1.已知復(fù)數(shù)z=1?i，則z+1z=( )
A. 32?12iB. 32+12iC. ?32?12iD. ?32+12i
2.已知a=(1,m?2)，b=(m,3)，若a//b，則實(shí)數(shù)m=( )
A. ?1B. 1C. 3或?1D. 1或?1
3.若直線m/?/平面α，直線n?α，則( )
A. m/?/nB. m與n異面C. m與n相交D. m與n沒有公共點(diǎn)
4.已知某正四棱錐的高為3，體積為64，則該正四棱錐的側(cè)面積為( )
A. 48B. 64C. 80D. 144
5.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，下列命題正確的是( )
A. AB與HG相交
B. AB與EF平行
C. AB與CD相交
D. EF與CD異面
6.已知三棱錐P?ABC中，PC⊥AB，PC=4，AB=4 3，E，F(xiàn)分別是PA，BC的中點(diǎn)，則EF與AB所成的角大小為( )
A. π6B. π3C. π4D. π2
7.已知三棱錐P?ABC的底面ABC是邊長為1的等邊三角形，PA⊥平面ABC且PA= 3，一只螞蟻從△ABC的中心沿表面爬至點(diǎn)P，則其爬過的路程最小值為( )
A. 36B. 393C. 4 33D. 373
8.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2BC=2CC1=4，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形BCC1B1內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包括邊界)，若A1P/?/平面AEF，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 2 3
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是( )
A. 若m⊥α，m/?/n，則n⊥α
B. 若α/?/β，m?α，n?β，則m/?/n
C. 若m//β，m?α，α∩β=n，則m/?/n
D. 若m⊥α，α⊥β，則m//β
10.若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=2，c=3，B=π3，O為△ABC的外心，則( )
A. b= 7
B. △ABC的面積為3 32
C. OA?OC=?73
D. 若M是邊AC上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，則BM= 1034
11.如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2AA1=6，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)，點(diǎn)E是AD上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A. AA1⊥平面A1BD
B. 該正四棱臺(tái)的高為3 22
C. 若A1P=3 62，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度是5π
D. 過點(diǎn)E的平面α與平面D1AC平行，則平面α截該正四棱臺(tái)所得截面多邊形的面積為4 2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知空間中兩個(gè)角α，β，且角α與角β的兩邊分別平行，若α=105°，則β= ______．
13.已知正六邊形ABCDEF的邊長為4，點(diǎn)P為邊DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，則AC?AP的取值范圍是______．
14.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的棱長均為2，點(diǎn)M是棱BB1上(不含端點(diǎn))的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M，A，C1，C均在球O的球面上，則球O體積的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=2 3，cs?a,b?= 34．
(1)求a在b上的投影向量；
(2)若向量2a?λb與λa+b垂直，求實(shí)數(shù)λ的值．
16.(本小題15分)
如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)．
(1)求證：平面BDM⊥平面ABCD；
(2)求三棱錐P?BDM的體積．
17.(本小題15分)
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bsinB+csinC?asinA2csinB+ 33sinA=0．
(1)求A；
(2)已知a=2 7，D是邊BC的中點(diǎn)，且AD⊥AB，求AD的長．
18.(本小題17分)
如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，AA1=AD=1，P，M，N分別為CD，AA1，DD1的中點(diǎn)．
(1)證明：平面PMN//平面BCD1；
(2)求AD1與平面BCD1所成角的正弦值．
19.(本小題17分)
如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)．
(1)求證：PB/?/平面MAC；
(2)求二面角M?AC?D的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在點(diǎn)Q使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果存在，求出PQQC的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
參考答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.D
6.A
7.B
8.B
9.AC
10.ABD
11.ABD
12.75°或105°
13.[24,48]
14.125 354π
15.解：(1)a?b=|a||b|cs?a,b?=2×2 3× 34=3，
所以a在b上的投影向量為a?b|b|2?b=312b=14b；
(2)由向量2a?λb與λa+b垂直，得(2a?λb)?(λa+b)=0，
整理得2λa2+(2?λ2)a?b?λb2=8λ+3(2?λ2)?12λ=0，即3λ2+4λ?6=0，
所以λ=?2± 223．
16.解：(1)證明：連接AC，交BD于O，連接OM，則O為AC中點(diǎn)，

