知識(shí)點(diǎn)一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積
棱柱、棱錐、棱臺(tái)是多面體，它們的各個(gè)面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個(gè)面的面積之和．計(jì)算時(shí)要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個(gè)面的面積再求和．棱柱、棱錐、棱臺(tái)底面與側(cè)面的形狀如下表：
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
求多面體的表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．
知識(shí)點(diǎn)二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積
圓柱、圓錐、圓臺(tái)是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應(yīng)把它們的側(cè)面展開為平面圖形，再去求其面積．
1．圓柱的表面積
（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長，那么這個(gè)矩形的長等于圓柱底面周長C=2πr，寬等于圓柱側(cè)面的母線長（也是高），由此可得S圓柱側(cè)=C=2πr．

（2）圓柱的表面積：．
2．圓錐的表面積
（1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長為，那么這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面周長C=πr，半徑等于圓錐側(cè)面的母線長為，由此可得它的側(cè)面積是．
（2）圓錐的表面積：S圓錐表=πr2+πr．

3．圓臺(tái)的表面積
（1）圓臺(tái)的側(cè)面積：如上圖（2）所示，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)．如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r＇、r，母線長為，那么這個(gè)扇形的面積為π(r＇+r)，即圓臺(tái)的側(cè)面積為S圓臺(tái)側(cè)=π(r＇+r)．
（2）圓臺(tái)的表面積：．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)三、柱體、錐體、臺(tái)體的體積
1．柱體的體積公式
棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即V棱柱=Sh．
圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V圓柱=Sh=πr2h．
綜上，柱體的體積公式為V=Sh．
2．錐體的體積公式
棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積．
圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用πr2表示S，則．
綜上，錐體的體積公式為．
3．臺(tái)體的體積公式
棱臺(tái)的體積：如果棱臺(tái)的上、下底面的面積分別為S＇、S，高是h，那么它的體積是．
圓臺(tái)的體積：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r＇、r，高是h，那么它的體積是
．
綜上，臺(tái)體的體積公式為．
知識(shí)點(diǎn)四、球的表面積和體積
1．球的表面積
（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積．
（2）球的表面積
設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式 S球=4πR2．
即球面面積等于它的大圓面積的四倍．
2．球的體積
設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)．
球的體積公式為．
【典型例題】
類型一 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積
例1．(2023·全國·高一）如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺(tái)和較小的棱錐.
（1）求大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面面積之比；
（2）若大棱錐PO的側(cè)棱長為12cm，小棱錐的底面邊長為4cm，求截得的棱臺(tái)的側(cè)面面積和表面積.
解題技巧（求多面體表面積注意事項(xiàng)）
1．多面體的表面積轉(zhuǎn)化為各面面積之和．
2．解決有關(guān)棱臺(tái)的問題時(shí)，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到梯形中去解決；二是把棱臺(tái)還原成棱錐，利用棱錐的有關(guān)知識(shí)來解決．
例2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，點(diǎn)，，為圓上的點(diǎn)，分別是以為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，使得，，重合，得到三棱錐，則當(dāng)?shù)倪呴L變化時(shí)，求三棱錐的表面積的取值范圍.
例3．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知四面體S-ABC的棱長為a，各面均為等邊三角形，求它的表面積．
例4．（2023·山東·棗莊八中高一期中）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3．說明過程，不要求嚴(yán)格證明，不考慮打印損耗的情況下，
（1）計(jì)算制作該模型所需原料的質(zhì)量；
（2）計(jì)算該模型的表面積（精確到0.1）
參考數(shù)據(jù)：，，
類型二 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
例5．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)六棱錐的高為10cm，底面是邊長為6cm的正六邊形，求這個(gè)六棱錐的體積．
解題技巧(求棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積的注意事項(xiàng))
1．常見的求幾何體體積的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．
2．求幾何體體積時(shí)需注意的問題
柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算．
例6.（2023·安徽·安慶一中高一期中）已知一個(gè)三棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為2和4的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體積.
例7．（2023·寧夏·青銅峽市高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖所示，正方體的棱長為，連接，，，，，得到一個(gè)三棱錐．求：
（1）三棱錐的表面積與正方體表面積的比值；
（2）三棱錐的體積．
例8.（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在多面體中，已知是邊長為1的正方形，且△，△均為等邊三角形，，，求該多面體的體積.
類型三 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積
例9．（2023·重慶市萬州第二高級中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，梯形滿足，，，，，現(xiàn)將梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體記為．求的表面積．
解題技巧（求旋轉(zhuǎn)體表面積注意事項(xiàng)）
旋轉(zhuǎn)體中，求面積應(yīng)注意側(cè)面展開圖，上下面圓的周長是展開圖的弧長．圓臺(tái)通常還要還原為圓錐．
例10．（2023·陜西·西安市華山中學(xué)高一階段練習(xí)）西安市建造圓錐形倉庫用于儲(chǔ)存糧食，已建的倉庫底面直徑為，高為.隨著西安市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，糧食產(chǎn)量的增大，西安市擬建一個(gè)更大的圓錐形倉庫，以存放更多的糧食.現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫底面半徑比原來大（高不變）；二是高度增加（底面直徑不變）.分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；
例11．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，直三棱柱的高為，底面三角形的邊長分別為．以上、下底的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分形成的幾何體的表面積．
類型四 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積
例12．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)高為的圓柱．
（1）求出此圓錐的側(cè)面積；
（2）用表示此圓柱的側(cè)面積表達(dá)式；
（3）當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求此圓柱的體積．
解題技巧(求幾何體積的常用方法)
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等積法：例如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的幾何體即可．
(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐等．
(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．
例13．（2023·河北·邯山區(qū)新思路學(xué)本文化輔導(dǎo)學(xué)校高一階段練習(xí)）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.蒙古包古代稱作穹廬、“氈包”或“氈帳”，如圖1所示.一個(gè)普通的蒙古包可視為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合，如圖2所示.已知該圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面直徑為6米.

