第13講中心對稱（三種題型）-初中人教版八升九數(shù)學暑假銜接（教師版+學生版）-試卷下載-教習網

一．中心對稱
（1）中心對稱的定義
把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．．
（2）中心對稱的性質
①關于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；
②關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分．
二．中心對稱圖形
（1）定義
把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
注意：中心對稱圖形和中心對稱不同，中心對稱是兩個圖形之間的關系，而中心對稱圖形是指一個圖形自身的特點，這點應注意區(qū)分，它們性質相同，應用方法相同．
（2）常見的中心對稱圖形
平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．
三．關于原點對稱的點的坐標
關于原點對稱的點的坐標特點
（1）兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y）．
（2）關于原點對稱的點或圖形屬于中心對稱，它是中心對稱在平面直角坐標系中的應用，它具有中心對稱的所有性質．但它主要是用坐標變化確定圖形．
注意：運用時要熟練掌握，可以不用圖畫和結合坐標系，只根據(jù)符號變化直接寫出對應點的坐標．
【考點剖析】
一．中心對稱（共16小題）
1．（2023春?江夏區(qū)校級期末）下列說法中正確的是（）
A．對角線互相垂直且平分的四邊形是矩形
B．對角線互相平分且相等的四邊形是菱形
C．對角線相等且垂直的四邊形是正方形
D．經過平行四邊形對角線交點的直線平分該平行四邊形的面積
2．（2023?思明區(qū)校級二模）凸透鏡成像的原理如圖所示，AG∥l∥HC．若縮小的實像是物體的，則物體到焦點F1的距離與焦點F2到凸透鏡的中心線GH的距離之比為．（焦點 F1 和 F2 關于O點對稱）
3．（2023?金水區(qū)校級一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，點D，E分別是AB、AC的中點，點G，F(xiàn)在BC邊上（均不與端點重合），DG∥EF．將△BDG繞點D順時針旋轉180°，將△CEF繞點E逆時針旋轉180°，拼成四邊形MGFN，則四邊形MGFN周長l的取值范圍是．
4．（2021秋?武漢期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉180°得△CFE，求證：四邊形ADCF是矩形．
5．（2023?株洲）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC與BD相交于點O，下列說法正確的是（）
?
A．點O為矩形ABCD的對稱中心
B．點O為線段AB的對稱中心
C．直線BD為矩形ABCD的對稱軸
D．直線AC為線段BD的對稱軸
6．（2023?任丘市二模）如圖由6×6個邊長為1的小正方形組成，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的三個頂點A，B，C均在格點上，O是AC與網格線的交點，將△ABC繞著點O順時針旋轉180°．以下是嘉嘉和淇淇得出的結論，下列判斷正確的是（）
嘉嘉：旋轉后的三角形的三個頂點均在格點上；
淇淇：旋轉前后兩個三角形可形成平行四邊形
A．只有嘉嘉對B．只有淇淇對C．兩人都對D．兩人都不對
7．（2023?房山區(qū)二模）下列圖形中，點O是該圖形的對稱中心的是（）
A．B．C．D．
8．（2023?海港區(qū)一模）如圖．在平面直角坐標系中?ABCD的頂點分別為A（1，2），B（4，2），C（7，5）．
（1）點D的坐標為．
（2）當正比例函數(shù)y＝kx的圖象平分?ABCD面積時，k的值為．
9．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，點P在AD上，且AP＝2，若直線l經過點P，將該平行四邊形的面積平分，并與平行四邊形的另一邊交于點Q，則線段PQ的長度為．
10．（2022秋?利川市期末）如圖，將△ABC繞點O旋轉180°，得到△A'B'C'，當點O不在△ABC三邊所在直線上時，求證：四邊形BCB'C'是平行四邊形．
11．（2023春?瑞安市月考）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，過菱形ABCD的對稱中心O分別作邊AB，BC的垂線，交各邊于點E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的周長為（）?
A．B．C．D．
12．（2023?古冶區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A的坐標為（﹣6，4），點B，C在x軸上，將正方形ABCD平移后，點O成為新正方形的對稱中心，則正方形ABCD的平移過程可能是（）
A．向右平移8個單位長度，再向下平移4個單位長度
B．向右平移4個單位長度，再向下平移4個單位長度
C．向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度
D．向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度
13．（2023?西安一模）如圖，直線l平分正方形ABCD的面積，直線l分別與AB、CD交于點E、F，BH⊥直線l于 H，連接AH，若AB＝2，則AH長的最小值為．
14．（2023?舟山一模）如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．動點P沿線段AC以5cm/s的速度從點A向點C運動，另有一動點Q與點P同時出發(fā)，沿線段BC以相同的速度從點B向點C運動．作PD⊥AB于點D，再將△APD繞PD的中點旋轉180°，得到△A′DP；作QE⊥AB于點E，再將△BQE繞QE的中點旋轉180°，得到△B′EQ．設點P的運動時間為xs．