因?yàn)樵凇鱌AC中，O，M分別為AC，PC中點(diǎn)，所以O(shè)M//PA，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以O(shè)M⊥平面ABCD，
又OM?平面BDM，所以平面BDM⊥平面ABCD；
(2)由(1)知OM⊥平面ABCD，且OM=12PA=1，
所以VP?BDM=VP?ABCD?VP?ABD?VM?BCD=13×22×2?13×12×2×2×2?13×12×2×2×1=23．
17.解：(1)由正弦定理及bsinB+csinC?asinA2csinB+ 33sinA=0，
得b2+c2?a22bc+ 33sinA=0，
再由余弦定理得csA+ 33sinA=0，即tanA=? 3，
因?yàn)锳∈(0,π)，
所以A=2π3；
(2)因?yàn)镈是邊BC的中點(diǎn)，
所以S△ADC=S△ABD，
由(1)知∠BAC=2π3，
因?yàn)锳D⊥AB，
所以∠CAD=π6，
故12b?ADsinπ6=12c?AD，
故b=2c，
由余弦定理得a2=b2+c2?2bccs2π3=b2+c2+bc=7c2，
故a= 7c，
因?yàn)閍=2 7，
所以c=2，b=4．
在Rt△ABD中，BD=BC2=a2= 7，AB=c=2，
所以AD= BD2?AB2= 7?4= 3，即AD的長為 3．
18.(1)證明：因?yàn)镻，N分別為線段CD，DD1的中點(diǎn)，
所以PN//CD1，且PN=12CD1，
因?yàn)镻N?平面BCD1，CD1?平面BCD1，所以PN/?/平面BCD1，
因?yàn)镸，N分別為線段AA1，DD1的中點(diǎn)，
所以MN//AD//BC，且MN=12AD，
因?yàn)镸N?平面BCD1，BC?平面BCD1，所以MN/?/平面BCD1，
因?yàn)镻N∩MN=N，
所以平面PMN//平面BCD1；
(2)解：由題知DD1⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，故DD 1⊥AD，故AD1= 2，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且∠BAD=60°，
則BD=AD=BC=1，所以CD1=BD1=AD1= 2，
而BC=1，故S△BCD1=12×1× 2?14= 74，
設(shè)d為點(diǎn)A到平面BCD1的距離，AD1與平面BCD1所成的角為θ，
故sinθ=dAD1=d 2，
又VD1?ABC=13×DD1×S△ABC=13×12×1×1× 32= 312，
而VA?BCD1=13×d×S△BCD1= 712d，故 712d= 312，
即d= 217，
故sinθ= 217 2= 4214，
即AD1與平面BCD1所成角的正弦值為 4214．
19.(1)證明：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連接OM，則O為BD中點(diǎn)．

在△PBD中，O，M分別為BD，PD中點(diǎn)，所以O(shè)M//PB．
因?yàn)镺M?平面MAC，PB?平面MAC，
所以PB/?/平面MAC．
(2)解：過點(diǎn)M作ME⊥AD，垂足為E，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F，連接MF．
因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以ME⊥平面ABCD．
因?yàn)锳C?平面ABCD，所以ME⊥AC．
又EF⊥AC，ME∩EF=E，ME，EF?平面MEF．
所以AC⊥平面MEF．
因?yàn)镸F?平面MEF，所以AC⊥MF，
則∠MFE即為平面MAC與底面ABCD所成二面角的平面角．
設(shè)AB=2，則EF=3 24，ME= 32，故MF= (3 24)2+( 32)2= 304，
所以cs∠MFE=EFMF= 155，
即二面角M?AC?D的余弦值為 155．
(3)解：存在點(diǎn)Q，當(dāng)PQQC=12時(shí)，平面BDQ⊥平面MAC．
證明如下：
如圖，取AD中點(diǎn)N，連接CN交BD于點(diǎn)G，連接GQ，

因?yàn)椤鱌AD是正三角形，所以PN⊥AD．
因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PN⊥平面ABCD．
因?yàn)镚NCG=NDBC=12=PQQC，所以QG/?/PN，所以QG⊥平面ABCD．
因?yàn)锳C?平面ABCD，所以QG⊥AC．
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AC⊥BD．
又QG∩BD=G，QG，BD?平面BDQ，所以AC⊥平面BDQ，
又AC?平面MAC，所以平面BDQ⊥平面MAC，
所以棱PC上點(diǎn)存在點(diǎn)Q，當(dāng)PQQC=12時(shí)，平面BDQ⊥平面AMC．

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