圖1 圖2
（1）求該蒙古包的側(cè)面積；
（2）求該蒙古包的體積.
例14．（2023·江西贛州·高二階段練習(xí)（理））已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，母線長為2.
（1）求該圓錐的底面積；
（2）在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求這個(gè)圓柱的體積.
例15．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若圓錐的表面積是，側(cè)面展開圖的圓心角是，求圓錐的體積．
類型五 球的表面積與體積
例16．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，分別為中點(diǎn)，將沿折起得到三棱錐，三棱錐外接球的表面積為________.
解題技巧（與球有關(guān)問題的注意事項(xiàng)）
1．正方體的內(nèi)切球
球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1＝a2，過在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面如圖(1)．
2．球與正方體的各條棱相切
球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對角面有r2＝2a2 ，如圖(2)．
3．長方體的外接球
長方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3＝ a2+b2+c22 ，如圖(3)．

4．正方體的外接球
正方體棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝eq \r(3)a.
5．正四面體的外接球
正四面體的棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為：2R＝eq \f(\r(6),2)a.
6、有關(guān)球的截面問題
常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.
例17．(2023·廣東揭陽·高三期末）已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍?，則圓柱的表面積與球的表面積之比為（ ）
A．B．C．D．不能確定
例18.(2023·上海市楊浦高級中學(xué)高二期末）大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀(jì)念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（ ）
A．B．C．D．
例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正四面體的俯視圖為邊長為1的正方形（兩條對角線一條是虛線一條是實(shí)線），則正四面體的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例20．（2023·湖北孝感·高三期中）一個(gè)與球心距離為的平面截球所得的圓周長為，則球的表面積為___________.
例21．（2023·貴州師大附中高一階段練習(xí)）在長方體中，AB=6，BC=8，.
（1）求三棱錐的體積；
（2）在三棱柱內(nèi)放一個(gè)體積為V的球，求V的最大值.
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．(2023·浙江杭州·高二期末）如圖所示，是某廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，其中，圓錐的底面和球的直徑都是0.2m，圓錐的高是0.24m．要對1000個(gè)這樣的臺(tái)燈表面涂一層膠，如果每平方米需要涂膠100克，則共需膠（ ）克
A．340πB．440πC．4600πD．6600π
2．（2023·山東濰坊·高二期中）半徑為 4 的半圓卷成一個(gè)圓錐， 則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·山東濰坊·高二期末）牙雕套球又稱“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，工藝要求極高．現(xiàn)有某“鬼工球”，由外及里是兩層表面積分別為和的同心球（球壁的厚度忽略不計(jì)），在外球表面上有一點(diǎn)A，在內(nèi)球表面上有一點(diǎn)B，連接AB，則線段AB長度的最小值是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．
4．(2023·廣東湛江·高三階段練習(xí)）圓柱容器內(nèi)部盛有高度為的水，若放入一個(gè)圓錐（圓錐的底面與圓柱的底面正好重合）后，水恰好淹沒圓錐的頂部，則圓錐的高為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·云南·高三期中（理））陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一．如圖，一個(gè)倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱，其中總高度為，圓柱部分高度為，已知該陀螺由密度為cm的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為，則此陀螺圓柱底面的面積為（ ）
A．10cmB．15cmC．16cmD．20cm
6．(2023·廣東東莞·高三期末）“中國天眼”（如圖1）是世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠(yuǎn)鏡，其形狀可近似地看成一個(gè)球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如圖2所示，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的線段叫做球冠的高．若球面的半徑是，球冠的高度是，則球冠的面積）．已知天眼的球冠的底的半徑約為250米，天眼的反射面總面積（球冠面積）約為25萬平方米，則天眼的球冠高度約為（ ）（參考數(shù)值）

A．52米B．104米C．130米D．156米
7．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖①，需在正方體的盒子內(nèi)鑲嵌一個(gè)小球，使得鑲嵌后的三視圖均為圖②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面積為，則該小球的體積為（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖晦提出了著名的體積計(jì)算原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是說，如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．根據(jù)這個(gè)原理，可推出球的體積公式為，其中是球的半徑．已知球的半徑等于3，那么它的體積等于（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．(2023·全國·高一）正三棱錐的外接球半徑為2，底面邊長為，則此三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知某圓錐的母線長為，其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說法中正確的有（ ）
A．圓錐的體積為
B．圓錐的表面積為
C．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形
D．圓錐的內(nèi)切球表面積為
11．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為，則下列敘述正確的是（ ）
A．正三棱錐高為3B．正三棱錐的斜高為
C．正三棱錐的體積為D．正三棱錐的側(cè)面積為
12．（2023·湖北·丹江口市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面中，，且，下列說法正確的有（ ）
A．該圓臺(tái)軸截面面積為
B．該圓臺(tái)的體積為
C．該圓臺(tái)的母線與下底面所成的角為30°
D．沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為
三、填空題
13．(2023·廣西柳州·二模（文））阿基米德是偉大的古希臘哲學(xué)家?數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且內(nèi)切球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內(nèi)切球體積為___________.
