注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
考試時(shí)間120分鐘，滿分150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．若（是虛數(shù)單位），則的值為（ ）
A．B．C．D．2
2．某地一年之內(nèi)12個(gè)月的降水量從小到大分別為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為（ ）
A．58B．60C．61D．62
3．如圖，平行四邊形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形與間的距離為（ ）
A．1B．C．D．4
4．某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了1000名演員的學(xué)歷情況，制作出如圖所示的餅狀圖，其中本科學(xué)歷的人數(shù)為650．現(xiàn)按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學(xué)歷的人數(shù)為（ ）
A．11B．13C．22D．26
5．若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，，則（ ）
A．B．5C．或6D．或
6．已知復(fù)數(shù)滿足（，，，若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的可視塔底的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高（ ）
A．B．C．D．
8．已知球與正方體的各個(gè)面相切，平面截球所得的截面的面積為，則正方體棱長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．1D．2
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．某學(xué)校開(kāi)展知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示。根據(jù)頻率分布直方圖，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．眾數(shù)為80
C．第71百分位數(shù)是82D．平均分是75.5
10．下面四個(gè)命題中正確的是（ ）
A．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
B．若復(fù)數(shù)，滿足，則
C．方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有兩解和
D．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓
11．在邊長(zhǎng)為2的正方形中，，分別為，的中點(diǎn)，沿、及把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使得、、三點(diǎn)重合于點(diǎn)，得到四面體，頂點(diǎn)在底面上的射影為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．點(diǎn)為的外心
C．點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面距離的平方和等于D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知一組數(shù)據(jù)，，，，的方差是，那么另一組數(shù)，，，，的方差是________．
13．已知向量，滿足，，則最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______．
14．在直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的正弦值為_(kāi)_______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13分）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．
（1）計(jì)算三棱臺(tái)的體積；
（2）求證：平面平面．
16．（15分）某調(diào)研小組調(diào)查了某市1000名外賣(mài)騎手平均每天完成的任務(wù)量（簡(jiǎn)稱“單量”），得到如下的頻數(shù)分布表：
（1）補(bǔ)全該市1000名外賣(mài)騎手每天單量的頻率分布直方圖；
（2）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，試求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（精確到0.1）；
（3）根據(jù)外賣(mài)騎手的每天單量，參考某平臺(tái)的類別將外賣(mài)騎手分成三類，調(diào)查獲知不同類別的外賣(mài)騎手開(kāi)展工作所投入的裝備成本不盡相同，如下表：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該市外賣(mài)騎手購(gòu)買(mǎi)裝備的平均成本．
17．（15分）已知，復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、、，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求的取值范圍；
（2）當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，求三角形的面積．
18．（17分）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，．
（1）求證：；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
19．（17分）如圖1，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)、分別在線段、上，，，沿將折起到的位置，使得，如圖2．
（1）求證：平面平面；
（2）若點(diǎn)在線段上，且，，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，判斷線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2023—2024學(xué)年度高一6月聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見(jiàn)
1．A【解析】因?yàn)?，則，所以．故選A．
2．C【解析】注意到，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為第9，第10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為．故選C．
3．C【解析】如圖所示，過(guò)引軸，交軸于點(diǎn)，則長(zhǎng)度的兩倍即為所求，在中，，即，解得，即原圖形與間的距離為，故選C．
4．C【解析】由題意知碩士學(xué)歷的人數(shù)與總?cè)藬?shù)1000之比為，現(xiàn)按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學(xué)歷的人數(shù)為．故選C．
