待定系數法求一次函數解析式：
具體步驟：
①設函數解析式——。
②找點——經過函數圖像上的點。
③帶入——將找到的點的坐標帶入函數解析式中得到方程（或方程組）。
④解——解③中得到的方程（或方程組），求出的值。
⑤反帶入——將求出的的值帶入函數解析式中得到函數解析式。
分段函數：
在一次函數的實際應用中，最常見為分段函數。分段函數是在不同區(qū)間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際。
關鍵點：①分段函數各段的函數解析式。
②各個拐點的實際意義。
③函數交點的實際意義。
一次函數的綜合：
（1）一次函數與幾何圖形的面積問題
首先要根據題意畫出草圖，結合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．
（2）一次函數的優(yōu)化問題
通常一次函數的最值問題首先由不等式找到的取值范圍，進而利用一次函數的增減性在前面范圍內的前提下求出最值。
（3）用函數圖象解決實際問題
從已知函數圖象中獲取信息，求出函數值、函數表達式，并解答相應的問題。解決一次函數的實際應用題必須弄清楚自變量的取值范圍。

1．函數y＝kx（k≠0）的圖象經過點（﹣2，1），則這個函數的解析式是（ ）
A．y＝2xB．y＝﹣2xC．y＝xD．y＝﹣x
【分析】把點A的坐標代入函數解析式求出k值即可得解．
【解答】解：∵正比例函數y＝kx的圖象經過點A（﹣2，1），
∴﹣2k＝1，
解得k＝﹣，
∴正比例函數的解析式為y＝﹣x．
故選：D．
2．正比例函數y＝kx，當x＝2時，y＝﹣1，則此正比例函數的關系式為（ ）
A．y＝2xB．y＝xC．y＝﹣xD．y＝﹣2x
【分析】直接把x＝2時，y＝﹣1代入正比例函數y＝kx，求出k的值即可．
【解答】解：∵正比例函數y＝kx，當x＝2時，y＝﹣1，
∴﹣1＝2k，
解得k＝﹣，
∴y與x的函數關系式為y＝﹣x，
故選：C．
3．在平面直角坐標系中，A（0，3），B（1，0）兩點，將線段AB沿一定方向平移，設平移后A點的對應點為A′（2，5），B點的對應點為B′，則直線B′B的表達式為（ ）
A．y＝x﹣1B．y＝﹣3x+11C．y＝x+3D．y＝﹣3x+3
【分析】先利用點A和點A′的坐標特征得到點平移的坐標變換規(guī)律，利用此平移規(guī)律寫出點B′的坐標，然后利用待定系數法求直線B′B的解析式即可．
【解答】解：∵點A（0，3）平移后的對應點為A′（2，5），
∴點B（1，0）平移后的對應點為B′（3，2），
設直線直線B′B的表達式為y＝kx+b，
把B（1，0），B′（3，2）分別代入得，
解得，
∴直線B′B的表達式為y＝x﹣1．
故選：A．
4．如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，過點A作直線l將△ABO分成周長相等的兩部分，則直線l的函數表達式為（ ）
A．B．C．D．y＝x﹣3
【分析】如圖，直線AC把△ABO分成周長相等的兩部分，則AO+OC＝AB+BC，利用直線AB的解析式求出B（0，﹣4），A（3，0），則AB＝5，則利用AO+OC＝AB+BC可求出OC＝3，所以C（0，﹣3），然后利用待定系數法求直線AC的解析式即可．
【解答】解：如圖，直線AC把△ABO分成周長相等的兩部分，則AO+OC＝AB+BC，
當x＝0時，y＝x﹣4＝﹣4，則B（0，﹣4），
∴OB＝4，
當y＝0時，x﹣4＝0，解得x＝3，則A（3，0），
∴OA＝3，
∴AB＝＝5，
∵AO+OC＝AB+BC，
∴3+OC＝5+4﹣OC，解得OC＝3，
∴C（0，﹣3），
設直線AC的解析式為y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，﹣3）代入得，
解得，
∴直線AC的解析式為y＝x﹣3．
故選：D．
5．已知一次函數y＝kx+b（k≠0）圖象過點（0，2），且與兩坐標軸圍成的三角形面積為2，則一次函數的解析式為（ ）
A．y＝x+2B．y＝﹣x+2
C．y＝x+2或y＝﹣x+2D．y＝﹣x+2或y＝x﹣2
【分析】先求出一次函數y＝kx+b與x軸和y軸的交點，再利用三角形的面積公式得到關于k的方程，解方程即可求出k的值．
【解答】解：∵一次函數y＝kx+b（k≠0）圖象過點（0，2），
