高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題13.3《復(fù)數(shù)》真題+模擬試卷(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（2023·全國(guó)·高考真題（理））復(fù)數(shù)的虛部是（）
A．B．C．D．
2．(2023·全國(guó)·高考真題）若，則（）
A．B．C．1D．2
3．（2023·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江·高考真題）已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（）
A．B．1C．D．3
5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知，則（）
A．B．C．D．
6．（2023·全國(guó)·高考真題（文））已知，則（）
A．B．C．D．
7．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．若復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（）
A．B．C．1D．
8．(2023·上海市松江二中高一期末）設(shè)，則下列命題中的真命題為（）
A．若，則
B．若，則為純虛數(shù)
C．若，則或
D．若，則
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.
9．(2023·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期中）已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則下列說法中正確的是（）
A．的虛部是B．
C．D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)，當(dāng)a變化時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）
A．恒成立B．z可能是純虛數(shù)
C．可能是實(shí)數(shù)D．的最大值為
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則（）
A．若，則
B．若，則
C．若與在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則
D．若，則
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則下列結(jié)論正確的是（）
A．復(fù)數(shù)的虛部為
B．
C．
D．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
第II卷非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．(2023·天津·高考真題）已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_______．
14．（2023·浙江·高考真題）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則________.
15．（2023·天津·高考真題（文））是虛數(shù)單位，則的值為__________.
16.(2023·江蘇·姜堰中學(xué)高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則z＝_________.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，試求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍，使得z分別為：
(1)實(shí)數(shù)；
(2)虛數(shù)；
(3)純虛數(shù).
18．（2023·西藏·拉薩那曲第二高級(jí)中學(xué)高三月考（文））已知為實(shí)數(shù)，設(shè)復(fù)數(shù).
（1）當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，求的值；
（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求的值.
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù).
(1)若對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，求m的范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，且（表示的共軛復(fù)數(shù)），若，求z.
20．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根.
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)設(shè)，求的值.
21．（2023·河南·高三月考（理））已知復(fù)數(shù)，的共軛復(fù)數(shù)為.
（1）若，求：；
（2）若，求的取值范圍.
22．（2023·廣東·仲元中學(xué)高一期中）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量?分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，，且，，若是實(shí)數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求以?為鄰邊的平行四邊形的面積.
專題13.3 《復(fù)數(shù)》真題+模擬試卷
第I卷選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（2023·全國(guó)·高考真題（理））復(fù)數(shù)的虛部是（）
A．B．C．D．
答案：D
分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：D.
2．(2023·全國(guó)·高考真題）若，則（）
A．B．C．1D．2
答案：D
分析：利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.
【詳解】由題設(shè)有，故，故，
故選：D
3．（2023·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（）
A．B．C．D．
答案：D
分析：由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.
【詳解】由題意可得：.
故選：D.
4．（2023·浙江·高考真題）已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（）
A．B．1C．D．3
答案：C
分析：首先計(jì)算左側(cè)的結(jié)果，然后結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】，
利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.
故選：C.
5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知，則（）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>故選：C.
6．（2023·全國(guó)·高考真題（文））已知，則（）
A．B．C．D．
答案：B
分析：由已知得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，即可求解.
【詳解】，
.
故選：B.
7．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．若復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（）
A．B．C．1D．
答案：B
分析：由歐拉公式和復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得，由復(fù)數(shù)虛部定義求得結(jié)果
【詳解】由歐拉公式知：
，，
，
的虛部為．
故選：B
8．(2023·上海市松江二中高一期末）設(shè)，則下列命題中的真命題為（）
A．若，則
B．若，則為純虛數(shù)
C．若，則或
D．若，則
答案：C
分析：根據(jù)虛數(shù)不能比較大小判斷A，取可判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)判斷C，取特例可判斷D.
【詳解】當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，成立，否則不成立，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，滿足，但不為純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故或，所以或，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，，即，故D錯(cuò)誤.
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.
9．(2023·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期中）已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則下列說法中正確的是（）
A．的虛部是B．
C．D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限
答案：BCD
分析：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可得出答案.
【詳解】，復(fù)數(shù)的虛部為，所以A錯(cuò)；
，所以B正確；
，故C正確；
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第三象限，故D正確.
故選：BCD.
