第01講一元二次方程 -初中人教版八升九數(shù)學(xué)暑假銜接（教師版+學(xué)生版）試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．一元二次方程的定義
（1）一元二次方程的定義：
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：
①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；
②只含有一個(gè)未知數(shù)；
③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒(méi)有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
【考點(diǎn)剖析】
一．一元二次方程的定義（共6小題）
1．（2023春?瑤海區(qū)期中）下列方程是一元二次方程的是（）
A．
B．a(chǎn)x2+bx+c＝0（a，b，c均為常數(shù)）
C．x（3x+2）＝5
D．（2x+1）2＝4x2﹣3
2．（2023?大連一模）若方程kx2﹣2x+1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則k的取值范圍是（）
A．k＞0B．k≠0C．k＜0D．k為實(shí)數(shù)
3．（2022秋?宜陽(yáng)縣期末）關(guān)于x的方程mx2﹣3x＝2x2+x﹣1是一元二次方程，則m應(yīng)滿足的條件是（）
A．m≠0B．m≠﹣2C．m≠2D．m＝2
4．（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值為．
5．（2022秋?河池期末）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，求m的值．
6．（2022秋?青云譜區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于x的方程（k﹣1）x|k﹣3|+2x＝3是一元二次方程，求k的值．
二．一元二次方程的一般形式（共10小題）
7．（2023春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）方程3x2﹣2x﹣6＝0，一次項(xiàng)系數(shù)為（）
A．﹣2B．﹣2xC．﹣6D．6
8．（2023?東莞市校級(jí)模擬）將方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）
A．4，8，25B．4，2，﹣25C．4，8，﹣25D．1，2，25
9．（2022秋?瀘溪縣期末）一元二次方程2x2﹣x+1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)是（）
A．2B．1C．0D．﹣1
10．（2022秋?林州市期末）方程2x2﹣3x＝1化為一般形式后，常數(shù)項(xiàng)為（）
A．2B．﹣3C．1D．﹣1
11．（2022秋?簡(jiǎn)陽(yáng)市期末）把一元二次方程x2﹣9＝8x化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)的一半為（）
A．8B．4C．﹣8D．﹣4
12．（2022秋?新會(huì)區(qū)期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，則a、b、c的值分別是（）
A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣3B．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣6
C．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝3D．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝6
13．（2021秋?南江縣校級(jí)月考）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，求m的值．
14．（2021秋?龍崗區(qū)校級(jí)期末）把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)．
（1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2；
（2）．
15．（2022秋?海東市期中）關(guān)于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化為一般形式后為2x2﹣3x﹣1＝0，試求b，c的值．
16．（2022秋?同心縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項(xiàng)為0．
（1）求m的值；
（2）求此時(shí)一元二次方程的解．
三．一元二次方程的解（共10小題）
17．（2023春?鄞州區(qū)校級(jí)期中）已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一個(gè)根為1，則k的值為（）
A．4B．5C．﹣4D．﹣5
18．（2023?南沙區(qū)一模）若a是關(guān)于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則2023+2a﹣6a2 的值是（）
A．4046B．﹣4046C．﹣2023D．0
19．（2023?隴南模擬）關(guān)于x的一元二次方程2xa﹣2+m＝4的解為x＝1，則a+m的值為（）
A．9B．8C．6D．4
20．（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）已知x＝2是關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣nx+3＝0的一個(gè)解，則8m﹣4n的值為．
21．（2023?天河區(qū)二模）已知代數(shù)式．
（1）化簡(jiǎn)A；
（2）若m是方程x2﹣2x＝0的根，求A的值．
22．（2023?興慶區(qū)校級(jí)一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
23．（2023?佛岡縣二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，若x是方程x2﹣2x＝0的正整數(shù)解．
24．（2023?廣陵區(qū)一模）先化簡(jiǎn)再求值：，其中x是方程x2﹣2x＝0的一個(gè)根．
25．（2023?越秀區(qū)一模）已知．
（1）化簡(jiǎn)P；
（2）若a為方程的一個(gè)解，求P的值．
26．（2022秋?梁山縣期末）已知m是方程x2+x﹣3＝0的解，求式子m3+2m2﹣2m+2022的值．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2022秋·遼寧盤錦·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將方程化為一元二次方程的一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（）
A．2，1，3B．2，，3C．2，，D．2，，1
2．（2022秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）把一元二次方程化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)的一半為（）
A．8B．4C．D．-4
3．（2023·廣東東莞·東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）將方程化成的形式，則，，的值分別為（）
A．，，B．，，C．，，D．，，
4．（2022春·甘肅蘭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若是關(guān)于的一元二次方程，則的值是( )
A．B．C．D．不能確定
5．（2023秋·廣東湛江·九年級(jí)校考期末）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值是（）
A．B．1C．或D．0
6．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則a的值為（）
A．1B．1或C．D．0.5
7．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）若a是方程的一個(gè)解，則的值是（）
A．10B．5C．D．
8．（2023·江西撫州·金溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）下列方程是一元二次方程的是（）
A．B．C．D．
二、填空題
9．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)為______．
10．（2022秋·江西贛州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用公式法解一元二次方程時(shí)，應(yīng)先將其化成“一般形式”為________．
11．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則a的值為_____．
12．（2022秋·四川樂(lè)山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程，則__________．
13．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為______．
14．（2023春·江西吉安·九年級(jí)江西省泰和中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是方程的一個(gè)解，則代數(shù)式的值是___________．
三、解答題
15．（2022秋·山東青島·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．
16．（2022秋·河南開封·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．
(1)當(dāng)k取何值時(shí)，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)當(dāng)k取何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫出這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．
17．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知m是方程的解，求式子的值．
18．（2022秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）我們定義：如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．
(1)請(qǐng)判斷方程是不是倍根方程，并說(shuō)明理由；
(2)若是倍根方程，則___________．
19．（2023秋·重慶永川·九年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是一元二次方程的根．
20．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）已知a是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．
21．（2021秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)p，q是整數(shù)，方程有一個(gè)根為，求p﹣q的值．
22．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，從點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交線段于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑畫弧交線段于點(diǎn)，連結(jié)．
(1)若，求的度數(shù)：
(2)設(shè)．
①請(qǐng)用含的代數(shù)式表示與的長(zhǎng)；
②與的長(zhǎng)能同時(shí)是方程的根嗎？說(shuō)明理由．
23．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知等腰直角中，，，點(diǎn)為邊上動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，拖動(dòng)點(diǎn)．
（1）若，垂足為點(diǎn)，求證：
（2）若且，求的長(zhǎng)度
24．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)為一元二次方程；
(2)為一元一次方程．

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