TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27964" 【題型1 含乘方的分式乘除混合運(yùn)算】 PAGEREF _Tc27964 \h 2
\l "_Tc19221" 【題型2 分式的加減混合運(yùn)算】 PAGEREF _Tc19221 \h 4
\l "_Tc5486" 【題型3 整式與分式的相加減運(yùn)算】 PAGEREF _Tc5486 \h 7
\l "_Tc13540" 【題型4 分式加減的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc13540 \h 10
\l "_Tc7277" 【題型5 比較分式的大小】 PAGEREF _Tc7277 \h 14
\l "_Tc4034" 【題型6 分式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值】 PAGEREF _Tc4034 \h 16
\l "_Tc1254" 【題型7 分式中的新定義問(wèn)題】 PAGEREF _Tc1254 \h 19
\l "_Tc4413" 【題型8 分式運(yùn)算的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc4413 \h 24
\l "_Tc23906" 【題型9 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc23906 \h 29
\l "_Tc18471" 【題型10 科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小數(shù)】 PAGEREF _Tc18471 \h 30
【知識(shí)點(diǎn)1 分式的乘除法法則】
分式是分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展，因此分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似：
1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：ab×cd=acbd
2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數(shù)相乘。即：ab÷cd=ab×dc=adbc
3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。（ab）n=anbn
4）運(yùn)算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級(jí)從左至右依次計(jì)算。有括號(hào)的，先算括號(hào)中的，在算括號(hào)外的。
注：上述所有計(jì)算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式
【知識(shí)點(diǎn)2 分式的加減法則】
1）同分母分式：分母不變，分子相加減ac±bc=a±bc
2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減ab±dc=acbc±bdbc=ac±bdbc
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①計(jì)算結(jié)果中，分子、分母若能約分，要約分; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②運(yùn)算順序中，加減運(yùn)算等級(jí)較低。若混合運(yùn)算種有乘除或乘方運(yùn)算，先算乘除、乘方運(yùn)算，最后算加減運(yùn)算。
【題型1 含乘方的分式乘除混合運(yùn)算】
【例1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）a+ba?b2÷a+ba?b2×a+ba?b的結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn)?ba+bB．a(chǎn)+ba?bC．a(chǎn)+ba?b2D．1
【答案】B
【分析】先計(jì)算分式的乘方，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法，約分后即可得解．
【詳解】解：a+ba?b2÷a+ba?b2×a+ba?b
=(a+b)2(a?b)2×(a?b)2(a+b)2×a+ba?b
=a+ba?b
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）?n22m?4m25n3=________；
（2）(a2?b)5?(b2?a)6?(1ab)7=________；
（3）(?3ab3c2)2÷(?3b2ca)3=________；
（4）(?y2x)2?(?3x2y)3÷(?3x2ay)2=________；
（5）(c3a2b)2÷(c4a3b)2÷(ac)4=________．
【答案】 ?2m5n ?1a3 ?a5c3 ?3ya28x c2a2
【分析】（1）根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算即可；
（2）先算乘方，再算乘法即可；
（3）先算乘方，再算除法即可；
（4）先算乘方，再算乘除法即可；
（5）先算乘方，再算除法即可；
【詳解】解：（1）?n22m?4m25n3=?2m5n
（2）(a2?b)5?(b2?a)6?(1ab)7=?a10b5?b12a6?1a7b7=?1a3；
