1.已知復數(shù)z=i(1?i)，則|z|=( )
A. 2B. 2C. 5D. 5
2.設(shè){e1,e2}是平面內(nèi)的一個基底，則下面的四組向量不能構(gòu)成基底的是( )
A. 2e1+e2和e1?e2B. 3e1?e2和2e2?6e1
C. e1+3e2和e2+3e1D. e1和e1+e2
3.已知a,b,e是平面向量，e是單位向量，若非零向量a與e的夾角為π4，向量b滿足b2?6b?e+8=0，則|a?b|的最小值是( )
A. 32 2?1B. 2+1C. 32 2+1D. 2? 2
4.a，b為不重合的直線，α，β為互不相同的平面，下列說法正確的是( )
A. 若α/?/β，a?α，b?β，則a/?/bB. 若a/?/b，a/?/α，b/?/β，則α/?/β
C. 若a/?/b，b/?/α，則a/?/αD. 若a/?/α，b?α，則a/?/b或a與b異面
5.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若acsC+ccsA=a，則△ABC的形狀一定( )
A. 等腰三角形B. 銳角三角形C. 直角三角形D. 鈍角三角形
6.下列說法不正確的是( )
A. 正棱錐的底面是正多邊形，側(cè)面都是等腰三角形
B. 棱臺的各側(cè)棱延長線必交于一點
C. 用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺
D. 棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形
7.人臉識別就是利用計算機檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個點A(x1,y1)，B(x2,y2)，O為坐標原點，定義余弦相似度為cs(A,B)=cs?OA,OB?，余弦距離為1?cs(A,B).已知P(csα,sinα)，Q(1,0)，若P，Q的余弦距離為3? 33.則sin(α?π2)=( )
A. 33B. 13C. ? 33D. ?13
8.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，E在線段CD1上，則AE+B1E的最小值是( )
A. 4 3
B. 4 5
C. 4 6
D. 4 7
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列命題中，真命題為( )
A. 復數(shù)z=a+bi為純虛數(shù)的充要條件是a=0
B. 復數(shù)z=1?3i的共軛復數(shù)為z?=1+3i
C. 復數(shù)z=1?3i的虛部為?3
D. 復數(shù) 2z=1+i，則z2=i
10.已知a，b，c是平面上三個非零向量，下列說法正確的是( )
A. 一定存在實數(shù)x，y使得a=xb+yc成立
B. 若a?b=a?c且b=c，那么一定有a⊥(b?c)
C. 若(a?c)⊥(b?c)，那么|a?b|=|a+b?2c|
D. 若a?(b?c)=(a?b)?c，那么a，b，c一定相互平行
11.已知某市2017年到2022年常住人口(單位：萬)變化圖如圖所示，則( )
A. 該市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬
B. 該市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢
C. 該市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為730.50萬
D. 該市2017年到2022年這6年的常住人口的平均數(shù)大于718萬
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若AB=3，AC=2CB，平面內(nèi)一點P，滿足PA?PC|PA|=PB?PC|PB|，sin∠PAB的最大值是______．
13.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(b2+c2?a2)sinC2bsinAcsC+c22b+c=0，a= 3，則b+c的取值范圍是 ．
14.已知甲、乙、丙、丁四人各自獨立解決某一問題的概率分別是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨立解決這一問題的概率，則a的最大值是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是34，得到黃球或藍球的概率是12．
(1)求盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)；
(2)隨機試驗：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．
(i)寫出該試驗的樣本空間Ω；
(ii)設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝.從概率的角度，判斷這個游戲是否公平，請說明理由．
16.(本小題15分)
為提倡節(jié)約用水，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對家庭用水情況進行了調(diào)查，通過簡單隨機抽樣抽取2023年500個家庭的月均用水量(單位：t)，將數(shù)據(jù)按照[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)，[9.5,10.5]分成6組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，已知這500個家庭的月均用水量的第27百分位數(shù)為6.9．
(1)在這500個家庭中月均用水量在[7.5,8.5)內(nèi)的家庭有多少戶？
(2)求a，b的值；
(3)估計這500個家庭的月均用水量的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)．
17.(本小題15分)
已知向量a=(x,2),b=(3,?1)．
(1)若(a?b)⊥(2a+b)，且x≠0，求向量a在向量b上的投影向量的坐標；
(2)若向量m=(8,2)，且(a+b)//m，求向量a,b夾角的余弦值．
18.(本小題17分)
在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知b=2，ab= 33sinC+csC．
(1)求角B；
(2)若M是△ABC內(nèi)的一動點，且滿足BM=MA+MC，則|BM|是否存在最大值？若存在，請求出最大值及取最大值的條件；若不存在，請說明理由；
(3)若D是△ABC中AC上的一點，且滿足BA?BD|BA|=BD?BC|BC|，求S△ABDS△BCD的取值范圍．
19.(本小題17分)
如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB= 3AA1，D為AB的中點．
(1)證明：AB⊥平面CC1D.
