩椅20臺(tái)，獲得最大利潤(rùn)；
當(dāng)a＝0.1時(shí)，3種方案獲利一樣；
當(dāng)a＜0.1時(shí)，生產(chǎn)A型按摩椅18臺(tái)，B型按摩椅22臺(tái)，獲得最大利潤(rùn)．
12．（2022?張家港市一模）某校組織“衫衫來(lái)了，愛心義賣”活動(dòng)，購(gòu)進(jìn)了黑白兩種純色的文化衫共100件，進(jìn)行DIY手繪設(shè)計(jì)后出售，所獲利潤(rùn)全部捐給“幸福村”．每種文化衫的成本和售價(jià)如表：
假設(shè)文化衫全部售出，共獲利720元，求購(gòu)進(jìn)兩種文化衫各多少件？
【分析】設(shè)購(gòu)進(jìn)白色文化衫x件，黑色文化衫y件，利用總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×銷售數(shù)量，結(jié)合銷售兩種文化衫100件共獲利720元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)購(gòu)進(jìn)白色文化衫x件，黑色文化衫y件，
依題意得：x+y=100(31?25)x+(36?28)y=720，
解得：x=40y=60．
答：購(gòu)進(jìn)白色文化衫40件，黑色文化衫60件．
考向三、一元二次方程的應(yīng)用
13．（2022?邳州市校級(jí)模擬）某廣場(chǎng)有一塊長(zhǎng)為100米，寬為60米的矩形空地，政府決定利用這塊空地上修建一橫兩縱的小路方便群眾通行，其他部分種植花草供群眾欣賞休閑，若三條小路的寬度均為x米．
（1）若種植花草的價(jià)格為10元/平方米，種植花草的總費(fèi)用為49500元，求修建的小路的寬度；
（2）若修建小路的價(jià)格為40元/平方米，求修建小路的總造價(jià)．
【分析】（1）設(shè)小路的寬度為xm，根據(jù)花草的米×種植花草的價(jià)格＝種植花草的總費(fèi)用即可得出方程，解方程即可；
（2）（空地面積﹣花草面積）×修建小路的價(jià)格即可求出修建小路的總造價(jià)．
【解答】解：（1）設(shè)小路的寬度為x米，那么花草的總長(zhǎng)度為（100﹣2x）米，總寬度為（60﹣x）米；
根據(jù)題意得10（100﹣2x）（60﹣x）＝49500，
解得x1＝5，x2＝105（不符合題意，舍去），
答：修建的小路的寬度為5米；
（2）100×60﹣（100﹣2×5）×（60﹣5）＝1050（米），
1050×40＝42000（元），
答：修建小路的總造價(jià)為42000元．
14．（2022?新吳區(qū)二模）北京冬奧會(huì)期間，某商場(chǎng)進(jìn)了一批冰墩墩鑰匙扣，將進(jìn)價(jià)為20元的鑰匙扣以45元售出，平均每月能售出50個(gè)，現(xiàn)商場(chǎng)決定采取降價(jià)措施，調(diào)查表明：這種鑰匙扣的售價(jià)每降低0.5元，平均每月就能多售出5個(gè)．
（1）商場(chǎng)要想在這種鑰匙扣銷售中每月盈利2000元，同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠，則每個(gè)鑰匙扣應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）物價(jià)部門規(guī)定，每個(gè)鑰匙扣獲利必須低于60%，為了便于銷售，商場(chǎng)將每個(gè)鑰匙扣的售價(jià)定為整數(shù)，問每個(gè)鑰匙扣定價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每月銷售利潤(rùn)高于2000元？
【分析】（1）設(shè)每臺(tái)降價(jià)x元，由利潤(rùn)＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷售量，列出函數(shù)解析式，令每月盈利2000元，求出x．
（2）每盞燈降價(jià)y元，利潤(rùn)為w元，先根據(jù)每個(gè)鑰匙扣獲利必須低于60%，得到y(tǒng)＞13．再根據(jù)（1）的結(jié)果結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得13＜y＜15，可求得每個(gè)鑰匙扣的定價(jià)．
【解答】解：（1）設(shè)每盞臺(tái)燈應(yīng)降價(jià)x元，由題意得：
（45﹣20﹣x）（50+10x）＝2000，
解得：x1＝5，x2＝15．
∵要使得百姓得到實(shí)惠，
∴x＝15．
答：應(yīng)降價(jià)15元；
（2）設(shè)每盞燈降價(jià)y元，利潤(rùn)為w元，
∵每個(gè)鑰匙扣獲利必須低于60%，
∴45﹣20﹣y＜20×60%，
解得y＞13．
∵w＝（45﹣20﹣y）（50+10y）＞2000，
∴結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得5＜y＜15．
∴13＜y＜15，
∵售價(jià)為整數(shù)，
∴y＝14．
∴售價(jià)為31元．
15．（2022?建湖縣一模）3月初某商品價(jià)格下跌，每件價(jià)格下跌20%，用3000元買到的該商品件數(shù)比下跌前多25件．3月下旬該商品開始漲價(jià)，經(jīng)過兩次漲價(jià)后，該商品價(jià)格為每件29.04元．
（1）求3月初該商品下跌后的價(jià)格；
（2）若該商品兩次漲價(jià)率相同，求該商品價(jià)格的平均漲價(jià)率．
【分析】（1）設(shè)3月初該商品的原價(jià)為x元/件，則3月初該商品下跌后的價(jià)格為（1﹣20%）x元/件，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合價(jià)格下跌后用3000元買到的該商品件數(shù)比下跌前多25件，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出x的值，再將其代入（1﹣20%）x中即可求出結(jié)論；
（2）設(shè)該商品價(jià)格的平均漲價(jià)率為y，利用經(jīng)過兩次漲價(jià)后的價(jià)格＝3月初該商品下跌后的價(jià)格×（1+平均漲價(jià)率）2，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)3月初該商品的原價(jià)為x元/件，則3月初該商品下跌后的價(jià)格為（1﹣20%）x元/件，
依題意得：3000(1?20%)x?3000x=25，
解得：x＝30，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原方程的解，且符合題意，
∴（1﹣20%）x＝（1﹣20%）×30＝24．
答：3月初該商品下跌后的價(jià)格為24元/件．
（2）設(shè)該商品價(jià)格的平均漲價(jià)率為y，
依題意得：24（1+y）2＝29.04，
解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不合題意，舍去）．
答：該商品價(jià)格的平均降價(jià)率為10%．
16．（2022?常州一模）某區(qū)各街道居民積極響應(yīng)“創(chuàng)文明社區(qū)”活動(dòng)，據(jù)了解，某街道居民人口共有7.5萬(wàn)人，街道劃分為A，B兩個(gè)社區(qū)，B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍．
（1）求A社區(qū)居民人口至少有多少萬(wàn)人？
（2）街道工作人員調(diào)查A，B兩個(gè)社區(qū)居民對(duì)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”知曉情況發(fā)現(xiàn)：A社區(qū)有1.2萬(wàn)人知曉，B社區(qū)有1萬(wàn)人知曉，為了提高知曉率，街道工作人員用了兩個(gè)月的時(shí)間加強(qiáng)宣傳，A社區(qū)的知曉人數(shù)平均月增長(zhǎng)率為m%，B社區(qū)的知曉人數(shù)第一個(gè)月增長(zhǎng)了m%，第二個(gè)月增長(zhǎng)了2m%，兩個(gè)月后，街道居民的知曉率達(dá)到76%，求m的值．
【分析】（1）設(shè)A社區(qū)居民人口有x萬(wàn)人，根據(jù)“B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社區(qū)的知曉人數(shù)+B社區(qū)的知曉人數(shù)＝7.5×76%，據(jù)此列出關(guān)于m的方程并解答．
【解答】解：（1）設(shè)A社區(qū)居民人口有x萬(wàn)人，則B社區(qū)有（7.5﹣x）萬(wàn)人，