（3）原式=9a2b6c4÷(?27b6c3a3)=9a2b6c4·(?a327b6c3)=?a5c3；
（4）原式=y24x2?(?27x38y3)÷9x24a2y2=y24x2?(?27x38y3)?4a2y29x2=?3ya28x；
（5）(c3a2b)2÷(c4a3b)2÷(ac)4=c6a4b2÷c8a6b2÷a4c4=c6a4b2·a6b2c8·c4a4=c2a2；
故答案為：?2m5n，?1a3，?a5c3，?3ya28x，c2a2
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘、除、乘方的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵
【變式1-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）[?a7b23(a+b)]?(a2?b2)4a2÷[a2(b?a)2]3
【答案】8(a+b)3b2(a?b)3a
【分析】先計(jì)算乘方，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后約分得結(jié)果．
【詳解】[?a7b23(a+b)]?(a2?b2)4a2÷[a2(b?a)2]3，
=?a7b23(a+b)?(a+b)4(a?b)4a2?8a6(b?a)3，
=8(a+b)3b2(a?b)3a.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解決本題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)階段練習(xí)）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實(shí)數(shù)，且a2b2a2y2+b2x2=b2c2b2z2+c2y2=c2d2c2w2+d2z2=abcdxyzw，則a2x2+b2y2+c2z2+d2w2的值為_(kāi)_____ ．
【答案】2
【分析】設(shè)a2b2a2y2+b2x2=b2c2b2z2+c2y2=c2d2c2w2+d2z2=abcdxyzw=1k，即有：a2y2a2b2+b2x2a2b2=b2z2b2c2+c2y2b2c2=c2w2c2d2+d2z2c2d2=xyzwabcd=k，化簡(jiǎn)：y2b2+x2a2=z2c2+y2b2=w2d2+z2c2=xyzwabcd=k，則有：x2a2=z2c2，y2b2=w2d2，xyzwabcd=k，設(shè)x2a2=z2c2=m，y2b2=w2d2=n，即a2x2=c2z2=1m，b2y2=d2w2=1n，m+n=z2c2+w2d2=k， k=xyzwabcd=mn，則問(wèn)題即可得解．
【詳解】結(jié)合a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實(shí)數(shù)進(jìn)行下述運(yùn)算，
設(shè)a2b2a2y2+b2x2=b2c2b2z2+c2y2=c2d2c2w2+d2z2=abcdxyzw=1k，
則有：a2y2+b2x2a2b2=b2z2+c2y2b2c2=c2w2+d2z2c2d2=xyzwabcd=k，
即有：a2y2a2b2+b2x2a2b2=b2z2b2c2+c2y2b2c2=c2w2c2d2+d2z2c2d2=xyzwabcd=k，
化簡(jiǎn)：y2b2+x2a2=z2c2+y2b2=w2d2+z2c2=xyzwabcd=k，
則有：x2a2=z2c2，y2b2=w2d2，xyzwabcd=k，
設(shè)x2a2=z2c2=m，y2b2=w2d2=n，
即a2x2=c2z2=1m，b2y2=d2w2=1n，m+n=z2c2+w2d2=k，
則有：m2=x2a2?z2c2，n2=y2b2?w2d2，
即有：k=xyzwabcd=mn，
則有：a2x2+b2y2+c2z2+d2w2=2m+2n=2m+nmn=2kk=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型2 分式的加減混合運(yùn)算】
【例2】（2022·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于任意的x值都有2x+7x2+x?2=Mx+2+Nx?1，則M，N值為（ ）
A．M＝1，N＝3B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4D．M＝1，N＝4
【答案】B
【分析】先計(jì)算Mx+2+Nx?1=M+Nx+(?M+2N)x2+x?2 ,根據(jù)已知可得關(guān)于M、N的二元一次方程組M+N＝2?M+2N＝7 ，解之可得．
【詳解】解：Mx+2+Nx?1
=M(x?1)+Nx+2x+2(x?1)
=M+Nx+(?M+2N)x2+x?2
∴2x+7x2+x?2=M+Nx+(?M+2N)x2+x?2
∴M+N＝2?M+2N＝7，
解得：M＝?1N=3，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減法則，并根據(jù)已知等式得出關(guān)于M、N的方程組．
【變式2-1】（2022·上海市久隆模范中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算：2y2+3y+2y+1?y2?y?5y+2?3y2?4y?5y?2+2y2?8y+5y?3
【答案】?8y+4y4?2y3?7y2+8y+12
【分析】先對(duì)每一個(gè)分式進(jìn)行拆分化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行分式的加減計(jì)算即可.
