一．直接開方法解一元二次方程：
(1)直接開方法解一元二次方程：
利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.
(2)直接開平方法的理論依據(jù)：平方根的定義.
(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：
①形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解.
若，則；表示為，有兩個不等實數(shù)根；
若，則x=O；表示為，有兩個相等的實數(shù)根；
若，則方程無實數(shù)根．
②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是
.
要點詮釋：
用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.
二．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：
①把原方程化為的形式；
②將常數(shù)項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，將二次項系數(shù)化為1；
③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；
④再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；
⑤若方程右邊是非負數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解.
要點詮釋：
（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；
（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.
（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．
三、配方法的應(yīng)用
1．用于比較大?。?br>在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項或添項、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運用非負數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（?。┲禃r的應(yīng)用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值．
4．用于證明：
“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．
要點詮釋：
“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好．
【考點剖析】
題型一、用直接開平方法解一元二次方程
例1.解方程（1）3x2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．
【答案與解析】
（1）把方程變形為3x2=24，x2=8．
開平方，得原方程的根為x=或x=-．
(2)原方程可化為(4-3n)2=64，
所以有4-3n=8或4-3n=-8．
所以，原方程的根為n=-或n=4．
【總結(jié)升華】應(yīng)當注意，形如=k(k≥0)的方程是最簡單的一元二次方程，“開平方”是解這種方程最直接的方法．“開平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．
例2.解方程(x-3)2=49．
【答案與解析】
把x-3看作一個整體，直接開平方，得
x-3=7或x-3=-7．
由x-3=7，得 x=10．
由x-3=-7，得 x=-4．
所以原方程的根為x=10或x=-4．
【總結(jié)升華】應(yīng)當注意，如果把x+m看作一個整體，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接開平方法求解的方程；這就是說，一個方程如果可以變形為這個形式，就可用直接開平方法求出這個方程的根．所以，(x+m)2=n可成為任何一元二次方程變形的目標．
【變式1】用直接開平方法求下列各方程的根：
(1)x2=361； (2)2y2-72=0； (3)5a2-1=0； (4)-8m2+36=0．
【答案】(1)∵ x2=361，
∴ x=19或x=-19．
(2)∵2y2-72=0，
2y2=72，
y2=36，
∴ y=6或y=-6．
(3)∵5a2-1=0，
5a2=1，
a2=，
∴a=或a=-．
(4)∵-8m2+36=0，
-8m2=-36，
m2=，
∴m=或m=-．
【變式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．
【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，
開方得：2（x+3）=±5（x﹣2），
解得：，．
題型二、用配方法解一元二次方程
例3.用配方法解方程x2-7x-1＝0．
【答案與解析】
將方程變形為x2-7x＝1，兩邊加一次項的系數(shù)的一半的平方，得
x2-7x+＝1+，所以有＝1+．
直接開平方，得x-＝或x-＝-．
所以原方程的根為x＝+或x＝-．
【總結(jié)升華】一般地，用先配方，再開平方的方法解一元二次方程，應(yīng)按以下步驟進行：
(1)把形如ax2+bx+c＝0(a≠0)的方程中二次項的系數(shù)化為1；
(2)把常數(shù)項移到方程的右邊；
(3)方程的兩邊都加“一次項系數(shù)一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程；
(4)用直接開平方的方法解此題．
【變式】用配方法解方程.
(1)x2-4x-2＝0； (2)x2+6x+8＝0.
【答案】(1)方程變形為x2-4x＝2．
兩邊都加4，得x2-4x+4＝2+4．
利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2＝n的方程，即有(x-2)2＝6．
解這個方程，得x-2＝或x-2＝-．
于是，原方程的根為x＝2+或x＝2-．
(2)將常數(shù)項移到方程右邊x2+6x＝-8．
兩邊都加“一次項系數(shù)一半的平方”＝32，得 x2+6x+32＝-8+32，
∴ (x+3)2＝1．
用直接開平方法，得x+3＝±1，
∴ x＝-2或x＝-4．
例4.用配方法解方程：．
【答案與解析】
解：∵，
∴
∴ ，
∴
∴ ．
【總結(jié)升華】原方程的二次項系數(shù)不為1，必須先化成1，才能配方．配方時，方程左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成的形式，然后用直接開平方法求解即可．
【變式】 用配方法解方程
（1）2x2+3=5x （2）
【答案】（1）




.
（2）
①當時，此方程有實數(shù)解，
；
②當時，此方程無實數(shù)解.
題型三、配方法在代數(shù)中的應(yīng)用
例5．若代數(shù)式，，則的值（ ）
A．一定是負數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是負數(shù)D．一定不是正數(shù)
【答案】B；
【解析】（作差法）
．故選Ｂ．
【總結(jié)升華】本例是“配方法”在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項、配成完全平方，使此差大于零而比較出大小.
