一、選擇題
1．( )
A.B.C.D.
2．已知全集,,則集合B為( )
A.B.
C.D.
3．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：“今有宛田,下周三十步,徑十六步,問為田幾何？”譯成現(xiàn)代漢語其意思為：有一塊扇形田,弧長30步,其所在圓的直徑是16步,問這塊田的面積為多少？( )
A.240平方步B.120平方步C.80平方步D.60平方步
4．已知,都是銳角,,,則( )
A.B.C.D.
5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則( )
A.4B.C.D.2
6．定義在R上的函數(shù)為奇函數(shù),且為偶函數(shù),當(dāng)時,,則( )
A.-1B.0C.1D.2
7．已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足,,,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù),若關(guān)于x的方程有6個不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列不等式一定成立的是( )
A.B.
C.D.
10．給出下列說法,正確的有( )
A.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間
B.若一扇形弧長為2,圓心角為,則該扇形的面積為
C.命題“,”的否定形式是“,”
D.已知命題“,”為真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
11．已知函數(shù),將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短到原來的,再把所得圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象,則( )
A.是奇函數(shù)
B.在區(qū)間上的值域?yàn)?br>C.在區(qū)間上單調(diào)遞增
D.點(diǎn)是的圖象的一個對稱中心
12．設(shè)集合A是實(shí)數(shù)集R的子集,如果滿足：,,使得,則稱a為集合A的一個聚點(diǎn).在下列集合中,以0為一個聚點(diǎn)的集合有( )
A.B.
C.D.
三、填空題
13．已知,則的值為______________.
14．已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)m的值為______________.
15．已知,,且滿足,則的最小值為______________.
16．已知函數(shù)是偶函數(shù),若函數(shù)無零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍為______________.
四、解答題
17．回答下列問題
（1）化簡：;
（2）化簡：.
18．已知集合,集合.
(1)若集合B的真子集有且只有1個,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
19．已知函數(shù)的最小正周期為T.若,且的圖象關(guān)于直線對稱.
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.
20．函數(shù).
(1)若的解集是或,求不等式的解集;
(2)當(dāng)時,求關(guān)于的不等式的解集.
21．后疫情時代,全民健康觀念發(fā)生很大改變.越來越多人注重通過攝入充足的水果,補(bǔ)充維生素C,提高自身免疫力.鄭州某地區(qū)適應(yīng)社會需求,利用當(dāng)?shù)氐牡乩韮?yōu)勢,發(fā)展種植某種富含維生素C的珍稀果樹.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該珍稀果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與單株用肥量x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：已知肥料的成本為10元/千克,其他人工投人成本合計(jì)元.若這種水果的市場售價大約為15元/千克,且銷路暢通供不應(yīng)求.記該果樹的單株利潤為（單位：元）.
(1)求的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)單株施用肥料為多少千克時,該果樹的單株利潤最大,并求出最大利潤.
22．已知函數(shù)滿足,有.
(1)求的解析式;
(2)若,函數(shù),且,,使,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：,
故選：A.
2．答案：C
解析：因?yàn)?
又,所以.
故選：C.
3．答案：B
解析：因?yàn)樯刃翁锏幕￠L30步,其所在圓的直徑是16步,
根據(jù)扇形的面積公式可得這塊田的面積（平方步）.
故選：B.
4．答案：B
解析：因?yàn)?都是銳角,所以,
故,
又,所以,
所以
.
故選：B.
5．答案：D
解析：由圖可知,點(diǎn)在圖象上,所以,則,
又知點(diǎn)在的增區(qū)間上,所以;
由五點(diǎn)作圖法可知,,解得,
所以,
則,
故選：D.
6．答案：A
解析：因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以,
因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以,即,
從而,得,
所以以4為周期的周期函數(shù),
,
,
所以.
故選：A.
7．答案：A
解析：由題意,,
所以令,,,,
所以問題等價于比較的圖象分別與,,的圖象三個交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小關(guān)系,
而,,均過點(diǎn),
則由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知,的圖象分別與,,的圖象三個交點(diǎn)橫坐標(biāo)如圖所示：
則.
故選：A.
8．答案：A
解析：因?yàn)?
所以或,因?yàn)殛P(guān)于x的方程有6個不同的實(shí)數(shù)根,
所以的圖象與直線和直線有6個不同的交點(diǎn),
如圖的圖象與直線有3個交點(diǎn),
所以只需的圖象與直線有3個交點(diǎn),
所以.
故選：A.
9．答案：ACD
解析：對A,因?yàn)?故,故A正確;
對B,因?yàn)?故,故B錯誤;
對C,,因?yàn)?
則,故,故C正確;
對D,易得為增函數(shù),且,故,故D正確.