【詳解】解：2y2+3y+2y+1=2y2+2y+y+1+1y+1=2y+1+1y+1，
y2?y?5y+2=y2+2y?3y+6+1y+2=y?3+1y+2，
3y2?4y?5y?2=3y2?6y+2y?4?1y?2=3y+2?1y?2，
2y2?8y+5y?3=2y2?6y?2y?6?1y?3=2y?2?1y?3，
∴原式=2y+1+1y+1?y?3+1y+2?3y+2?1y?2+2y?2?1y?3
=2y+1+1y+1?y+3?1y+2?3y?2+1y?2+2y?2?1y?3
=1y+1?1y+2+1y?2?1y?3
=1y+1?1y?3+1y?2?1y+2
=?4y+1y?3+4y?2y+2
=?8y+4y+1y?3y?2y+2
=?8y+4y4?2y3?7y2+8y+12.
【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減計(jì)算，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
【變式2-2】（2022·全國(guó)·中考模擬）計(jì)算下列各式：
（1）1a?b+1a+b+2aa2+b2+4a3a4+b4 ；
（2）x2+yzx2+(y?z)x?yz+y2?zxy2+(z+x)y+zx+z2+xyz2?(x?y)z?xy ；
（3）x3?1x3+2x2+2x+1+x3+1x3?2x2+2x?1?2(x2+1)x2?1
（4）(y?x)(z?x)(x?2y+z)(x+y?2z)+(z?y)(x?y)(x+y?2z)(y+z?2x)+(x?z)(y?z)(y+z?2x)(x?2y+z) ．
【答案】（1）8a7a8?b8（2）0（3）0（4）1
【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)異分母的分式的加減法，先把前兩個(gè)分式通分，再求和，依次計(jì)算下去即可；
（2）先把分子添項(xiàng)，構(gòu)成能分組分解因式的式子，把分母利用整式的乘法展開(kāi)，然后把分母分子分解因式，利用同分母的分式相加減的逆運(yùn)算約分化簡(jiǎn)即可；
（3）根據(jù)立方差和立方和公式進(jìn)行分子分母的因式分解，然后再約分化簡(jiǎn)即可；
（4）設(shè)x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，利用換元法進(jìn)行約分化簡(jiǎn)即可.
試題解析：（1）
=++
=+
=；
（2）
=++
=++﹣﹣﹣
=0；
（3）
=+﹣
=+﹣
=0；
（4）設(shè)x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，則
=﹣﹣﹣
=﹣
=
=1．
【變式2-3】（2022·河南省淮濱縣第一中學(xué)八年級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xy+z+yz+x＝11，則x+y+z的值為（ ）
A．12B．14C．727D．9
【答案】A
【分析】把zx+y+xy+z+yz+x=11兩邊加上3，變形可得x+y+zx+y+x+y+zy+z+x+y+zz+x=14，兩邊除以x+y+z得到1x+y+1y+z+1z+x=14x+y+z，則14x+y+z=76，從而得到x+y+z的值．
【詳解】解：∵zx+y+xy+z+yz+x=11，
∴1+zx+y+1+xy+z+1+yz+x=14，
即x+y+zx+y+x+y+zy+z+x+y+zz+x=14，
∴1x+y+1y+z+1z+x=14x+y+z，
而1x+y+1y+z+1z+x=76，
∴14x+y+z=76，
∴x+y+z=12．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．經(jīng)過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減，同時(shí)解決問(wèn)題的關(guān)鍵也是從后面的式子變形出x+y+z.
