集合 1
充分條件與必要條件；全稱量詞與存在量詞 10
不等式性質(zhì)與基本不等式 16
二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 23
函數(shù)的概念及其表示 29
函數(shù)的基本性質(zhì) 38
冪函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用（一） 48
指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 55
對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 63
函數(shù)的應(yīng)用（二） 73
任意角和弧度制 81
三角函數(shù)的概念 87

集合
專題一集合的概念
1.集合的含義
元素：我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素；
集合：把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱為集）；
表示：通常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小寫拉丁字母表示集合中的元素.
2.元素與集合的關(guān)系
（1）如果是集合的元素，就說屬于，記作.
（2）如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.
3.集合中元素的特性：確定性；互異性；無序性.
4.集合的表示方法：列舉法；描述法；Venn圖法；特殊符號(hào)表示法.
—不含任何元素的集合叫做空集.
題型1 元素與集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用
例1.（多選題）下列選項(xiàng)中是集合中的元素的是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)1. 已知均為非零實(shí)數(shù)，集合，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
例2.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
練習(xí)2.若，則實(shí)數(shù)_____________.
題型2已知相等集合求參數(shù)
例3.設(shè),若集合，則=______.
練習(xí)3.含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合滿足，則=（ ）
A. B. C. D.
題型3集合的表示方法
例4.若集合,集合,則B=( )
A. B. C. D.
練習(xí)4.將集合用列舉法表示為______________________.
題型4集合與方程的綜合問題
例5.若集合中只有一個(gè)元素，則=( )
A.4 B.2 C.0 D.0或4
練習(xí)5.若集合中至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略集合中元素的互異性
例6.已知集合，且,則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A.3 B.2 C.0或3 D.0或2或3
易錯(cuò)點(diǎn)2.忽略元素的形式
例7.集合的元素個(gè)數(shù)是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
專題二集合的基本關(guān)系
1.子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作(或)讀作“A包含于B”（或“B包含A”）.
2.集合相等：一般地，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A=B.也就是說，若，且，則A=B.
3.真子集：如果集合，存在元素,就稱集合A是集合B的真子集，記作(或)，讀作“A真包含于B”（或“B真包含A”）.
4.空集：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
題型1 集合間的關(guān)系判斷
例1.關(guān)于以下集合關(guān)系表示不正確的是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)1.已知集合,,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
題型2 由集合間關(guān)系確定參數(shù)
A. B. C. D.
例2.已知集合，，若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
練習(xí)2.已知集合.
若,求實(shí)數(shù)的取值范圍；
若，且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
題型3 集合問題方程化的思想
例3.已知集合.
（1）若A是空集，求實(shí)數(shù)滿足的條件；
（2）當(dāng)A中有且只有一個(gè)元素時(shí)，求實(shí)數(shù)的值，并求此元素；
（3）當(dāng)A中至少有一個(gè)元素時(shí)，求實(shí)數(shù)滿足的條件.
易錯(cuò)點(diǎn)1.混淆屬于關(guān)系和包含關(guān)系
例4.如下四個(gè)結(jié)論中，正確的有（ ）
A. B. C. D.
易錯(cuò)點(diǎn)2.忽略對(duì)空集的討論
例5.已知集合,，若，則實(shí)數(shù)的所有可能取值組成的集合為（ ）
A. B. C. D.
易錯(cuò)點(diǎn)3.利用數(shù)軸求參數(shù)時(shí)忽略端點(diǎn)值能否取到
例6.已知集合，,若,則的取值范圍為____________.
專題三 集合的基本運(yùn)算
1.并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作,讀作“A并B”，即.如圖1
2.交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作,讀作“A交B”，即.如圖2
3.全集：一般地，如果一個(gè)集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作.
4.補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作,即,如圖3.
圖3
圖2
圖1
題型1 集合的綜合運(yùn)算
例1.已知全集，集合，,求,,.
題型2 圖示法的應(yīng)用
例2.調(diào)查50名學(xué)生對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，由如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的，贊成B的比贊成A的多3人，對(duì)A，B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A,B都贊成的學(xué)生數(shù)的多1人，問對(duì)A,B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？
練習(xí)1.某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有_______人.
題型3 已知集合間的運(yùn)算關(guān)系求參數(shù)問題
例3.設(shè)，.
(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,求實(shí)數(shù)的值.
練習(xí)2.設(shè)集合，，若,則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)3.設(shè)集合，，則使成立的的取值集合為_______________.
題型4 補(bǔ)集思想的應(yīng)用——正難則反
例4.若集合中至多有1個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
練習(xí)4.已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略元素的性質(zhì)
例5.已知,集合,,若有三個(gè)元素，則=( )
A. B. C. D.
易錯(cuò)點(diǎn)2.忽略對(duì)空集的討論
例6.已知,，若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________.

