1.若z(1?i)=?1(i是虛數(shù)單位)，則|z|的值為( )
A. 22B. 2C. 12D. 2
2.某地一年之內12個月的降水量從小到大分別為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為( )
A. 58B. 60C. 61D. 62
3.如圖，平行四邊形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′=4，O′C′=2，∠A′O′C′=30°，則原圖形OA與BC間的距離為( )
A. 1
B. 2
C. 2 2
D. 4
4.某機構統(tǒng)計了1000名演員的學歷情況，制作出如圖所示的餅狀圖，其中本科學歷的人數(shù)為650.現(xiàn)按比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學歷的人數(shù)為( )
A. 11
B. 13
C. 22
D. 26
5.三個共面的向量a、b、c兩兩所成的角相等，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則|a+b+c|=( )
A. 3B. 6C. 3或6D. 3或6
6.已知復數(shù)α滿足(2?i)α=3?4i，β=m?i，m>0，若α+β是關于x的方程x2?nx+13=0(n>0)的一個根，則m+n等于( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
7.如圖，測量河對岸的塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C和D.現(xiàn)測得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=50米，在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB為( )米．
A. 50 2B. 100 2C. 50 3D. 25 3
8.已知球O與正方體ABCD?A1B1C1D1的各個面相切，平面ACB1截球O所得的截面的面積為2π3，則正方體棱長為( )
A. 33B. 12C. 1D. 2
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.某學校開展知識競賽，競賽成績全部介于50至100之間，將數(shù)據(jù)按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)頻率分布直方圖，則下列結論中正確的是( )
A. a=0.03B. 眾數(shù)為80
C. 第71百分位數(shù)是82D. 平均分是75.5
10.下面四個命題中正確的是( )
A. z=i?2對應的點在第二象限
B. 若復數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1=z2?
C. 方程x2?2x+3=0在復數(shù)集內有兩解x=1+i和x=1?i
D. 已知復數(shù)z滿足|z|2?|z|?6=0，則復數(shù)z在復平面內對應點的軌跡是圓
11.在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個四面體，使得B、C、D三點重合于點S，得到四面體S?AEF，頂點S在底面AEF上的射影為O，下列結論正確的是( )
A. SA⊥EFB. 點O為△AEF的外心
C. 點O到三個側面距離的平方和等于SO2D. S△AEF2=S△SAE2+S△SAF2+S△SEF2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是15，那么另一組數(shù)5x1?2，5x2?2，5x3?2，5x4?2，5x5?2的方差是______．
13.已知向量a，b滿足|a+b|=1，|a?5b|=2，則|a?2b|最大值為______，最小值為______．
14.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，AC=2AA1=2AB=4，則異面直線A1C與AB1所成角的正弦值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點
(1)計算棱臺EFC1?BDC的體積；
(2)求證：平面AMN/?/平面DBEF．
16.(本小題15分)
某調研小組調查了某市1000名外賣騎手平均每天完成的任務量(簡稱“單量”)，得到如下的頻數(shù)分布表：

(1)補全該市1000名外賣騎手每天單量的頻率分布直方圖；
(2)根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，試求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)(精確到0.1)；
(3)根據(jù)外賣騎手的每天單量，參考某平臺的類別將外賣騎手分成三類，調查獲知不同類別的外賣騎手開展工作所投入的裝備成本不盡相同，如下表：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該市外賣騎手購買裝備的平均成本．
17.(本小題15分)
已知a∈R，復數(shù)z1=a?1+i，z2=1?a+2ai,z3=?1在復平面上對應的點分別為A、B、C，O為坐標原點．
(1)求|z1+z2|的取值范圍；
(2)當A、B、C三點共線時，求三角形AOB的面積．
18.(本小題17分)