【題型3 整式與分式的相加減運(yùn)算】
【例3】（2022·貴州銅仁·八年級(jí)期末）計(jì)算：11?x?1?x的結(jié)果是________．
【答案】x21?x．
【分析】先把分式化成同分母，再根據(jù)同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，即可得出答案．
【詳解】解：11?x?1?x
=11?x?1?x1?x?x1?x1?x
=1?1+x?x+x21?x
=x21?x
故答案為x21?x．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減．熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2022·山東臨沂·中考模擬）化簡(jiǎn)：（a+2+52?a）?2a?4a+3=_______．
【答案】2a﹣6
【分析】先計(jì)算括號(hào)，進(jìn)行通分，后按同分母加減計(jì)算，再計(jì)算乘除，約分即可．
【詳解】原式=(a2?4a?2?5a?2)?2a?4a+3
=a2?9a?2?2(a?2)a+3
=(a+3)(a?3)a?2?2(a?2)a+3
=2（a﹣3）
=2a﹣6．
故答案為2a﹣6．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是記住分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．
【變式3-2】（2022·福建福州·八年級(jí)期末）已知：P=x+1，Q= 4xx+1．
(1)當(dāng)x>0時(shí)，判斷P-Q與0的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)y=3P?Q2，若x是整數(shù)，求y的整數(shù)值．
【答案】(1)P-Q≥0，理由見(jiàn)解析；
(2)y的整數(shù)值為：-7，-3，-1，3．
【分析】（1）先求差，再比較差與0的大小關(guān)系；
（2）先表示y，再求y的整數(shù)值．
(1)
解：P-Q≥0，理由如下：
P-Q= x+1?4xx+1=(x+1)2x+1?4xx+1
=x2+2x+1?4xx+1
=(x?1)2x+1，
∵x＞0，
∴x+1＞0，（x-1）2≥0．
∴P-Q≥0；
(2)
解：y=3x+1?2xx+1=3?2xx+1=?2(x+1)+5x+1
=?2+5x+1，
∵x，y是整數(shù)，
∴x+1是5的因數(shù)．
∴x+1=±1，±5．對(duì)應(yīng)的y值為：
∴y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+1=-1或y=-2+（-1）=-3．
∴y的整數(shù)值為：-7，-3，-1，3．
【點(diǎn)睛】本題考查分式運(yùn)算和比較大小，正確進(jìn)行分式的加減運(yùn)算是求解本題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2022·河北·中考真題）由1+c2+c?12值的正負(fù)可以比較A=1+c2+c與12的大小，下列正確的是（ ）
A．當(dāng)c=?2時(shí)，A=12B．當(dāng)c=0時(shí)，A≠12
C．當(dāng)c12D．當(dāng)cN.選A.
【點(diǎn)睛】本題考查分式加減的實(shí)際應(yīng)用.異分母分式相減，先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)減法法則進(jìn)行計(jì)算.還需注意本題最終計(jì)算結(jié)果是分式，可分別判斷分子和分母的符號(hào)，根據(jù)兩數(shù)相除，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)判斷結(jié)果的符號(hào).
【變式5-1】（2022·河北秦皇島·八年級(jí)期末）已知n>1，M=nn?1，N=n?1n，P=nn+1，則M、N、P的大小關(guān)系為_(kāi)____________．
【答案】M>P>N
【分析】根據(jù)n>1可得M>1,01,0N，
故答案為：M>P>N．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)和利用作差法比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，作差法比較大小的方法是：如果a?b>0，那么a>b；如果a?b=0，那么a=b；如果a?bc，那么a>b>c．
【變式5-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知x，y，z是三個(gè)互不相同的非零實(shí)數(shù)，設(shè)a=x2+y2+z2，b=xy+yz+zx，c=1x2+1y2+1z2，d=1xy+1yz+1zx．則a與b的大小關(guān)系是_______；c與d的大小關(guān)系是______．
【答案】 a>b c>d
【分析】根據(jù)題意利用作差法進(jìn)行整式與分式的加減運(yùn)算，并將結(jié)果與0比較大小即可確定兩數(shù)間的大小關(guān)系.
【詳解】解：∵x，y，z是三個(gè)互不相同的非零實(shí)數(shù)，
∴a?b=x2+y2+z2?xy+yz+zx=12x?y2+y?z2+z?x2>0．
∴a>b．
又c?d=1x2+1y2+1z2?1xy+1yz+1zx=121x?1y2+1y?1z2+1z?1x2>0，
∴c>d．
故答案為：a>b和c>d.