例6．用配方法說明： 代數(shù)式 x2+8x+17的值總大于0.
【答案與解析】
x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1
∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，
故無論x取何實數(shù)，代數(shù)式 x2+8x+17的值總大于0.
【總結(jié)升華】利用配方法將代數(shù)式配成完全平方式后，再分析代數(shù)式值得符號.
【變式1】求代數(shù)式 x2+8x+17的最小值
【答案】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1
∵（x+4）2≥0，
∴當（x+4）2＝0時，代數(shù)式 x2+8x+17的最小值是1.
【變式2】用配方法證明的值小于0．
【答案與解析】
證明：


．
∵ ，∴ ，
即．故的值恒小于0．
【總結(jié)升華】證明一個代數(shù)式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一個含完全平方式和一個常數(shù)的式子來證明．本題不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想與自己學(xué)的配方法大同小異，即思路一致．
【變式3】求證：代數(shù)式3x2﹣2x+4的值不小于．
【答案】
解：3x2﹣2x+4=3（x2﹣x+）﹣+4=3（x﹣）2+
∵3（x﹣）2≥0，
∴3（x﹣）2+≥，
即代數(shù)式3x2﹣2x+4的值不小于．
例7.已知，求的值．
【思路點撥】采用配方法求出的值，代入計算即可得到答案．
【答案與解析】
解：由題意可得：

∴，
∴
將代入得：

【總結(jié)升華】本題考查的是配方法的應(yīng)用和非負數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握配方法的步驟和幾個非負數(shù)的和為0，每個非負數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．
例8.若實數(shù)滿足，則的值是（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ． Ｄ．
【答案】C；
【解析】對已知等式配方，得，∴．
∴．故選Ｃ．
【總結(jié)升華】本例是配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式左邊配成完全平方式后，再運用非負數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．
【變式】（1）2x2+6x?3的最小值是 ；（2）?x2+4x+5的最大值是 .
【答案】（1）；
所以2x2+6x?3的最小值是
（2）
所以?x2+4x+5的最大值是9.
例9. 分解因式：．
【答案與解析】
．
【總結(jié)升華】這是配方法在因式分解中的應(yīng)用，通過添項、配成完全平方式，進而運用平方差公式分解因式．
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．（廣東清遠·九年級統(tǒng)考期末）將方程配方后，原方程變形為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用配方法解一元二次方程即可．
【詳解】解：由題意知，方程配方后，方程變形為，
故選：A．
【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于正確的運算．
2．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）某數(shù)學(xué)興趣小組四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負責完成一個步驟，如圖所示，老師看后，發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)所負責的步驟是錯誤的，則這位同學(xué)是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟即可得出結(jié)果．
【詳解】解：
∴
解得：,
丁同學(xué)是錯的，
故選：D．
【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）解一元二次方程時，配方后得到方程，則c等于（ ）
A．6B．4C．2D．
【答案】C
【分析】先把常數(shù)項移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上4，然后把方程左邊寫成完全平方的形式，從而求得c.
【詳解】解：，
，
，
，
．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程的配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解答關(guān)鍵.
4．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】B
【分析】由，配方可得，進而可得的值，然后代入，計算求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于正確的配方求出的值．
5．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值是（ ）
A．8B．C．D．9
【答案】A
【分析】由已知得，注意x的取值范圍，代入再配方，利用非負數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，且即，
∴
，
∵，
∴當時，的最小值是，
故選：A．
【點睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，掌握完全平方公式及確定x的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．
6．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）已知，為任意實數(shù)，則的值( )
A．大于0B．等于0C．小于0D．無法確定
【答案】A
【分析】根據(jù)整式的加減化簡，然后根據(jù)配方法得出，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴
∴的值大于0，
故選：A．
【點睛】本題考查了整式的加減，配方法的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）將方程配方成的形式，下列配方結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先二次項化系數(shù)為1，將常數(shù)項移到方程的右邊，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半，即可求解．
【詳解】解：
二次項化系數(shù)為1得：
移項得：
配方得：
整理得：
故選：D．
【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．
二、填空題
8．（2022秋·廣東佛山·九年級?？计谥校┮辉畏匠膛浞胶蟮茫瑒t的值為 _____．
【答案】11