∴b＝2，
令y＝0，則x＝﹣，
∵函數圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積為2，
∴×2×|﹣|＝2，即||＝2，
解得：k＝±1，
則函數的解析式是y＝x+2或y＝﹣x+2．
故選：C．
6．百貨大樓進了一批花布，出售時要在進價（進貨價格） 的基礎上加一定的利潤，其長度x與售價y如下表，下列用長度x表示售價y的關系式中，正確的是（ ）
A．y＝8x+0.3B．y＝（8+0.3）xC．y＝8+0.3xD．y＝8+0.3+x
【分析】本題通過觀察表格內的x與y的關系，可知y的值相對x＝1時是成倍增長的，由此可得出方程．
【解答】解：依題意得：y＝（8+0.3）x；
故選：B．
7．某容器裝有一個進水管和三個相同的出水管，從某時刻開始的4分鐘內只進水不出水，在隨后的8分鐘內在進水的同時開放一個出水管出水．每分鐘單個進水管和出水管的進，出水量是兩個常數，容器內的水量y（單位：升）與時間x（單位：分鐘）的關系如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．每分鐘一個進水管進水5升
B．每分鐘一個出水管出水3.25升
C．當12≤x≤24時，y隨x變化的函數關系式為y＝﹣x+60
D．當12≤x≤24時，開放了1個進水管，1個出水管
【分析】根據題意和圖形中的數據，可以計算出進水管和出水管的速度，從而可以判斷A和B；再根據圖象中的數據，可以計算出當12≤x≤24時，y與x的函數解析式，可以判斷C；根據進水管和出水管的速度可以判斷D．
【解答】解：由圖象可得，
每分鐘一個進水管進水20÷4＝5（升），故選項A正確，符合題意；
當12≤x≤24時，設y與x的函數關系式為y＝kx+b，
∵點（16，20），（24，0）在該函數圖象上，
∴，
解得，
即當12≤x≤24時，y隨x變化的函數關系式為y＝﹣x+60，故選項C錯誤，不符合題意；
當x＝12時，y＝﹣×12+60＝30，
則出水管的速度為為：5﹣＝3.75（升/分鐘），故選項B錯誤，不符合題意；
∵3.75×2﹣5＝2.5，
∴當12≤x≤24時，開放了1個進水管，2個出水管，故選項D錯誤，不符合題意；
故選：A．
8．清明期間，甲、乙兩人同時登云霧山，甲、乙兩人距地面的高度y（米）與登山時間x（分）之間的函數圖象如圖所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．則下列說法錯誤的是（ ）
A．乙提速后每分鐘攀登30米
B．乙攀登到300米時共用時11分鐘
C．從甲、乙相距100米到乙追上甲時，乙用時6.5分鐘
D．從甲、乙相距100米到乙追上甲時，甲、乙兩人共攀登了330米．
【分析】根據圖象可得甲的速度，進而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用時間，進而得出乙攀登到300米時共用時間；別求出甲和乙提速后y和x之間的函數關系式，進而判斷C、D．
【解答】解：甲的速度為：（300﹣100）÷20＝10（米/分），
10×3＝30（米/分），
即乙提速后每分鐘攀登30米，故選項A不符合題意；
乙攀登到300米時共用時：2+（300﹣30）÷30＝11（分鐘），故選項B不符合題意；
設y甲＝k1x+b1，y乙＝k2x+b2，
由函數圖象得：，
解得，
∴y甲＝10x+100，
∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍，
∴乙提速后的速度為：30米/分，
∴乙從A到B的時間為：（300﹣30）÷30＝9，
∴t＝2+9＝11，
∴B（11，300），
∴，
解得，
∴y乙＝30x﹣30，
（3）當y甲＝y(tǒng)乙時，
則10x+100＝30x﹣30，
解得x＝6.5，
即從甲、乙相距100米到乙追上甲時，乙用時6.5分鐘，故選項C不符合題意；
從甲、乙相距100米到乙追上甲時，甲、乙兩人共攀登了：6.5×10+30+30×（6.5﹣2）＝65+30+135＝230（米），故選項D符合題意．
故選：D．
9．某超市推出大米銷售送貨上門的業(yè)務，已知購買大米的總費用（含購買大米的費用+送貨上門的費用）y（元）與購買大米的數量x（千克）滿足一次函數關系，且當x＝2時，y＝14；當x＝10時，y＝54，若小王一次購買大米的總支出是254元，則他購買大米的數量為（ ）