【點(diǎn)睛】本題考查式子的大小比較，用作差法得到代數(shù)式，運(yùn)用完全平方公式配成完全平方的形式，根據(jù)x，y，z是互不相等的非零實(shí)數(shù)，證明代數(shù)式大于0，得到a與b，c與d的大小關(guān)系．
【變式5-3】（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市國(guó)飛中學(xué)八年級(jí)期末）若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2a+3．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，計(jì)算M與N的值；
（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想．
【答案】（1）M＝45，N＝56；（2）M＜N；證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）直接將a=3代入原式求出M，N的值即可；
（2）直接利用分式的加減以及乘除運(yùn)算法則，進(jìn)而合并求出即可．
【詳解】（1）當(dāng)a=3時(shí)，M=3+13+2=45，N=3+23+3=56；
（2）方法一：猜想：M＜N．理由如下：
M﹣N=a+1a+2?a+2a+3 =(a+1)(a+3)?（a+2）2(a+2)(a+3) =?1（a+2）（a+3）．
∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴?1（a+2）（a+3）＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；
方法二：猜想：M＜N．理由如下：
MN=a+1a+2?a+3a+2=a2+4a+3a2+4a+4．
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴a2+4a+3a2+4a+4＜1，∴MN＜1，∴M＜N．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減以及乘除運(yùn)算，正確通分得出是解題的關(guān)鍵．
【題型6 分式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值】
【例6】（2022·天津東麗·八年級(jí)期末）計(jì)算
（1）4a3b?b2a4÷1a2
（2）aa?1÷a2?aa2?1?1a?1
【答案】（1）23a；（2）aa?1
【分析】（1）先將除法寫(xiě)成乘法，再計(jì)算乘法，分子、分母約分化為最簡(jiǎn)分式；
（2）先將除法寫(xiě)成乘法，計(jì)算乘法得到最簡(jiǎn)分式，再與后一項(xiàng)相減即可得到答案.
【詳解】（1）原式＝4a3b?b2a4?a2＝23a；
（2）原式＝aa?1?(a+1)(a?1)a(a?1)?1a?1=a+1a?1?1a?1=aa?1.
【點(diǎn)睛】此題考查分式的混合運(yùn)算，先將除法化為乘法，再約分結(jié)果，再計(jì)算加減法.
【變式6-1】（2022·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：1﹣x?2yx+y÷x2?4xy+4y2x2?y2，其中x＝﹣2，y＝12．
【答案】﹣yx?2y，16．
【分析】原式利用除法法則變形，約分后兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算得到最簡(jiǎn)結(jié)果，之后將x、y代入計(jì)算即可求得答案．
【詳解】解：原式＝1﹣x?2yx+y?x+yx?yx?2y2=1?x?yx?2y＝﹣yx?2y，
當(dāng)x＝﹣2，y＝12時(shí)，原式＝16．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練的掌握分式的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵，在解題的時(shí)候，要注意式子的整理和約分．
【變式6-2】（2022·江蘇·南京玄武外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）已知分式 A ?(a+1?3a?1)÷a2?4a+4a?1
（1）化簡(jiǎn)這個(gè)分式；
（2）當(dāng) a＞2 時(shí)，把分式 A 化簡(jiǎn)結(jié)果的分子與分母同時(shí)加上 4 后得到分式 B，問(wèn)：分式 B 的值較原來(lái)分式 A 的值是變大了還是變小了？試說(shuō)明理由；
（3）若 A 的值是整數(shù)，且 a 也為整數(shù)，求出符合條件的所有 a 值的和．
【答案】（1）a+2a?2；（2）原分式值變小了，見(jiàn)解析；（3）11
【分析】（1）根據(jù)分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得；
（2）根據(jù)題意列出算式A?B=a+2a?2?a+6a+2，化簡(jiǎn)可得A?B=16(a?2)(a+2)，結(jié)合a的范圍判斷結(jié)果與0的大小即可得；
（3）由A=a+2a?2=1+4a?2可知，a?2=±1、±2、±4，結(jié)合a的取值范圍可得．
【詳解】解：（1）A=(a+1?3a?1)÷a2?4a+4a?1
=a2?1?3a?1×a?1(a?2)2
=(a+2)(a?2)a?1×a?1(a?2)2
=a+2a?2；
（2）變小了，理由如下：
∵A=a+2a?2，
∴B=a+6a+2，
∴A?B=a+2a?2?a+6a+2=16(a?2)(a+2)；
∵a>2，
∴a?2>0，a+2>4，
∴A?B>0，
∴分式的值變小了；
（3）∵A是整數(shù)，a是整數(shù)，
則A=a+2a?2=1+4a?2，
∴a?2=±1、±2、±4，
∵a≠1，
∴a的值可能為：3、0、4、6、-2；
∴3+0+4+6+(?2)=11；
∴符合條件的所有a值的和為11．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
【變式6-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）已知 x,y 為整數(shù)，且滿足 1x+1y1x2+1y2=?231x4?1y4 ，求 x+y 的值．
【答案】x+y的值為0或±1.
