?題型三 方程應用
類型一 一次方程及不等式
1.《九章算術》是中國古代的一部數(shù)學專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海．現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時起飛，問經(jīng)過多少天相遇？設經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意可列方程為（?????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設總路程為1，野鴨每天飛，大雁每天飛，當相遇的時候，根據(jù)野鴨的路程+大雁的路程=總路程即可得出答案．
【詳解】解：設經(jīng)過x天相遇，
根據(jù)題意得：x+x=1，∴（+）x=1，故選：A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，本題的本質(zhì)是相遇問題，根據(jù)等量關系：野鴨的路程+大雁的路程=總路程列出方程是解題的關鍵．
2.《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何．”設雞有x只，可列方程為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設雞有x只，則兔子有（35-x）只，根據(jù)足共有94列出方程即可．
【詳解】解：設雞有x只，則兔子有（35-x）只，
根據(jù)題意可得：2x+4(35-x)=94，故選：D．
【點睛】題目主要考查一元一次方程的應用，理解題意列出方程是解題關鍵．
3.古埃及人的“紙草書”中記載了一個數(shù)學問題：一個數(shù)，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是33，若設這個數(shù)是，則所列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意列方程．
【詳解】
解：由題意可得．
故選C
【點睛】
本題考查了一元一次方程的應用，找等量關系是解題的關鍵．
4.我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果一間客房住9人，那么就空出一間客房，若設該店有客房x間，房客y人，則列出關于x、y的二元一次方程組正確的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程組即可．
【詳解】解：設該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：，故選：B．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用；根據(jù)題意得出方程組是解決問題的關鍵．
5．“市長杯”青少年校園足球聯(lián)賽的比賽規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．某校足球隊在第一輪比賽中賽了9場，只負了2場，共得17分．那么該隊勝了幾場，平了幾場？設該隊勝了x場，平了y場，根據(jù)題意可列方程組為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意知：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某校足球隊在第一輪比賽中賽了9場，只負了2場，共得17分等量關系：勝場平場負場，得分總和為17．
【詳解】解：設該隊勝了x場，平了y場，
根據(jù)題意，可列方程組為：，故選：A．
【點睛】根據(jù)實際問題中的條件列方程組時，解題的關鍵是要注意抓住題目中的一些關鍵性詞語，找出等量關系，列出方程組．
6.我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術》中有這樣一題，原文是：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？”意思是：今有人合伙購物，每人出八錢，會多三錢；每人出七錢，又差四錢．問人數(shù)、物價各多少？設人數(shù)為人，物價為錢，下列方程組正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)題設人數(shù)為ｘ人，物價為ｙ錢，抓住等量關系每人出八錢8x剩三錢；每人出七錢7x少4錢，列方程組即可．
【詳解】
解：由題設人數(shù)為ｘ人，物價為ｙ錢，
由每人出八錢，會多三錢；總錢數(shù)y=8x-3,
每人出七錢，又差四錢；總錢數(shù)y=7x+4，
∴聯(lián)立方程組為．
故選：A．
【點睛】
本題考查列二元一次方程組解應用題，掌握列二元一次方程組解應用題的方法與步驟，抓住等量關系：每人出八錢8x剩三錢；每人出七錢7x少4錢列方程組是解題關鍵．
7.為迎接2022年北京冬奧會，某校開展了以迎冬奧為主題的演講活動，計劃拿出180 元錢全部用于購買甲、乙兩種獎品（兩種獎品都購買），獎勵表現(xiàn)突出的學生，已知甲種獎品每件15元，乙種獎品每件10元，則購買方案有（ ）
A．5種 B．6種 C．7種 D．8種
【答案】A
【分析】
設購買甲種獎品為x件，乙種獎品為y件，由題意可得，進而求解即可．
【詳解】
解：設購買甲種獎品為x件，乙種獎品為y件，由題意可得：
，
∴，
∵，且x、y都為正整數(shù)，
∴當時，則；
當時，則；
當時，則；
當時，則；
當時，則；
∴購買方案有5種；
故選A．
【點睛】
本題主要考查二元一次方程的應用，正確理解題意、掌握求解的方法是解題的關鍵．
