2022～2023學年度下期高2024屆半期考試數(shù)學試卷（理科）考試時長：120分鐘  滿分：150分一、選擇題（每小題5分，共60分）1. 已知復數(shù)，為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為（    ）A.  B. 1 C. 0 D. 1或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義求解.【詳解】解：因為復數(shù)，為純虛數(shù)，所以，解得，故選：B2. 在極坐標系中，過點且垂直于極軸的直線的極坐標方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設點是所求直線上的任意一點，．利用直角三角形的邊角關(guān)系可得，即可得出．【詳解】如圖所示，設是所求直線上的任意一點，，，則，．故選：C．3. 利用分析法證明不等式成立，只需證明成立即可，則“成立”是“成立”的（    ）A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】利用分析法證明不等式成立，只需證明成立即可，則，則“成立”是“成立”的充分條件.故選：A.4. 已知是圓上一點，則直線與圓相切，且為切點，類似的，點是橢圓上一點，則以為切點，與橢圓相切的切線方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用換元法，設將橢圓轉(zhuǎn)化為圓，先求出過圓上一點圓的切線方程，再轉(zhuǎn)化回橢圓的切線方程.【詳解】對于橢圓，設，則橢圓方程變?yōu)閳A，橢圓上的點的坐標變?yōu)?/span>，且，因為過圓上點的切線方程為，所以可得，即過橢圓上點的切線方程為.故選：D5. 已知復數(shù)（x，）對應的點在第一象限，z的實部和虛部分別是雙曲線C的實軸長和虛軸長，若，則雙曲線C的焦距為（    ）A. 8 B. 4 C.  D. 2【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的定義和復數(shù)模的定義即可求得雙曲線C的焦距.【詳解】復數(shù)（x，）對應的點在第一象限，則，又z的實部和虛部分別是雙曲線C的實軸長和虛軸長，，則雙曲線C的焦距為故選：B6. 函數(shù)的大致圖像為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用排除法，先利用函數(shù)值正負的分布判斷B錯誤，再利用特殊值判斷D錯誤,根據(jù)極值點確定C錯誤，即得答案.【詳解】函數(shù)中，，當時,,看圖像知B選項錯誤；函數(shù)中，，當時,, 看圖像知D選項錯誤；解得，故為函數(shù)的極值點，故C選項不符合，.D選項正確.
 故選：A.7. 將圓經(jīng)過坐標變換后得到的曲線方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先將反解為，再代入，最后得到新曲線的方程即可.【詳解】因為，所以，代入，所以得到的新曲線的方程為：.故選：C8. 已知函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞增，有恒成立，參變分離求在區(qū)間上最大值，進而求出的范圍.【詳解】解：因為函數(shù)的導函數(shù)為，并且在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，則，即恒成立，，因為在上最大值為，所以.故選：.9. 已知，，，則下列不等關(guān)系正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得，即可判斷大小關(guān)系.【詳解】由，可得.則，故；，故.綜上，.故選：B.10. 已知橢圓的左右焦點分別為，，拋物線與橢圓C有相同的焦點，點P為拋物線E與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點，直線與拋物線E相切，則橢圓C的長軸長為（    ）A.  B.  C. 4 D. 【答案】B【解析】【分析】先利用題給條件列方程組求得的坐標，再利用橢圓定義即可求得橢圓C的長軸長.【詳解】橢圓的左右焦點分別為，，拋物線與橢圓C有相同的焦點，則，，設直線方程為，由，可得①，則，解之得或（舍），由①可得可得，則，則，，則橢圓C的長軸長為.故選：B.11. 關(guān)于函數(shù)的零點，下列說法正確的是（    ）A. 函數(shù)有兩個零點，，且B. 函數(shù)有兩個零點，，且C. 函數(shù)有三個零點，，，且D. 函數(shù)有三個零點，，，且【答案】C【解析】【分析】求出，利用的單調(diào)性可得的大致圖象，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】函數(shù)，由可得或，由可得，所以在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，，，，可得的大致圖象如下，，所以函數(shù)有三個零點，且，故AB錯誤；故只需驗證即可，可得，所以，故C正確，D錯誤.故選：C.12. 已知實數(shù)a，b滿足，則的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)均值不等式可得，進而根據(jù)立方和公式化簡，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解單調(diào)性，進而可求值域.【詳解】由得，故，由于將和代入得，不妨設，則，由于當，故在單調(diào)遞增，故，故，故選:A【點睛】方法點睛：處理多變量不等式或者函數(shù)最值問題的方法（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化. （3）利用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.二、填空題（每小題5分，共20分）13. 復數(shù)的共軛復數(shù)為，則______.【答案】【解析】【分析】現(xiàn)根據(jù)復數(shù)的除法運算求出復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)的定義即可得解.【詳解】，所以.故答案為：.14. 在極坐標系中，點，，則線段的長為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)極坐標系中兩點間的距離公式，求出線段的長即可．【詳解】由已知，，線段的長為．故答案為：．15. 已知定義在R上函數(shù)的導函數(shù)為，，且，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，理由導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求解不等式.【詳解】設函數(shù)，，所以單調(diào)遞增，不等式，即，即，所以不等式的解集為.故答案為：16. 已知函數(shù)，，有以下四個命題：①對，不等式恒成立；②是函數(shù)的極值點；③函數(shù)的圖象與x軸及圍成的區(qū)域面積為；④.其中正確的命題有______.【答案】①③④【解析】【分析】，確定函數(shù)單調(diào)遞增，計算最值得到①正確，函數(shù)單調(diào)遞增，得到②錯誤，求積分得到③正確，根據(jù)①得到④正確，得到答案.【詳解】對①：，即，設，則恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，故，正確；對②：恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值點，錯誤；對③：，面積為，正確；對④：根據(jù)①知：在上恒成立，則，故，則，正確.