依題意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社區(qū)居民人口至少有2.5萬(wàn)人；
（2）依題意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
設(shè)m%＝a，方程可化為：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化簡(jiǎn)得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a=?3516（舍）
∴m＝50
答：m的值為50．
17．（2021?興化市模擬）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進(jìn)價(jià)為每頂80元，售價(jià)為每頂120元，平均每周可售出200頂．商店計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷售，每頂售價(jià)不高于108元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，平均每周可多售出20頂．
（1）該商店若希望每周獲利12000元，則每頂頭盔應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）當(dāng)每頂頭盔的售價(jià)為多少元，商店每月獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？
【分析】（1）設(shè)每頂頭盔應(yīng)降價(jià)a元，則平均每周可售出（20a+200）頂，再根據(jù)“每周獲利12000元“建立方程，解方程即可得；
（2）設(shè)商店每周獲得最大利潤(rùn)w元，每頂頭盔的售價(jià)為x元，從而可得平均每周可售出[20（120﹣x）+200]頂，再根據(jù)利潤(rùn)公式可得w與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
【解答】解：（1）設(shè)每頂頭盔降價(jià)a元，則平均每周可售出（20a+200）頂，
由題意得：（120﹣a﹣80）（20a+200）＝12000，
解得a＝10或a＝20，
當(dāng)a＝10時(shí)，售價(jià)為120﹣10＝110＞108，不符題意，舍去，
當(dāng)a＝20時(shí)，售價(jià)為120﹣20＝100＜108，符合題意，
答：每頂頭盔應(yīng)降價(jià)20元；
（2）設(shè)商店每周獲得最大利潤(rùn)w元，每頂頭盔的售價(jià)為x元，則平均每周可售出[20（120﹣x）+200]頂，且80≤x≤108，
由題意得：w＝[20（120﹣x）+200]（x﹣80），
整理得：w＝﹣20（x﹣105）2+12500，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在80≤x≤108內(nèi)，當(dāng)x＝105時(shí)，w取最大值12500，
答：當(dāng)每頂頭盔的售價(jià)為105元，商店每周獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是12500元．
18．（2021?射陽(yáng)縣模擬）為積極響應(yīng)國(guó)家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實(shí)施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．
（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬(wàn)戶增長(zhǎng)到2022年底的4.32萬(wàn)戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長(zhǎng)率；
（2）該市計(jì)劃對(duì)某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計(jì)劃改造300戶，計(jì)劃投入改造費(fèi)用平均20000元/戶，且計(jì)劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費(fèi)平均減少50元/戶，求舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用是多少元？
【分析】（1）設(shè)該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長(zhǎng)率為x，根據(jù)“從2020年底的3萬(wàn)戶增長(zhǎng)到2022年底的4.32萬(wàn)戶，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)增加a戶，申報(bào)投入費(fèi)用為W元，根據(jù)總費(fèi)用＝人均費(fèi)用×人數(shù)，即可得出W關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長(zhǎng)率為x，
根據(jù)題意，得3（1+x）2＝4.32．
解得x＝0.2＝20%（舍去負(fù)值）．
答：該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長(zhǎng)率為20%．
（2）設(shè)增加a戶，申報(bào)投入費(fèi)用為W元，
則W申報(bào)＝（300+a）（20000﹣50a）＝﹣50a2+5000a+6000000．
當(dāng)a＝50時(shí)，W申報(bào)最高＝6125000（元）．
答：舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用是6125000元．
考向四、分式方程的應(yīng)用
19．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)模擬）每年的4月23日是世界讀書日，某校計(jì)劃購(gòu)買A、B兩種圖書作為“校園讀書節(jié)”的獎(jiǎng)品，已知A種圖書的單價(jià)比B種圖書的單價(jià)多10元，且購(gòu)買4本A種圖書和3本B種圖書共需花費(fèi)180元．
（1）A、B兩種圖書的單價(jià)分別為多少元？
（2）學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買這兩種圖書共50本，且投入總經(jīng)費(fèi)不超過1300元，則最多可以購(gòu)買A種圖書多少本？
【分析】（1）設(shè)A種圖書單價(jià)x元，B種圖書單價(jià)y元，根據(jù)“A種圖書的單價(jià)比B種圖書的單價(jià)多10元，且購(gòu)買4本A種圖書和3本B種圖書共需花費(fèi)180元”列出方程組，解之即可；
（2）設(shè)購(gòu)買A種圖書a本，根據(jù)“投入總經(jīng)費(fèi)不超過1300元”列出不等式，求出最大整數(shù)解即可．
【解答】解：（1）設(shè)A種圖書單價(jià)x元，B種圖書單價(jià)y元，
由題意可得：x?y=104x+3y=180，
解得：x=30y=20，
∴A種圖書單價(jià)30元，B種圖書單價(jià)20元；
（2）設(shè)購(gòu)買A種圖書a本，
由題意可得；30a+20（50﹣a）≤1300，
解得：a≤30，
∴最多可以購(gòu)買30本A種圖書．
20．（2022?宿城區(qū)校級(jí)模擬）“冰墩墩”和“雪容融”作為第24屆北京冬奧會(huì)和殘奧會(huì)的吉祥物深受大家喜愛，某文旅店訂購(gòu)“冰墩墩”花費(fèi)6000元，訂購(gòu)“雪容融”花費(fèi)3200元，其中“冰墩墩”的訂購(gòu)單價(jià)比“雪容融”的訂購(gòu)單價(jià)多20元，并且訂購(gòu)“冰墩墩”的數(shù)量是“雪容融”的1.25倍．
（1）求文旅店訂購(gòu)“冰墩墩”和“雪容融”的數(shù)量分別是多少個(gè)；（請(qǐng)列分式方程作答）
（2）該文旅店以100元和80元的單價(jià)銷售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出34，“雪容融”售出12后，文旅店為了盡快回籠資金，決定對(duì)剩余的“冰墩墩”每個(gè)打a折銷售，對(duì)剩余的“雪容融”每個(gè)降價(jià)2a元銷售，很快全部售完，若要保證文旅店總利潤(rùn)不低于6060元，求a的最小值．
【分析】（1）文旅店訂購(gòu)“雪容融”的數(shù)量為x個(gè)，則訂購(gòu)“冰墩墩”的數(shù)量為1.25x個(gè)，由題意：某文旅店訂購(gòu)“冰墩墩”花費(fèi)6000元，訂購(gòu)“雪容融”花費(fèi)3200元，其中“冰墩墩”的訂購(gòu)單價(jià)比“雪容融”的訂購(gòu)單價(jià)多20元，列出分式方程，解方程即可；