已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，bcsC+ 3bsinC?a?c=0．
(1)求證：2B=A+C；
(2)若△ABC為銳角三角形，且a2+c2=b2+2b，求△ABC面積的取值范圍．
19.(本小題17分)
如圖1，△ABC是邊長為3的等邊三角形，點D、E分別在線段AC、AB上，AE=1，AD=2，沿DE將△ADE折起到△PDE的位置，使得PB= 5，如圖2．

(1)求證：平面PDE⊥平面BCDE；
(2)若點F在線段BC上，且BF=2，PC=2 2，求直線DF與平面PCD所成角的正弦值；
(3)在(2)的條件下，判斷線段PC上是否存在點M，使得DM/?/平面PBE，若存在，求出PMPC的值；若不存在，請說明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z(1?i)=?1
則z=?11?i=?(1+i)(1?i)(1+i)=?12?12i，
所以|z|= (?12)2+(?12)2= 22．
故選：A．
根據(jù)已知條件，結合復數(shù)模公式，以及復數(shù)的四則運算，即可求解．
本題主要考查復數(shù)模公式，以及復數(shù)的四則運算，屬于基礎題．
2.【答案】C
【解析】解：根據(jù)題意，12個數(shù)據(jù)從小到大分別為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
因為75%×12=9，所以該地區(qū)的月降水量的75%分位數(shù)為12(58+64)=61，
故選：C．
根據(jù)題意，由百分位數(shù)的計算公式計算可得答案．
本題考查百分位數(shù)的計算，注意百分位數(shù)的計算公式，屬于基礎題．
3.【答案】C
【解析】解：根據(jù)題意，如圖所示，過C′作C′D/?/y′軸，交x′軸于D點，
在△C′O′D中，C′O′sin∠C′DO′=C′Dsin∠C′O′D，即2sin135°=C′Dsin30°，解得C′D= 2，
則原圖中，CD=2C′D′=2 2．
故選：C．
根據(jù)題意，在直觀圖中求出C′D長度，結合斜二測畫法分析可得答案．
本題考查平面圖形的直觀圖，事件正弦定理的應用，屬于基礎題．
4.【答案】C
【解析】解：由題意知碩士學歷的人數(shù)與總人數(shù)1000之比為1?17%?5%?2%?6501000=11%，
抽樣人數(shù)為200，
則抽取的碩士學歷的人數(shù)為11%×200=22．
故選：C．
先求碩士的比例，再結合抽樣人數(shù)，即可求解．
本題主要考查分層隨機抽樣，屬于基礎題．
5.【答案】C
【解析】解：∵三個共面向量a、b、c兩兩所成的角相等，
∴兩個向量所成的角是120°或三個向量的夾角是0°
當三個向量的夾角是120°時，
∵|a|=1，|b|=2，|c|=3，
∴|a+b+c|= a2+b2+c2+2a?b+2a? c+2b?c
= 1+4+9?2?3?6= 3，
當三個向量的夾角是0°時，
|a+b+c|=1+2+3=6，
總上可知，向量的模長是6或 3，
故選：C．
三個共面向量a、b、c兩兩所成的角相等，兩個向量所成的角是120°或三個向量的夾角是0°，分兩種情況對三個向量的和的模長進行討論，得到兩種不同的結果．
本題考查向量的模長，在本題所給的條件中容易漏掉一種情況，即三個向量的夾角是0度，即三個向量的方向相同時的模長．
6.【答案】C
【解析】解：由題意，α=3?4i2?i=(3?4i)(2+i)(2?i)(2+i)=2?i，∴α+β=2+m?2i，m>0，
又α+β是關于x的方程x2?nx+13=0(n>0)的一個根，則2+m+2i也是方程的另一個根，
則4+2m=n且(2+m)2+4=13，解得m=1，n=6，所以m+n=7．
故選：C．
由已知解出α，再根據(jù)韋達定理列方程求解．
本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎題．
7.【答案】A
【解析】解：如圖：由已知∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=50米，
故∠CBD=60°，所以CDsin∠CBD=BCsin∠BDC，即50 32=BC 22，
解得BC=50 2 3，
所以在Rt△ABC中，AB=BC?tan∠ACB=50 2 3×tan60°=50 2．
故選：A．
先在△BCD中利用正弦定理求出BC的長度，然后在△ABC中利用三角函數(shù)的定義求出AB．
本題考查解三角形的應用問題，主要是考查了正弦定理以及正切函數(shù)的定義，屬于基礎題．
8.【答案】D
【解析】解：設正方體棱長為2a，則球O的半徑為a，
∵平面ACB1截此球所得的截面的面積為2π3，
∴截面圓的半徑為 23，
由題意，球心O與B的距離為12×2 3a= 3a，
O到平面ACB1的距離為13× 3a= 3a3，∴a2=( 23)2+( 3a3)2，
∴a=1，即正方體棱長為2a=2．
故選：D．
根據(jù)已知條件，算出截面圓的半徑，根據(jù)球心與B的距離，再計算O到平面ACB1的距離，即可計算棱長．
本題考查了球外接多面體，屬于中檔題．
9.【答案】ACD
【解析】解：對于A，由頻率分布直方圖可得(0.010+0.015+0.040+a+0.005)×10=1，
解得a=0.030，故A正確；
對于B，眾數(shù)的估計值為75，故B錯誤；
對于C，因為(0.010+0.015+0.040)×10=0.65，(0.010+0.015+0.040+0.030)×10=0.95，
所以第71百分位數(shù)落在[80,90)，設其為x，
則0.65+(x?80)×0.030=0.71，