故答案為：①③④三、解答題（共70分）17. 已知曲線C的極坐標方程為，A，B是曲線C上不同的兩點，且，其中O為極點.（1）求曲線C的直角坐標方程；（2）求點B的極徑.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用極坐標與直角坐標的互化即可求得曲線C的直角坐標方程；（2）利用題給條件列方程組即可求得點B的極徑.【小問1詳解】由，，得：，所以曲線C的直角坐標方程為；【小問2詳解】設，則由題意可知，將A，B坐標代入方程得：，∴，得(負值舍去)，∴B的極徑為.18. 某企業(yè)生產(chǎn)的某種乳制品的蛋白質(zhì)含量x（%）與生產(chǎn)成本y（元）之間的數(shù)據(jù)如下表：x00.691.391.792.402.562.94y19324044525354已知生產(chǎn)成本y與產(chǎn)品蛋白質(zhì)含量x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.（1）求生產(chǎn)成本y關(guān)于蛋白質(zhì)含量x的回歸方程；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若公司準備將生產(chǎn)成本提高到60至70元，則判斷生產(chǎn)的乳制品蛋白質(zhì)含量的取值范圍.（精確到小數(shù)點后兩位）參考公式：.參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）將和代入（1）中回歸直線方程求解.【小問1詳解】解：由題中數(shù)據(jù)可得，設生產(chǎn)成本y關(guān)于蛋白質(zhì)含量x的回歸方程為，∵，∴，所以回歸方程為，【小問2詳解】當時，由（1）得.解得，當時，由（1）得.解得，所以生產(chǎn)的乳制品蛋白質(zhì)含量的取值范圍為.19. 函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點，求a的值，并判斷是極大值點還是極小值點；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1），極小值點；    （2）當時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【解析】【分析】（1）利用，求得，再根據(jù)在兩側(cè)的正負，可確定是極大值點還是極小值點；（2）由題意可得，分、和三種情況討論的正負，從而即可確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】解：因，∵是函數(shù)的極值點，∴，解得，當時，，∴在上遞減，當時，，∴在上遞增，∴是函數(shù)的極小值點；【小問2詳解】解：∵，①當時，在R上恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，②當時，令，解得或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，③當時，令，解得或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.20. 在四棱錐中，底面ABCD為矩形，為邊長為2的正三角形，且平面平面ABCD，E為線段AD的中點，PE與平面ABCD所成角為45°.（1）求證：平面平面PBC；（2）求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出對應點的坐標，分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量證明垂直的方式即可證明；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用空間向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】取AB中點O，連接PO、OE，由題知平面ABCD∴，∴又，∴，，如圖建立空間坐標系，，，，，，，設平面PCE法向量為則，令，，所以，，，設平面PBC的法向量為，則，令，，，可得，又所以平面平面PBC，【小問2詳解】由（1）知，，平面的法向量，所以，所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.21. 已知過點的直線與拋物線相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，過M作x軸的垂線與拋物線交于點N.（1）若拋物線在N點處切線的斜率等于2，求直線AB的方程；（2）設，求與面積之差的最大值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設直線方程，聯(lián)立拋物線，韋達定理求出中點橫坐標，即可求出N點坐標，利用導數(shù)幾何意義即可求出直線斜率，即可求解；（2）利用弦長公式求出弦長AB，利用距離公式及面積公式列出面積差的關(guān)系式，換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究最值即可.【小問1詳解】設直線AB方程為，，，聯(lián)立，消y得，所以，，所以，所以，代入拋物線得，又函數(shù)的導函數(shù)為，所以拋物線在N點處的切線的斜率為，所以所以直線AB方程為；【小問2詳解】由（1）問可得，又點到直線AB距離為，點到直線AB的距離為，所以，令，所以，即函數(shù)，，則，令得令得，令得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)取到最大為，即時，與面積之差取得最大值.22. 已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）證明不等式.【答案】（1）2    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最小值；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，得到當時，成立，用數(shù)學歸納法證明.【小問1詳解】對函數(shù)求導可得，令函數(shù)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又∵，當時，，即，當時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，【小問2詳解】由（1）問知，即，所以當時，成立，現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明：當時，成立，假設當時，不等式成立，則當時，，要證明，，，，令，則，∵，，，∵，∴，成立，∴成立，綜上，對，均有不等式成立.【點睛】1．數(shù)學歸納法是一種重要的數(shù)學思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題．證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)．2．在用數(shù)學歸納法證明時，第(1)步驗算的不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值．第(2)步，證明時命題也成立的過程，一定要用到歸納假設，否則就不是數(shù)學歸納法.
 

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