（1）如圖（2）當A′點落在BC邊上時x的值為；
（2）如圖1，在點P，Q運動中，當點A′在△B'EQ內部時x的取值范圍為．
15．（2022秋?惠濟區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠B＝60°，過平行四邊形的對稱中心點O的一條直線與邊AD、BC分別交于點E、F，設直線EF與BC的夾角為α．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）填空：
①當α的度數(shù)是時，四邊形AFCE為菱形；
②當α的度數(shù)是時，四邊形AFCE為矩形；
16．（2023?滁州二模）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，點E為AD邊上一點，且AE＝2，在BC邊上存在一點F，CD邊上存在一點G，線段EF平分菱形ABCD的面積，則△EFG周長的最小值為．
二．中心對稱圖形（共7小題）
17．（2023?南寧三模）下列圖形中，不是中心對稱圖形的是（）
A．B．
C．D．
18．（2023?江夏區(qū)校級模擬）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）
A．B．C．D．
19．（2023?梁溪區(qū)模擬）給出下列4種圖形：①線段，②等邊三角形，③矩形，④正六邊形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是．（在橫線上填寫圖形前的標號即可）
20．（2023?富錦市校級三模）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）
A．B．
C．D．
21．（2022?吉林二模）圖1、圖2、圖3都是由邊長為1的小菱形構成的網格，已有兩個小菱形涂上了黑色，請你再涂黑兩個小菱形，使得整個涂色部分圖形滿足下列條件．
（1）圖1中，整個涂色部分圖形為軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；
（2）圖2中，整個涂色部分圖形為中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；
（3）圖3中，整個涂色部分圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．
22．（2023春?南京期末）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）
A．B．
C．D．
23．（2021秋?建安區(qū)期中）數(shù)學興趣小組活動時，提出了如下問題：如圖1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決方法：延長AD到E．使得DE＝AD．再連接BE（或將ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．
遷移應用：請參考上述解題方法，證明下列命題：
如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．
（1）求證：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索線段BE，CF，EF之間的等量關系，并加以證明．
三．關于原點對稱的點的坐標（共9小題）
24．（2023?沁陽市模擬）在平面直角坐標系中，點（a﹣3，4）關于原點的對稱點為（5，﹣b），則ab的值為（）
A．﹣8B．8C．6D．﹣12
25．（2023?曲阜市二模）在平面直角坐標系中，已知P（﹣3，5）和點Q（3，m﹣1）關于原點對稱，則m＝．
26．（2022秋?錦江區(qū)期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC，則△ABC的面積是；
（2）若點D與點C關于原點對稱，則點D的坐標為；
（3）已知P為x軸上一點，若△ABP的面積為4，求點P的坐標．
27．（2023春?溫州期末）在直角坐標系中，點A（1，4）關于原點對稱的點的坐標是（）
A．（1，﹣4）B．（﹣1，4）C．（4，1）D．（﹣1，﹣4）
28．（2023?游仙區(qū)模擬）點M（﹣2，6）關于坐標原點的中心對稱點為（）
A．M'（﹣6，2）B．M'（2，﹣6）C．M'（﹣1，3）D．M'（3，﹣1）
29．（2023?福田區(qū)校級三模）若點P（5，2﹣b）關于原點的對稱點為Q（a﹣2，5），則﹣2a+b＝．
30．（2023?綿陽三模）若點A（1，m）與點B（﹣1，1﹣|x|）關于原點O成中心對稱，則m的最小值為．
31．（2022秋?羅湖區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，﹣2），點P是x軸上的一個動點．
（1）A1，A2分別是點A關于原點的對稱點和關于y軸對稱的點，直接寫出點A1，A2的坐標，并在圖中描出點A1，A2．
（2）求使△APO為等腰三角形的點P的坐標．
32．（2023?市南區(qū)校級二模）如圖，將三角形向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，然后再關于原點中心對稱，則最后三個頂點的坐標是（）
A．（﹣1，﹣7），（2，﹣2），（﹣3，﹣4）
B．（1，7），（﹣2，2），（4，3）
C．（1，7），（2，2），（3，4）
D．（1，7），（2，﹣2），（3，3）
【過關檢測】
一、單選題
1．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）點關于原點對稱的點的坐標是（）
A．B．C．D．
2．（2023·河南信陽·?？既＃┌岩粡埩庑渭埰慈鐖D1、圖2依次對折后，再按圖3打出一個圓形小孔，則展開鋪平后的圖形（）