5．C【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄?，，兩兩的夾角相等，所以平面向量，，兩兩的夾角為或，又，，，當(dāng)夾角為時(shí)，即，，同向，則；當(dāng)夾角為時(shí)，則，，，則，綜上所述，或．故選C．
6．C【解析】∵，∴，∴，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則也是方程的另一個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理可得解得或（舍去），所以．故選C．
7．A【解析】由已知，，米，故，所以，即，解得，又因?yàn)樵邳c(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，即，所以在中，．故選A．
8．D【解析】解法1：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則球的半徑為，∵平面截此球所得的截面的面積為，∴截面圓的半徑為，
由題意，球心與的距離為，到平面的距離為，∴，∴，即正方體棱長(zhǎng)為．故選D．
解法2：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，內(nèi)切球與正方體各面的切點(diǎn)，恰好為等邊三角形各邊的中點(diǎn)，截面圓為等邊三角形的內(nèi)切圓，又因?yàn)槠矫娼卮饲蛩玫慕孛娴拿娣e為，所以截面圓的半徑為，，所以，整理得，故截面圓的半徑，解得，即正方體棱長(zhǎng)為．故選D．
9．ACD【解析】由頻率分布直方圖可得，解得，故A正確；眾數(shù)的估計(jì)值為75，故B錯(cuò)誤；前三組數(shù)據(jù)的頻率之和為，前四組數(shù)據(jù)的頻率之和為，則設(shè)第71百分位數(shù)是，，所以，解得，所以第71百分位數(shù)是82，故C正確；由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)為，故D正確．故選ACD．
10．AD【解析】對(duì)于A，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故該點(diǎn)在第二象限內(nèi)，故A正確；對(duì)于B，令，，滿足，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有兩解和，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，復(fù)數(shù)滿足，整理得：，故（無(wú)意義），所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為圓，故D正確．故選AD．
11．ACD【解析】因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，又，所以平面，又平面，所以．同理可證，，所以點(diǎn)為的垂心，故B錯(cuò)誤；利用補(bǔ)體思想，以為體對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體，結(jié)合長(zhǎng)方體對(duì)角線的幾何性質(zhì)，可知C正確；取的中點(diǎn)為，連接，，則，，
，故D正確．故選ACD．
12．5【解析】∵一組數(shù)據(jù)，，，，的方差是，∴另一組數(shù)據(jù)，，，，的方差．故答案為5．
13． 【解析】∵，，設(shè)和的夾角為，∴，∴時(shí)，取最大值；時(shí)，取最小值．故答案為；．（第一空3分，第二空2分）
14．1【解析】由題意，如圖所示，連接，，取中點(diǎn)為，
連接，，則，故為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，
易得，，，從而，所以異面直線與所成角為，即正弦值為1，故答案為1．
另解：平面，又，根據(jù)三垂線定理可知．
15．（1）解：由題可知，，，，2分
故根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，可得棱臺(tái)的體積．4分
（2）證明：如圖所示，連接，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．所以，，
所以，平面，平面，所以平面．6分
連接，在正方體中，
因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以，，
所以四邊形為平行四邊形，8分
故，9分
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，11分
又，所以平面平面．13分
16．解：（1）由第二組的頻數(shù)得頻率為，從而第二組矩形的高為，
由第四組的頻數(shù)得頻率為，從而第二組矩形的高為，
補(bǔ)全該市1000名外賣(mài)騎手周單量的頻率分布直方圖，如下：
4分
（2）由頻數(shù)分布表知第一組頻率為0.1，第二組頻率為0.12，第三組頻率為0.13，第四組頻率為0.18，，，6分
可知中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則由，8分
解得，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為29.2．10分
（3）依題意可知，被調(diào)查的1000人中，普通騎手共有（人），
精英騎手共有（人），王牌騎手共有（人），12分
所以這1000名外賣(mài)騎手購(gòu)買(mǎi)裝備的平均成本為（元），
故估計(jì)該市外賣(mài)騎手購(gòu)買(mǎi)裝備的平均成本為3750元．15分
17．解：（1）因?yàn)?，?br>所以，2分
．4分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
所以．6分
（2）因?yàn)?，?br>且，，三點(diǎn)共線時(shí)，有，
即，
解得．8分
此時(shí)，，，11分
所以，13分
所以．15分
18．（1）證明：根據(jù)題意，若，
由正弦定理可得，
即，整理得．
因?yàn)?，所以?分
即，又由，則有，即，所以，
∴得證．6分
（2）解：因?yàn)椋裕?br>所以由余弦定理得，
所以，8分
所以．9分
又由正弦定理得，，
所以，
所以，12分
又解得，，14分
則有，所以，
所以，16分
所以．17分
19．（1）證明：在中，，，，
由余弦定理得，
∴，∴．1分
在中，，，，
∴，∴．2分
∵，、平面，
∴平面．3分
又平面，
∴平面平面．4分
（2）解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由題意得，，，，
∴，∴，，6分
由可得，因?yàn)?，所以解得?分
設(shè)直線與平面所成角為，又因?yàn)椋?br>所以，故直線與平面所成角的正弦值為．10分
（3）在線段上存在點(diǎn)，使得平面且．12分
證明如下：在平面內(nèi)，，∴，
又平面，平面，
∴平面；13分
在平面內(nèi)，，，∴．
又平面，平面，
∴平面，15分
又，
∴平面平面，又平面，
∴平面．
∴在線段上存在點(diǎn)，使得平面且．17分
單量/單
人數(shù)
100
120
130
180
220
150
60
30
10
日單量/單
類別
普通騎手
精英騎手
王牌騎手
裝備價(jià)格/元
2500
4000
4800

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