解得x=82，所以第71百分位數(shù)是82，故C正確；
對于D，由頻率分布直方圖估計平均數(shù)為0.010×10×55+0.015×10×65+0.040×10×75+0.030×10×85+0.005×10×95=75.5，故D正確．
故選：ACD．
根據(jù)頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和為1可求出a的值，進而可判斷A，根據(jù)眾數(shù)的定義可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)的定義可判斷C，根據(jù)平均數(shù)的定義可判斷D．
本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了眾數(shù)、百分位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于基礎題．
10.【答案】AD
【解析】解：z=i?2=?2+i對應的點為(?2,1)，在第二象限內，A正確；
令z1=i，z2=?2i，則z1z2=2∈R，但z1≠z2?，B錯誤；
方程x2?2x+3=0在復數(shù)集內的解為x=2±2 2i2=1± 2i，C錯誤；
復數(shù)z滿足|z|2?|z|?6=0，即(|z|?3)(|z|+2)=0，故|z|=3，復數(shù)z在復平面內對應點的軌跡為圓，D正確．
故選：AD．
根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷A，舉反例判斷B，根據(jù)求根公式判斷C，根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷D．
本題考查復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．
11.【答案】ACD
【解析】解：如圖：
對A選項，根據(jù)折疊前后關系可知：
SA⊥SE，SA⊥SF，SE∩SF=S，
∴SA⊥平面SEF，又EF?平面SEF，
∴SA⊥EF，∴A選項正確；
對B選項，∵SO⊥平面AEF，又EF?平面AEF，
且SA⊥AEF，∴EF⊥AS
∴根據(jù)三垂線定理可知AO⊥EF，
同理可證EO⊥AF，F(xiàn)O⊥AE，
∴點O為△AEF的垂心，∴B選項錯誤；
對C選項，利用補體思想，以SO為體對角線構造長方體，結合長方體對角線的幾何性質，可知C選項正確；
對D選項，取EF的中點為M，連接SM，AM，則SM⊥EF，AM⊥EF，
∴S△AEF2=14AM2?EF2=14AM2?(SE2+SF2)=14(SA2+SM2)(SE2+SF2)
=14(SA2?SE2+SM2?SE2+SA2?SF2+SM2?SF2)=14(SA2?SE2+SA2?SF2+SM2?EF2)
=S△SAE2+S△SAF2+S△SEF2，∴D選項正確．
故選：ACD．
根據(jù)線面垂直的判定定理與性質，分割補形法，針對各個選項分別求解即可．
本題考查立體幾何的綜合應用，化歸轉化思想，屬中檔題．
12.【答案】5
【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是15，
由方差的計算公式和性質，則數(shù)據(jù)5x1?2，5x2?2，5x3?2，5x4?2，5x5?2的方差S2=52×15=5．
故答案為：5．
根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)方差的性質分析可得答案．
本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算公式，注意方差的性質，屬于基礎題．
13.【答案】32 12
【解析】解：根據(jù)題意，|a+b|=1，|a?5b|=2，
設a+b和a?5b的夾角為θ，θ∈[0,π]，
又a?2b=12[(a+b)+(a?5b)]，
故|a?2b|2=14[(a+b)2+(a?5b)2+2(a+b)(a?5b)]=5+4csθ4，
又由θ∈[0,π]，則?1≤cs≤≤1，
則當csθ=1時，|a?2b|2取得最大值94，則|a?2b|取最大值32；
當csθ=?1時，|a?2b|2取得最大值14，則|a?2b|取最小值12．
故答案為：32；12．
根據(jù)題意，設a+b和a?5b的夾角為θ，分析可得a?2b=12[(a+b)+(a?5b)]，由數(shù)量積的計算公式可得|a?2b|2=5+4csθ4，由三角函數(shù)的值域分析可得答案．
本題考查向量數(shù)量積的應用，涉及向量模的計算，屬于中檔題．
14.【答案】1
【解析】解：由題意，如圖所示，連接A1B，A1B∩AB1=O，取BC中點為D，
連接OD，B1D，則OD/?/A1C，
故∠B1OD為異面直線A1C與AB1所成角或其補角，
易得OD=12A1C= 5，B1D= 7，OB1=12AB1= 2，
從而B1D2=OD2+OB12，所以異面直線A1C與AB1所成角為90°，
即正弦值為1．
故答案為：1．
連接A1B，交AB1于點O，取BC中點為D，連接OD，可知∠B1OD(或其補角)即為異面直線A1C與AB1所成角，然后求解三角形得答案．
本題考查異面直線夾角的求法，利用平移的思想，找出異面直線的夾角是解題的關鍵，是基礎題．
15.【答案】解：(1)由題可知，S△C1EF=18，S△BCD=12，h=1
根據(jù)棱臺的體積公式，可得棱臺EFC1?BDC的體積：
V=13×(18+ 18×12+12)×1=724．
(2)證明：連接B1D1，則MN//B1D1//EF．
分別取AB、DC的中點G，H，連接GH，B1G，C1H.