A．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形B．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
C．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形D．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形
3．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點的坐標為，點，在軸上，將正方形平移后，點成為新正方形的對稱中心，則正方形的平移過程可能是（）

A．向右平移8個單位長度，再向下平移4個單位長度
B．向右平移4個單位長度，再向下平移4個單位長度
C．向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度
D．向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度
4．（2023秋·河北保定·九年級?？计谀┮阎c與點關于對稱，則？指的是（）
A．1B．3C．5D．2
5．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖，老師讓同學們利用棋子在棋盤上拼出一個中心對稱圖形（顏色忽略），為了增加難度，加入了方向角，則下一個棋子應該放在中心點的（）

A．西北方向的處B．西南方向的處C．東南方向的處D．西南方向的處
6．（2023·江蘇·模擬預測）在三張透明紙上，分別有、直線l及直線l外一點P、兩點M與N，下列操作能通過折疊透明紙實現(xiàn)的有（）
①圖1，的角平分線
②圖2，過點P垂直于直線l的垂線
③圖3，點M與點N的對稱中心
A．①B．①②C．②③D．①②③
7．（2022秋·福建福州·九年級?？茧A段練習）如圖，與關于點O成中心對稱，則下列結論不成立的是（）
A．點A與點是對稱點B．
C．D．
8．（2022秋·山西大同·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，畫關于點O成中心對稱的圖形時，由于緊張對稱中心選錯，畫出的圖形是，請你找出此時的對稱中心是（）
A．B．C．D．
9．（2022秋·九年級單元測試）在平面直角坐標系中的位置如圖所示，把各點的橫坐標、縱坐標都乘以，依次連接這些點，所得到的圖形是（）

A． B． C． D．
10．（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）如圖由個邊長為1的小正方形組成，每個小正方形的頂點稱為格點，的三個頂點，，均在格點上，是與網格線的交點，將繞著點順時針旋轉．以下是嘉嘉和淇淇得出的結論，下列判斷正確的是（）