（2）由題意：要保證文旅店總利潤(rùn)不低于6060元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）文旅店訂購(gòu)“雪容融”的數(shù)量為x個(gè)，則訂購(gòu)“冰墩墩”的數(shù)量為1.25x個(gè)，
由題意得：60001.25x?3200x=20，
解得：x＝80，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是原方程的解，且符合題意，
則1.25x＝100，
答：文旅店訂購(gòu)“冰墩墩”的數(shù)量是100個(gè)，訂購(gòu)“雪容融”的數(shù)量是80個(gè)；
（2）由題意得：100×34×100+100×14×100×0.1a+80×12×80+80×12×（80﹣2a）﹣6000﹣3200≥6060，
解得：a≥8，
答：a的最小值為8．
21．（2022?高郵市模擬）某中學(xué)為了創(chuàng)建“書香校園”，計(jì)劃購(gòu)買書架放置圖書．在購(gòu)買時(shí)發(fā)現(xiàn)：A種書架的單價(jià)比B種書架的單價(jià)貴50元，用1000元購(gòu)買A種書架的個(gè)數(shù)與用800元購(gòu)買B種書架的個(gè)數(shù)相同．
（1）求兩種書架的單價(jià)各是多少元？
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種書架共20個(gè)，且購(gòu)買的總費(fèi)用不超過4500元，求最多可以購(gòu)買多少個(gè)A種書架？
【分析】（1）設(shè)A種書架的單價(jià)是x元，可得：1000x=800x?50，解方程并檢驗(yàn)可得A種書架的單價(jià)是250元，則B種書架的單價(jià)是200元；
（2）設(shè)購(gòu)買A種書架m個(gè)，可得250m+200（20﹣m）≤4500，即可解得最多可以購(gòu)買10個(gè)A種書架．
【解答】解：（1）設(shè)A種書架的單價(jià)是x元，則B種書架的單價(jià)是（x﹣50）元，
根據(jù)題意得：1000x=800x?50，
解得x＝250，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝250是原方程的解，
∴x﹣50＝250﹣50＝200（元），
答：A種書架的單價(jià)是250元，則B種書架的單價(jià)是200元；
（2）設(shè)購(gòu)買A種書架m個(gè)，則購(gòu)買B種書架（20﹣m）個(gè)，
∵購(gòu)買的總費(fèi)用不超過4500元，
∴250m+200（20﹣m）≤4500，
解得m≤10，
答：最多可以購(gòu)買10個(gè)A種書架．
22．（2022?江都區(qū)二模）為迎接科技活動(dòng)節(jié)，甲、乙兩個(gè)社團(tuán)承接制作彩旗的任務(wù)．已知甲社團(tuán)比乙社團(tuán)每小時(shí)少制作12面彩旗，甲社團(tuán)制作120面彩旗所用的時(shí)間與乙社團(tuán)制作150面彩旗所用的時(shí)間相等．
（1）甲、乙兩個(gè)社團(tuán)每小時(shí)各制作多少面彩旗？
（2）現(xiàn)在需要制作一批彩旗，已知甲社團(tuán)單獨(dú)完成比乙社團(tuán)單獨(dú)完成多用1個(gè)小時(shí)，那么甲、乙兩個(gè)社團(tuán)同時(shí)合作， 209 小時(shí)可完成．（直接寫答案）
【分析】（1）設(shè)甲社團(tuán)每小時(shí)制作x面彩旗，則乙社團(tuán)每小時(shí)制作（x+12）面彩旗，根據(jù)甲社團(tuán)制作120面彩旗所用的時(shí)間與乙社團(tuán)制作150面彩旗所用的時(shí)間相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出甲社團(tuán)每小時(shí)制作彩旗的數(shù)量，再將其代入（x+12）中即可求出乙社團(tuán)每小時(shí)制作彩旗的數(shù)量；
（2）設(shè)這批彩旗共y面，根據(jù)甲社團(tuán)單獨(dú)完成比乙社團(tuán)單獨(dú)完成多用1個(gè)小時(shí)，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再利于甲、乙兩個(gè)社團(tuán)同時(shí)合作所需時(shí)間＝這批彩旗的數(shù)量÷甲、乙兩個(gè)社團(tuán)每小時(shí)制作彩旗的數(shù)量和，即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)甲社團(tuán)每小時(shí)制作x面彩旗，則乙社團(tuán)每小時(shí)制作（x+12）面彩旗，
根據(jù)題意得：120x=150x+12，
解得：x＝48，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝48是所列方程的解，且符合題意，
∴x+12＝48+12＝60．
答：甲社團(tuán)每小時(shí)制作48面彩旗，乙社團(tuán)每小時(shí)制作60面彩旗．
（2）設(shè)這批彩旗共y面，
根據(jù)題意得：y48?y60=1，
解得：y＝240，
∴甲、乙兩個(gè)社團(tuán)同時(shí)合作所需時(shí)間為24048+60=209（小時(shí)）．
故答案為：209．
23．（2022?廣陵區(qū)一模）2020年12月11日揚(yáng)州人民高鐵夢(mèng)圓，小明一家準(zhǔn)備在端午節(jié)期間從揚(yáng)州到上海游玩，小明借助網(wǎng)絡(luò)信息制定了以下兩套出行方案：
方案一：從揚(yáng)州西站乘坐動(dòng)車，全程約450km，所用時(shí)間比從東站乘坐高鐵多1h；
方案二：從揚(yáng)州東站乘坐高鐵，全程約480km，高鐵的平均速度是動(dòng)車的1.6倍．
求從揚(yáng)州東站乘坐高鐵到上海的平均速度．
【分析】設(shè)動(dòng)車的平均速度為xkm/h，則高鐵的平均速度為1.6xkm/h，由題意：乘坐動(dòng)車所用時(shí)間比從東站乘坐高鐵多1h，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：設(shè)動(dòng)車的平均速度為xkm/h，則從揚(yáng)州東站乘坐高鐵到上海的平均速度為1.6xkm/h，
根據(jù)題意得：450x?4801.6x=1，
解得：x＝150，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝150是原方程是解，且符合題意，
則1.6x＝1.6×150＝240，
答：從揚(yáng)州東站乘坐高鐵到上海的平均速度為240km/h．
24．（2022?儀征市二模）為讓學(xué)生們近距離接觸大自然，積累寫作素材，提高寫作能力，某校策劃了以“擁抱自然”為主題的作文大賽，某班開展了此項(xiàng)活動(dòng)，學(xué)習(xí)委員為班級(jí)購(gòu)買獎(jiǎng)品后與生活委員對(duì)話如圖所示．
試用方程的知識(shí)幫助學(xué)習(xí)委員計(jì)算一下，為什么說(shuō)學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了？
【分析】設(shè)軟面筆記本的單價(jià)為x元，則硬面筆記本的單價(jià)為（x+3）元，由學(xué)習(xí)委員為班級(jí)購(gòu)買獎(jiǎng)品后與生活委員對(duì)話列出分式方程，解方程，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)軟面筆記本的單價(jià)為x元，則硬面筆記本的單價(jià)為（x+3）元，
由題意得：12x=19.2x+3，
解得：x＝5，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是原方程的解，
則12x=2.4，
∵筆記本的數(shù)量為整數(shù)，
∴x＝5不合題意，
∴說(shuō)學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了．
考向五、不等式（組）的應(yīng)用
25．（2022?漣水縣一模）某班計(jì)劃購(gòu)買兩種畢業(yè)紀(jì)念冊(cè)，已知購(gòu)買4本手繪紀(jì)念冊(cè)和1本圖片紀(jì)念冊(cè)共需215元，購(gòu)買2本手繪紀(jì)念冊(cè)和5本圖片紀(jì)念冊(cè)共需265元．
（1）每本手繪紀(jì)念冊(cè)和每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格分別為多少元？