【分析】根據(jù)平方差公式和約分法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)取整法則解答即可．
【詳解】解：∵(1x+1y)(1x2+1y2)=?23(1x4?1y4)，
∴(1x+1y)(1x2+1y2)=?23(1x2+1y2)(1x2?1y2)，
∴(1x+1y)=?23(1x2?1y2)，
∴(1x+1y)1+23(1x?1y)=0，
∴1x+1y=0或1+231x?1y=0，
∴x+y=0或1x?1y=?32，
由1x?1y=?32，得x=2y2?3y=22y?3，
由于 x，y 為整數(shù)，
當(dāng)y=1時(shí)，x為整數(shù)-2，則x+y=-1；
當(dāng)y=-1時(shí)，x為-25，不是整數(shù)，不符合題意，舍去；
當(dāng)y=2時(shí)，x為整數(shù)-1，則x+y=1；
當(dāng)y=-2時(shí)，x為-12，不是整數(shù)，不符合題意，舍去；
綜上，x+y的值為0或±1．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
【題型7 分式中的新定義問(wèn)題】
【例7】（2022·北京昌平·八年級(jí)期中）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”．如：x+1x?1=x?1+2x?1=x?1x?1+2x?1=1+2x?1，則x+1x?1是“和諧分式”．
(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是 （填序號(hào)）；
①x+33 ② x?5x ③ x?1x+2 ④x+1x2
(2)請(qǐng)將“和諧分式”x2+6x+3x+3化為一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，并寫(xiě)出化簡(jiǎn)過(guò)程；
(3)應(yīng)用：先化簡(jiǎn)x?xx+1÷x2?3xx2?9?x+1x2+6x，并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．
【答案】(1)②③
(2)x+3?6x+3，過(guò)程見(jiàn)解析
(3)1?3x+6，當(dāng)x=?5,?7,?9，該式的值是整數(shù)，
【分析】（1）由“和諧分式”的定義對(duì)①②③④變形即可得；
（2）根據(jù)“和諧分式”的定義進(jìn)行變形即可求解；
（3）將原式變形為1?3x+6，根據(jù)題意求得x的值，根據(jù)分式有意義的條件取舍即可求解．
【詳解】（1）解：①x+33=1+x3，不是“和諧分式”，
②x?5x=1?5x，是“和諧分式”，
③x?1x+2=x+2?3x+2=1?3x+2，是“和諧分式”，
④x+1x2 =1x+1x2，不是“和諧分式”，
故答案為：②③；
（2）解：x2+6x+3x+3
=x+32?6x+3
=x+3?6x+3；
（3）解：x?xx+1÷x2?3xx2?9?x+1x2+6x
=xx+1?xx+1·x+3x?3xx?3·x+1xx+6
=x2x+1x+3x?3x2x+1x?3x+6
=x+3x+6
=x+6?3x+6
=1?3x+6，
∵1?3x+6為整數(shù)，
∴x+6 =±1,±3，
∴當(dāng)x=?3,?5,?7,?9時(shí)，1?3x+6是整數(shù)，
又∵x≠0,?1,3,?3,?6．
∴x=?5,?7,?9時(shí)，原式的值是整數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則及對(duì)和諧分式的定義的理解．
【變式7-1】（2022·江蘇·八年級(jí)）定義：若兩個(gè)分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互為“n階分式”，例如分式3x+1與3x1+x互為“3階分式”.
（1）分式10x3+2x與 互為“5階分式”；
（2）設(shè)正數(shù)x,y互為倒數(shù)，求證：分式2xx+y2與2yy+x2互為“2階分式”；
（3）若分式aa+4b2與2ba2+2b互為“1階分式”（其中a,b為正數(shù)），求ab的值.
【答案】（1）153+2x；（2）詳見(jiàn)解析；（3）12
【分析】（1）根據(jù)分式的加法，設(shè)所求分式為A，然后進(jìn)行通分求解即可；
（2）根據(jù)題意首先利用倒數(shù)關(guān)系，將x，y進(jìn)行消元，然后通過(guò)分式的加法化簡(jiǎn)即可得解；
（3）根據(jù)1階分式的要求對(duì)兩者相加進(jìn)行分式加法化簡(jiǎn)，通過(guò)通分化簡(jiǎn)即可得解.