A．48千克B．49千克C．50千克D．51千克
【分析】利用待定系數法求函數解析式，再把y＝254代入求解即可．
【解答】解：設y＝kx+b（k≠0），把x＝2時，y＝14；x＝10時，y＝54，分別代入得：
，
解得：，
∴y＝5x+4，
把y＝254代入y＝5x+4得：5x+4＝254，解得x＝50，
答：他購買大米的數量為50千克．
故選：C．
10．已知直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣x+m都經過C（﹣，），直線l1交y軸于點B（0，4），交x軸于點A，直線l2交y軸于點D，P為y軸上任意一點，連接PA、PC，有以下說法：
①方程組的解為；
②△BCD為直角三角形；
③S△ABD＝6；
④當PA+PC的值最小時，點P的坐標為（0，1）．
其中正確的說法是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】根據一次函數圖象與二元一次方程的關系，利用交點坐標可得方程組的解；根據兩直線的系數的積為﹣1，可知兩直線互相垂直；求得BD和AO的長，根據三角形面積計算公式，即可得到△ABD的面積；根據軸對稱的性質以及兩點之間，線段最短，即可得到當PA+PC的值最小時，點P的坐標為（0，1）．
【解答】解：①∵直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣x+m都經過C（﹣，），
∴方程組的解為，
故①正確，符合題意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直線l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直線l1：y＝2x+4，
又∵直線l2：y＝﹣x+m，
∴直線l1與直線l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD為直角三角形，
故②正確，符合題意；
③把C（﹣，）代入直線l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，則y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直線l1：y＝2x+4中，令y＝0，則x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③錯誤，不符合題意；
④點A關于y軸對稱的點為A'（2，0），
由點C、A′的坐標得，直線CA′的表達式為：y＝﹣x+1，
令x＝0，則y＝1，
∴當PA+PC的值最小時，點P的坐標為（0，1），
故④正確，符合題意；
故選：B
11．一次函數y＝kx+b經過點A（3，4），B（4，5），則解析式為 ．?
【分析】直接把A點坐標代入y＝kx+b中求出k得到一次函數解析式．
【解答】解：把A（3，4），B（4，5）代入y＝kx+3得
，
解得，
所以一次函數解析式為y＝x+1．
故答案為：y＝x+1．
12．如圖，甲乙兩人以相同的路線前往距離單位10km的培訓中心參加學習，圖中L甲，L乙分別表示甲乙兩人前往目的地所走的路程S（千米）隨時間t（分）變化的函數圖象，以下說法：①乙比甲提前12分鐘到達；②甲、乙相遇時，乙走了6千米；③乙出發(fā)6分鐘后追上甲．其中正確的是 ．（填序號）
【分析】觀察函數圖象可知，函數的橫坐標表示時間，縱坐標表示路程，然后根據圖象上特殊點的意義進行解答．
【解答】解：①乙在28分時到達，甲在40分時到達，
所以乙比甲提前了12分鐘到達，
故①正確；
③設乙出發(fā)x分鐘后追上甲，則有：，
解得x＝6，
故③正確；
②由③知：乙遇到甲時，所走的距離為：6×（km），
故②正確．
所以正確的結論有三個：①②③，
故答案為：①②③．
13．如圖①，底面積為30cm2的空圓柱容器內水平放置著由兩個實心圓柱組成的“幾何體”，現向容器內勻速注水，注滿為止，在注水過程中，水面高度h（cm）與注水時間t（s）之間的關系如圖②，若“幾何體”的下方圓柱的底面積為15cm2，則圖②中的a的值為 ，“幾何體”上方圓柱體的厎面積為 cm2．
??