嘉嘉：旋轉后的三角形的三個頂點均在格點上；
淇淇：旋轉前后兩個三角形可形成平行四邊形
A．只有嘉嘉對B．只有淇淇對C．兩人都對D．兩人都不對
二、填空題
11．（2022秋·九年級單元測試）在平行四邊形、等邊三角形、圓、線段中，是中心對稱圖形的有______．
12．（2023·湖北咸寧·模擬預測）平面直角坐標系中，一點關于原點的對稱點的坐標是______．
13．（2023·內蒙古包頭·校考三模）數(shù)學中很多圖形擁有對稱之美，請你在所學習的幾何圖形中，寫出一個既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的圖形：_____．
14．（2018秋·九年級單元測試）對于平面圖形上的任意兩點，，如果經過某種變換（如：平移、旋轉、軸對稱等）得到新圖形上的對應點，，保持，我們把這種對應點連線相等的變換稱為“同步變換”．對于三種變換：
①平移、②旋轉、③軸對稱，
其中一定是“同步變換”的有________（填序號）．
15．（2022秋·九年級單元測試）如圖，與成中心對稱，是的中位線，是的中位線，已知，則____．
16．（2023秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習）已知點關于原點對稱的點為，點關于軸對稱的點為，點在第四象限，那么的取值范圍是______．
17．（2020秋·吉林白城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點旋轉得到，設點的坐標為，則點的坐標為 ___________．

18．（2023·山東濰坊·昌邑市實驗中學?？级＃┰谌鐖D所示的平面直角坐標系中，是邊長為2的等邊三角形，作與關于點成中心對稱，再作與關于點成中心對稱，…，如此作下去，則的頂點的坐標是___________．

三、解答題
19．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考三模）如圖所示的正方形網格中，的頂點均在格點上，請在所給直角坐標系中按要求畫圖：
(1)作出關于坐標原點成中心對稱的；
(2)作出以點A為旋轉中心，將繞點A順時針旋轉得到的；
(3)點的坐標為________．
20．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，的頂點坐標為，，．

(1)畫出向右平移個單位后的；
(2)將繞原點旋轉，畫出旋轉后的；
(3)的面積為________．
21．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是，，．

(1)將向上平移4個單位長度得到，請畫出；
(2)請畫出關于軸對稱的；
(3)請寫出點關于原點對稱的點的坐標．
22．（2023·安徽蚌埠·模擬預測）如圖，三角形是三角形經過某種變換后得到的圖形，分別觀察點與點，點與點，點與點的坐標之間的關系．
(1)若三角形內任意一點的坐標為，點經過這種變換后得到點，根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，點的坐標為______．
(2)若三角形先向上平移個單位，再向右平移個單位得到三角形，畫出三角形并求三角形的面積．
(3)直接寫出與軸交點的坐標______．
23．（2023·山東濰坊·昌邑市實驗中學校考二模）如圖1，兩個正方形拼接成一個“L”型的圖形，現(xiàn)用一條直線將圖形分為面積相等的兩部分．小穎在研究時發(fā)現(xiàn)了三種不同的分割方法，圖2是其中一種方法．

(1)請在下面圖形中再畫出另外兩種分割方法；

(2)若小正方形的邊長為2，大正方形的邊長為4．小穎在利用繪圖軟件研究分割方法時，將圖1放置在平面直角坐標系中，如圖3所示，此時圖2所示的分割直線AB的表達式為．小穎發(fā)現(xiàn)：上述三種不同的分割直線都經過同一個點．請你證明此發(fā)現(xiàn)；

(3)小穎繼續(xù)研究，又發(fā)現(xiàn)了一種分割方法，如圖4所示．請根據(jù)此圖，簡述其作圖思路；

(4)通過上述探究過程，談談你的收獲．（兩條即可）
24．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點分別為，，．

(1)作出關于x軸對稱的，點A、B、C的對應點分別是、、；
(2)作出關于原點O成中心對稱的，點A、B、C的對應點分別是、、．
25．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，已知A，B，C是平面直角坐標系上的三個點．

(1)請畫出關于原點O對稱的；
(2)將向右平移8個單位得到，請畫出；
(3)與是否也關于某個點成中心對稱？如果是，請寫出它們對稱中心的坐標，如果不是，請說明理由．

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