【詳解】（1）依題意，所求分式為A，即：10x3+2x+A=5，
∴A=5?10x3+2x=15+10x3+2x?10x3+2x=153+2x；
（2）∵正數(shù)x,y互為倒數(shù)
∴xy=1，即x=1y
∴2xx+y2+2yy+x2=21y1y+y2+2yy+1y2=21+y3+2y3y3+1=2(1+y3)1+y3=2
∴分式2xx+y2與2yy+x2互為“2階分式”；
（3）由題意得aa+4b2+2ba2+2b=1，等式兩邊同乘(a+4b2)(a2+2b)
化簡(jiǎn)得： a(a2+2b)+2b(a+4b2)=(a2+2b)(a+4b2)
即：2ab+8b3=4a2b2+8b3
∴4a2b2?2ab=0，即2ab(2ab?1)=0
∴ab=12或0
∵a,b為正數(shù)
∴ab=12.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減，熟練掌握分式的通分約分運(yùn)算知識(shí)是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.
【變式7-2】（2022·江蘇·灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M?N=MN，則稱分式N是分式M的“關(guān)聯(lián)分式”．如1x+1與1x+2，因?yàn)?x+1?1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2，所以1x+2是1x+1的“關(guān)聯(lián)分式”．
(1)已知分式2a2?1，則2a2+1______2a2?1的“關(guān)聯(lián)分式”（填“是”或“不是”）；
(2)小明在求分式1x2+y2的“關(guān)聯(lián)分式”時(shí)，用了以下方法：
設(shè)1x2+y2的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則1x2+y2?N=1x2+y2×N，
∴1x2+y2+1N=1x2+y2，
∴N=1x2+y2+1．
請(qǐng)你仿照小明的方法求分式a?b2a+3b的“關(guān)聯(lián)分式”．
(3)①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫(xiě)出分式y(tǒng)x的“關(guān)聯(lián)分式”：______；
②用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題：
若4n?2mx+m是4m+2mx+n的“關(guān)聯(lián)分式”，求實(shí)數(shù)m，n的值．
【答案】(1)是
(2)a?b3a+2b
(3)①yx+y；②m=?34n=14
【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)分式的定義進(jìn)行判斷；
（2）仿照題目中給到的方法進(jìn)行求解；
（3）①根據(jù)（1）（2）找規(guī)律求解；
②由①推出的結(jié)論，類比形式求解即可.
（1）
解：∵2a2?1-2a2+1=4(a2?1)(a2+1)，2a2?1×2a2+1=4(a2?1)(a2+1)
∴2a2+1是2a2?1的“關(guān)聯(lián)分式”
故答案為：是
（2）
解：設(shè)a?b2a+3b的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則a?b2a+3b?N=a?b2a+3b×N，
∴a?b2a+3b+1N=a?b2a+3b，
∴N=a?b3a+2b．
（3）
解：①設(shè)yx的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則yx?N=yx×N，
∴yx+1N=yx，
∴N=yx+y．
故答案為：yx+y；
②由題意，可得4m+2=4n?2mx+m=mx+n+4m+2，
整理得n?m=1,n+3m=?2.
解得m=?34n=14．
【點(diǎn)睛】本題是創(chuàng)新探究類題目，讀懂題目中的新定義并熟練地掌握分式的混合運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵.
【變式7-3】（2022·江西南昌·八年級(jí)期末）定義：若兩個(gè)分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互為“n和分式”．例如：5x+1+5xx+1=5，我們稱兩個(gè)分式5x+1與5xx+1互為“5和分式”．解答下列問(wèn)題：
（1）分式4x+1與分式________互為“4和分式”；
（2）分式2xx+y與分式2yx+y互為“________和分式”；
（3）已知xy=1，兩個(gè)分式1x+1與1y+1是否是“n和分式”？如果是，請(qǐng)求出n的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若分式3xx+y2與3yx2+y互為“3和分式”（其中x，y為正數(shù)），求xy的值．
【答案】（1）4xx+1；（2）2；（3）是，1x+1與1y+1是“1和分式”，即n=1；（4）xy=1
【分析】（1）設(shè)這個(gè)分式為W，根據(jù)題意可知W+4x+1=4，然后求解即可得到答案；
（2）根據(jù)2xx+y+2yx+y=2，即可求解；
（3）根據(jù)xy=1，則1y+1=11x+1=x1+x，即可得到1x+1+1y+1=1；
（4）由題意可得3xx+y2+3yx2+y=3然后求解xy即可.