【分析】根據圖象，分三個部分：滿過“幾何體”下方圓柱需18s，滿過“幾何體”上方圓柱需24﹣18＝6（s），注滿“幾何體”上面的空圓柱形容器需42﹣24＝18（s），再設勻速注水的水流速度為xcm3/s，根據圓柱的體積公式列方程可得勻速注水的水流速度；根據圓柱的體積公式得a?（30﹣15）＝18×5，解得a＝6，于是得到“幾何體”上方圓柱的高為5cm，設“幾何體”上方圓柱的底面積為Scm2，根據圓柱的體積公式得5?（30﹣S）＝5×（24﹣18），再解方程即可．
【解答】解：根據函數圖象得到圓柱形容器的高為14cm，兩個實心圓柱組成的“幾何體”的高度為11cm，
水從剛滿過由兩個實心圓柱組成的“幾何體”到注滿用了：42﹣24＝18（s），
這段高度為：14﹣11＝3（cm），
設勻速注水的水流速度為xcm3/s，則18?x＝30×3，
解得x＝5，
即勻速注水的水流速度為5cm3/s；
“幾何體”下方圓柱的高為a，則a?（30﹣15）＝18×5，
解得a＝6，
所以“幾何體”上方圓柱的高為11﹣6＝5（cm），
設“幾何體”上方圓柱的底面積為Scm2，根據題意得5?（30﹣S）＝5×（24﹣18），
解得S＝24，
即“幾何體”上方圓柱的底面積為24cm2．
故答案為：6，24．
14．某企業(yè)接到一批服裝生產任務，要求15天完成，為按時完成任務，若干天后，該企業(yè)增加了一定數目的生產工人，該企業(yè)能x天累計生產服裝的數量為y件，y與x之間的關系如圖所示．
（1）這批服裝一共有 件，寫出點A的實際意義 ；
（2）求增加工人后y與x的函數表達式；
（3）已知這批服裝的出廠價為每件80元，由于特殊原因，原材料緊缺，服裝的成本前5天為每件50元，從第6天起每件的成本比原先增加了10元，問前幾天的總利潤恰好為9600元（利潤＝出廠價﹣成本）？
【分析】（1）根據圖象可知，這批服裝一共有800件，點A表示該企業(yè)前5天累計生產服裝200件；
（2）設增加工人后y與x的函數表達式為y＝mx+n（m≠0），把A（5，200）、B（15，800）代入解析式得到二元一次方程組，解方程組即可；
（3）設前x天的總利潤恰好為9600元，根據題意列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）根據圖象可知，這批服裝一共有800件，點A表示該企業(yè)前5天累計生產服裝200件，
故答案為：800，該企業(yè)前5天累計生產服裝200件；
（2）設增加工人后y與x的函數表達式為y＝mx+n（m≠0），
將A（5，200）、B（15，800）代入，
得，
解得，
∴y＝60x﹣100；
（3）設前x天的總利潤恰好為9600元．
當x≤5時，（80﹣50）?40x≤6000＜9600，不符合題意；
當x＞5時，6000+（60x﹣100﹣200）（80﹣50﹣10）＝9600．
解得x＝8．
答：前8天的總利潤恰好為9600元，

15．如圖，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于點A、點B，點P是射線BO上的動點，過點B作直線AP的垂線交x軸于點Q，垂足為點C，連結OC．
（1）當點P在線段BO上時，
①求證：△AOP≌△BOQ；
②若點P為BO的中點，求△OCQ的面積．
（2）在點P的運動過程中，是否存在某一位置，使得△OCQ成為等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）可得出OA＝OB，∠OAP＝∠OBQ，進而得出結論；
（2）可求得AC和BQ的解析式，進而求得點C的坐標，進一步得出結果；
（3）當點P在線段OB上時，可推出OC＝CQ，此時點C是BQ的中點，進而得出AQ＝AB，進一步得出結果；當點P 在BO的延長線上時，同理得出結果．
【解答】（1）①證明：當x＝0時，y＝4，
∴OB＝4，
當y＝0時，x+4＝0，
∴x＝﹣4，
∴OA＝4，
∴OA＝OB，
∵∠BOQ＝90°，