14．(2023·新疆·高二期末）某學(xué)生到某工廠進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為一個(gè)大圓柱中挖去一個(gè)小圓柱后的剩余部分（兩個(gè)圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為的正方形，小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.（?。?br>15．(2023·河北深州市中學(xué)高三期末）四面體ABCD的頂點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上，．若該球的表面積為．則四面體ABCD體積的最大值為______．
16．(2023·全國·高三專題練習(xí)（理））四面ABCD中，共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩相互垂直，且其長分別為2，3，4．若四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為________．
四、解答題
17．(2023·上海浦東新·高二期末）已知某圓柱底面半徑和母線長都是.
（1）求出該圓柱的表面積和體積；
（2）若圓錐與該圓柱底面半徑?高都相等，求圓錐的側(cè)面積.
18．（2023·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖為正四棱錐P - ABCD，PO⊥平面ABCD，BC = 3，PO = 2.
（1）求正四棱錐P - ABCD的體積；
（2）求正四棱錐P - ABCD的表面積.
19．(2023·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)使用某品牌暖水瓶，其內(nèi)膽規(guī)格如圖所示．若水瓶內(nèi)膽壁厚不計(jì)，且內(nèi)膽如圖分為①②③④四個(gè)部分，它們分別為一個(gè)半球、一個(gè)大圓柱、一個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)小圓柱體．若其中圓臺(tái)部分的體積為，且水瓶灌滿水后蓋上瓶塞時(shí)水溢出．記蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為，求及圓臺(tái)部分的高．
20．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是）六角螺母共重．如圖，每一個(gè)螺母的底面是正六邊形，邊長為，內(nèi)孔直徑為，高為，這堆螺母大約有多少個(gè)？（可用計(jì)算工具，?。?br>21．(2023·全國·高一）如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，求該幾何體的表面積（其中）及其體積．
22．(2023·全國·高一）如圖，水平放置的正四棱臺(tái)玻璃容器的高為，兩底面對角線的長分別為，水深為.
（1）求正四棱臺(tái)的體積；
（2）將一根長的玻璃棒放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度.（容器厚度，玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）
23．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐底面半徑為1，高為2.
（1）求圓錐內(nèi)接圓柱（一底面在圓錐底面上，另一底面切于圓錐側(cè)面）側(cè)面積的最大值；
（2）圓錐內(nèi)接圓柱的表面積是否存在最大值？說明理由；
（3）若圓錐的底面半徑為a，高為b，試討論圓錐內(nèi)接圓柱的全面積是否存在最大.
項(xiàng)目
名稱
底面
側(cè)面
棱柱
平面多邊形
平行四邊形
面積=底·高
棱錐
平面多邊形
三角形
面積=·底·高
棱臺(tái)
平面多邊形
梯形
面積=·（上底+下底）·高
8.3 簡單幾何體的表面積與體積
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積
棱柱、棱錐、棱臺(tái)是多面體，它們的各個(gè)面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個(gè)面的面積之和．計(jì)算時(shí)要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個(gè)面的面積再求和．棱柱、棱錐、棱臺(tái)底面與側(cè)面的形狀如下表：
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
求多面體的表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．
知識(shí)點(diǎn)二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積
圓柱、圓錐、圓臺(tái)是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應(yīng)把它們的側(cè)面展開為平面圖形，再去求其面積．
1．圓柱的表面積
（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長，那么這個(gè)矩形的長等于圓柱底面周長C=2πr，寬等于圓柱側(cè)面的母線長（也是高），由此可得S圓柱側(cè)=C=2πr．

（2）圓柱的表面積：．
2．圓錐的表面積
（1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長為，那么這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面周長C=πr，半徑等于圓錐側(cè)面的母線長為，由此可得它的側(cè)面積是．
（2）圓錐的表面積：S圓錐表=πr2+πr．

3．圓臺(tái)的表面積
（1）圓臺(tái)的側(cè)面積：如上圖（2）所示，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)．如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r＇、r，母線長為，那么這個(gè)扇形的面積為π(r＇+r)，即圓臺(tái)的側(cè)面積為S圓臺(tái)側(cè)=π(r＇+r)．
（2）圓臺(tái)的表面積：．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)三、柱體、錐體、臺(tái)體的體積
1．柱體的體積公式
棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即V棱柱=Sh．
圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V圓柱=Sh=πr2h．
綜上，柱體的體積公式為V=Sh．
2．錐體的體積公式
棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積．
圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用πr2表示S，則．
綜上，錐體的體積公式為．
3．臺(tái)體的體積公式
棱臺(tái)的體積：如果棱臺(tái)的上、下底面的面積分別為S＇、S，高是h，那么它的體積是．
圓臺(tái)的體積：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r＇、r，高是h，那么它的體積是
．
綜上，臺(tái)體的體積公式為．
知識(shí)點(diǎn)四、球的表面積和體積
1．球的表面積
（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積．
（2）球的表面積
設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式 S球=4πR2．
即球面面積等于它的大圓面積的四倍．
2．球的體積
設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)．
球的體積公式為．
【典型例題】
類型一 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積
例1．(2023·全國·高一）如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺(tái)和較小的棱錐.
（1）求大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面面積之比；
（2）若大棱錐PO的側(cè)棱長為12cm，小棱錐的底面邊長為4cm，求截得的棱臺(tái)的側(cè)面面積和表面積.
【解析】
（1）設(shè)小棱錐的底面邊長為，斜高為，則大棱錐的底面邊長為，斜高為，
所以大棱錐的側(cè)面積為，小棱錐的側(cè)面積為，
棱臺(tái)的側(cè)面積為，
所以大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面積之比.