【分析】移項后，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方進行配方，然后可得m、n的值，再進行計算即可．
【詳解】解：移項得，
配方得，即，
∴，，
∴，
故答案為：11．
【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期中）代數(shù)式可化為；無論a取何值，所以，即有最小值為4．仿照上述思路，代數(shù)式的最大值為__________．
【答案】
【分析】仿照題意進行求解即可．
【詳解】解：
，
∵無論a取何值，都有，
∴，
∴，即有最大值，
∴的最大值為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）填空：
（1）______．
（2）______．
（3）___________．
【答案】 16 36 6
【分析】（1）所填的常數(shù)項為一次項系數(shù)一半的平方；
（2）所填的常數(shù)項為一次項系數(shù)一半的平方；
（3）所填的常數(shù)項為一次項系數(shù)一半的平方，運用配方法的運算方法，也可以直接利用完全平方公式：得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）．
故答案為：①16；
（2）
故答案為：②；
（3）
故答案為：③36，④6．
【點睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握配方的過程中應(yīng)注意不能改變原式的大?。?br>11．（2021秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）用配方法將方程進行配方得___________．
【答案】
【分析】在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)2的一半的平方，即可求解．
【詳解】解：，
方程兩邊加上1，，
即，
故答案為：．
【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）一元二次方程，配方后可變形為 ____．
【答案】
【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上16，然后把方程左邊寫成完全平方形式即可．
【詳解】解：，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
13．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）當_____時，代數(shù)式有最小值為______．
【答案】 3
【分析】根據(jù)偶次方的非負性可知，當時有最小值，進而可求解．
【詳解】解：，
當時代數(shù)式取得最小值，最小值為，
即時，代數(shù)式的最小值為，
故答案為：3；．
【點睛】本題主要考查了配方法、偶次方的非負性，掌握偶次方的非負性是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)，滿足，則代數(shù)式的最小值等于__________．
【答案】
【分析】將代入代數(shù)式，根據(jù)配方法即可求解．
【詳解】解：∵
∴
，
∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
15．（2023秋·遼寧丹東·九年級?？计谥校⒎匠袒癁樾问?，則______，______．
【答案】
【分析】把常數(shù)項移到等號的右邊，等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成完全平方公式即可．
【詳解】解：∵，
∴，
配方得，即，
∴，，
故答案為：，．
【點睛】本題考查配方法解一元二次方程，解題時要注意步驟，選擇用配方法解一元二次方程時，先將常數(shù)項移到等號右邊，并使二次項的系數(shù)為1，然后進行配方．
16．（2022秋·福建寧德·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若將方程化為，則m=___________．
【答案】3
【分析】此題實際上是利用配方法解方程．配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
【詳解】解：在方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，得
，
配方，得
．
所以，．
故答案為：3．
【點睛】本題考查了解一元二次方程——配方法．掌握配方法解是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）已知點在一次函數(shù)圖象上，則的最小值為______．
【答案】
【分析】將點代入一次函數(shù)解析式得出，，代入代數(shù)式，根據(jù)配方法即可求解．
【詳解】解：∵點在一次函數(shù)圖象上，
∴
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，配方法的應(yīng)用，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
18．（2023春·江蘇南通·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若實數(shù)x，y滿足關(guān)系式，則的最大值為______．
【答案】4
【分析】將適當變形得到用含有x的代數(shù)式表示的形式，再利用配方法變形后，根據(jù)x的取值范圍即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
，
∵
∴
∴當時的最大值為．
故答案為4．
【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的極值、配方法等知識點，利用配方法對式子靈活變形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
19.（2022秋?江都區(qū)期中）解方程：
（1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0．
【分析】（1）首先將方程整理為x2＝，再利用平方根的意義直接開方求解即可；
（2）首先將方程整理為（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意義直接開方求解即可．
【解答】解：（1）4x2＝49，
x2＝，
∴，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，
（2x﹣1）2＝25，
∴2x﹣1＝±5，
∴x1＝3，x2＝﹣2．
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣直接開平方法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．
20．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）用配方法解方程：
【答案】，
【分析】先利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程．
【詳解】解：，
移項得：，
配方得：，即，
開平方得：，
解得：，．
【點睛】本題考查了運用配方法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法步驟是解題的關(guān)鍵．