∴∠OBQ+∠OQB＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠OAP+∠OQB＝90°，
∴∠OAP＝∠OBQ，
∵∠AOP＝∠BOQ＝90°，
∴△AOP≌△BOQ（ASA）；
②解：∵OB＝4，點P是OB 的中點，
∴OP＝BP＝OB＝2，
由①知：△AOP≌△BOQ，
∴OQ＝OP＝2，
∴Q（2，0），
設直線AP的解析式為：y＝kx+b，
∴，
∴y＝，
同理可得：直線BQ的解析式為：y＝﹣2x+4，
由得，
，
∴C（，），
∴S △OCQ＝；
（2）解：如圖1，
當點P在線段OB上時，
∵∠OPC＝∠AOP+∠OAP＝90°+∠OAP，
∴OC＞OP，
∵OP＝OQ，
∴OC＞OQ，
∵∠OCQ＝∠OAB＝45°，∠COQ＝∠ABC＞45°，
∴∠COQ＞OCQ，
∴CQ＞OQ，
∴當△COQ是等腰三角形時，只有OC＝CQ，
∴∠COQ＝∠CQO，
∵∠BOQ＝90°，
∴∠COQ+∠BOC＝90°，∠CQO+∠OBQ＝90°，
∴∠OBQ＝∠BOC，
∴OC＝BC，
∴CO＝BC，
∵AC⊥BQ，
∴AQ＝AB＝OA＝4
∴OP＝OQ＝AQ﹣AO＝4﹣4，
∴P（0，4），
如圖2，
當點P在BO的延長線上時，
同理可得：P（0，﹣4﹣4），
綜上所述：P（0，4）或P（0，﹣4﹣4）．
16．如圖1，平面直角坐標系中，直線y＝kx+b與x軸交于點A（6，0），與y軸交于點B，與直線y＝2x交于點C（a，4）．
（1）求點C的坐標及直線AB的表達式；
（2）如圖2，在x軸上有一點E，過點E作直線l⊥x軸，交直線y＝2x于點F，交直線y＝kx+b于點G，若GF的長為3．求點E的坐標；
（3）在y軸上是否存在一點H，使以O、C、H為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將點C的坐標代入直線y＝2x的解析式即可得出a的值，即得C點坐標，再用待定系數法求直線AB的表達式即可；
（2）設點E的坐標為（m，0），根據點F、點G、點E在同一直線上，寫出點F、點G的坐標，利用|GF|＝3，列方程求解即可；
（3）根據題意使以O、C、F為頂點的三角形是等腰三角形，則分OF＝OC，CF＝OC，FO＝FC三種情況分別求出F點坐標即可．
【解答】解：（1）∵點C在直線y＝2x上，
∴2a＝4，
解得a＝2，
∴C（2，4）；
將A（6，0），C（2，4）代入直線y＝kx+b，得：
，
解得，
∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+6；
（2）根據題意設E點坐標為（m，0），
∵點E、F、G三點在同一直線上，且點F在直線y＝2x上，點G在y＝﹣x+6上，
∴F（m，2m），G（m，﹣m+6），
又∵|FG|＝3，
∴|2m﹣（﹣m+6）|＝3，
解得m＝3或m＝1，
∴E點的坐標為（3，0）或（1，0）；
（3）存在，
設M（0，t），
∵C（2，4），
∴OC＝＝2，OM＝|t|，CM＝＝，
要使以O、C、M為頂點的三角形是等腰三角形，分以下三種情況：
①當OC＝OM時，
即|t|＝2，
解得t＝±2，
∴M（0，2）或（0，﹣2）；
②當OC＝CM時，
即＝2，
解得t＝8或t＝0（舍去），
∴M（0，8）；
③當CM＝OM時，
即＝|t|，
解得t＝，
∴M（0，）；
綜上，符合條件的M點的坐標是（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，）．
長度x/m
1
2
3
4
…
售價y/元
8+0.3
16+0.6
24+0.9
32+1.2
…

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人教版數學八年級暑假作業(yè) 第13練 一次函數的實際應用 (原卷版+解析版）

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