8.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“粟米之法：粟率五十；糲米三十．今有米在十斗桶中，不知其數(shù)．滿中添粟而春之，得米七斗．問故米幾何？”意思為：50斗谷子能出30斗米，即出米率為．今有米在容量為10斗的桶中，但不知道數(shù)量是多少．再向桶中加滿谷子，再春成米，共得米7斗．問原來有米多少斗？如果設原來有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程組為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意列出方程組即可；
【詳解】原來有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量為10斗，則；
已知谷子出米率為，則來年共得米；則可列方程組為，故選A．
【點睛】本題考查了根據(jù)實際問題列出二元一次方程組，題目較簡單，根據(jù)題意正確列出方程即可．
9．《孫子算經(jīng)》是我國古代經(jīng)典數(shù)學名著，其中有一道“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞兔各幾何？”學了方程（組）后，我們可以非常順捷地解決這個問題，如果設雞有只，兔有只，那么可列方程組為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】一只雞1個頭2個足，一只兔1個頭4個足，利用共35頭，94足，列方程組即可
【詳解】一只雞1個頭2個足，一只兔1個頭4個足
設雞有只，兔有只 由35頭，94足，得：故選：D
【點睛】本題考查方程組的實際應用，注意結(jié)合實際情況，即一只雞1個頭2個足，一只兔1個頭4個足，去列方程
10．中國清代算書《御制數(shù)理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（‘兩’為我國古代貨幣單位）；馬二匹、牛五頭，共價三十八兩，閥馬、牛各價幾何？”設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設馬每匹x兩，牛每頭y兩，由“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩”可得，根據(jù)“馬二匹、牛五頭，共價三十八兩，”可得，即可求解．
【詳解】解：設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可得故選B
【點睛】本題考查了列二元一次方程組，理解題意列出方程組是解題的關鍵．
11．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個題目：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，四文錢買苦果七，十一文錢九個甜，甜苦兩果各幾個？其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個苦果和甜果，其中四文錢可以買苦果七個，十一文錢可以買甜果九個．問：苦、甜果各有幾個？設苦果有個，甜果有個，則可列方程組為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可以列出相應的方程組，從而可以解答本題．
【詳解】解：設苦果有個，甜果有個，由題意可得，
故選：A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組的有關知識，正確找到相等關系是解決本題的關鍵．
12.我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齊足”其大意是：“牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知與多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若設有牧童x人，根據(jù)題意，可列方程為__________．
【答案】6x+14=8x
【分析】
設有牧童x人，根據(jù)“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的總數(shù)不變，列出方程，即可．
【詳解】
解：設有牧童x人，
根據(jù)題意得：6x+14=8x，
故答案是：6x+14=8x．
【點睛】
本題主要考查一元一次方程的實際應用，根據(jù)等量關系，列出方程，是解題的關鍵．
13.某酒店客房都有三人間普通客房，雙人間普通客房，收費標準為：三人間150元/間，雙人間140元/間．為吸引游客，酒店實行團體入住五折優(yōu)惠措施，一個46人的旅游團，優(yōu)惠期間到該酒店入住，住了一些三人間普通客房和雙人間普通客房，若每間客房正好住滿，且一天共花去住宿費1310元，則該旅游團住了三人間普通客房和雙人間普通客房共________間；
【答案】18．
【分析】
根據(jù)客房數(shù)×相應的收費標準=1310元列出方程并解答．
【詳解】
解：設住了三人間普通客房x間，則住了兩人間普通客房間，由題意，得：
+=1310，
解得：x=10，
則：=8，
所以，這個旅游團住了三人間普通客房10間，住了兩人間普通客房8間，共18間．
故答案為：18．
【點睛】
本題考查了一元一次方程的應用，弄清題意，找出合適的等量關系，利用已知得出等式方程是解題關鍵．
14.某學校計劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購買獎品．已知購買2個種獎品和4個種獎品共需100元；購買5個種獎品和2個種獎品共需130元．學校準備購買兩種獎品共20個，且種獎品的數(shù)量不小于種獎品數(shù)量的，則在購買方案中最少費用是_____元．
【答案】330
【分析】