（2）因?yàn)樾±忮F的底面邊長為4cm，所以大棱錐的底面邊長為8cm，
因?yàn)榇罄忮F的側(cè)棱長為12cm，所以大棱錐的斜高為cm，
所以大棱錐的側(cè)面積為，
所以棱臺(tái)的側(cè)面積為，
棱臺(tái)的上，下底面的面積和為，
所以棱臺(tái)的表面積為.
解題技巧（求多面體表面積注意事項(xiàng)）
1．多面體的表面積轉(zhuǎn)化為各面面積之和．
2．解決有關(guān)棱臺(tái)的問題時(shí)，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到梯形中去解決；二是把棱臺(tái)還原成棱錐，利用棱錐的有關(guān)知識(shí)來解決．
例2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，點(diǎn)，，為圓上的點(diǎn)，分別是以為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，使得，，重合，得到三棱錐，則當(dāng)?shù)倪呴L變化時(shí)，求三棱錐的表面積的取值范圍.
【詳解】
解：由題可知，等邊三角形的中心為，圓的半徑為6，
設(shè)三棱錐的底面邊長為，即等邊三角形的邊長為，
如圖，連接，交與點(diǎn)，由題意可知，，
則，，
可知，即，則，
，則，
三棱錐的底面積為：，
由題可知，全等，則面積相等，
三棱錐的側(cè)面積為：
，
所以三棱錐的表面積為：，
，，即，
所以當(dāng)?shù)倪呴L變化時(shí)，求三棱錐的表面積的取值范圍是.
例3．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知四面體S-ABC的棱長為a，各面均為等邊三角形，求它的表面積．
【詳解】
如圖所示，
由等邊三角形的面積計(jì)算公式可得：的面積．
四面體的表面積為．
例4．（2023·山東·棗莊八中高一期中）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3．說明過程，不要求嚴(yán)格證明，不考慮打印損耗的情況下，
（1）計(jì)算制作該模型所需原料的質(zhì)量；
（2）計(jì)算該模型的表面積（精確到0.1）
參考數(shù)據(jù)：，，
【詳解】
解：（1）因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H，分別為所在矩形各棱的中點(diǎn)，所以四邊形EFGH為菱形．
由AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，得
又因?yàn)镺為長方體的中心，所四棱錐O﹣EFGH的高．
，
．
∴該模型體積為：
cm3．
∵3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，
∴制作該模型所需原料的質(zhì)量為：132×0.9＝118.8g．
（2）記面的中心為，連接，，，
則，，．
由題意，四棱錐O﹣EFGH的四個(gè)側(cè)面為全等三角形．
在等腰中，取的中點(diǎn)，連接，
，
所以．
∴該模型表面積為：
cm3
cm2．
類型二 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
例5．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)六棱錐的高為10cm，底面是邊長為6cm的正六邊形，求這個(gè)六棱錐的體積．
【詳解】
正六邊形可以分成6個(gè)相同的等邊三角形，故.
.
解題技巧(求棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積的注意事項(xiàng))
1．常見的求幾何體體積的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．
2．求幾何體體積時(shí)需注意的問題
柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算．
例6.（2023·安徽·安慶一中高一期中）已知一個(gè)三棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為2和4的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體積.
【詳解】
如圖所示，在三棱錐中，
、分別是上、下底面的中心，
、分別是、的中點(diǎn)，
連接、、、，
則、分別在、上，
則是三棱錐的高，記為，
是等腰梯形的高，也是三棱錐的斜高，記為，
所以；
上、下底面面積之和為，
由得：，即，
又，，
在直角梯形中，
，
則三棱錐的體積.
例7．（2023·寧夏·青銅峽市高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖所示，正方體的棱長為，連接，，，，，得到一個(gè)三棱錐．求：
（1）三棱錐的表面積與正方體表面積的比值；
（2）三棱錐的體積．
【詳解】
（1）是正方體，
，
三棱錐的表面積為
而正方體的表面積為，
故三棱錐的表面積與正方體表面積的比值為
（2）三棱錐是完全一樣的．
故
例8.（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在多面體中，已知是邊長為1的正方形，且△，△均為等邊三角形，，，求該多面體的體積.
【詳解】
如圖，分別過A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，，易得，
過點(diǎn)E作于點(diǎn)O，連接，易得，，
∴，
∴.
類型三 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積
例9．（2023·重慶市萬州第二高級中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，梯形滿足，，，，，現(xiàn)將梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體記為．求的表面積．
【詳解】
幾何體為圓柱與圓錐的組合體，圓錐和圓柱的底面半徑為，圓錐的高為，圓柱的高，圓錐的母線長為
圓柱的側(cè)面積為，
圓錐的側(cè)面積為，
所以的表面積．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，表面積的計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
解題技巧（求旋轉(zhuǎn)體表面積注意事項(xiàng)）
旋轉(zhuǎn)體中，求面積應(yīng)注意側(cè)面展開圖，上下面圓的周長是展開圖的弧長．圓臺(tái)通常還要還原為圓錐．
例10．（2023·陜西·西安市華山中學(xué)高一階段練習(xí)）西安市建造圓錐形倉庫用于儲(chǔ)存糧食，已建的倉庫底面直徑為，高為.隨著西安市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，糧食產(chǎn)量的增大，西安市擬建一個(gè)更大的圓錐形倉庫，以存放更多的糧食.現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫底面半徑比原來大（高不變）；二是高度增加（底面直徑不變）.分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；
【詳解】
（1）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成，半徑為，
圓錐的母線長為（），
則倉庫的表面積（），
如果按方案二，倉庫的高變成，
圓錐的母線長為，
則倉庫的表面積（）.