(2)求異面直線BC1與CD所成角的余弦值．
(3)在C1D上是否存在點E，使得平面BCE⊥平面ABC1？若存在，求C1EED的值；若不存出在，說明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵z=i(1?i)=1+i，
∴|z|= 12+12= 2
故選：B．
由復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，然后直接利用復數(shù)模的公式求復數(shù)z的模．
本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了復數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．
2.【答案】B
【解析】解：對于A，可設(shè)2e1+e2=λ(e1?e2)，可知λ=2且λ=?1，顯然不成立，所以這兩個向量可作為基底，
同理可知，C，D選項中的兩個向量都可構(gòu)成基底；
對于B，2e2?6e1=?2(3e1?e2)，所以這兩個向量不構(gòu)成基底．
故選：B．
當兩向量不共線時，可作為基底，據(jù)此判斷即可．
本題考查平面向量基本定理與向量共線的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】A
【解析】解：已知a,b,e是平面向量，e是單位向量，若非零向量a與e的夾角為π4，
不妨設(shè)e=(1,0)，a=(x,y)，
又非零向量a與e的夾角為π4，
則y=x，
設(shè)b=(m,n)，
又向量b滿足b2?6b?e+8=0，
則m2+n2?6m+8=0
即(m?3)2+n2=1，
又(3,0)到直線y=x的距離為|3?0| 2=3 22，
則|a?b|的最小值是3 22?1．
故選：A．
由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合圓的性質(zhì)及點到直線的距離公式求解．
本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了圓的性質(zhì)及點到直線的距離公式，屬中檔題．
4.【答案】D
【解析】解：a，b為不重合的直線，α，β為互不相同的平面，
對于A，若α/?/β，a?α，b?β，則a與b平行或異面，故A錯誤；
對于B，若a/?/b，a/?/α，b/?/β，則α與β相交或平行，故B錯誤；
對于C，若a/?/b，b/?/α，則a/?/α或a?α，故C錯誤；
對于D，若a/?/α，b?α，則由線面平行的性質(zhì)得a/?/b或a與b異面，故D正確．
故選：D．
對于A，a與b平行或異面；對于B，α與β相交或平行；對于C，a/?/α或a?α；對于D，由線面平行的性質(zhì)得a/?/b或a與b異面．
本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
5.【答案】A
【解析】解：acsC+ccsA=a，
由正弦定理得sinAcsC+sinCcsA=sinA，
即sin(A+C)=sinB=sinA，
又A，B為△ABC的內(nèi)角，
所以A=B．
故選：A．
結(jié)合正弦定理，以及三角形內(nèi)角和定理，即可求解．
本題主要考查三角形的形狀判斷，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】C
【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，由正棱錐的定義，正棱錐的底面是正多邊形，側(cè)面都是等腰三角形，A正確；
對于B，棱臺的各側(cè)棱延長線必交于一點，B正確；
對于C，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺，C錯誤；
對于D，由棱柱的定義，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，D正確．
故選：C．
根據(jù)題意，由棱錐、棱柱、棱臺的結(jié)構(gòu)特征依次分析選項，綜合可得答案．
本題考查棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，涉及棱錐的定義，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】C
【解析】解：由P(csα,sinα)，Q(1,0)可得OP=(csα,sinα),OQ=(1,0)，
所以cs(P,Q)=csα cs2α+sin2α=csα，
則1?csα=3? 33=1? 33，
所以csα= 33，
故sin(α?π2)=?csα=? 33．
故選：C．
由已知定義，結(jié)合同角基本關(guān)系先求出csα，然后結(jié)合誘導公式進行化簡即可求解．