第二講充分條件與必要條件，
全稱量詞與存在量詞
充分條件與必要條件的判斷
充分條件與必要條件
充要條件的判斷
常用邏輯用語
全稱量詞與存在量詞命題
全稱量詞與存在量詞
全稱量詞與存在量詞命題的否定
專題一 充分條件與必要條件
如果，則是的充分條件，同時(shí)是的必要條件；
如果，但，則是的充分不必要條件；
如果，且，則是的充要條件；
如果，但，則是的必要不充分條件；
如果，且，則是的既不充分又不必要條件；
題型1充分條件、必要條件、充要條件的判斷
例1.設(shè)，則“”是“”的（ ）
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.既不充分也不必要條件 D.充要條件
練習(xí)1.已知，，則“”是“”的_________條件.
例2.給定三個(gè)命題若是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，則是的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
練習(xí)2.若A是B的充分條件，D是C的必要條件，C是B的充要條件，則D是A的（ ）
A.充分條件 B.必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
題型2充分條件與必要條件的探求
例3.（多選）的一個(gè)必要條件是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)3.已知集合,,則“且”成立的充要條件是（ ）
A. B. C. D.
題型3充要條件的證明
例4.求證：“”是“方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的充要條件.
題型4利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍
例5.已知，，且是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________.
練習(xí)4.設(shè)，，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
易錯(cuò)點(diǎn)1.混淆充分條件和必要條件的含義
例6.使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
易錯(cuò)點(diǎn)2.條件探求中忽視要求
例7.一次函數(shù)的圖像同時(shí)經(jīng)過第一、三、四象限的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)5.一次函數(shù)的圖像同時(shí)經(jīng)過第一、二、四象限的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
專題二全稱量詞與存在量詞
1.全稱量詞和存在量詞：
2.全稱量詞命題和存在量詞命題：
3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定：
題型1全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
例1.已知命題，命題，則（ ）
A.命題都是真命題 B.命題是真命題，是假命題
C.命題是假命題，是真命題 D.命題都是假命題
練習(xí)1.（多選）下列命題是真命題的是（ ）

存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形
在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)
題型2含有一個(gè)量詞的命題的否定
例2.寫出下列命題的否定，并判斷其真假.
（1）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；
（2）與同一條直線垂直的兩條直線平行；
（3）有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；
（4）某些平行四邊形是菱形；
練習(xí)2.已知命題則為（ ）
A. B.
C. D.
題型3與全稱量詞、存在量詞有關(guān)的參數(shù)問題
例3.已知，若和都是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
練習(xí)3.已知，若命題，命題至少有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________.
易錯(cuò)點(diǎn)1.對(duì)含有一個(gè)量詞的命題否定不完全
例4.命題“”的否定是_______________________.
易錯(cuò)點(diǎn)2.忽略否定的范圍
例5.若命題則_______________________.

第三講 不等式性質(zhì)與基本不等式
比較實(shí)數(shù)的大小
不等式性質(zhì)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用
基本不等式的變式與拓展
最值定理
基本不等式
基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
專題一不等式性質(zhì)
1.不等式的基本性質(zhì)
（1）.
（2）.
（3）.
.
（4）.
.
（5）
（6）
（7）.
（8）.
（9）.
2.比較實(shí)數(shù)大小的常用方法
（1）作差法：作差——變形——判斷差的符號(hào)——得出結(jié)論；
（2）作商法：作商——變形——判斷商與1的大小——得出結(jié)論；
（3）介值比較法：
題型1實(shí)數(shù)的大小比較
例1.已知,試比較與的大小.
練習(xí)1.已知,,則下列關(guān)系正確的是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)2.已知,,則與的大小關(guān)系是（ ）
B. C. D.不確定
題型2不等式性質(zhì)的應(yīng)用
1.利用不等式的性質(zhì)比較大小
例2.若，則一定有（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)3.（多選）若,則下列不等式一定成立的有（ ）
A. B. C. D.
2.利用不等式的性質(zhì)求范圍
例3.（1）已知,,求,,的取值范圍；
（2）已知,,求的取值范圍.
例4.已知,,則的取值范圍是_________________.
練習(xí)4.已知,,求的取值范圍.
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略不等式性質(zhì)成立的條件
例5.給出下列命題：
①若則；
②若則；
③若且則；
④若則.其中真命題的序號(hào)是_____________.
易錯(cuò)點(diǎn)2.誤用同向不等式的性質(zhì)
例6.已知,,求的取值范圍.
專題二基本不等式
1.重要不等式
有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
2.基本不等式
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
3.基本不等式的重要變形
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
題型1利用基本不等式判斷命題真假
例1.下列命題中正確的是（ ）
A.若,則
B.若,則
C.若,則
D.若,則
題型2利用基本不等式求最值
1.裂項(xiàng)拆項(xiàng)
例2.求的最小值為______________.
練習(xí)1.設(shè),則的最小值為___________________.
2.分組并項(xiàng)
例3.若為正數(shù)，則的最小值為_____________.
3.配湊法
例4.的最小值是（ ）
A. B. C. D.
例5.已知,則的最大值為___________.
例6.已知實(shí)數(shù)滿足,且，則的最小值為（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
練習(xí)2.已知,則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)3.已知,則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
4.多次應(yīng)用基本不等式法
例7.已知，則的最小值為____________.
題型3基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
題型3.基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例8.化工廠要建造一個(gè)容積8立方米，深度2米的無蓋長(zhǎng)方體水池，已知池壁的造價(jià)為每平方米100元，池底的造價(jià)為每平方米300元，設(shè)水池底面一邊長(zhǎng)為米，水池總造價(jià)為元，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出水池的最低造價(jià).
題型4利用基本不等式求解恒成立問題
例9.設(shè)實(shí)數(shù)為任意的正數(shù)，且，則使恒成立的的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略應(yīng)用基本不等式的前提條件
例10.設(shè)函數(shù),則（ ）
A.有最大值 B.有最小值
C.有最大值 D.有最小值
易錯(cuò)點(diǎn)2.忽略等號(hào)成立的條件
例11.已知，則的最小值為__________.