在四邊形AGB1M中，AG//MB1且AG=MB1，
所以四邊形AGB1M為平行四邊形，
同理可得四邊形DHC1F也是平行四邊形．
又GH//BC//B1C1，GH=BC=B1C1，
所以四邊形GB1C1H為平行四邊形，
所以AM//GB1//C1H//FD．
因為AM∩MN=M，DF∩EF=F，
所以平面AMN/?/平面DBEF．
【解析】(1)求出S△C1EF=18，S△BCD=12，h=1，根據(jù)棱臺的體積公式，能求出棱臺EFC1?BDC的體積．
(2)連接B1D1，則MN//B1D1//EF.分別取AB、DC的中點G，H，連接GH，B1G，C1H.推導出四邊形AGB1M為平行四邊形，四邊形DHC1F也是平行四邊形．四邊形GB1C1H為平行四邊形，從而AM//GB1//C1H//FD.由此能證明平面AMN/?/平面DBEF．
本題考查面面平行的證明，考查棱臺的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
16.【答案】解：(1)由第二組的頻數(shù)得頻率為1201000=0.12，從而第二組矩形的高為0.125=0.024，
由第四組的頻數(shù)得頻率為1801000=0.18，從而第二組矩形的高為0.185=0.036，
補全該市1000名外賣騎手周單量的頻率分布直方圖，如下：

(2)中位數(shù)的估計值：
由5×0.02+5×0.024+5×0.026=0.350.5，
所以中位數(shù)位于區(qū)間[25,30)中，
設中位數(shù)為x，則0.35+(x?25)×0.036=0.5，
解得x≈29.2.即樣本中位數(shù)是29.2；
(3)依題意可知，被調查的1000人中，普通騎手共有100+120=220(人)，
精英騎手共有130+180+220+150=680(人)，王牌騎手共有60+30+10=100(人)，
這1000名外賣騎手購買裝備的平均成本為220×2500+680×4000+100×48001000=3750(元)，
所以估計該市外賣騎手購買裝備的平均成本為3750元．
【解析】(1)由頻數(shù)分布表能補全該市1000名外賣騎手周每天單量的頻率分布直方圖；
(2)由頻率分布直方圖能求出樣本的中位數(shù)；
(3)分別求出普通騎手、精英騎手、王牌騎手的人數(shù)，由此能估計該市每位外賣騎手購買裝備平均成本．
本題考查頻率分布直方圖的應用，考查計算能力，是基礎題．
17.【答案】解：(1)因為z1+z2=a?2ai，a∈R，
所以|z1+z2|= a2+4a2≥ 2 a2×4a2=2，當且僅當a=± 2時等號成立，
故|z1+z2|的取值范圍是[2,+∞)．
(2)由題意有A(a?1,1)，B(1,?1?2a)，C(?1,0)三點共線，
∴kAC=kBC，即1a=1+2a?2，解得a=?4，
∴A(?5,1)，B(1,?12)，即OA=(?5,1)，OB=(1,?12)，
所以cs∠AOB=OA?OB|OA||OB|=?112 26× 54=?11 26× 5，
∴sin∠AOB=3 26× 5，
所以S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB
=12× 26× 52×3 26× 5=34．
【解析】(1)由復數(shù)模的定義，結合基本不等式即可求出模的取值范圍；
(2)首先根據(jù)復數(shù)的幾何意義找出A，B，C三點坐標，根據(jù)三點共線求出參數(shù)a，再解出三角形的面積即可．
本題考查復數(shù)模的計算、基本不等式、三點共線以及求三角形面積等知識，屬基礎題．
18.【答案】解：(1)因為bcsC+ 3bsinC?a?c=0，由正弦定理可得sinBcsC+ 3sinBsinC?sinA?sinC=0，
而sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以?csBsinC+ 3sinBsinC?sinC=0，
因為sinC>0，
所以 3sinB?csB=1，即sin(B?π6)=12，
而B∈(0,π)，B?π6∈(?π6,5π6)，
可得B?π6=π6，解得B=π3，
所以A+C=π?B=2π3，
所以2B=A+C，得證；
(2)由(1)可得B=π3，
又因為a2+c2=b2+2b，可得2accsB=2b，可得ac=2b，
由正弦定理可得csinA=2sinB=2× 32= 3，可得c= 3sinA，
可得asinC=2sinB= 3，可得a= 3sinC= 3sin(2π3?A)，
可得△ABC面積S=12acsinB= 34ac= 34× 3sin(2π3?A)× 3sinA=3 34?1( 32csA+12sinA)sinA=3 34?112sin(2A?π6)+14，
因為△ABC為銳角三角形，0

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這是一份2023-2024學年重慶市巴南區(qū)部分學校高一（下）段考數(shù)學試卷(含解析），共15頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

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