例11．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，直三棱柱的高為，底面三角形的邊長分別為．以上、下底的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分形成的幾何體的表面積．
【詳解】
因?yàn)椋缘酌媸侵苯侨切危?br>所以上、下底面內(nèi)切圓半徑．
所以，
類型四 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積
例12．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)高為的圓柱．
（1）求出此圓錐的側(cè)面積；
（2）用表示此圓柱的側(cè)面積表達(dá)式；
（3）當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求此圓柱的體積．
【詳解】
（1）圓錐的底面半徑與高均為2，則圓錐的母線長為，所以圓錐的側(cè)面積為．
（2）設(shè)圓柱的半徑為，
則，解得，且；
所以圓柱的側(cè)面積為．
（3），；
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
此時(shí)，圓柱的體積為．
解題技巧(求幾何體積的常用方法)
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等積法：例如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的幾何體即可．
(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐等．
(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．
例13．（2023·河北·邯山區(qū)新思路學(xué)本文化輔導(dǎo)學(xué)校高一階段練習(xí)）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.蒙古包古代稱作穹廬、“氈包”或“氈帳”，如圖1所示.一個(gè)普通的蒙古包可視為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合，如圖2所示.已知該圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面直徑為6米.

圖1 圖2
（1）求該蒙古包的側(cè)面積；
（2）求該蒙古包的體積.
【詳解】
由題意可知米，米，米，米.
（1）圓錐部分的側(cè)面積平方米.
圓柱部分的側(cè)面積平方米.
故該蒙古包的側(cè)面積平方米.
（2）圓錐部分的體積立方米，
圓柱部分的體積立方米.
故該蒙古包的體積立方米.
故答案為：（1）平方米；（2）立方米.
例14．（2023·江西贛州·高二階段練習(xí)（理））已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，母線長為2.
（1）求該圓錐的底面積；
（2）在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求這個(gè)圓柱的體積.
【詳解】
（1）沿母線剪開，側(cè)面展開圖是以為半徑的半圓，
設(shè)，在半圓中，，弧長為，
圓錐的底面周長，所以，所以，
故圓錐的底面積為.
（2）設(shè)圓柱的高，，在，，
因?yàn)?，所以，即，?br>圓柱側(cè)面積，
對稱軸，開口向下，取值最大值，此時(shí)，
所以當(dāng)，時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，
此時(shí).
例15．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若圓錐的表面積是，側(cè)面展開圖的圓心角是，求圓錐的體積．
【詳解】
解：設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，
因?yàn)閳A錐底面圓的周長等于側(cè)面展開圖扇形的弧長，則，所以．
又因?yàn)閳A錐底面積，圓錐側(cè)面積，
所以圓錐表面積，所以，
又因?yàn)?，所以?br>所以圓錐的體積為．
類型五 球的表面積與體積
例16．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，分別為中點(diǎn)，將沿折起得到三棱錐，三棱錐外接球的表面積為________.
答案：
【詳解】
因?yàn)樵谥校?，分別為中點(diǎn)，將沿折起得到三棱錐，
所以，
所以棱錐外接球可以轉(zhuǎn)化為分別以六條棱為面對角線的長方體的外接球，設(shè)長方體的長寬高分別為，則，
即，
即長方體的外接球半徑滿足：，
故三棱錐外接球的表面積為.
故答案為：
解題技巧（與球有關(guān)問題的注意事項(xiàng)）
1．正方體的內(nèi)切球
球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1＝a2，過在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面如圖(1)．
2．球與正方體的各條棱相切
球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對角面有r2＝2a2 ，如圖(2)．
3．長方體的外接球
長方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3＝ a2+b2+c22 ，如圖(3)．

4．正方體的外接球
正方體棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝eq \r(3)a.
5．正四面體的外接球
正四面體的棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為：2R＝eq \f(\r(6),2)a.
6、有關(guān)球的截面問題
常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.
例17．(2023·廣東揭陽·高三期末）已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍颍瑒t圓柱的表面積與球的表面積之比為（ ）
A．B．C．D．不能確定
答案：A
【詳解】
因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，設(shè)圓柱底面圓的半徑為，其高，其外接球的半徑，則圓柱的表面積，球的表面積，則圓柱的表面積與球的表面積之比為，
故選：.
例18.(2023·上海市楊浦高級中學(xué)高二期末）大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀(jì)念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【詳解】
設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為
所以球的體積為, 表面積為.
圓柱的體積為：,所以其體積之比為：
圓柱的側(cè)面積為：, 圓柱的表面積為：
所以其表面積之比為：
故選：C
例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正四面體的俯視圖為邊長為1的正方形（兩條對角線一條是虛線一條是實(shí)線），則正四面體的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【詳解】
如圖，該正四面體可以看成棱長為1的正方體六個(gè)面對角線組成的正四面體，
所以正四面體的外接球，即為邊長為1的正方體的外接球，
所以外接球的半徑為，
則該外接球的表面積為，
故選：C.
例20．（2023·湖北孝感·高三期中）一個(gè)與球心距離為的平面截球所得的圓周長為，則球的表面積為___________.
答案：36π
【詳解】
因?yàn)榻孛鎴A的周長為，
所以截面圓的半徑為：,
又因?yàn)榍蛐牡浇孛娴木嚯x為，
所以球的半徑為：，
所以球的表面積為，
故答案為：36π
例21．（2023·貴州師大附中高一階段練習(xí)）在長方體中，AB=6，BC=8，.