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
一元二次不等式的解法
三個(gè)“二次”的關(guān)系
二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
一元二次不等式恒成立問題
高次（或分式）不等式的解法
1.一元二次不等式的解法
求一元二次不等式解集的步驟：
一化：化二次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)；
二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根；
三求：求對(duì)應(yīng)方程的根；
四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像；
五解集：根據(jù)圖像寫出不等式的解集.
規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，大于?。ǜ﹥蛇?，小于?。ǜ┲虚g.
2.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系
題型1一元二次不等式的解法
1.不含參數(shù)的一元二次不等式的解法
例1.不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
2.已知一元二次不等式的解集求參數(shù)問題
例2.若不等式的解集為，則不等式的解集為_____________________.
3.含參數(shù)的一元二次不等式的解法
例3.解關(guān)于的不等式.
練習(xí)1.解關(guān)于的不等式.
練習(xí)2.解關(guān)于的不等式.
題型2一元二次不等式恒成立問題
1.在R上恒成立問題
例4.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則的取值范圍_______________.
練習(xí)3.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________________.
2.在某范圍內(nèi)恒成立問題
例5.已知,若時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
練習(xí)4.若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
練習(xí)5.若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.
題型3高次（或分式）不等式的解法
求
例6.解下列關(guān)于的不等式
（1） （2）
（3） （4）
練習(xí)6.解下列關(guān)于的不等式
（1） （2）
（3） （4）
例7.若，解關(guān)于的不等式
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略二次項(xiàng)系數(shù)的討論
例8.若集合,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________________.
易錯(cuò)點(diǎn)2.解分式方程忽略分母不為0的情況
例9.解不等式
易錯(cuò)點(diǎn)3.分式方程右邊不為0時(shí)不能等價(jià)代換
例10.解不等式

函數(shù)的概念及其表示
定義域
值域
函數(shù)三要素
函數(shù)的概念
對(duì)應(yīng)關(guān)系
函數(shù)相等
函數(shù)
區(qū)間
抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)
專題一函數(shù)的概念
1.函數(shù)的概念
一般地,設(shè)是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,使在集合B中都有唯一確定的元素和它相對(duì)應(yīng),那么就稱為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作,.
2.函數(shù)的三要素
函數(shù)中叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域;是對(duì)應(yīng)關(guān)系.
3.函數(shù)相等
如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)，即函數(shù)相等.
4.區(qū)間
設(shè)而且，我們規(guī)定：
（1）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，表示為；
（2）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，表示為；
（3）滿足不等式或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為，.
（4）大于某個(gè)數(shù)到正無窮用“”來表示，小于某個(gè)數(shù)到負(fù)無窮用“”來表示
如實(shí)數(shù)集可以用區(qū)間來表示.
5.抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)
1.抽象函數(shù)：沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù).
2.復(fù)合函數(shù)：形如的函數(shù)叫做復(fù)合函數(shù).
題型1函數(shù)概念的理解
例1.（多選）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是從集合A到集合B的函數(shù)的有（ ）
A.
B.
C.
D.
題型2求函數(shù)的定義域
1.求常見函數(shù)的定義域
例2.求下列函數(shù)的定義域：
（1） （2）
（3） （4）
2.求抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域
例3.（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_______________.
（2）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_______________.
（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_______________.
（4）設(shè)函數(shù),則的定義域?yàn)開___________________.
練習(xí)1.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開____________.
練習(xí)2.若函數(shù)的定義域是,則函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
題型3求函數(shù)值
例4.已知,.
（1）求和； （2）求,； （3）若,求.
題型4求函數(shù)的值域
例5.求下列函數(shù)的值域.
（1）；
（2）；
（3）
練習(xí)3.求下列函數(shù)的值域.
；
；
題型5判斷相等函數(shù)
例6.判斷下列各組函數(shù)是不是同一函數(shù)
（1）
（2）
（3）
練習(xí)4.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（ ）




易錯(cuò)點(diǎn)1.用換元法求值域忽略中間變量的取值范圍
例7.求函數(shù)的值域.
易錯(cuò)點(diǎn)2.誤認(rèn)為f(g(x))與f(h(x))中“x”含義相同
例8.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_____________.
專題二函數(shù)的表示法
1.函數(shù)的三種表示方法：
①解析法：用解析式來表示自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
②列表法：用表格來表示自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
③圖像法：用圖像來表示自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
2.分段函數(shù)：在函數(shù)的定義域中，對(duì)于自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).
題型1求函數(shù)解析式
1.待定系數(shù)法求解析式
例1.已知一次函數(shù)滿足則的解析式為__________________.
練習(xí)1.已知二次函數(shù)滿足,,,則二次函數(shù)的解析式為_____________.
2.換元法、配湊法求解析式
例2.已知，求的解析式.
練習(xí)2.已知,則當(dāng),且時(shí),=________________.
3.消元法（解方程組法）求解析式
例3.若滿足關(guān)系式，求函數(shù)的解析式.
練習(xí)3.已知,其中,則函數(shù)的解析式為______________.
題型2分段函數(shù)
例4.已知函數(shù)
（1）求的值；（2）若,求.
練習(xí)4.已知,則等于（ ）
A. B. C. D.
易錯(cuò)點(diǎn)1.求解析式時(shí)忽略函數(shù)的定義域
例5.已知，則函數(shù)的解析式為________________________.
易錯(cuò)點(diǎn)2.對(duì)分段函數(shù)理解有誤
例6.已知函數(shù),若則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.