設A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，根據(jù)“購買2個A種獎品和4個種獎品共需100元；購買5個A種獎品和2個種獎品共需130元”，即可得出關于A，B的二元一次方程組，在設購買A種獎品m個，則購買B種獎品(20-m)個，根據(jù)購買A種獎品的數(shù)量不少于B種獎品數(shù)量的，即可得出關于m的一元一次不等式，再結(jié)合費用總量列出一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)果．
【詳解】
解：設A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，
依題意，得：，
解得：
∴A種獎品的單價為20元，B種獎品的單價為15元．
設購買A種獎品m個，則購買B種獎品 個，根據(jù)題意得到不等式：
m≥(20-m)，解得：m≥，
∴≤m≤20，
設總費用為W，根據(jù)題意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，
∴W隨m的減小而減小，
∴當m=6時，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
則在購買方案中最少費用是330元．
故答案為：330．
【點睛】
本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式與一次函數(shù)．
15.泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購進了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費6000元；第二次購進時，兩種茶每盒的價格都提高了20%，該店又購進了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費5100元．求第一次購進的A、B兩種茶每盒的價格．
【答案】A種茶每盒100元，B種茶每盒150元
【分析】設第一次購進A種茶每盒x元，B種茶每盒y元，根據(jù)第一次購進了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費6000元；第二次購進時，兩種茶每盒的價格都提高了20%，該店又購進了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費5100元列出方程組求解即可．
【詳解】解：設第一次購進A種茶每盒x元，B種茶每盒y元，
根據(jù)題意，得解，得
A種茶每盒100元，B種茶每盒150元．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，正確設出未知數(shù)列出方程組求解是解題的關鍵．
16.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？”其大意是：今有幾個人共同出錢購買一件物品．每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4錢．問人數(shù)、物品價格各是多少？請你求出以上問題中的人數(shù)和物品價格．
【答案】有7人，物品價格是53錢
【分析】設人數(shù)為人，根據(jù)“物品價格=8×人數(shù)-多余錢數(shù)=7×人數(shù)+缺少的錢數(shù)”可得方程，求解方程即可．
【詳解】解：設人數(shù)為人，由題意得
，解得．
所以物品價格是．
答：有7人，物品價格是53錢．
【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次方程，由實際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關系．
17.小強的爸爸平常開車從家中到小強奶奶家，勻速行駛需要4小時，某天，他們以平常的速度行駛了的路程時遇到了暴雨，立即將車速減少了20千米／小時，到達奶奶家時共用了5小時，問小強家到他奶奶家的距離是多少千米？
【答案】240千米
【分析】平常速度行駛了的路程用時為2小時，后續(xù)減速后用了3小時，用遇到暴雨前行駛路程加上遇到暴雨后行駛路程等于總路程這個等量關系列出方程求解即可．
【詳解】解：設小強家到他奶奶家的距離是千米，則平時每小時行駛千米，減速后每小時行駛千米，由題可知：遇到暴雨前用時2小時，遇到暴雨后用時5-2=3小時，
則可得：，解得：，
答：小強家到他奶奶家的距離是240千米．
【點睛】本題考查了一元一次方程應用中的行程問題，直接設未知數(shù)法，找到準確的等量關系，列出方程正確求解是解題的關鍵．
18.為了提倡節(jié)約用水，某市制定了兩種收費方式：當每戶每月用水量不超過時，按一級單價收費；當每戶每月用水量超過時，超過部分按二級單價收費．已知李阿姨家五月份用水量為，繳納水費32元．七月份因孩子放假在家，用水量為，繳納水費51.4元．
（1）問該市一級水費，二級水費的單價分別是多少？
（2）某戶某月繳納水費為64.4元時，用水量為多少？
【答案】（1）一級水費的單價為3.2元/，二級水費的單價為6.5元/；（2）
【分析】
（1）設該市一級水費的單價為元/，二級水費的單價為元/，根據(jù)題意，列出二元一次方程組，即可求解；
（2）先判斷水量超過，設用水量為，列出方程，即可求解.
【詳解】
（1）設該市一級水費的單價為元/，二級水費的單價為元/，
依題意得，解得，
答：該市一級水費的單價為3.2元/，二級水費的單價為6.5元/．
（2）當水費為64.4元，則用水量超過，
設用水量為，得，，
解得：．
答：當繳納水費為64.4元時，用水量為．
【點睛】
本題主要考查二元一次方程組以及一元一次方程的實際應用，找準等量關系，列出方程（組），是解題的關鍵.