（1）求三棱錐的體積；
（2）在三棱柱內(nèi)放一個(gè)體積為V的球，求V的最大值.
【詳解】
（1）由長方體的幾何特征知，到平面的距離為,
又,所以；
（2）設(shè)球的半徑為R，若該球與三棱柱的三個(gè)側(cè)面均相切，
則R為的內(nèi)切圓的半徑，則,
又，此時(shí)；
若該球與三棱柱的上下底面均相切，此時(shí),;
所以在三棱柱內(nèi)放一個(gè)體積為V的球，該球半徑最大為2，
.
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．(2023·浙江杭州·高二期末）如圖所示，是某廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，其中，圓錐的底面和球的直徑都是0.2m，圓錐的高是0.24m．要對1000個(gè)這樣的臺(tái)燈表面涂一層膠，如果每平方米需要涂膠100克，則共需膠（ ）克
A．340πB．440πC．4600πD．6600π
答案：C
分析：
求出圓錐的側(cè)面積和半球面的面積后，然后乘以100，再乘以1000可得．
【詳解】
由題意圓錐的母線長為，
所以臺(tái)燈表面積為，
需膠重量為（克）．
故選：C．
2．（2023·山東濰坊·高二期中）半徑為 4 的半圓卷成一個(gè)圓錐， 則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根據(jù)圓錐的體積公式，結(jié)合半圓與圓錐展開圖的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】
設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，高為，
因?yàn)閳A錐是由半徑為 4 的半圓卷成，
所以，由，
由勾股定理可得：，
所以圓錐的體積為：，
故選：C
3．(2023·山東濰坊·高二期末）牙雕套球又稱“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，工藝要求極高．現(xiàn)有某“鬼工球”，由外及里是兩層表面積分別為和的同心球（球壁的厚度忽略不計(jì)），在外球表面上有一點(diǎn)A，在內(nèi)球表面上有一點(diǎn)B，連接AB，則線段AB長度的最小值是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．
答案：A
分析：
利用球的表面積公式分別求的外球和內(nèi)球的半徑，兩半徑之差即為所求.
【詳解】
設(shè)外球和內(nèi)球的半徑分別為和,則,解得,
當(dāng)B在大球的過A的半徑上時(shí)AB的長最小，
∴AB長度的最小值是,
故選：A
4．(2023·廣東湛江·高三階段練習(xí)）圓柱容器內(nèi)部盛有高度為的水，若放入一個(gè)圓錐（圓錐的底面與圓柱的底面正好重合）后，水恰好淹沒圓錐的頂部，則圓錐的高為（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
設(shè)圓柱的底面半徑為r，圓錐的高為，根據(jù)體積關(guān)系列方程求解即可.
【詳解】
設(shè)圓柱的底面半徑為r，圓錐的高為，有，
解得.
故選:C.
5．（2023·云南·高三期中（理））陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一．如圖，一個(gè)倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱，其中總高度為，圓柱部分高度為，已知該陀螺由密度為cm的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為，則此陀螺圓柱底面的面積為（ ）
A．10cmB．15cmC．16cmD．20cm
答案：B
分析：
由密度、體積與質(zhì)量的關(guān)系求體積，再應(yīng)用圓柱、圓錐的體積公式列方程求底面面積.
【詳解】
由題意，該陀螺的總體積為，
設(shè)底面半徑為，則，解得，
故選：B．
6．(2023·廣東東莞·高三期末）“中國天眼”（如圖1）是世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠(yuǎn)鏡，其形狀可近似地看成一個(gè)球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如圖2所示，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的線段叫做球冠的高．若球面的半徑是，球冠的高度是，則球冠的面積）．已知天眼的球冠的底的半徑約為250米，天眼的反射面總面積（球冠面積）約為25萬平方米，則天眼的球冠高度約為（ ）（參考數(shù)值）

A．52米B．104米C．130米D．156米
答案：C
分析：
由，結(jié)合求解.
【詳解】
由題意得：，則，
則，
所以，
所以，
故選：C
7．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖①，需在正方體的盒子內(nèi)鑲嵌一個(gè)小球，使得鑲嵌后的三視圖均為圖②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面積為，則該小球的體積為（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：
依題意可知，平面A1BC1截得小球的截面是三角形A1BC1的內(nèi)切圓，通過截面面積即可求解小球的半徑，則體積可求.
【詳解】
設(shè)正方體盒子的棱長為2a，則內(nèi)接球的半徑為a，平面A1BC1截正方體，得邊長為2a的正三角形，且球與以點(diǎn)B1為公共點(diǎn)的三個(gè)面的切點(diǎn)恰為△A1BC1三邊的中點(diǎn)，則所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積.
如圖，設(shè)△A1BC1的內(nèi)切圓的圓心為O，A1C1的中點(diǎn)為M，則由圖得∠OA1M＝30°，A1M＝a，△A1BC1的內(nèi)切圓的半徑OM＝a×tan 30°＝a，則所求的截面圓的面積是×a×a＝a2＝，解得a＝1.
所以小球的體積V＝×13＝.
故選：B.
8．（2023·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖晦提出了著名的體積計(jì)算原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是說，如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．根據(jù)這個(gè)原理，可推出球的體積公式為，其中是球的半徑．已知球的半徑等于3，那么它的體積等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根據(jù)球的體積公式，將半徑直接代入即可求解.
【詳解】
解：.
故選：C.