第六講函數(shù)的基本性質(zhì)
單調(diào)性的定義
判斷函數(shù)單調(diào)性
函數(shù)的單調(diào)性與最值
求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷
函數(shù)的基本性質(zhì)
奇偶性的定義
奇偶性的圖像與性質(zhì)
函數(shù)的奇偶性
函數(shù)奇偶性的判斷
專題一函數(shù)的單調(diào)性與最值
1.函數(shù)的單調(diào)性
（1）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?
①如果對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)自變量，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)；
②如果對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)自變量，當(dāng)時(shí)，都有,那么就說在區(qū)間上是減函數(shù).
（2）如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說在這一區(qū)間上具有單調(diào)性，區(qū)間叫的單調(diào)區(qū)間.
2.函數(shù)的最大（?。┲?br>一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：
，都有;
,使得.
那么，我們稱是函數(shù)的最大值（最小值）.
題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解
1.定義法判斷函數(shù)單調(diào)性
例1.判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明.
練習(xí)1.用定義法證明函數(shù)在上的單調(diào)性.
2.圖像法判斷函數(shù)的單調(diào)性
例2.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（1） （2）
3.判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
例3.求的單調(diào)遞增區(qū)間.
練習(xí)1.求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
題型2.求函數(shù)的最值
例4.求函數(shù)的最小值.
例5.求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值.
例6.已知函數(shù),,求函數(shù)的最小值.
例7.已知函數(shù),,的最小值為,求的函數(shù)表達(dá)式.
題型3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
1.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
例8.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)2.函數(shù)在區(qū)間上有最大值,最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
2.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小、解不等式
例9.已知是定義在區(qū)間上的增函數(shù),且,則的取值范圍為________________.
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略定義域求錯(cuò)單調(diào)區(qū)間
例10.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為______________.
易錯(cuò)點(diǎn)2.忽略參數(shù)的分類討論
例11.已知一次函數(shù)在上的最大值為9.則實(shí)數(shù)的值為_______.
專題二函數(shù)的奇偶性
1.函數(shù)的奇偶性
一般地，設(shè)函數(shù)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），如果，都有，且，那么函數(shù)叫偶函數(shù).
一般地，設(shè)函數(shù)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），如果，都有，且，那么函數(shù)叫奇函數(shù).
2.奇偶函數(shù)的圖像與性質(zhì)
（1）奇函數(shù)的性質(zhì)
①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
②奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
③在定義域內(nèi)，；
④若0屬于定義域，一定有.
⑤奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性
（2）偶函數(shù)的性質(zhì)
①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
②偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；
③在定義域內(nèi)，.
④偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性
3.函數(shù)奇偶性的判斷
一看定義域：定義域具有對(duì)稱性，即.
定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，是非奇非偶函數(shù)，
如是偶函數(shù)，但是是非奇非偶函數(shù).
二看等式：當(dāng)?shù)亩x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，要看與的關(guān)系.
若，則是偶函數(shù).
若或，則是奇函數(shù).
若，則是既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
若，則是非奇非偶函數(shù).
題型1函數(shù)奇偶性的判斷
例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
練習(xí)1.判斷下列函數(shù)奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
題型2奇偶函數(shù)圖像的應(yīng)用
例2.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí),的圖像如圖1所示，那么的值域是_________________.
圖2
圖1
練習(xí)2.(多選)已知定義在區(qū)間上的一個(gè)偶函數(shù),它在上的圖像如圖2，則下列說法正確的有（ ）
這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間
這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間
這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7
D. 這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值-7
題型3函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
1.利用奇偶性求參數(shù)的值
例3.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)3.若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
2.利用奇偶性求函數(shù)的值
例4.已知,且,則（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)4.已知是奇函數(shù),,則（ ）
A. B. C. D.
3.利用奇偶性求函數(shù)解析式
例5.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí),,則在上的解析式為_______________.
練習(xí)5.已知是在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),=_______________.
題型4函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用
1.函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合
例6.已知函數(shù)在定義域上既是奇函數(shù),又是減函數(shù),若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________________.
練習(xí)6.定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______________.
2.函數(shù)奇偶性與對(duì)稱性的綜合
例7.定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)7.定義在上的偶函數(shù)滿足,且在上單調(diào)遞增,設(shè),,,則的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
易錯(cuò)點(diǎn)1.含參數(shù)函數(shù)的奇偶性判斷時(shí)忽略對(duì)參數(shù)的討論
例8.判斷函數(shù)的奇偶性.
易錯(cuò)點(diǎn)2.未綜合考慮奇偶函數(shù)的對(duì)稱性而致錯(cuò)
例9.設(shè)為奇函數(shù),且在內(nèi)是減函數(shù),,則的解集為（ ）
A. B.
C. D.