19.為了改善湘西北地區(qū)的交通，我省正在修建長（沙）-益（陽）-常（德）高鐵，其中長益段將于2021年底建成．開通后的長益高鐵比現(xiàn)在運行的長益城際鐵路全長縮短了40千米，運行時間為16分鐘；現(xiàn)乘坐某次長益城際列車全程需要60分鐘，平均速度是開通后的高鐵的．
（1）求長益段高鐵與長益城際鐵路全長各為多少千米？
（2）甲、乙兩個工程隊同時對長益段高鐵全線某個配套項目進行施工，每天對其施工的長度比為7：9，計劃40天完成．施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊提高工效，以確保整個工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程隊后期每天至少施工多少千米？
【答案】（1）長益段高鐵全長為64千米，長益城際鐵路全長為104千米；（2）千米．
【分析】
（1）設開通后的長益高鐵的平均速度為千米/分鐘，從而可得某次長益城際列車的平均速度為千米/分鐘，再根據(jù)“路程速度時間”、“開通后的長益高鐵比現(xiàn)在運行的長益城際鐵路全長縮短了40千米”建立方程，解方程即可得；
（2）先求出甲、乙兩個工程隊每天對其施工的長度，再設甲工程隊后期每天施工千米，根據(jù)“整個工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得．
【詳解】
解：（1）設開通后的長益高鐵的平均速度為千米/分鐘，則某次長益城際列車的平均速度為千米/分鐘，
由題意得：，
解得，
則（千米），（千米），
答：長益段高鐵全長為64千米，長益城際鐵路全長為104千米；
（2）由題意得：甲工程隊每天對其施工的長度為（千米），
乙工程隊每天對其施工的長度（千米），
設甲工程隊后期每天施工千米，
則，
解得，
即，
答：甲工程隊后期每天至少施工千米．
【點睛】
本題考查了一元一次方程的應用、一元一次不等式的應用，正確建立方程和不等式是解題關鍵．
20.某電子商品經(jīng)銷店欲購進A、B兩種平板電腦，若用9000元購進A種平板電腦12臺，B種平板電腦3臺；也可以用9000元購進A種平板電腦6臺，B種平板電腦6臺．
(1)求A、B兩種平板電腦的進價分別為多少元？
(2)考慮到平板電腦需求不斷增加，該商城準備投入3萬元再購進一批兩種規(guī)格的平板電腦，已知A型平板電腦售價為700元/臺，B型平板電腦售價為1300元/臺．根據(jù)銷售經(jīng)驗，A型平板電腦不少于B型平板電腦的2倍，但不超過B型平板電腦的2.8倍．假設所進平板電腦全部售完，為使利潤最大，該商城應如何進貨？
【答案】(1)A、B兩種平板電腦的進價分別為500元、1000元
(2)為使利潤最大，購進B種平板電腦13臺，A種平板電腦34臺．
【分析】（1）設A和B的進價分別為x和y，臺數(shù)×進價=付款，可得到一個二元一次方程組，解即可．
（2）設購買B平板電腦a臺，則購進A種平板電腦臺，由題意可得到不等式組，解不等式組即可．
【解析】(1)設A、B兩種平板電腦的進價分別為x元、y元．由題意得，，
解得，答：A、B兩種平板電腦的進價分別為500元、1000元；
(2)設商店準備購進B種平板電腦a臺，則購進A種平板電腦臺，
由題意，得 ，解得12.5≤a≤15，
∵a為整數(shù)，∴a=13或14或15．
設總利潤為w，則：w=（700-500）×+（1300-1000）a=-100a+12000，
∵-100＜0，∴w隨a的增大而減小，
∴為使利潤最大，該商城應購進B種平板電腦13臺，A種平板電腦＝34臺．
答：購進B種平板電腦13臺，A種平板電腦34臺．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用以及二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程組求解．
21.“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴大糧食生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進甲、乙兩種農(nóng)機具，已知購進2件甲種農(nóng)機具和1件乙種農(nóng)機具共需萬元，購進1件甲種農(nóng)機具和3件乙種農(nóng)機具共需3萬元．
（1）求購進1件甲種農(nóng)機具和1件乙種農(nóng)機具各需多少萬元？
（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進甲、乙兩種農(nóng)機具共10件，且投入資金不少于萬元又不超過12萬元，設購進甲種農(nóng)機具件，則有哪幾種購買方案？
（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少?