21．（2022秋·貴州黔西·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）先閱讀，后解題．
已知，求和的值．
解：將左邊分組配方：即．
，，且和為，
且，，．
利用以上解法，解下列問題：
(1)已知：，求和的值．
(2)已知，，是的三邊長，滿足且為直角三角形，求．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】由題意把等式變形為非負數(shù)的和等于0的形式，利用非負數(shù)的性質(zhì)即可求解；
由題意把等式變形為非負數(shù)的和等于0的形式，求得的值，然后根據(jù)勾股定理可求解．
【詳解】（1）解：∵，
，即，
∵，，且，
∴且，
，；
（2）解：∵，
方程變形為，
∴，，
∴，，
為直角三角形，
∴當，是直角邊時，則；
當是斜邊，是直角邊時，則；
或．
【點睛】本題主要考查配方法的應(yīng)用及勾股定理，熟練掌握配方法的應(yīng)用及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
22．（2022秋·江西九江·九年級統(tǒng)考期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應(yīng)用．
例：已知x可取任何實數(shù)，試求二次三項式最小值．
解：
∵無論x取何實數(shù)，總有．
∴，即的最小值是．
即無論x取何實數(shù)，的值總是不小于的實數(shù)．
問題：
(1)已知，求證y是正數(shù)；
(2)知識遷移：如圖，在中，，，，點P在邊上，從點A向點C以的速度移動，點Q在邊上以的速度從點C向點B移動若點P，Q同時出發(fā)，且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，設(shè)的面積為，運動時間為t秒時S最大，請求出t和S的值，
【答案】(1)見解析
(2)t=，S最大值=
【分析】（1）仿照例題，利用配方求解即可．
（2）先求s，再利用配方求最值即可．
【詳解】（1）證明：（1）
．
∵．
∴．
∴．
∴y是正數(shù)．
（2）解：∵，，．
∴
．
∵．
∴當時，S有最大值，最大值為．
【點睛】本題考查利用配方求最值，正確配方是求解本題的關(guān)鍵．
23．（2022秋·廣西柳州·九年級統(tǒng)考期中）閱讀材料
數(shù)學(xué)課上，韋老師在求代數(shù)式的最小值時，利用公式，對式子作如下變形∶，
∵，
∴當時，，
∴當時，有最小值1，即的最小值為1．通過閱讀，解決下列問題∶
(1)當___________時，代數(shù)式有最小值為___________
(2)代數(shù)式 的最小值為___________
(3)當x取何值時，代數(shù)式的有最大或最小值，并求出最大或最小值．
【答案】(1)5，4
(2)0
(3)當時，有最大值，最大值是12
【分析】（1）由可得，從而判斷它在時取最小值；
（2）配方可得，根據(jù)，即可得出結(jié)論；
（3）提取，然后配方得，根據(jù)可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：（1），
，
當時，取到等號，
當時，有最小值，最小值為：4；
故答案為5，4；
（2）解：，
當時，有最小值，最小值為：0；
故答案為0；
（3）解：
，
，
，
當時，取到等號，
當時，有最大值，最大值為12．
【點睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
24．（2023秋·河北承德·九年級統(tǒng)考期末）解決問題
嘉琪同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式時，她是這樣做的：
若時：
；
若時此方程無實數(shù)根．
(1)嘉琪同學(xué)步驟中括號填：________．
(2)根據(jù)嘉琪同學(xué)步驟回答：
①一元二次方程有實根的條件是：________．
②________，________．
(3)一元二次方程，有兩個不相等實數(shù)根和；用配方法解方程驗證：；．
【答案】(1)
(2)①,②；
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)完全正確平方公式求解即可；
（2）根據(jù)二次根式有意義條件求解即可；
（3）用配方法解方程即可求出方程的解，再分別代入計算即可與計算即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：①一元二次方程有實根的條件是：；
②
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，，
∴，
．
【點睛】本題考查用配方法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程—配方法是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）設(shè)x，y都是實數(shù)，請?zhí)骄肯铝袉栴}，
(1)嘗試：①當，時，，，．
②當，時，，，．
③當，時，，，．
④當，時，，，________2xy．
(2)歸納：與有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．
(3)運用：求代數(shù)式的最小值．
【答案】(1)
(2)，理由見解析；
(3)代數(shù)式的最小值為8．
【分析】（1）求得，，得到；
（2）結(jié)合完全平方的非負性即可解答；
（3）利用歸納的結(jié)論即可求解．
【詳解】（1）解：當，時，，，
，
故答案為：；
（2）解：，理由如下，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴代數(shù)式的最小值為8．
【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，利用完全平方非負數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
26．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）觀察下圖中用小黑點擺成的三角形，并根據(jù)圖中規(guī)律回答相關(guān)問題．

(1)第4個圖形對應(yīng)的等式為______；
(2)若第n個圖形對應(yīng)的黑點總數(shù)為個，求n的值．
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）根據(jù)圖形規(guī)律第四個圖形多一行5個的點，直接列式即可得到答案；
（2）根據(jù)題意找到圖形點數(shù)規(guī)律列式求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：由題意可得，
第四個圖形總點數(shù)可列為：，
故答案為：；
（2）解：由題意可得，
每一個圖形的行數(shù)比個數(shù)多1，每行的數(shù)字從1開始逐漸加1，
∴第n個圖形的點數(shù)為：，
∴，
整理得，解得，（舍去），
∴n的值為；
【點睛】本題考查圖形規(guī)律問題及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到圖形規(guī)律．

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