專題10 集合間的基本關(guān)系-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識點(diǎn)1：Venn圖的優(yōu)點(diǎn)及其表示
(1)優(yōu)點(diǎn)：形象直觀．
(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合．
知識點(diǎn)2：子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念
【知識點(diǎn)撥】(1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．
(2)不能把“A?B”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因?yàn)榧螦可能是空集，也可能是集合B．
(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．
(4)對于集合A，B，C，若A?B，B?C，則A?C；任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若A?B，且A≠B，則AB．
知識點(diǎn)3：空集
(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.
(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集．
知識點(diǎn)4：集合間關(guān)系的性質(zhì)
(1)任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即A?A．
(2)對于集合A，B，C，
①若A?B，且B?C，則A?C；
②若A?B，B?C，則A?C．
(3)若A?B，A≠B，則AB．
【題型歸納目錄】
題型1：求集合的子集、真子集
題型2：判斷集合的子集、真子集個(gè)數(shù)
題型3：集合間關(guān)系的判斷
題型4：由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題
題型5：空集的概念及判斷
題型6：空集的性質(zhì)及應(yīng)用
題型7：集合間基本關(guān)系的綜合問題
【典例例題】
題型1：求集合的子集、真子集
例1．(2023·海南儋州·高一校考期中)寫出集合的所有子集和它的真子集.
例2．(2023·河北張家口·高一張家口市第四中學(xué)?？计谥?已知集合，且；
(1)求實(shí)數(shù)；
(2)寫出的所有真子集.
例3．(2023·山東日照·高一?？茧A段練習(xí))設(shè)，．
(1)寫出集合A的所有子集；
(2)若B為非空集合，求a的值．
變式1．(2023·河南洛陽·高一洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知集合，且.
(1)求實(shí)數(shù)的取值的集合；
(2)寫出(1)中集合的所有子集.
變式2．(2023·山東聊城·高一?？茧A段練習(xí))設(shè)集合，列出集合A 的子集.
題型2：判斷集合的子集、真子集個(gè)數(shù)
例4．(2023·廣東佛山·高一佛山市榮山中學(xué)?？计谥?集合的真子集的個(gè)數(shù)是( )
A．8B．7C．3D．5
例5．(2023·全國·高一專題練習(xí))集合，則的子集的個(gè)數(shù)為( )
A．4B．8C．15D．16
例6．(2023·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末)已知集合且，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為( )
A．15B．16C．31D．32
變式3．(2023·高一課時(shí)練習(xí))設(shè)集合，且，若，，則集合M的非空真子集的個(gè)數(shù)為( )
A．4B．6C．7D．15
變式4．(2023·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習(xí))符合?的集合的個(gè)數(shù)為( )
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
變式5．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知集合滿足，那么這樣的集合M的個(gè)數(shù)為( )
A．6B．7C．8D．9
變式6．(2023·江西·高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知集合A，B，C，其中A有10個(gè)元素，C有15個(gè)元素，則滿足?B?C的集合B的個(gè)數(shù)為( )
A．32B．31C．30D．5
變式7．(2023·河南洛陽·高一校考階段練習(xí))滿足條件的集合的個(gè)數(shù)是( )
A．1B．2C．3D．4
題型3：集合間關(guān)系的判斷
例7．(2023·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí))有下列四個(gè)命題：①；②③若，則；④集合有兩個(gè)元素；⑤集合是有限集.；其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A．1B．2C．3D．4
例8．(2023·高一課時(shí)練習(xí))給出下列關(guān)系式:①；②?；③；④，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )
A．1B．2C．3D．4
例9．(2023·高一課時(shí)練習(xí))下列各式：①，②，③，④，⑤，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )
A．1B．2
C．3D．4
變式8．(2023·高一課時(shí)練習(xí))如果，那么( )
A．B．
C．D．
變式9．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知集合和，那么( )
A．?B．?