【答案】（1）購進1件甲種農(nóng)機具需1.5萬元，購進1件乙種農(nóng)機具需0.5萬元；（2）購進甲種農(nóng)機具5件，乙種農(nóng)機具5件；購進甲種農(nóng)機具6件，乙種農(nóng)機具4件；購進甲種農(nóng)機具7件，乙種農(nóng)機具3件；（3）購進甲種農(nóng)機具5件，乙種農(nóng)機具5件所需資金最少，最少資金為10萬元．
【分析】
（1）設購進1件甲種農(nóng)機具需x萬元，購進1件乙種農(nóng)機具需y萬元，然后根據(jù)題意可得，進而求解即可；
（2）由（1）及題意可得購進乙種農(nóng)機具為（10-m）件，則可列不等式組為，然后求解即可；
（3）設購買農(nóng)機具所需資金為w萬元，則由（2）可得，然后結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)及（2）可直接進行求解．
【詳解】
解：（1）設購進1件甲種農(nóng)機具需x萬元，購進1件乙種農(nóng)機具需y萬元，由題意得：
，
解得：，
答：購進1件甲種農(nóng)機具需1.5萬元，購進1件乙種農(nóng)機具需0.5萬元．
（2）由題意得：購進乙種農(nóng)機具為（10-m）件，
∴，
解得：，
∵m為正整數(shù)，
∴m的值為5、6、7，
∴共有三種購買方案：
購進甲種農(nóng)機具5件，乙種農(nóng)機具5件；購進甲種農(nóng)機具6件，乙種農(nóng)機具4件；購進甲種農(nóng)機具7件，乙種農(nóng)機具3件；．
（3）設購買農(nóng)機具所需資金為w萬元，則由（2）可得，
∵1＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當m=5時，w的值最小，最小值為w=5+5=10，
答：購進甲種農(nóng)機具5件，乙種農(nóng)機具5件所需資金最少，最少資金為10萬元．
【點睛】
本題主要考查一次函數(shù)、二元一次方程組及一元一次不等式組的應用，熟練掌握一次函數(shù)、二元一次方程組及一元一次不等式組的應用是解題的關鍵．
22.某學校要購買甲、乙兩種消毒液，用于預防新型冠狀病霉．若購買9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，則一共需要615元：若購買8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，則一共需要780元．(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的價格分別是多少元？(2)若該校計劃購買甲、乙兩種消毒液共30桶，其中購買甲消毒液a桶，且甲消毒液的數(shù)量至少比乙消毒液的數(shù)量多5桶，又不超過乙消毒液的數(shù)量的2倍．怎樣購買．才能使總費用W最少？并求出最少費用，
【答案】(1)每桶甲消毒液的價格是45元、每桶乙消毒液的價格是35元；
(2)當甲消毒液購買18桶，乙消毒液購買12桶時，所需資金總額最少，最少總金額是1230元．
【分析】（1）設每桶甲消毒液的價格是a元、每桶乙消毒液的價格是b元，根據(jù)題意列二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）根據(jù)題意可得出關于a的一元一次不等式組 ，解之即可得出a的取值范圍，再根據(jù)所需資金總額=甲種消毒液的價格×購進數(shù)量+乙種消毒液的價格×購進數(shù)量，即可得出W關于a的函數(shù)關系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解析】 (1)解：設每桶甲消毒液的價格是a元、每桶乙消毒液的價格是b元，
依題意，得：，解得：，
答：每桶甲消毒液的價格是45元、每桶乙消毒液的價格是35元；
(2)解：購買甲消毒液a桶，則購買乙消毒液(30-a)桶，
依題意，得：(30-a)+5≤a≤2(30-a)，解得17.5≤a≤20，而W=45a+35(30-a)=10a+1050，
∵10＞0，∴W隨a的增大而增大，
∴當a=18時，W取得最小值，最小值為10×18+1050=1230，此時30－18＝12，
答：當甲消毒液購買18桶，乙消毒液購買12桶時，所需資金總額最少，最少總金額是1230元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，找出w關于a的函數(shù)關系式．
23.某快遞公司為了提高工作效率，計劃購買、兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺型機器人比每臺型機器人每天多搬運20噸，并且3臺型機器人和2臺型機器人每天共搬運貨物460噸．
（1）求每臺型機器人和每臺型機器人每天分別微運貨物多少噸？
（2）每臺型機器人售價3萬元，每臺型機器人售價2萬元，該公司計劃采購、兩種型號的機器人共20臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于1800噸，請根據(jù)以上要求，求出、兩種機器人分別采購多少臺時，所需費用最低﹖最低費用是多少？