二、多選題
9．(2023·全國·高一）正三棱錐的外接球半徑為2，底面邊長為，則此三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
答案：AB
分析：
首先設(shè)三棱錐的外接球的球心為，三角形的中心為，得到，再分類討論求解三棱錐體積即可。
【詳解】
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，三角形的中心為，
由題知：，解得.
當(dāng)外接球球心在線段上時(shí)，如圖所示：
，，
所以.
當(dāng)外接球球心在線段的延長線上時(shí)，如圖所示：
，，
所以.
故選：AB
10．（2023·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知某圓錐的母線長為，其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說法中正確的有（ ）
A．圓錐的體積為
B．圓錐的表面積為
C．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形
D．圓錐的內(nèi)切球表面積為
答案：ACD
分析：
根據(jù)勾股定理求出圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積公式以及表面積公式可判斷A、B、C；根據(jù)球的表面積公式可判斷D.
【詳解】
由題意圓錐的底面半徑，圓錐的高，
所以圓錐的體積，故A正確；
圓錐的表面積，故B錯(cuò)誤；
圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角，故C正確；
，
作出圓錐內(nèi)切球的軸截面，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，
四邊形為正方形，
所以，解得，
圓錐的內(nèi)切球表面積，故D正確.
故選：ACD
11．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為，則下列敘述正確的是（ ）
A．正三棱錐高為3B．正三棱錐的斜高為
C．正三棱錐的體積為D．正三棱錐的側(cè)面積為
答案：ABD
分析：
先求出正三棱錐的高和斜高，從而可判斷AB的正誤，再計(jì)算出體積和側(cè)面積，從而可判斷CD的正誤.
【詳解】
設(shè)為等邊三角形的中心，為的中點(diǎn)，連接，
則為正三棱錐的高，為斜高，
又，，故,
故AB正確.
而正三棱錐的體積為，側(cè)面積為，
故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD.
12．（2023·湖北·丹江口市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面中，，且，下列說法正確的有（ ）
A．該圓臺(tái)軸截面面積為
B．該圓臺(tái)的體積為
C．該圓臺(tái)的母線與下底面所成的角為30°
D．沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為
答案：ABD
分析：
求出圓臺(tái)的高，由梯形的面積公式可判斷A；由臺(tái)體的體積公式可判斷B；由臺(tái)體的母線與高可判斷C；將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，側(cè)面展開，取的中點(diǎn)為，連接，可判斷D.
【詳解】
解：由，且，
可得，高，
則圓臺(tái)軸截面面積為，故A正確；
圓臺(tái)的體積為，故B正確；
圓臺(tái)的母線與下底面所成的角為，其正弦值為，
所以，故C錯(cuò)誤；
由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，
側(cè)面展開圖的圓心角為，
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
可得，，，
則，所以沿著該圓臺(tái)表面，
從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
13．(2023·廣西柳州·二模（文））阿基米德是偉大的古希臘哲學(xué)家?數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且內(nèi)切球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內(nèi)切球體積為___________.
答案：
分析：
先根據(jù)圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，求得其底面半徑和高，進(jìn)而求得圓柱的體積求解.
【詳解】
設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，
因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，
所以h=2r，
又因?yàn)槠浔砻娣e為，
所以，
解得，，
所以圓柱的體積為，
所以該圓柱的內(nèi)切球體積為，
故答案為：
14．(2023·新疆·高二期末）某學(xué)生到某工廠進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為一個(gè)大圓柱中挖去一個(gè)小圓柱后的剩余部分（兩個(gè)圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為的正方形，小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.（?。?br>答案：4500
分析：
根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設(shè)小圓柱的底面圓的半徑為，再根據(jù)小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半，求出小圓柱的底面圓的半徑，然后求出該模型的體積，從而可得出答案.
【詳解】
解：根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，
設(shè)小圓柱的底面圓的半徑為，
則有，即，解得，
所以該模型的體積為，
所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為.
故答案為：4500.
15．(2023·河北深州市中學(xué)高三期末）四面體ABCD的頂點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上，．若該球的表面積為．則四面體ABCD體積的最大值為______．
答案：
分析：
先由球的表面積為，求得球的半徑，進(jìn)而求得三棱錐的高，然后由四面體的高最大為求解.
【詳解】
因?yàn)榍虻谋砻娣e為，
所以，
解得球的半徑，
因?yàn)椋?br>所以ABC的高為，
記四面體ABCD外接球球心為O，
則三棱錐的高為，
所以四面體ABCD體積的最大值為．
故答案為：
16．(2023·全國·高三專題練習(xí)（理））四面ABCD中，共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩相互垂直，且其長分別為2，3，4．若四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為________．
答案：29
分析：
四面體可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體，長方體的對角線就是外接球的直徑，求得外接球半徑后可得表面積．
【詳解】
依題意，原幾何體是一個(gè)三棱錐，可以看作一條棱與底面垂直且其長度為4，底面是一個(gè)直角三角形，兩直角邊長分別為2，3，這個(gè)幾何體可以看作是長、寬、高分別為2，3，4的長方體的一部分，則其外接球的半徑為，
故這個(gè)球的表面積為S＝R2＝．
故答案為：．
四、解答題
17．(2023·上海浦東新·高二期末）已知某圓柱底面半徑和母線長都是.
（1）求出該圓柱的表面積和體積；
（2）若圓錐與該圓柱底面半徑?高都相等，求圓錐的側(cè)面積.
答案：
（1）；
（2）
分析：
（1）、根據(jù)圓柱的表面積和體積公式計(jì)算即可；
（2）、先求出圓錐母線長，再根據(jù)圓錐側(cè)面積公式計(jì)算即可.