【詳解】解：（1）設(shè)這個(gè)分式為W，
根據(jù)題意可知W+4x+1=4
W=4?4x+1=4x+4?4x+1=4xx+1
（2）2xx+y+2yx+y=2x+2yx+y=2
∴2xx+y與2yx+y互為“2和分式”
（3）∵xy=1，
∴y=1x
∴1y+1=11x+1=x1+x
∴1x+1+1y+1=1x+1+xx+1=x+1x+1=1
∴1x+1與1y+1互為“1和分式”
∴n=1
（4）∵3xx+y2與3yx2+y互為“3和分式”
3xx+y2+3yx2+y=3
3xx+y2+3yx2+y=3x+y2x2+y
3x2y2=3xy
xy=1
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
【題型8 分式運(yùn)算的規(guī)律探究】
【例8】（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學(xué)八年級(jí)期中）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝11+x，例如：f（3）＝11+3=14，f（13）=131+13=1?14，計(jì)算：f（12006）+ f（12005）+ f（12004）+ …f（13）+ f（12）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）＝______．
【答案】2006
【分析】首先根據(jù)fx=11+x可以得到f1x=x1+x=1?11+x，分別把f(12006)，f(12005)以及f(12)表示出來(lái)，其余的f1,f2,用fx=x1+x表示即可求解．
【詳解】∵fx=11+x
∴f1x=11+1x=11+xx=x1+x=1?11+x
原式=1-12007+1-12006+1-+1?13+12+12+13++12005+12006+12007
=?12007+12007+?12006+12006+?12005+12005++?13+13+12+12+2005
=2006
故答案是：2006．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的計(jì)算以及分式的代數(shù)求值，準(zhǔn)確的根據(jù)已知條件表示出f1x=1?11+x是求解本題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2022·安徽安慶·七年級(jí)期末）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：232?4×2?1?41=21；
第2個(gè)等式：442?4×2?2?42=22；
第3個(gè)等式：652?4×2?3?43=23；
第4個(gè)等式：862?4×2?4?44=24；
第5個(gè)等式：1072?4×2?5?45=25；……
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式：___________；
(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：__________（用含n的等式表示），并證明．
【答案】(1)1282?4×2?6?46=26
(2)2n(n+2)2?4×2?n?4n=2n，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題目中前5個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，從而可以寫(xiě)出第6個(gè)等式；
（2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母n表示出來(lái)，并運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算等號(hào)的右邊的值，進(jìn)而得到左右相等便可．
(1)
解： 1282?4×2?6?46=26；
(2)
解：2n(n+2)2?4×2?n?4n=2n，理由如下：
左邊=2nn2+4n×n+4n=2n+4×n+4n=2n=右邊，
∴等式成立．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫(xiě)出相應(yīng)的等式，并證明猜想的正確性是解答本題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2022·江蘇泰州·八年級(jí)期中）【探究思考】
（1）探究一：
觀察分式x?1x的變形過(guò)程和結(jié)果，x?1x=xx+?1x=1?1x．
填空：若x為小于10的正整數(shù)，則當(dāng)x=_______時(shí)，分式x?1x的值最大．
（2）探究二：
觀察分式a2+2a?2a?1的變形過(guò)程和結(jié)果，
a2+2a?2a?1=a?12+4a?3a?1=a?12+4a?1+1a?1=a?1+4+1a?1=a+3+1a?1．
模仿以上分式的變形過(guò)程和結(jié)果求出分式x2+2x?1x?1的變形結(jié)果．
【問(wèn)題解決】
（3）當(dāng)?2

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

10.1 分式

版本： 蘇科版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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