【答案】（1）每臺A型機器人每天分別微運貨物100噸，每臺B型機器人每天分別微運貨物80噸；（2）購買10臺A型機器人，10臺B型機器人時，所需費用最低，最低費用為50萬元．
【分析】
（1）設每臺A型機器人每天分別微運貨物x噸，每臺B型機器人每天分別微運貨物y噸，根據(jù)“每臺型機器人比每臺型機器人每天多搬運20噸，并且3臺型機器人和2臺型機器人每天共搬運貨物460噸”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設購買m臺A型機器人，則購買（20-m）臺B型機器人，根據(jù)這些機器人每天搬運的貨物不低于1800噸，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設該公司計劃采購、兩種型號的機器人所需費用為w萬元，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，即可得出w關于m的函數(shù)關系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
【詳解】
解：（1）設每臺A型機器人每天分別微運貨物x噸，每臺B型機器人每天分別微運貨物y噸，根據(jù)題意得：
，
解得：．
答：每臺A型機器人每天分別微運貨物100噸，每臺B型機器人每天分別微運貨物80噸．
（2）設購買m臺A型機器人，則購買（20-m）臺B型機器人，根據(jù)題意得：
100m+80（20-m）≥1800，
解得：m≥10．
設該公司計劃采購、兩種型號的機器人所需費用為w萬元，則w=3m+2（20-m）=m+40，
∵k=1＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當m=10時，w有最小值，且最小值為w=10+40=50（萬元），
此時20-m=10．
所以，購買10臺A型機器人，10臺B型機器人時，所需費用最低，最低費用為50萬元．
【點睛】
本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式以及一次函數(shù)的應用，讀懂題意，找到關鍵描述語句，找準等量關系，正確列出二元一次方程組及一元一次不等式是解題的關鍵．
24.2020年5月，全國“兩會”召開以后，應勢復蘇的“地攤經(jīng)濟”帶來了市場新活力，小丹準備購進A、B兩種類型的便攜式風扇到地攤一條街出售．已知2臺A型風扇和5臺B型風扇進價共100元，3臺A型風扇和2臺B型風扇進價共62元．
（1）求A型風扇、B型風扇進貨的單價各是多少元？
（2）小丹準備購進這兩種風扇共100臺，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A型風扇銷售情況比B型風扇好，小丹準備多購進A型風扇，但數(shù)量不超過B型風扇數(shù)量的3倍，購進A、B兩種風扇的總金額不超過1170元．根據(jù)以上信息，小丹共有哪些進貨方案？
【答案】（1）A型風扇、B型風扇進貨的單價各是10元和16元；（2）丹4種進貨方案分別是：①進A型風扇72臺，B型風扇28臺；②進A型風扇73臺，B型風扇27臺；③進A型風扇74臺，B型風扇26臺；①進A型風扇75臺，B型風扇24臺．
【解析】
【分析】
（1）設A型風扇、B型風扇進貨的單價各是x元和y元，再根據(jù)“2臺A型風扇和5臺B型風扇進價共100元”和“ 3臺A型風扇和2臺B型風扇進價共62元”兩個等量關系列二元一次方程組解答即可；
（2）設購進A型風扇a臺、則B型風扇購進（100-a）臺，再根據(jù) “購進A、B兩種風扇的總金額不超過1170元”和“A型風扇不超過B型風扇數(shù)量的3倍”兩個不等關系列不等式組求出a的整數(shù)解的個數(shù)即可．
【詳解】
解：（1）設A型風扇、B型風扇進貨的單價各是x元和y元
由題意得： ，解得
答：A型風扇、B型風扇進貨的單價各是10元和16元；
（2）設購進A型風扇a臺、則B型風扇購進（100-a）臺
有題意得，解得：
∴a可以取72、73、74、75
∴小丹4種進貨方案分別是：①進A型風扇72臺，B型風扇28臺；②進A型風扇73臺，B型風扇27臺；③進A型風扇74臺，B型風扇26臺；①進A型風扇75臺，B型風扇24臺．
【點睛】
本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，根據(jù)題意確定等量關系和不等關系是解答本題的關鍵．
25.某農(nóng)谷生態(tài)園響應國家發(fā)展有機農(nóng)業(yè)政策，大力種植有機蔬菜，某超市看好甲、乙兩種有機蔬菜的市場價值，經(jīng)調(diào)查甲種蔬菜進價每千克元，售價每千克元；乙種蔬菜進價每千克元，售價每千克元．
（1）該超市購進甲種蔬菜千克和乙種蔬菜千克需要元；購進甲種蔬菜千克和乙種蔬菜千克需要元．求，的值．
（2）該超市決定每天購進甲、乙兩種蔬菜共千克，且投入資金不少于元又不多于元，設購買甲種蔬菜千克，求有哪幾種購買方案
（3）在（2）的條件下，超市在獲得的利潤取得最大值時，決定售出的甲種蔬菜每千克捐出元，乙種蔬菜每千克捐出元給當?shù)馗＠海粢ＷC捐款后的利潤率不低于，求的最大值．