（2）該班計(jì)劃購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)和圖片紀(jì)念冊(cè)共50本，總費(fèi)用不超過1900元，則最少要購(gòu)買圖片紀(jì)念冊(cè)多少本？
【分析】（1）設(shè)每本手繪紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為x元，每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為y元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)可以購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)m本，則購(gòu)買圖片紀(jì)念冊(cè)（50﹣m）本，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過1900元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)每本手繪紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為x元，每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為y元，
依題意得：4x+y=2152x+5y=265，
解得：x=45y=35．
答：每本手繪紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為45元，每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為35元．
（2）設(shè)可以購(gòu)買圖片紀(jì)念冊(cè)m本，則購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)（50﹣m）本，
依題意得：35m+45（50﹣m）≤1900，
解得：m≥35．
答：最少能購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)35本．
26．（2022?海陵區(qū)二模）某玩具店購(gòu)進(jìn)2022年冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩與冬殘奧會(huì)吉祥物雪容融共120個(gè)，花去3350元，這兩種吉祥物的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表：
（1）求冰墩墩、雪容融各購(gòu)進(jìn)了多少個(gè)？
（2）售賣中途由于冰墩墩受到廣大游客的喜愛被一搶而空，商家又緊急購(gòu)進(jìn)了一批冰墩墩，最后和雪容融一起被賣完．若已知商家最后獲取的利潤(rùn)不少于4050元，請(qǐng)問商家第二次至少購(gòu)進(jìn)了多少個(gè)冰墩墩？
【分析】（1）設(shè)冰墩墩購(gòu)進(jìn)了x個(gè)，雪容融購(gòu)進(jìn)了y個(gè)，由題意可列出二元一次方程組，解方程組可得出答案；
（2）設(shè)商家第二次購(gòu)進(jìn)了a個(gè)冰墩墩，由題意列出一元一次不等式，則可得出答案．
【解答】解：（1）設(shè)冰墩墩購(gòu)進(jìn)了x個(gè)，雪容融購(gòu)進(jìn)了y個(gè)，由題意可得，
x+y=12030x+25y=3350，
解得，x=70y=50，
答：冰墩墩購(gòu)進(jìn)了70個(gè)，雪容融購(gòu)進(jìn)了50個(gè)；
（2）設(shè)商家第二次購(gòu)進(jìn)了a個(gè)冰墩墩，由題意得，
70×（45﹣30）+50×（35﹣25）+（45﹣30）a≥4050，
a≥5003，
∵a為整數(shù)，
∴a的最小值為167，
答：商家第二次至少購(gòu)進(jìn)了167個(gè)冰墩墩．
27．（2022?濱湖區(qū)一模）為加快“智慧校園”建設(shè)，某市準(zhǔn)備為試點(diǎn)學(xué)校采購(gòu)一批 A、B兩種型號(hào)的一體機(jī)．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，今年每套B型一體機(jī)的價(jià)格比每套A型一體機(jī)的價(jià)格多1萬(wàn)元，且用1200萬(wàn)元恰好能購(gòu)買300套A型一體機(jī)和200套B型一體機(jī)．
（1）求今年每套A型、B型一體機(jī)的價(jià)格各是多少萬(wàn)元？
（2）該市明年計(jì)劃采購(gòu)A型、B型一體機(jī)共600套，考慮物價(jià)因素，預(yù)計(jì)明年每套A型一體機(jī)的價(jià)格比今年上漲20%，每套B型一體機(jī)的價(jià)格不變，若購(gòu)買B型一體機(jī)的總費(fèi)用不低于購(gòu)買A型一體機(jī)的總費(fèi)用的34，那么該市明年至少需要投入多少萬(wàn)元才能完成采購(gòu)計(jì)劃？
【分析】（1）設(shè)今年每套A型一體機(jī)的價(jià)格是x萬(wàn)元，則今年每套B型一體機(jī)的價(jià)格是（x+1）萬(wàn)元，根據(jù)題意得：300x+200（x+1）＝1200，即可解得今年每套A型一體機(jī)的價(jià)格是2萬(wàn)元，則今年每套B型一體機(jī)的價(jià)格是3萬(wàn)元；
（2）設(shè)明年采購(gòu)A型一體機(jī)m臺(tái)，則采購(gòu)B型一體機(jī)（600﹣m）臺(tái)，可得：3（600﹣m）≥2×（1+20%）m×34，解得m≤375，設(shè)采購(gòu)總費(fèi)用為w萬(wàn)元，則w＝﹣0.6m+1800，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)知w隨m的增大而減小，即可得答案．
【解答】解：（1）設(shè)今年每套A型一體機(jī)的價(jià)格是x萬(wàn)元，則今年每套B型一體機(jī)的價(jià)格是（x+1）萬(wàn)元，
根據(jù)題意得：300x+200（x+1）＝1200，
解得x＝2，
∴x+1＝2+1＝3，
答：今年每套A型一體機(jī)的價(jià)格是2萬(wàn)元，則今年每套B型一體機(jī)的價(jià)格是3萬(wàn)元；
（2）設(shè)明年采購(gòu)A型一體機(jī)m臺(tái)，則采購(gòu)B型一體機(jī)（600﹣m）臺(tái)，
根據(jù)題意得：3（600﹣m）≥2×（1+20%）m×34，
解得m≤375，
設(shè)采購(gòu)總費(fèi)用為w萬(wàn)元，則w＝2×（1+20%）m+3（600﹣m）＝﹣0.6m+1800，
∵﹣0.6＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴m＝375時(shí)，w取最小值，最小值是﹣0.6×375+1800＝1575（萬(wàn)元），
答：該市明年至少需要投入1575萬(wàn)元才能完成采購(gòu)計(jì)劃．
28．（2022?惠山區(qū)一模）無(wú)錫水蜜桃享譽(yù)海內(nèi)外，老王用3000元購(gòu)進(jìn)了一批水蜜桃．第一天，很快以比進(jìn)價(jià)高40%的價(jià)格賣出150千克．第二天，他發(fā)現(xiàn)剩余的水蜜桃賣相已不太好，于是果斷地以比進(jìn)價(jià)低20%的價(jià)格將剩余的水蜜桃全部售出，本次生意老王一共獲利750元．
（1）求這批水蜜桃進(jìn)價(jià)為多少元？
（2）老王用3000元按第一次的價(jià)格又購(gòu)進(jìn)了一批水蜜桃．第一天同樣以比進(jìn)價(jià)高40%的價(jià)格賣出150千克，第二天老王把賣相不好的水蜜桃挑出，單獨(dú)打折銷售，售價(jià)為10元/千克，結(jié)果很快被一搶而空，其余的仍按第一天的價(jià)格銷售，且當(dāng)天全部售完．若老王這次至少獲利1000元，請(qǐng)問打折銷售的水蜜桃最多多少千克？（精確到1千克）
【分析】（1）設(shè)水蜜桃的進(jìn)價(jià)為x元/千克，則降價(jià)銷售了（3000x?150）千克，利用利潤(rùn)＝銷售單價(jià)×銷售數(shù)量﹣進(jìn)貨成本，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，即可求出購(gòu)進(jìn)第二批水蜜桃的重量，設(shè)打折銷售了y千克水蜜桃，則原價(jià)銷售了（200﹣y）千克水蜜桃，利用利潤(rùn)＝銷售單價(jià)×銷售數(shù)量﹣進(jìn)貨成本，結(jié)合老王這次至少獲利1000元，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)水蜜桃的進(jìn)價(jià)為x元/千克，則降價(jià)銷售了（3000x?150）千克，