本題以新定義為載體，主要考查了向量數(shù)量積的坐標表示，誘導公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】C
【解析】解：如圖，連接AC，AD1，B1D1，B1C，將平面ACD1和平面B1CD1展開到同一平面，
連接AB1，交CD1于點M，
則AE+B1E≥AB1，
因為AB=4，所以AC=B1C=AD1=CD1=B1D1=4 2，
所以四邊形ACB1D1為菱形，∠ACB1=∠ACD1+∠D1CB1=120°，
則AB1=4 2× 32×2=4 6．
故選：C．
連接AC，AD1，B1D1，B1C，將平面ACD1和平面B1CD1展開到同一平面，連接AB1求解即可．
本題考查利用展開法求線段和的最值問題，屬于中檔題．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本題考查復數(shù)的概念與分類，共軛復數(shù)，復數(shù)的乘法與除法，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)純虛數(shù)的定義判斷A，根據(jù)共軛復數(shù)的定義判斷B，根據(jù)虛部的定義判斷C，根據(jù)復數(shù)的乘法與除法判斷D．
【解答】
解：復數(shù)z=a+bi為純虛數(shù)的充要條件是a=0且b≠0，故A錯誤，
復數(shù)z=1?3i的共軛復數(shù)是z?=1+3i，故B正確，
復數(shù)z=1?3i的虛部為?3，故C正確，
復數(shù) 2z=1+i，則z= 22+ 22i，故z2=12+i?12=i，故D正確，
故選：BCD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本題主要考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
對于選項A，沒有聲明b和c不共線；
對于選項B，利用向量垂直的定義即可判斷；
對于選項C，將|a+b?2c|變形成|(a?c)+(b?c)|，再平方后變形即可判斷；
對于選項D，利用兩向量垂直，則數(shù)量積等于零，可令b與c垂直，a與b垂直，即得到反例．
【解答】
解：對于選項A，當b與c共線，a與b不共線時，不存在x、y使得a=xb+yc成立，故A選項錯誤；
對于選項B，因為a?b=a?c，所以a?b?a?c=0，即a?(b?c)=0，
所以a⊥(b?c)，故B選項正確；
對于選項C，若(a?c)⊥(b?c)，則(a?c)?(b?c)=0，
因為|a+b?2c|=|(a?c)+(b?c)|，
所以(|(a?c)+(b?c)|)2=(a?c)2+(b?c)2+2(a?c)?(b?c)=a2+c2?2a?c+b2+c2?2b?c=(a2+b2?2a?b)+(2c2?2a?c?2b?c+2a?b)，
因為(a?c)⊥(b?c)，所以(a?c)?(b?c)=0，即c2?a?c?b?c+a?b=0，則2c2?2a?c?2b?c+2a?b=0，
又因為|a?b|2=a2+b2?2a?b，所以(|(a?c)+(b?c)|)2=|a?b|2，
所以|a?b|=|a+b?2c|，故C選項正確；
對于選項D，當b與c垂直，a與b垂直時，成立，但是a，b，c不相互平行，
故D選項錯誤．
故選BC．
11.【答案】AC
【解析】解：對于A，該市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為：
698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，
則極差為736?698.12≈38萬，故A正確；
對于B，由圖可知該市2017年到2022年這6年的常住人口有增有減，故B錯誤；
對于C，6×0.6=3.6，∴第60百分數(shù)位為730.50萬，故C正確；
對于D，平均數(shù)為16(698.12+703.54+730.51+703.09+732.20+736)≈717.24萬，故D錯誤．
故選：AC．
由百分位數(shù)，極差和平均數(shù)的定義對選項一一判斷即可得出答案．
本題考查百分位數(shù)、極差、平均數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
12.【答案】12
【解析】解：如圖，由向量的數(shù)量積定義和PA?PC|PA|=PB?PC|PB|可得，
|PC|cs?PA,PC?=|PC|cs?PB,PC?，
所以∠APC=∠BPC，由角平分線定理可得：PAPB=ACBC=2，
設(shè)PB=x，則PA=2x，由PA+PB>AB，PA?PB

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