第七講冪函數(shù)，函數(shù)的應(yīng)用（一）
冪函數(shù)的概念
冪函數(shù)
冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)
冪函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用
分段函數(shù)模型
函數(shù)的應(yīng)用
“對(duì)勾”函數(shù)模型
專題一冪函數(shù)
1.冪函數(shù)的概念
1.冪函數(shù)的定義：
一般地,函數(shù)叫做冪函數(shù),其中是自變量,是常數(shù).
2.冪函數(shù)的特征：
①的系數(shù)為1；②的底數(shù)是自變量；③的指數(shù)為常數(shù).
只有同時(shí)滿足這三個(gè)條件的函數(shù)才是冪函數(shù)，對(duì)于形如,，等函數(shù)都不是冪函數(shù).
冪函數(shù)的圖像
常見五種冪函數(shù)圖像：
冪函數(shù)圖像分布特點(diǎn)：
對(duì)于,當(dāng)時(shí),的圖像是一條直線；
當(dāng)時(shí),的圖像是一條不包含的直線；
當(dāng)為其他值時(shí)，相應(yīng)的冪函數(shù)圖像如下表：
3.冪函數(shù)的性質(zhì)
題型1冪函數(shù)的概念
例1.函數(shù)是冪函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)1.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則其定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
題型2冪函數(shù)的圖像
例2.冪函數(shù)的大致圖像為圖中（ ）
A. B.
C. D.
題型3冪函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用
1.比較冪的大小
例3.比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大小
（1）,；
（2）,；
（3），
2.利用冪函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)值或取值范圍
例4.若冪函數(shù)過點(diǎn)，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.
例5.已知冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.
練習(xí)2.已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且在上函數(shù)值隨的增大而增大.（1）求的解析式；（2）求滿足的的取值范圍.
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽視冪函數(shù)的圖像特點(diǎn)
例6.若冪函數(shù)的圖像不過原點(diǎn)，則的取值是（ ）
A. B. C. D.
易錯(cuò)點(diǎn)2.忽視冪函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)
例7.若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
專題二：函數(shù)的應(yīng)用（一）
解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟
實(shí)際問題
數(shù)學(xué)模型的解
實(shí)際檢驗(yàn)
推理
抽象概括
還原說明
分析轉(zhuǎn)化
演算
實(shí)際問題的解
數(shù)學(xué)模型
題型1“對(duì)勾”函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用
例1.農(nóng)民老王計(jì)劃建一個(gè)室內(nèi)面積為1500平方米的矩形溫室大棚,并在溫室大棚內(nèi)建兩個(gè)大小、形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池，其中沿溫室大棚前、后、左、右內(nèi)墻各保留1.5米寬的通道，兩養(yǎng)殖池之間保留2米寬的通道，如圖所示.設(shè)溫室的一邊長(zhǎng)度為米.
（1）將兩個(gè)養(yǎng)殖池的總面積表示為的函數(shù)，并寫出定義域.
（2）當(dāng)溫室的邊長(zhǎng)取何值時(shí)，總面積最大？最大值為多少？
養(yǎng)殖池
養(yǎng)殖池
題型2分段函數(shù)模型的應(yīng)用問題
例2.某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元.
已知總收益（總收益=總成本+利潤(rùn)）滿足函數(shù)：其中是儀器的月產(chǎn)量.
將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù).
當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略限制條件
H
D
A
例3.如圖，有一塊矩形空地,要在這塊空地上開辟一個(gè)內(nèi)接四邊形為綠地，使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上,已知BC,AB=2,且BE=BF=DH=DG,設(shè)BE=,綠地面積為,當(dāng)BE為何值時(shí),綠地面積最大？
G
E
C
B
F

第八講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
n次方根與根式
指數(shù)
指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
指數(shù)函數(shù)的定義
指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
專題一指數(shù)
1.n次方根的定義與性質(zhì)
（1）定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
（2）性質(zhì)：①正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，互為相反數(shù)，正數(shù)的奇次方根是正數(shù)；
②負(fù)數(shù)沒有偶次方根，負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù)；
③0的任何次方根都是0.
2.根式的定義與性質(zhì)
（1）定義：當(dāng)有意義時(shí)，式子叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).
（2）性質(zhì)：①②.
3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：；
②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：.
（2）有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):①;
②;③.
題型1 化簡(jiǎn)與求值
例1.化簡(jiǎn)下列各式.
（1）;
（2）;
（3）;
練習(xí)1.化簡(jiǎn)的結(jié)果等于（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)2.化簡(jiǎn).
題型2 含附加條件求值
例2.若，則下列等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)3.已知是方程的兩個(gè)根，且，則的值為_____.
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略偶次算術(shù)根非負(fù)
例3._______________.
易錯(cuò)點(diǎn)2.用錯(cuò)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
例4.已知，化簡(jiǎn)_____________.
專題二指數(shù)函數(shù)
1.指數(shù)函數(shù)的定義
一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，定義域是R.
2.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
題型1 指數(shù)函數(shù)的概念
例1. 若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值為（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)1.已知函數(shù)若，則（ ）
A. B. C. D.
題型2 指數(shù)函數(shù)的圖像
例2.函數(shù)的圖像過定點(diǎn)_____________.
練習(xí)2.若函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則有（ ）
A. B.
C. D.
例3.函數(shù)的大致圖像為（ ）
A. B.
C. D.
題型3 求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域與值域
例4.求下列函數(shù)的定義域和值域
（1） （2）

練習(xí)3.函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)4.函數(shù)的值域是______________.
題型4 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
例5.比較下列各題中兩個(gè)值的大小
（1） ； （2）； （3）.
練習(xí)5.比較下列各組值的大小
（1）； （2）； （3）.
例6.若函數(shù)是指數(shù)函數(shù).
（1）求的值；
（2）求解不等式.
題型5 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性
例7.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).
（1）求的值；
（2）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集.
練習(xí)6.已知函數(shù).
判斷的單調(diào)性；
判斷的奇偶性；
若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略對(duì)底數(shù)的分類討論
例8.已知函數(shù)在上恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________________.
易錯(cuò)點(diǎn)2.換元時(shí)忽略指數(shù)函數(shù)的值域
例9.函數(shù)的值域?yàn)開_________________.

