1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.樣本數(shù)據26，34，24，20，30，40，22，24，50的中位數(shù)和極差分別為（ ）
A.30，24B.26，30C.24，30D.26，24
3.已知復數(shù)z在復平面內所對應的點為，則（ ）
A.B.C.D.
4.已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，則（ ）
A.B.C.D.
5.已知拋物線的焦點為F，為C上一點，則（ ）
A.B.5C.6D.
6.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（ ）
A.B.0C.1D.
7.已知遞增等比數(shù)列的公比為q，且，則的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
8.已知在三棱錐中，除PC外其他各棱長均為2，且二面角的大小為.若三棱錐的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分
9.已知雙曲線，則C的（ ）
A.焦點在y軸上B.焦距為3
C.離心率為D.漸近線為
10.小明上學有時乘公交車，有時騎自行車，他各記錄了100次乘公交車和騎自行車上學所用的時間，經數(shù)據分析得到：乘公交車平均用時20min，樣本標準差為6；騎自行車平均用時24min，樣本標準差為2.已知若隨機變量，則.假設小明乘公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，則（ ）
A.
B.
C.若某天有28min可用。小明要想盡可能不遲到應選擇騎自行車
D.若某天有25min可用，小明要想盡可能不遲到應選擇乘公交車
11.已知的三邊長分別為2，3，，O為內一點，且滿足.設，，，則（ ）
A.B.
C.D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知展開式中x的系數(shù)為80，則______.
13.已知函數(shù)在區(qū)間有零點，則a的取值范圍是______.
14.設，且，記M為，，…，中最大的數(shù)，則M的最小值為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求的單調區(qū)間和極值.
16.（15分）如圖，直三棱柱的高為6，，，E，F(xiàn)分別為AB，的中點。G為上一點，且.
（1）證明：平面；
（2）求直線EG與平面所成角的正切值.
17.（15分）某同學進行投籃訓練，已知每次投籃的命中率均為0.5，且每次投籃是否命中相互獨立.若該同學投籃3次，記其中命中的次數(shù)為X.
（1）求X的分布列與期望；
（2）已知有大小相同的紅球和黃球各個，從中隨機取3個球，記其中紅球的個數(shù)為Y，若用的值近似表示，且滿足誤差的絕對值不超過0.01，求n的最小值.
18.（17分）已知橢圓過點，且C的右焦點為.
（1）求C的方程；
（2）設過點的一條直線與C交于P，Q兩點，且與線段AF交于點S.
（i）證明：S到直線FP和FQ的距離相等；
（ii）若的面積等于的面積，求Q的坐標.
19.（17分）“割圓術”是利用圓的外切或內接正多邊形逼近圓并由此求圓周率的一種方法.設，圓的外切和內接正邊形的周長分別為和，其中.
（1）若的半徑為1，求的外切正邊形的面積；
（2）證明：；
（3）設，，證明：
數(shù)學參考答案
1.【答案】c
【解析】因為，且，故.
2.【答案】B
【解析】將樣本數(shù)據按從小到大的順序排列，第1個數(shù)為20，第5個數(shù)為26，第9個數(shù)為50，故樣本數(shù)據的中位數(shù)為26，極差為.
3.【答案】D
【解析】，，，故
4.【答案】C
【解析】根據題意有，當k取1時，.
5.【答案】B
【解析】將代入C，解得，由拋物線的定義可知.
6.【答案】A
【解析】
，若是奇函數(shù)，則
，即恒成立，故.
7.【答案】B
【解析】方法1：設，由，可得，設，則，故在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，當時，應在區(qū)間存在零點，因為，故只需，即；當時，應有大于1的零點，因為，且當時，，故對于任意均存在大于1的零點，故的取值范圍是.
方法2：因，所以.因等比數(shù)列遞增，所以當時，，即；當時，.所以的取值范圍為.設，則，故在單調遞減，在單調遞增，所以的取值范圍是.
8.【答案】A
【解析】方法1：如圖，設，分別為，的中點，連接，，，且，是邊長為的等邊三角形，則球心必在線段上，其中，設球的半徑為，因為，即.解得，故球的表面積為.