C．D．
變式10．(2023·全國·高一專題練習(xí))設(shè)，，則( )
A．B．C．D．
變式11．(2023·湖北孝感·高一統(tǒng)考開學(xué)考試)下面五個(gè)式子中：①；②；③；④；⑤，正確的有( )
A．②③④B．②③④⑤C．②④⑤D．①⑤
變式12．(2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí))已知集合，，，若，，則( )
A．B．C．D．以上都不對
變式13．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知集合，，，則M、N、P的關(guān)系滿足( )
A．?B．?C．??D．??
題型4：由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題
例10．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知集合.
(1)若，則實(shí)數(shù)a的值是多少?
(2)若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少?
(3)若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少?
例11．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
例12．(2023·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習(xí))若集合，，且?，求實(shí)數(shù)m的值.
變式14．(2023·廣東東莞·高一東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中)設(shè)集合.
(1)當(dāng)時(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)；
(2)若，求的取值范圍.
變式15．(2023·上海寶山·高一上海交大附中校考期中)已知集合，且，則實(shí)數(shù)a的值是_________．
變式16．(2023·高一單元測試)已知，，且?，則a的取值范圍為_________．
變式17．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知集合，則實(shí)數(shù)m的值是________．
變式18．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知集合A={-4，-1，m}，B={-1，5}，若B?A，則m=____.
變式19．(2023·廣東肇慶·高一?？茧A段練習(xí))已知集合，若，則 m 的取值范圍為__________．
題型5：空集的概念及判斷
例13．(2023·高一課時(shí)練習(xí))下列集合中為的是( )
A．B．
C．D．
例14．(2023·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知集合，表示空集，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A．B．C．D．
例15．(2023·湖北咸寧·高一?？茧A段練習(xí))給出下列說法：
①空集沒有子集；
②任何集合至少有兩個(gè)子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若，則．
其中正確的說法有( )
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
變式20．(2023·河南三門峽·高一校考階段練習(xí))對任意集合A，下列各式①，②，③，④，正確的個(gè)數(shù)是( )
A．1B．2C．3D．4
變式21．(2023·天津和平·高一天津市匯文中學(xué)?？茧A段練習(xí))下列四個(gè)說法中，正確的有( )
①空集沒有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若，則；
④任何集合至少有兩個(gè)子集．
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
題型6：空集的性質(zhì)及應(yīng)用
例16．(2023·河北承德·高一河北承德第一中學(xué)校考期末)有下列關(guān)系式：①；②；③；④；⑤?；⑥.其中不正確的是( )
A．①③④B．②④⑤C．②⑤⑥D(zhuǎn)．③④
例17．(2023·廣西賀州·高一校考階段練習(xí))以下四個(gè)寫法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；②｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④；正確的個(gè)數(shù)有( )
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
例18．(2023·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí))給出下列關(guān)系：
(1)；(2)；(3)；(4)．其中不正確的個(gè)數(shù)為( )
A．1B．2C．3D．4
變式22．(2023·北京·高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí))已知六個(gè)關(guān)系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關(guān)系表達(dá)正確的個(gè)數(shù)為( )
A．3B．4C．5D．6
變式23．(2023·甘肅慶陽·高一?？茧A段練習(xí))有下列四個(gè)命題：①?＝{0}；②?{0}；③{1}{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A．1B．2C．3D．4
題型7：集合間基本關(guān)系的綜合問題
例19．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知集合.
(1)判斷8，9，10是否屬于集合A；
(2)集合,證明：B是A的真子集.