第九講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
對(duì)數(shù)的概念
對(duì)數(shù)
對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
對(duì)數(shù)函數(shù)
對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
反函數(shù)
不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異
專題一對(duì)數(shù)
1.對(duì)數(shù)的概念
一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底N的對(duì)數(shù)，記作.其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
2.兩個(gè)重要對(duì)數(shù)
（1）常用對(duì)數(shù)：以10為底數(shù)的對(duì)數(shù);
（2）自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)為底數(shù)的對(duì)數(shù).
3.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果，且，那么：
①;
②;
③.
換底公式：
由換底公式可得推論：①；②
題型1 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用
例1.化簡(jiǎn)：（1）； （2）；
（3）； （4）.
練習(xí)1.若，則_____________.
題型2 換底公式的應(yīng)用
例2.計(jì)算：.
練習(xí)2.計(jì)算：
題型3 有附加條件的對(duì)數(shù)求值問題
例3.已知且,則的值為______________.
練習(xí)3.設(shè)且則（ ）
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略對(duì)數(shù)式對(duì)底數(shù)與真數(shù)的限制條件
例4.若，則的值為___________.
例5.方程的解為___________.
專題二對(duì)數(shù)函數(shù)
1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，定義域是.
2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
題型1 對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域
例1.求下列函數(shù)的定義域：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
練習(xí)1.函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
題型2 對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的應(yīng)用
例2.函數(shù)的圖像大致是（ ）
A. B.C. D.
練習(xí)2.若函數(shù)是減函數(shù)，那么函數(shù)的圖像是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)3.函數(shù)的圖像如圖所示，則的大小順序是（ ）
A. B.
C. D.
題型3 對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
1.對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及最值
例3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）；
（2）.
練習(xí)4.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的范圍是________.
2.對(duì)數(shù)式的大小比較
例4.比較下列各組中兩個(gè)值的大小
（1）； （2）；
（3）； （4）.
練習(xí)5.已知，，，則的大小關(guān)系為( )
A. B. C. D.
題型4 對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性
例5.已知函數(shù).
（1）若為奇函數(shù)，求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略對(duì)底數(shù)的討論致錯(cuò)
例6.函數(shù)在上的最大值與最小值的差是1，則的值為__________.
易錯(cuò)點(diǎn)2.忽略復(fù)合函數(shù)中函數(shù)的值域而致錯(cuò)
例7.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
易錯(cuò)點(diǎn)3.忽略復(fù)合函數(shù)中函數(shù)的定義域而致錯(cuò)
例8.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
專題三反函數(shù)及不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異
1.反函數(shù)
反函數(shù)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù),設(shè)它的值域?yàn)?我們根據(jù)這個(gè)函數(shù)中的關(guān)系，用把表示出來，得到.如果對(duì)于在中的任何一個(gè)值，通過，在中都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就表示是自變量的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作.
反函數(shù)的性質(zhì)：
（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
（2）若互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)，則該函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
（3）若函數(shù)圖像上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)的圖像上.
（4）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同.
2.不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異
一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)比較：
一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異：
一般地，在區(qū)間上，盡管函數(shù)，，都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上，隨著的增大，的增長(zhǎng)速度會(huì)越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長(zhǎng)速度，而的增長(zhǎng)速度會(huì)越來越慢，因此，總會(huì)存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，就有.
題型1 求函數(shù)的反函數(shù)
例1.函數(shù)的反函數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
題型2 反函數(shù)的應(yīng)用
例2.若函數(shù)與互為反函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖像過點(diǎn)，其反函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則=（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
題型3 三種函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用
例3.若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)2.函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上增長(zhǎng)較快的是____________.