依題意得：150×（1+40%）x+（3000x?150）×（1﹣20%）x﹣3000＝750，
解得：x＝15，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的解，且符合題意．
答：水蜜桃的進(jìn)價(jià)為15元/千克．
（2）購(gòu)進(jìn)第二批水蜜桃的重量為3000÷15＝200（千克），
設(shè)打折銷售了y千克水蜜桃，則原價(jià)銷售了（200﹣y）千克水蜜桃，
依題意得：15×（1+40%）×（200﹣y）+10y﹣3000≥1000，
解得：y≤18211，
又∵y為整數(shù)，
∴y的最大值為18．
答：打折銷售的水蜜桃最多18千克．
29．（2021?無(wú)錫模擬）某景點(diǎn)投入40輛同型號(hào)電動(dòng)代步車準(zhǔn)備成立代步車租賃公司，市運(yùn)管所規(guī)定每輛代步車的日租金按10元的整數(shù)倍收取，但不得超過250元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每輛代步車的日租金不超過150元時(shí)，40輛代步車可以全部租賃出去；當(dāng)每輛代步車的日租金超過150元時(shí)，每增加10元，租賃出去的代步車數(shù)量將減少2輛，已知租賃去的代步車每輛一天各項(xiàng)支出共需20元，沒有租賃出去的代步車每輛一天各項(xiàng)支出共需10元，另外公司每天還需支出其他各項(xiàng)費(fèi)用共1800元．
（1）若40輛代步車能全部租出，當(dāng)每天總租金不低于總支出時(shí)，每輛代步車的日租金至少為多少元？
（2）該代步車租賃公司一天總利潤(rùn)最多為多少元？（總利潤(rùn)＝總租金﹣總支出）
【分析】（1）設(shè)每輛代步車的日租金為x元，根據(jù)“40輛代步車能全部租出，且每天總租金不低于總支出”，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結(jié)合x為10的整數(shù)倍即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)每輛代步車的日租金為m元，該代步車租賃公司一天總利潤(rùn)為w元，分m≤150及m＞150兩種情況考慮，當(dāng)m≤150時(shí)，利用總利潤(rùn)＝總租金﹣總支出，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可找出w的最大值；當(dāng)m＞150時(shí)，每天可租出（70?m5）輛，利用總利潤(rùn)＝總租金﹣總支出，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可找出w的最大值．再將兩個(gè)最大值比較后即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)每輛代步車的日租金為x元，
依題意得：x≤15040x≥20×40+1800，
解得：65≤x≤150．
又∵x為10的整數(shù)倍，
∴x的最小值為70．
答：每輛代步車的日租金至少為70元．
（2）設(shè)每輛代步車的日租金為m元，該代步車租賃公司一天總利潤(rùn)為w元．
當(dāng)m≤150時(shí)，w＝40m﹣20×40﹣1800＝40m﹣2600，
∵40＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m＝150時(shí)，w取得最大值，最大值＝40×150﹣2600＝3400（元）；
當(dāng)m＞150時(shí)，每天可租出40?m?15010×2＝（70?m5）輛，
∴w＝（70?m5）m﹣（70?m5）×20﹣[40﹣（70?m5）]×10﹣1800=?15m2+72m﹣2900=?15（m﹣180）2+3580，
∵?15＜0，
∴當(dāng)m＝180時(shí)，w取得最大值，最大值為3580．
又∵3400＜3580，
∴該代步車租賃公司一天總利潤(rùn)最多為3580元．
30．（2021?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）2020年6月1日上午，國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)在山東煙臺(tái)考察時(shí)表示，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來(lái)源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國(guó)的生機(jī)．波波準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種類型的便攜式風(fēng)扇到華潤(rùn)萬(wàn)家門口出售．已知2臺(tái)A型風(fēng)扇和5臺(tái)B型風(fēng)扇進(jìn)價(jià)共100元，3臺(tái)A型風(fēng)扇和2臺(tái)B型風(fēng)扇進(jìn)價(jià)共62元．
（1）求A型風(fēng)扇、B型風(fēng)扇進(jìn)貨的單價(jià)各是多少元？
（2）波波準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種風(fēng)扇共100臺(tái)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A型風(fēng)扇銷售情況比B型風(fēng)扇好，波波準(zhǔn)備多購(gòu)進(jìn)A型風(fēng)扇，但數(shù)量不超過B型風(fēng)扇數(shù)量的3倍，購(gòu)進(jìn)A、B兩種風(fēng)扇的總金額不超過1170元．根據(jù)以上信息，波波共有幾種進(jìn)貨方案？哪種進(jìn)貨方案的費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少元？
【分析】（1）設(shè)A型風(fēng)扇進(jìn)貨的單價(jià)是x元，B型風(fēng)扇進(jìn)貨的單價(jià)是y元，根據(jù)“2臺(tái)A型風(fēng)扇和5臺(tái)B型風(fēng)扇進(jìn)價(jià)共100元，3臺(tái)A型風(fēng)扇和2臺(tái)B型風(fēng)扇進(jìn)價(jià)共62元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型風(fēng)扇m臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)B型風(fēng)扇（100﹣m）臺(tái)，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)A型風(fēng)扇不超過B型風(fēng)扇數(shù)量的3倍，購(gòu)進(jìn)A、B兩種風(fēng)扇的總金額不超過1170元”，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)即可得出各進(jìn)貨方案．
【解答】解：（1）設(shè)A型風(fēng)扇進(jìn)貨的單價(jià)是x元，B型風(fēng)扇進(jìn)貨的單價(jià)是y元，
依題意，得：2x+5y=1003x+2y=62，
解得：x=10y=16．
答：A型風(fēng)扇進(jìn)貨的單價(jià)是10元，B型風(fēng)扇進(jìn)貨的單價(jià)是16元；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型風(fēng)扇m臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)B型風(fēng)扇（100﹣m）臺(tái)，
依題意，得：m≤3(100?m)10m+16(100?m)≤1170，
解得：7123≤m≤75，
又∵m為正整數(shù)，
∴m可以取72、73、74、75，
∴波波共有4種進(jìn)貨方案，
方案1：購(gòu)進(jìn)A型風(fēng)扇72臺(tái)，B型風(fēng)扇28臺(tái)；
方案2：購(gòu)進(jìn)A型風(fēng)扇73臺(tái)，B型風(fēng)扇27臺(tái)；
方案3：購(gòu)進(jìn)A型風(fēng)扇74臺(tái)，B型風(fēng)扇26臺(tái)；
方案4：購(gòu)進(jìn)A型風(fēng)扇75臺(tái)，B型風(fēng)扇25臺(tái)．
∵B型風(fēng)扇進(jìn)貨的單價(jià)大于A型風(fēng)扇進(jìn)貨的單價(jià)，