例20．(2023·浙江·高一階段練習(xí))(1)從集合中，選出由5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11，則這樣的子集共有多少個(gè)？
(2)設(shè)集合，集合B是A的子集，且集合B任意兩數(shù)之差都不等于6或7．問：集合B中最多有多少個(gè)元素？說明理由．
例21．(2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校校考階段練習(xí))給定的正整數(shù)，若集合滿足，則稱A為集合M的n元“好集”．
(1)寫出一個(gè)實(shí)數(shù)集的2元“好集”；
(2)證明：不存在自然數(shù)集N的2元“好集”．
變式24．(2023·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級中學(xué)校考階段練習(xí))已知集合有整數(shù)解，非空集合滿足條件：(1)，(2)若，則，則所有這樣的集合的個(gè)數(shù)為____．
變式25．(2023·陜西安康·高一陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí))規(guī)定：在整數(shù)集中，被7除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“家族”，記為，即，，1，2，3，4，5，6，給出如下四個(gè)結(jié)論：
①；
②；
③若整數(shù)，屬于同一“家族”，則；
④若，則整數(shù)，屬于同一“家族”．其中，正確結(jié)論為 __．(填寫正確的序號)
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．(2023·高一課時(shí)練習(xí))下列集合的表示方法中，不同于其他三個(gè)的是( )
A．B．
C．D．
2．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知非空集合M?{1，2，3，4，5}，若a∈M，則6-a∈M，那么集合M的個(gè)數(shù)為( )
A．5B．6C．7D．8
3．(2023·高一課時(shí)練習(xí))若一個(gè)集合含有n個(gè)元素，則稱該集合為“n元集合”.已知集合，則其“2元子集”的個(gè)數(shù)為( )
A．6B．8C．9D．10
4．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知非空集合滿足:對任意，總有，且.若，則滿足條件的的個(gè)數(shù)是( )
A．11B．12C．15D．16
5．(2023·湖南長沙·高一長沙市明德中學(xué)校考期中)已知集合M?{2，3，5}，且M中至少有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合M共有( )
A．5個(gè)B．6個(gè)
C．7個(gè)D．8個(gè)
6．(2023·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí))下列與集合表示同一集合的是( )
A．B．
C．D．
7．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中)非空集合P滿足下列兩個(gè)條件：(1)?，(2)若元素，則，則集合P個(gè)數(shù)是( )
A．4B．5C．6D．7
8．(2023·四川眉山·高一校考期末)若集合，，則集合，之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為( )
A．B．C．D．與互不包含
二、多選題
9．(2023·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末)給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論有( )
A．
B．若，則
C．集合是無限集
D．集合的子集共有4個(gè)
10．(2023·高一課時(shí)練習(xí))(多選)下列說法正確的是( )
A．空集沒有子集
B．
C．
D．非空集合都有真子集
11．(2023·海南儋州·高一?？计谀?下列關(guān)系中表述正確的是( )
A．B．C．D．
12．(2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中)若集合，，且，則實(shí)數(shù)的值為( )
A．B．C．D．
三、填空題
13．(2023·高一課時(shí)練習(xí))對于一個(gè)集合S，若a∈S時(shí)，有∈S，則稱這樣的數(shù)集為“可倒數(shù)集”，試寫出一個(gè)“可倒數(shù)集”：_____.
14．(2023·高一單元測試)設(shè)，，，若，則______．
15．(2023·山東濟(jì)南·高一?？计谥?設(shè)集合，，，集合M的真子集的個(gè)數(shù)為_____．
16．(2023·江蘇·高一專題練習(xí))已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_________．
四、解答題
17．(2023·四川·高一?？茧A段練習(xí))設(shè)集合，.
(1)若B中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若求實(shí)數(shù)m的值.
18．(2023·福建龍巖·高一?？茧A段練習(xí))(1)設(shè)，若，求的值；
(2)已知集合，若，求的取值范圍.
19．(2023·河南洛陽·高一校考階段練習(xí))已知集合，且，求的值.
20．(2023·湖南懷化·高一校聯(lián)考期末)已知集合，.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21．(2023·安徽滁州·高一校考階段練習(xí))已知集合，，
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若?，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
22．(2023·北京·高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí))已知集合為非空數(shù)集，定義：
(1)若集合，請直接寫出集合：
(2)若集合，且，求證：；

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