第十講函數(shù)的應(yīng)用（二）
函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解
二分法
函數(shù)的應(yīng)用（二）
函數(shù)模型的應(yīng)用
專題一函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解
1.函數(shù)的零點(diǎn)
對(duì)于一般函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做的零點(diǎn).
2.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)解函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn).
3.函數(shù)零點(diǎn)存在定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)就是方程的解.
題型1 求函數(shù)的零點(diǎn)
例1.函數(shù)的零點(diǎn)為____________.
練習(xí)1.函數(shù)的零點(diǎn)是____________.
題型2 零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用
例2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
例3.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)3.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
題型3 利用圖像交點(diǎn)解決函數(shù)零點(diǎn)問題
例4.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
練習(xí)4.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1 B. 2 C.3 D.4
例5.已知函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)5.已知函數(shù)若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
易錯(cuò)點(diǎn)1.不能正確理解零點(diǎn)的概念
例6.函數(shù)的零點(diǎn)是（ ）
A. B. C. D.
易錯(cuò)點(diǎn)2.錯(cuò)用零點(diǎn)存在定理
例7.（多選）若函數(shù)的圖像在R上連續(xù)不斷，且滿足，則下列說法錯(cuò)誤的有（ ）
A.在區(qū)間上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間上一定沒有零點(diǎn)
B.在區(qū)間上一定沒有零點(diǎn)，在區(qū)間上一定有零點(diǎn)
C.在區(qū)間上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間上可能有零點(diǎn)
D.在區(qū)間上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間上一定有零點(diǎn)
專題二二分法
1.二分法的定義
對(duì)于在區(qū)間上圖像連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.
2.二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟
給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：
（1）確定零點(diǎn)的初始區(qū)間，驗(yàn)證.
（2）求區(qū)間的中點(diǎn).
（3）計(jì)算，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：
①若（此時(shí)），則就是函數(shù)的零點(diǎn)；
②若（此時(shí)），則令；
③若（此時(shí)），則令；
（4）判斷是否達(dá)到精確度：，則得到零點(diǎn)近似值,否則重復(fù)（2）~（4）.
題型1 用二分法求方程的近似解
例1.利用計(jì)算器求方程的正解的近似值（精確度為0.1）.
練習(xí)1.利用計(jì)算器求方程的近似解（精確度為0.1）
題型2 二分法的實(shí)際應(yīng)用
例2.現(xiàn)有12個(gè)小球，從外觀上看完全相同，除了一個(gè)小球質(zhì)量較小，其余的小球質(zhì)量均相同，用同一架天平稱幾次能找出這個(gè)不符合的小球？
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略二分法的應(yīng)用條件而致錯(cuò)
例3.下列區(qū)間不能用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)的是（ ）
A. B. C. D.
專題三函數(shù)模型的應(yīng)用
1.幾類常見的函數(shù)模型
（1）一次函數(shù)模型：
（2）反比例函數(shù)模型：
（3）二次函數(shù)模型：
（4）指數(shù)型函數(shù)模型：
（5）對(duì)數(shù)型函數(shù)模型：
（6）冪型函數(shù)模型：
（7）對(duì)勾函數(shù)模型：
（8）分段函數(shù)模型：這個(gè)模型是以上兩種或兩種以上模型的綜合.
2.建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般流程
畫散點(diǎn)圖
選擇函數(shù)模型
選擇函數(shù)模型
不符合實(shí)際
檢驗(yàn)
求解函數(shù)模型
符合實(shí)際
用函數(shù)模型解決實(shí)際問題
題型1 已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題
例1.我們知道：人們對(duì)聲音的大小有不同的感覺，這與聲音的強(qiáng)度有關(guān)，聲音的強(qiáng)度用表示，但在實(shí)際測(cè)量時(shí)，聲音的強(qiáng)度水平常用表示，它們滿足以下公式：（單位為分貝，，其中,這是人們平均能聽到的最小強(qiáng)度，是聽覺的開端）回答以下問題：
（1）樹葉沙沙聲的強(qiáng)度是，耳語的強(qiáng)度是，恬靜的無線電廣播的強(qiáng)度是，試分別求出它們的強(qiáng)度水平；
（2）某一新建的安靜小區(qū)規(guī)定：小區(qū)內(nèi)公共場(chǎng)所的聲音的強(qiáng)度水平必須保持在50分貝以下，試求聲音強(qiáng)度的范圍為多少?
題型2 函數(shù)模型的探究應(yīng)用
例2.某科研團(tuán)隊(duì)對(duì)某一生物生長(zhǎng)規(guī)律進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)其生長(zhǎng)蔓延的速度越來越快，開始在某水域投放一定面積的該生物，經(jīng)過2個(gè)月其覆蓋面積為18平方米，經(jīng)過3個(gè)月其覆蓋面積達(dá)到27平方米.該生物覆蓋面積與經(jīng)過時(shí)間個(gè)月的關(guān)系有以下兩種函數(shù)模型與可供選擇.
（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的函數(shù)解析式.
（2）問約經(jīng)過幾個(gè)月，該水域中此生物的面積是當(dāng)初投放的1000倍？（參考數(shù)據(jù)：）
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽視指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算方法
例3.根據(jù)相關(guān)規(guī)定，機(jī)動(dòng)車駕駛?cè)搜褐芯凭看笥诘扔?0毫克/100毫升的行為屬于飲酒駕車，假設(shè)飲酒后，血液中的酒精含量為毫克/100毫升，經(jīng)過個(gè)小時(shí)，酒精含量降為毫克/100毫升，且滿足關(guān)系式（為常數(shù)）.若某人飲酒后血液中的酒精含量為89毫克/100毫升，2小時(shí)后，測(cè)得其血液中酒精含量降為61毫克/100毫升，則此人飲酒后需經(jīng)過_________小時(shí)方可駕車（精確到小時(shí)，參考數(shù)據(jù)：
）

第十一講任意角和弧度制
任意角的概念
象限角、區(qū)間角與區(qū)域角
任意角
終邊相同的角
任意角與弧度制
角度制、弧度制的概念
角度與弧度的換算
弧度制
弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式
專題一任意角
1.任意角的概念
正角：一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角.
負(fù)角：一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角.
零角：一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角.
2.象限角的概念
象限角：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角為第幾象限角.
軸線角：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，稱這個(gè)角為軸線角.
3.終邊相同的角
若角終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角的終邊旋轉(zhuǎn)（逆時(shí)針或順時(shí)針）周即得角.一般地，我們有：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合,即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和.
題型1 任意角的概念的理解
例1.（多選）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A.終邊相同的角必相等
B.銳角必是第一象限
C.小于的角是銳角
D.第二象限角必大于第一象限角
練習(xí)1.已知集合，，，，則下列等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
題型2 終邊相同的角的表示
1.終邊相同的角的求解及應(yīng)用
例1.寫出與角終邊相同的角的集合，并求出范圍內(nèi)與角終邊相同的角.
練習(xí)1.與角終邊相同的最小正角是（ ）
A. B. C. D.
2.區(qū)域角的求解
例2.如下圖，分別是終邊落在,位置上的兩個(gè)角，且，.
（1）求終邊落在陰影部分的角的集合；
（2）求終邊落在陰影部分，且在范圍內(nèi)的角的集合.
練習(xí)2.已知角的終邊在下圖中陰影部分內(nèi)，則角的取值范圍為__________________.
題型3 象限角的判定
例3.若角是第二象限角，則是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
練習(xí)3.若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角.
易錯(cuò)點(diǎn)1.角的概念混淆不清
例4.下列敘述正確的是（ ）
A.第一或第二象限的角都可作為三角形的內(nèi)角
B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等
C.若是第一象限角，則是第二象限角
D.鈍角比第三象限角小
易錯(cuò)點(diǎn)2.以偏概全
例5.若是第一象限角，則是（ ）
A.第一象限角 B.第四象限角 C.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角
專題二弧度制
1.弧度制的概念
長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.
2.角度與弧度的換算
,,.
3.弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式
若扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，面積為,則
弧長(zhǎng)公式.
周長(zhǎng).
扇形面積公式
題型1 角度與弧度的換算及應(yīng)用
例1. 設(shè)，.
（1）將用弧度表示除了，并指出它的終邊所在的象限；
（2）將用角度表示出來，并在內(nèi)找出與它們終邊相同的所有角.
練習(xí)1.已知，，，，，則的大小關(guān)系為________________________.
例2.用弧度分別表示終邊落在如下圖的陰影部分內(nèi)的角的集合.
題型2 弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的應(yīng)用
例3.若扇形的面積是，它的周長(zhǎng)是，則扇形圓心角的弧度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)2.已知弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為，則這條弧所在的扇形的面積為（ ）
A. B. C. D.
例4.已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為12，當(dāng)扇形的半徑為多少時(shí)，這個(gè)扇形面積最大？并求出此時(shí)的圓心角.
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略角的度量單位的一致性
例5.與角終邊相同的角的集合是（ ）
A.
B.
C.
D.
易錯(cuò)點(diǎn)2.運(yùn)用扇形相關(guān)公式時(shí)沒有注意圓心角是弧度制
例6.若扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則扇形半徑為_____________.