∴方案4：購(gòu)進(jìn)A型風(fēng)扇75臺(tái)，B型風(fēng)扇25臺(tái)的費(fèi)用最低，
最低費(fèi)用為75×10+25×16＝1150元．
答：波波共有4種進(jìn)貨方案，方案4：購(gòu)進(jìn)A型風(fēng)扇75臺(tái)，B型風(fēng)扇25臺(tái)的費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為1150元．
【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實(shí)戰(zhàn)培優(yōu)提升
一．解答題（共14小題）
1．（2022?揚(yáng)州）某中學(xué)為準(zhǔn)備十四歲青春儀式，原計(jì)劃由八年級(jí)（1）班的4個(gè)小組制作360面彩旗，后因1個(gè)小組另有任務(wù)，其余3個(gè)小組的每名學(xué)生要比原計(jì)劃多做3面彩旗才能完成任務(wù)．如果這4個(gè)小組的人數(shù)相等，那么每個(gè)小組有學(xué)生多少名？
【分析】設(shè)每個(gè)小組有學(xué)生x名，由題意得：3603x?3604x=3，解分式方程并檢驗(yàn)后即可得出答案．
【解答】解：設(shè)每個(gè)小組有學(xué)生x名，
由題意得：3603x?3604x=3，
解得：x＝10，
當(dāng)x＝10時(shí)，12x≠0，
∴x＝10是分式方程的根，
答：每個(gè)小組有學(xué)生10名．
2．（2022?連云港）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”其大意是：今有幾個(gè)人共同出錢購(gòu)買一件物品．每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4錢．問人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？請(qǐng)你求出以上問題中的人數(shù)和物品價(jià)格．
【分析】設(shè)有x個(gè)人，物品的價(jià)格為y錢，由題意：每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4錢．列出二元一次方程組，解方程組即可．
【解答】解：設(shè)有x個(gè)人，物品的價(jià)格為y錢，
由題意得：y=8x?3y=7x+4，
解得：x=7y=53，
答：有7個(gè)人，物品的價(jià)格為53錢．
3．（2021?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”．下面是其卷中記載的關(guān)于“盈不足”的一個(gè)問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)、金價(jià)各幾何？這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會(huì)剩余3400錢；每人出300錢，會(huì)剩余100錢．合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少？請(qǐng)解決上述問題．
【分析】（方法一）設(shè)共x人合伙買金，金價(jià)為y錢，根據(jù)“每人出400錢，會(huì)剩余3400錢；每人出300錢，會(huì)剩余100錢”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
（方法二）設(shè)共x人合伙買金，根據(jù)“每人出400錢，會(huì)剩余3400錢；每人出300錢，會(huì)剩余100錢”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入（400x﹣3400）即可求出金價(jià)．
【解答】解：（方法一）設(shè)共x人合伙買金，金價(jià)為y錢，
依題意得：400x?3400=y300x?100=y，
解得：x=33y=9800．
答：共33人合伙買金，金價(jià)為9800錢．
（方法二）設(shè)共x人合伙買金，
依題意得：400x﹣3400＝300x﹣100，
解得：x＝33，
∴400x﹣3400＝400×33﹣3400＝9800．
答：共33人合伙買金，金價(jià)為9800錢．
4．（2021?泰州）甲、乙兩工程隊(duì)共同修建150km的公路，原計(jì)劃30個(gè)月完工．實(shí)際施工時(shí)，甲隊(duì)通過技術(shù)創(chuàng)新，施工效率提高了50%，乙隊(duì)施工效率不變，結(jié)果提前5個(gè)月完工．甲、乙兩工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月分別修建多長(zhǎng)？
【分析】設(shè)甲工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建xkm，乙工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建ykm，則兩隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建（x+y）km，技術(shù)創(chuàng)新后兩隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根據(jù)原計(jì)劃30個(gè)月完工，通過技術(shù)創(chuàng)新提前5個(gè)月完工為等量關(guān)系即可列出二元一次方程組，求解即可求出結(jié)果．
【解答】解：設(shè)甲工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建xkm，乙工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建ykm，
根據(jù)題意得，150=30(x+y)150=(30?5)[(1+50%)x+y]，
解得x=2y=3，
答：甲工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建2 km，乙工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建3 km．
5．（2021?徐州）某網(wǎng)店開展促銷活動(dòng)，其商品一律按8折銷售，促銷期間用400元在該網(wǎng)店購(gòu)得某商品的數(shù)量較打折前多出2件．問：該商品打折前每件多少元？
【分析】設(shè)該商品打折前每件x元，則打折后每件0.8x元，400元該商品打折前可購(gòu)400x件，打折后可購(gòu)4000.8x件，根據(jù)“用400元在該網(wǎng)店購(gòu)得某商品的數(shù)量較打折前多出2件”列出方程，解方程求出x問題得解．
【解答】解：設(shè)該商品打折前每件x元，則打折后每件0.8x元，
根據(jù)題意得，400x+2=4000.8x，
解得，x＝50，
檢驗(yàn)：經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解．
答：該商品打折前每件50元．
6．（2021?常州）為落實(shí)節(jié)約用水的政策，某旅游景點(diǎn)進(jìn)行設(shè)施改造，將手?jǐn)Q水龍頭全部更換成感應(yīng)水龍頭．已知該景點(diǎn)在設(shè)施改造后，平均每天用水量是原來(lái)的一半，20噸水可以比原來(lái)多用5天．該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水多少噸？
【分析】設(shè)該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水x噸，則在改造前平均每天用水2x噸，根據(jù)“20噸水可以比原來(lái)多用5天”列出方程并解答．
【解答】解：設(shè)該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水x噸，則在改造前平均每天用水2x噸，
根據(jù)題意，得20x?202x=5．
解得x＝2．
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝2是原方程的解，且符合題意．
答：該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水2噸．