（1）
圓柱底面半徑和母線長都是,
；；
（2）
由題意可知圓錐底面半徑?高為，
圓錐母線長為
.
18．（2023·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖為正四棱錐P - ABCD，PO⊥平面ABCD，BC = 3，PO = 2.
（1）求正四棱錐P - ABCD的體積；
（2）求正四棱錐P - ABCD的表面積.
答案：
（1）6；
（2）24.
分析：
（1）根據(jù)題意，結(jié)合錐體體積公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合棱錐表面積求法，即可求解.
（1）
根據(jù)題意，得.
（2）
如圖所示，作的中點(diǎn)，連接，，
則，
故正四棱錐P - ABCD的表面積.
19．(2023·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)使用某品牌暖水瓶，其內(nèi)膽規(guī)格如圖所示．若水瓶內(nèi)膽壁厚不計(jì)，且內(nèi)膽如圖分為①②③④四個(gè)部分，它們分別為一個(gè)半球、一個(gè)大圓柱、一個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)小圓柱體．若其中圓臺(tái)部分的體積為，且水瓶灌滿水后蓋上瓶塞時(shí)水溢出．記蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為，求及圓臺(tái)部分的高．
答案：；
分析：
利用球、圓柱、圓臺(tái)的體積公式即可求解.
【詳解】
依題意可得，球的半徑為，
體積，
大圓柱的體積，
小圓柱的體積，
所以蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為，
設(shè)圓臺(tái)部分的高為，
則，
解得.
所以圓臺(tái)的體積為，圓臺(tái)部分的高為.
20．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是）六角螺母共重．如圖，每一個(gè)螺母的底面是正六邊形，邊長為，內(nèi)孔直徑為，高為，這堆螺母大約有多少個(gè)？（可用計(jì)算工具，取）
答案：
分析：
計(jì)算出每個(gè)螺母的體積、質(zhì)量，由此計(jì)算出螺母的個(gè)數(shù).
【詳解】
每個(gè)螺母的體積為：立方毫米，
所以每個(gè)螺母的質(zhì)量為千克，
所以螺母個(gè)數(shù)個(gè).
21．(2023·全國·高一）如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，求該幾何體的表面積（其中）及其體積．
答案：，
分析：
陰影部分旋轉(zhuǎn)后，可看作是球體中間去掉兩個(gè)同底的圓錐體，其表面積為外側(cè)球體的表面積加上兩個(gè)圓錐的側(cè)面積，其體積為球體體積減掉兩個(gè)圓錐的體積，計(jì)算求解即可.
【詳解】
過O作幾何體的截面如圖所示，過C作于點(diǎn)，由題意得，
，，
，，.
，，，
.
又，
，
，
.
22．(2023·全國·高一）如圖，水平放置的正四棱臺(tái)玻璃容器的高為，兩底面對角線的長分別為，水深為.
（1）求正四棱臺(tái)的體積；
（2）將一根長的玻璃棒放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度.（容器厚度，玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）
答案：
（1）
（2）
分析：
（1）根據(jù)題意，結(jié)合臺(tái)體的體積公式，即可求出結(jié)果.
（2）設(shè)玻璃棒在上的點(diǎn)為，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，推導(dǎo)出為等腰梯形，求出，，由正弦定理求出，由此能求出玻璃棒沒入水中部分的長度．
（1）
解：由題意可知，下底面正方形的邊長為，上底面正方形的邊長為，
所以下底面面積為，上底面的面積，
又臺(tái)體的高為，
所以正四棱臺(tái)的體積
（2）
解：設(shè)玻璃棒在上的點(diǎn)為，則，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為，在平面中，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
∵為正四棱臺(tái)，
∴，，
∴為等腰梯形，畫出平面的平面圖，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
，
根據(jù)正弦定理得：，
，
，
．
∴玻璃棒沒入水中部分的長度為．
23．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐底面半徑為1，高為2.
（1）求圓錐內(nèi)接圓柱（一底面在圓錐底面上，另一底面切于圓錐側(cè)面）側(cè)面積的最大值；
（2）圓錐內(nèi)接圓柱的表面積是否存在最大值？說明理由；
（3）若圓錐的底面半徑為a，高為b，試討論圓錐內(nèi)接圓柱的全面積是否存在最大.
答案：
（1）
（2）不存在，理由見解析
（3）存在最大值
分析：
（1）依題意作出圓錐的軸截面，設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為，高為h，利用三角形相似得到，再利用基本不等式求出面積的最大值；
（2）由（1）可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷可得；
（3）依題意可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（1）
解：作出軸截面如下圖所示，
設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為，高為h，，由，所以，所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)側(cè)面積最大；
（2）
解：由（1）可得
，而，故不存在最大值；
（3）
解：設(shè)圓柱底面半徑為，高h(yuǎn)，由，所以，所以
所以
當(dāng)，即，二次函數(shù)開口向上，在內(nèi)無最大值
當(dāng)，即，一次函數(shù)在內(nèi)也無最大值
當(dāng)，即，二次函數(shù)開口向下，若區(qū)間內(nèi)存在最大值，則對稱軸
所以，綜上當(dāng)且僅當(dāng)（圓錐高大于底面半徑）時(shí)，圓錐的內(nèi)接圓柱的全面積存在最大值；
項(xiàng)目
名稱
底面
側(cè)面
棱柱
平面多邊形
平行四邊形
面積=底·高
棱錐
平面多邊形
三角形
面積=·底·高
棱臺(tái)
平面多邊形
梯形
面積=·（上底+下底）·高

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