【答案】（1）、的值分別為和；（2）共3種方案分別為：方案一購甲種蔬菜千克，乙種蔬菜千克；方案二購甲種蔬菜千克，乙種蔬菜千克；方案三購甲種蔬菜千克，乙種蔬菜千克；（3）的最大值為
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意可以列出相應的二元一次方程組，從而可以求得m、n的值；
（2）根據(jù)題意，列出一元一次不等式組，解方程組即可得到購買方案；
（3）分別求出三種方案的利潤，然后列出不等式，即可求出答案．
【詳解】
解：（1）由題意得
，
解得：；
答：、的值分別為和；
（2）根據(jù)題意，
解得：，
因為是整數(shù)
所以為、、；
∴共3種方案，分別為：
方案一購甲種蔬菜千克，乙種蔬菜千克；
方案二購甲種蔬菜千克，乙種蔬菜千克；
方案三購甲種蔬菜千克，乙種蔬菜千克；
（3）方案一的利潤為：元，
方案二的利潤為：元，
方案三的利潤為：元，
利潤最大值為元，甲售出，乙售出，
∴
解得：
答：的最大值為；
【點睛】
本題考查了二元一次方程組的應用、解一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確題意，利用二元一次方程組，以及不等式組的知識解答．
26.習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某校為提高學生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得第十屆矛盾文學獎的《北上》（徐則臣著）和《牽風記》（徐懷中著）兩種書共50本．已知購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元；購買6本《北上》與購買7本《牽風記》的價格相同．
（1）求這兩種書的單價；
（2）若購買《北上》的數(shù)量不少于所購買《牽風記》數(shù)量的一半，且購買兩種書的總價不超過1600元．請問有哪幾種購買方案？哪種購買方案的費用最低？最低費用為多少元？
【答案】（1）兩種書的單價分別為35元和30元；（2）共有4種購買方案分別為：購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為17本和33本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為18本和32本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為19本和31本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為20本和30本；其中購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為17本和33本費用最低，最低費用為1585元．
【解析】
【分析】
（1）設購買《北上》和《牽風記》的單價分別為x、y，根據(jù)“購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元”和“ 購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元”建立方程組求解即可；
（2）設購買《北上》的數(shù)量n本，則購買《牽風記》的數(shù)量為50-n，根據(jù)“購買《北上》的數(shù)量不少于所購買《牽風記》數(shù)量的一半”和“購買兩種書的總價不超過1600元”兩個不等關系列不等式組解答并確定整數(shù)解即可．
【詳解】
解：（1）設購買《北上》和《牽風記》的單價分別為x、y
由題意得： 解得
答：兩種書的單價分別為35元和30元；
（2）設購買《北上》的數(shù)量n本，則購買《牽風記》的數(shù)量為50-n
根據(jù)題意得解得：
則n可以取17、18、19、20，
當n=17時，50-n=33，共花費17×35+33×30=1585元；
當n=18時，50-n=32，共花費17×35+33×30=1590元；
當n=19時，50-n=31，共花費17×35+33×30=1595元；
當n=20時，50-n=30，共花費17×35+33×30=1600元；
所以，共有4種購買方案分別為：購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為17本和33本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為18本和32本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為19本和31本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為20本和30本；其中購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為17本和33本費用最低，最低費用為1585元．
【點睛】
本題考查了二元一次方程組和不等式組的應用，弄清題意、確定等量關系和不等關系是解答本題的關鍵．

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