第十二講三角函數(shù)的概念
任意角的三角函數(shù)的概念
三角函數(shù)的定義域和各象限的符號(hào)
三角函數(shù)的概念
誘導(dǎo)公式一
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
專題一任意角三角函數(shù)
1.任意角的三角函數(shù)的定義
利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)
設(shè)是一個(gè)任意角，,它的終邊與單位圓相交于點(diǎn).
（1）把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù)，記作，即；
（2）把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù)，記作，即；
（3）把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切，記作，即.
用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)
設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊任意一點(diǎn).點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是，則，，.
2.三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(hào)
三角函數(shù)的定義域
三角函數(shù)在各象限的符號(hào)
第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正.
3.誘導(dǎo)公式一
,,,其中.
誘導(dǎo)公式一的本質(zhì)是終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等
題型1 任意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用
例1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)1.已知角的終邊過點(diǎn)，求，，的值.
例2.已知角的終邊在直線上，求，，的值.
題型2 三角函數(shù)在各象限的符號(hào)
例3.判斷下列各式的符號(hào)
（1）；
（2）.
練習(xí)2.當(dāng)為第二象限角時(shí)，的值是（ ）
A. B. C. D.
例4.若，且，則角是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
練習(xí)3.如果點(diǎn)位于第二象限，那么角的終邊所在的象限是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
練習(xí)4.設(shè)，若且，則的取值范圍是_______________.
題型3 誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用
例5.計(jì)算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
易錯(cuò)點(diǎn)1.求三角函數(shù)值時(shí)對(duì)終邊位置考慮不全
例6.已知角的終邊在直線上，則=_______________.
易錯(cuò)點(diǎn)2.運(yùn)用三角函數(shù)的定義求參數(shù)時(shí)忽略參數(shù)的取值范圍
例7.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)=_____________.
專題二同角三角函數(shù)
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
平方關(guān)系：;
商數(shù)關(guān)系：，.
2.基本關(guān)系的變形公式
題型1 根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值
例1.已知是第二象限角，，則（ ）
A. B. C. D.
練習(xí)1.若，則____________.
例2.已知，則（1）____________.
（2）____________.
（3）________________.
練習(xí)2.已知，則______________.
例3.已知求與的值.
練習(xí)3.已知求的值.
題型2 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
例4.若是第二象限角，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為________________.
練習(xí)4.已知為第二象限角，則_____________.
易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略隱含條件致錯(cuò)
例5.已知，，則的值為___________.
易錯(cuò)點(diǎn)2.忽略隱含范圍致錯(cuò)
例6.已知，，若為第二象限角，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
實(shí)數(shù)
有理數(shù)
自然數(shù)
正整數(shù)
整數(shù)
復(fù)數(shù)
R
Q
N
Z
C
量詞名稱
常見量詞
表示符號(hào)
全稱量詞
所有、一切、任意、全部、每一個(gè)、任給等
存在量詞
存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等
命題名稱
命題結(jié)構(gòu)
命題簡(jiǎn)記
全稱量詞命題
對(duì)中任意一個(gè)，成立
存在量詞命題
存在中的元素，成立
命題
命題的否定
判別式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的圖象
[來
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有兩個(gè)相異實(shí)根
x1，x2(x1＜x2)
有兩個(gè)相等實(shí)根
x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
沒有實(shí)數(shù)根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
定義
符號(hào)
都是奇數(shù)
是偶數(shù),是奇數(shù)
是奇數(shù),是偶數(shù)
定義域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
增函數(shù)
時(shí),增函數(shù)
增函數(shù)
增函數(shù)
時(shí),減函數(shù)
時(shí),減函數(shù)
時(shí),減函數(shù)
定點(diǎn)
底數(shù)
圖像
性質(zhì)
定義域
R
值域
定點(diǎn)
圖像過定點(diǎn)
單調(diào)性
在R上是單調(diào)增函數(shù)
在R上是單調(diào)減函數(shù)
函數(shù)值的變化情況
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
對(duì)稱性
函數(shù)與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱
底數(shù)
圖像
性質(zhì)
定義域
值域
R
定點(diǎn)
圖像過定點(diǎn)
單調(diào)性
在R上是單調(diào)增函數(shù)
在R上是單調(diào)減函數(shù)
函數(shù)值的變化情況
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
對(duì)稱性
函數(shù)與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱
在上的單調(diào)性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長(zhǎng)的速度
增長(zhǎng)速度不變
先慢后快
先快后慢
圖像的變化
隨著的增大，圖像以固定的速度上升
隨著的增大，圖像上升的速度逐漸變快
隨著的增大，圖像上升的速度逐漸變慢
三角函數(shù)
定義域

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