7．（2021?無(wú)錫）為了提高廣大職工對(duì)消防知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)職工的消防意識(shí)，某單位工會(huì)決定組織消防知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，本次活動(dòng)擬設(shè)一、二等獎(jiǎng)若干名，并購(gòu)買相應(yīng)獎(jiǎng)品．現(xiàn)有經(jīng)費(fèi)1275元用于購(gòu)買獎(jiǎng)品，且經(jīng)費(fèi)全部用完，已知一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)與二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)之比為4：3．當(dāng)用600元購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品時(shí)，共可購(gòu)買一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品25件．
（1）求一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)；
（2）若購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購(gòu)買方式？
【分析】（1）設(shè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為4x元，則二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為3x元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出x的值，再將其代入4x，3x中即可求出結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品m件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品n件，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)且4≤m≤10，即可得出各購(gòu)買方案．
【解答】解：（1）設(shè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為4x元，則二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為3x元，
依題意得：6004x+1275?6003x=25，
解得：x＝15，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的解，且符合題意，
∴4x＝60，3x＝45．
答：一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為60元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為45元．
（2）設(shè)購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品m件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品n件，
依題意得：60m+45n＝1275，
∴n=85?4m3．
∵m，n均為正整數(shù)，且4≤m≤10，
∴m=4n=23或m=7n=19或m=10n=15，
∴共有3種購(gòu)買方案，
方案1：購(gòu)買4件一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品，23件二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品；
方案2：購(gòu)買7件一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品，19件二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品；
方案3：購(gòu)買10件一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品，15件二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品．
8．（2021?揚(yáng)州）為保障新冠病毒疫苗接種需求，某生物科技公司開啟“加速”模式，生產(chǎn)效率比原先提高了20%，現(xiàn)在生產(chǎn)240萬(wàn)劑疫苗所用的時(shí)間比原先生產(chǎn)220萬(wàn)劑疫苗所用的時(shí)間少0.5天．問原先每天生產(chǎn)多少萬(wàn)劑疫苗？
【分析】設(shè)原先每天生產(chǎn)x萬(wàn)劑疫苗，根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)240萬(wàn)劑疫苗所用的時(shí)間比原先生產(chǎn)220萬(wàn)劑疫苗所用的時(shí)間少0.5天可得方程，解之即可．
【解答】解：設(shè)原先每天生產(chǎn)x萬(wàn)劑疫苗，
由題意可得：240(1+20%)x+0.5=220x，
解得：x＝40，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝40是原方程的解，
∴原先每天生產(chǎn)40萬(wàn)劑疫苗．
9．（2020?常州）某水果店銷售蘋果和梨，購(gòu)買1千克蘋果和3千克梨共需26元，購(gòu)買2千克蘋果和1千克梨共需22元．
（1）求每千克蘋果和每千克梨的售價(jià)；
（2）如果購(gòu)買蘋果和梨共15千克，且總價(jià)不超過100元，那么最多購(gòu)買多少千克蘋果？
【分析】（1）設(shè)每千克蘋果的售價(jià)為x元，每千克梨的售價(jià)為y元，根據(jù)“購(gòu)買1千克蘋果和3千克梨共需26元，購(gòu)買2千克蘋果和1千克梨共需22元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)買m千克蘋果，則購(gòu)買（15﹣m）千克梨，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量結(jié)合總價(jià)不超過100元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)每千克蘋果的售價(jià)為x元，每千克梨的售價(jià)為y元，
依題意，得：x+3y=262x+y=22，
解得：x=8y=6．
答：每千克蘋果的售價(jià)為8元，每千克梨的售價(jià)為6元．
（2）設(shè)購(gòu)買m千克蘋果，則購(gòu)買（15﹣m）千克梨，
依題意，得：8m+6（15﹣m）≤100，
解得：m≤5．
答：最多購(gòu)買5千克蘋果．
10．（2020?淮安）某停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：中型汽車的停車費(fèi)為15元/輛，小型汽車的停車費(fèi)為8元/輛．現(xiàn)在停車場(chǎng)內(nèi)停有30輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費(fèi)324元，求中、小型汽車各有多少輛？
【分析】設(shè)中型汽車有x輛，小型汽車有y輛，根據(jù)“停車場(chǎng)內(nèi)停有30輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費(fèi)324元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)中型汽車有x輛，小型汽車有y輛，
依題意，得：x+y=3015x+8y=324，
解得：x=12y=18．
答：中型汽車有12輛，小型汽車有18輛．
11．（2020?揚(yáng)州）如圖，某公司會(huì)計(jì)欲查詢乙商品的進(jìn)價(jià)，發(fā)現(xiàn)進(jìn)貨單已被墨水污染．
進(jìn)貨單
商品采購(gòu)員李阿姨和倉(cāng)庫(kù)保管員王師傅對(duì)采購(gòu)情況回憶如下：
李阿姨：我記得甲商品進(jìn)價(jià)比乙商品進(jìn)價(jià)每件高50%．
王師傅：甲商品比乙商品的數(shù)量多40件．
請(qǐng)你求出乙商品的進(jìn)價(jià)，并幫助他們補(bǔ)全進(jìn)貨單．
【分析】設(shè)乙商品的進(jìn)價(jià)為x元/件，則甲商品的進(jìn)價(jià)為（1+50%）x元/件，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合購(gòu)進(jìn)的甲商品比乙商品多40件，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出x的值，再將其分別代入（1+50%）x，3200x，7200(1+50%)x中即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)乙商品的進(jìn)價(jià)為x元/件，則甲商品的進(jìn)價(jià)為（1+50%）x元/件，