方法2：如圖，
設，分別為，的中點，
連接，，，則球心必在線段上，且.設在直線上的射影為，則為正的重心，且底面.所以，，所以，，故球的表面積為.
9.【答案】AC（選對一項給3分）
【解析】的標準方程為，故焦點在軸上，，，，故焦距為，離心率為，漸近線為，故A，C正確.
10.【答案】BCD（選對一項給2分，選對兩項給4分）
【解析】根據題意知，，故A錯誤，B正確；
若有28min可用，分別設隨機變量，的平均數(shù)和方差為，，，.則
故，小明要想盡可能不遲到應選擇騎自行車，故C正確；
若有可用，則，，因為，，故，小明要想盡可能不遲到應選擇乘公交車，故D正確.
11.【答案】BCD（選對一項給2分，選對兩項給4分）
【解析】，故A錯誤；不妨設，，，由余弦定理可知，故，，設，，，
則，
又因為，
故，所以，故B正確；由余弦定理可知，
，同理，，故，，故C正確；，故D正確.
12.【答案】-2
【解析】因為的系數(shù)為，故.
13.【答案】
【解析】方法1：令，當時，，當且僅當時取等，且，所以若在區(qū)間有零點，則的取值范圍是.
方法2：根據條件知，，，，
解得，即a的取值范圍是.
14.【答案】6
【解析】
，
因為，故，
所以
所以的最小值為6，當，且時成立.
15.（13分）
【解析】（1）根據題意有，2分
故切線的斜率.3分
又，故切點坐標為.4分
所以曲線在點處的切線方程為.6分
（2）由（1）知，當時，；當時，；當時，.
所以的單調遞增區(qū)間是，；單調遞減區(qū)間是.9分
當時，取得極大值；11分
當時，取得極小值.13分
16.（15分）
【解析】（1）如圖，延長，交于點，連接交于點，連接.
因為為的中點，且，故為的中點.1分
過作，交于點，因為為的中點，故，，因為，故.3分
又因為，故，故，，5分
因為平面，平面，
所以平面.7分
（2）以為坐標原點，直線為軸，直線為軸，直線為軸建立坐標系，
則，，，，故，，
且記.10分
設平面的法向量為，則
不妨取，則.13分
所以，14分
所以直線與平面所成角的正弦值為，正切值為.15分
17.（15分）
【解析】（1）根據題意有，
其中，1分
，2分
，3分
，4分
的分布列為：
5分
方法1：所以7分
方法2：因為，故.7分
（2）根據題意有.10分
由（1）可知，
故應滿足.13分
解得.14分
故n的最小值為20.15分
18.（17分）
【解析】（1）根據題意有，1分
且由橢圓的幾何性質可知，2分
所以，.3分
所以的方程為.4分
（2）（i）顯然的斜率存在，設的方程為，代入的方程有：，其中.6分
設，，則，，7分
若到直線和的距離相等，則直線平分，且易知軸，故只需滿足直線與的斜率之和為0.設，的斜率分別為，，則：，10分
代入，，有，故命題得證.12分
（ii）由（i）知直線平分，即.13分
因為的面積等于的面積，故，
即，故.14分
故，，在線段的垂直平分線上.15分
易知線段的垂直平分線為，與的方程聯(lián)立有，
故的坐標為或.17分
19.（17分）
【解析】（1）根據題設可知，故外切多邊形每一條邊所對的圓心角為.1分
當?shù)陌霃綍r，有.3分
所以圓的外切正邊形的面積為.4分
（2）方法1：設的半徑為，的內接正邊形每一條邊所對的圓心角為，則由幾何關系可知，且，.6分
故，7分
且，得.8分
所以，即.10分
方法2：設的半徑為，則，，6分
所以9分
，即.10分
（3）方法1：在（2）的條件下由幾何關系可知，故，
又，故.12分
由（2）可知，且，
故，
故.14分
由（2）可知，15分
又，故.16分
因為，且由得，
故.綜上，.17分
方法2：由（2）可知，11分
又，故.
故
.
設，則，單調遞減，
故當時，，此時.
所以.

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