故選：ACD
10．答案：BCD
解析：對于A選項(xiàng),對于函數(shù),有,
即,即,解得,
所以,函數(shù)的定義域?yàn)?
內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,
外層函數(shù)為上的減函數(shù),
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,A錯;
對于B選項(xiàng),若一扇形弧長為,圓心角為,其弧度為,
扇形的半徑為,故該扇形的面積為,B對;
對于C選項(xiàng),由存在量詞命題的否定可知,
命題“,”的否定形式是“,”,C對;
對于D選項(xiàng),若命題“,”為真命題,則,解得,D對.
故選：BCD.
11．答案：CD
解析：將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短到原來的,得到,
再把所得圖象向右平移個單位后,得到,
對于選項(xiàng)A：顯然的定義域?yàn)镽,且,
可知是偶函數(shù),故A錯誤;
對于選項(xiàng)B：若,則,可得,
所以,故B錯誤;
對于選項(xiàng)C：若,則,且在內(nèi)單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,故C正確;
對于選項(xiàng)D：,所以點(diǎn)是的圖象的一個對稱中心,故D正確;
故選：CD.
12．答案：BC
解析：對于A,集合中的元素除了第一項(xiàng)0之外,其余的都至少比0大,
則當(dāng)?shù)臅r候,不存在滿足得的x, 0不是集合的聚點(diǎn),A不是;
對于B,集合中的元素,對于任意的,取,當(dāng)時,,
則0是集合的聚點(diǎn),B是;
對于C,,,,對于任意的,由,得,
于是對于任意的,取,當(dāng)時,,
則0是集合的聚點(diǎn),C是;
對于D,,,,因此當(dāng)時,不存在滿足的x,
則0不是集合的聚點(diǎn),D不是.
故選：BC.
13．答案：
解析：,
因?yàn)?所以.
故答案為：.
14．答案：3
解析：當(dāng)時,,解得（舍）;
當(dāng)時,,解得或（舍）,
所以實(shí)數(shù)m的值為3,
故答案為：3.
15．答案：4
解析：因?yàn)?所以,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,
所以的最小值為4.
故答案為：4.
16．答案：
解析：由題意知函數(shù)是偶函數(shù),
故對于,有,
即,
故,
故,由于,故;
函數(shù)無零點(diǎn),即無實(shí)數(shù)解,
即無實(shí)數(shù)解,
令,則的圖象與直線無交點(diǎn);
而,
由于在R上單調(diào)遞減,故在R上單調(diào)遞減,
當(dāng)x趨向于無窮大時,無限趨近于0,且,故,且可無限接近于1,
當(dāng)x趨向于負(fù)窮大時,趨近于正無窮大,
故,
故要使得的圖象與直線無交點(diǎn),需滿足,
即實(shí)數(shù)b的取值范圍為,
故答案為：.
17．答案：（1）17;
（2）
解析：（1）
.
（2）
.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）集合B元素個數(shù)為1,,
即,解得：;
（2）,
對集合B討論：
當(dāng)時,即時,,滿足條件;
當(dāng)時,即,此時,滿足條件;
當(dāng)時,要滿足條件,必有,
由根與系數(shù)的關(guān)系有：,此方程組無解,不滿足條件舍去
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是
19．答案：(1),
(2)最小值為2,最大值為3
解析：（1）∵,
由函數(shù)的最小正周期T滿足,得,解得,
又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對稱,所以,
所以,,所以,所以,
由,,得,
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,.
（2）, ,,
由,當(dāng)或時,,
當(dāng)時,
20．答案：(1)
(2)答案見解析
解析：（1）由題意得的解集是或,故的解是或,由韋達(dá)定理得,,解得,,故求的解集即可,解得,
（2）由得,
故求的解集即可,
,開口向上,化簡得,
令,解得或,
當(dāng)時,,此時解集為,
當(dāng)時,解得,此時令,解得,
當(dāng)時,解得,此時令,解得,
綜上當(dāng)時,,當(dāng)時,.
21．答案：(1)
(2)當(dāng)施用肥料為4千克時,種植該果樹獲得的最大利潤是480元
解析：（1）由題可知
,
;
（2）由（1）得
,
當(dāng)時,;
當(dāng)時,;
（當(dāng)且僅當(dāng)時,即時等號成立）
因?yàn)?所以當(dāng)時,,
所以當(dāng)施用肥料為4千克時,種植該果樹獲得的最大利潤是480元.
22．答案：(1)
(2)
解析：（1）,
將x替換成,得,
聯(lián)立兩式,,解得.
（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,
所以,
對于,不妨取,
則,
因?yàn)?所以,,
則,即,故在上單調(diào)遞增,
又在上單調(diào)遞增,且在上恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,
因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增,且恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,
則,,
因?yàn)?,使,
所以的值域是的值域的子集.
故,即,解得（負(fù)值舍去）,
所以.

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