依題意，得：7200(1+50%)x?3200x=40，
解得：x＝40，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是原方程的解，且符合題意，
∴（1+50%）x＝60，3200x=80，7200(1+50%)x=120．
答：甲商品的進(jìn)價(jià)為60元/件，乙商品的進(jìn)價(jià)為40元/件，購(gòu)進(jìn)甲商品120件，購(gòu)進(jìn)乙商品80件．
12．（2020?揚(yáng)州）閱讀感悟：
有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：
已知實(shí)數(shù)x、y滿足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．
解決問題：
（1）已知二元一次方程組2x+y=7，x+2y=8，則x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？
（3）對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，定義新運(yùn)算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ﹣11 ．
【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用13（①+②）可得出x+y的值；
（2）設(shè)鉛筆的單價(jià)為m元，橡皮的單價(jià)為n元，日記本的單價(jià)為p元，根據(jù)“買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元”，即可得出關(guān)于m，n，p的三元一次方程組，由2×①﹣②可得m+n+p的值，再乘5即可求出結(jié)論；
（3）根據(jù)新運(yùn)算的定義可得出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，即1*1的值．
【解答】解：（1）2x+y=7①x+2y=8②．
由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
由13（①+②）可得：x+y＝5．
故答案為：﹣1；5．
（2）設(shè)鉛筆的單價(jià)為m元，橡皮的單價(jià)為n元，日記本的單價(jià)為p元，
依題意，得：20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，
由2×①﹣②可得m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30．
答：購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．
（3）依題意，得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案為：﹣11．
13．（2020?徐州）本地某快遞公司規(guī)定：寄件不超過1千克的部分按起步價(jià)計(jì)費(fèi)：寄件超過1千克的部分按千克計(jì)費(fèi)．小麗分別寄快遞到上海和北京，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)及實(shí)際收費(fèi)如下表：
收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)
實(shí)際收費(fèi)
求a，b的值．
【分析】根據(jù)小麗分別寄快遞到上海和北京的快遞質(zhì)量和費(fèi)用，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：依題意，得：a+(2?1)b=9a+3+(3?1)(b+4)=22，
解得：a=7b=2．
答：a的值為7，b的值為2．
14．（2020?連云港）甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關(guān)”捐款活動(dòng)，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話：
（1）甲、乙兩公司各有多少人？
（2）現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購(gòu)買A、B兩種防疫物資，A種防疫物資每箱15000元，B種防疫物資每箱12000元．若購(gòu)買B種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購(gòu)買方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來(lái)（注：A、B兩種防疫物資均需購(gòu)買，并按整箱配送）．
【分析】（1）設(shè)甲公司有x人，則乙公司有（x+30）人，根據(jù)乙公司的人均捐款數(shù)是甲公司的76倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)買A種防疫物資m箱，購(gòu)買B種防疫物資n箱，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，再結(jié)合n≥10且m，n均為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買方案．
【解答】解：（1）設(shè)甲公司有x人，則乙公司有（x+30）人，
依題意，得：100000x×76=140000x+30，
解得：x＝150，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝150是原方程的解，且符合題意，
∴x+30＝180．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）設(shè)購(gòu)買A種防疫物資m箱，購(gòu)買B種防疫物資n箱，
依題意，得：15000m+12000n＝100000+140000，
∴m＝16?45n．
又∵n≥10，且m，n均為正整數(shù)，
∴m=8n=10，m=4n=15，
∴有2種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)買8箱A種防疫物資，10箱B種防疫物資；方案2：購(gòu)買4箱A種防疫物資，15箱B種防疫物資．
增長(zhǎng)率等量關(guān)系
1.增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)量÷基礎(chǔ)量．
2.設(shè)為原來(lái)量，為平均增長(zhǎng)率，為增長(zhǎng)次數(shù)，為增長(zhǎng)后的量，則；當(dāng)為平均下降率時(shí)，則有．
利潤(rùn)等量關(guān)系
1.利潤(rùn)=售價(jià)－成本．
2.利潤(rùn)率=×100％．
面積問題
1.類型1：如圖1所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．
2.類型2：如圖2所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．
3.類型3：如圖3所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．

圖1 圖2 圖3
碰面問題（循環(huán)問題）
1.重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m=n（n－1）
2.不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次為m=n（n－1）
批發(fā)價(jià)（元）
零售價(jià)（元）
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
型號(hào)
成本（萬(wàn)元/臺(tái)）
售價(jià)（萬(wàn)元/臺(tái)）
A
2
2.4
B
2.5
3
白色文化衫
黑色文化衫
成本（元）
25
28
售價(jià)（元）
31
36
進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）
售價(jià)（元/個(gè)）
冰墩墩
30
45
雪容融
25
35
商品
進(jìn)價(jià)（元/件）
數(shù)量（件）
總金額（元）
甲
7200
乙
3200
目的地
起步價(jià)（元）
超過1千克的部分（元/千克）
上海
a
b
北京
a+3
b+4
目的地
質(zhì)量
費(fèi)用（元）
上海
2
9
北京
3
22

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