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)，當(dāng)a變化時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）
A．恒成立B．z可能是純虛數(shù)
C．可能是實(shí)數(shù)D．的最大值為
答案：ABD
分析：首先根據(jù)題意得到，再結(jié)合復(fù)數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】，
對(duì)選項(xiàng)A，，，
故A正確.
對(duì)選項(xiàng)B，，
當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)，故B正確.
對(duì)選項(xiàng)C，
令，即無解，故C錯(cuò)誤.
對(duì)選項(xiàng)D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
所以的最大值為，故D正確.
故選：ABD
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則（）
A．若，則
B．若，則
C．若與在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則
D．若，則
答案：ABC
分析：利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以，
則，即，則，故選項(xiàng)正確；
因?yàn)?，所以?br>即，則，故選項(xiàng)正確；
設(shè)，因?yàn)榕c在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，
則，所以，，則，
故選項(xiàng)正確；
若，滿足，而，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：ABC.
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則下列結(jié)論正確的是（）
A．復(fù)數(shù)的虛部為
B．
C．
D．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
答案：BCD
分析：先求出復(fù)數(shù)z，再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證：
對(duì)于A：直接求出復(fù)數(shù)z的虛部，即可判斷；
對(duì)于B：直接求出，即可判斷；
對(duì)于C：直接求出和，即可判斷；
對(duì)于D：直接求出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，即可判斷.
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù).
因?yàn)椋覐?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
所以，解得：，即.
對(duì)于A：復(fù)數(shù)z的虛部為.故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：.故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋?故C正確；
對(duì)于D：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為.故D正確.
故選：BCD
第II卷非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．(2023·天津·高考真題）已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_______．
答案：##
分析：根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則即可解出．
【詳解】．
故答案為：．
14．（2023·浙江·高考真題）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則________.
答案：
分析：本題先計(jì)算，而后求其模.或直接利用模的性質(zhì)計(jì)算. 容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算求解能力的考查.
【詳解】.
15．（2023·天津·高考真題（文））是虛數(shù)單位，則的值為__________.
答案：
分析：先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的定義求所給復(fù)數(shù)的模．
【詳解】．
16.(2023·江蘇·姜堰中學(xué)高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則z＝_________.
答案：
分析：設(shè)，代入中根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可求出，從而可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，
所以，
所以，解得，
所以，
故答案為：
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，試求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍，使得z分別為：
(1)實(shí)數(shù)；
(2)虛數(shù)；
(3)純虛數(shù).
答案：(1)；(2)；(3)不存在實(shí)數(shù)使得為純虛數(shù).
分析：
(1)由復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)可得其虛部為0，又，由此求m；
(2) 由復(fù)數(shù)z為虛數(shù)可得其虛部不為0，又，由此求m；
(3) 由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)可得其實(shí)部為0，虛部不為0，又，由此求m.
【詳解】
(1)當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，有
得
所以，即當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù).
(2)當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，有且，
所以且且，
即當(dāng)時(shí)，為虛數(shù).
(3)當(dāng)為純虛數(shù)時(shí)，有
所以故不存在實(shí)數(shù)使得為純虛數(shù).
18．（2023·西藏·拉薩那曲第二高級(jí)中學(xué)高三月考（文））已知為實(shí)數(shù)，設(shè)復(fù)數(shù).
（1）當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，求的值；
（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求的值.
答案：（1）且；（2）或.
分析：
（1）由已知條件可得出，即可解得的取值范圍；
（2）求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，即可解得的值.
【詳解】
（1）當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，有，即，
解得且；
（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，
所以，，即，
解得或，
所以，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上時(shí)，或.
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù).
(1)若對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，求m的范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，且（表示的共軛復(fù)數(shù)），若，求z.
答案：(1)
(2)
分析：（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義建立不等式即可求解；
（2）將復(fù)數(shù)、代入中化簡(jiǎn)即可求解.
(1)
若對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，則，解得.
(2)
當(dāng)時(shí)，，則.
∴，∴.
20．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根.
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)設(shè)，求的值.
答案：(1)
(2)
分析：（1）由已知，方程有實(shí)數(shù)解，可列出關(guān)于和方程組，解方程即可完成求解；
（2）將第（1）問計(jì)算出的帶入中，然后直接計(jì)算即可.
（1）
由，整理得，
則，解得.
所以實(shí)數(shù)a的值為.
（2）
由（1）可得.
.
21．（2023·河南·高三月考（理））已知復(fù)數(shù)，的共軛復(fù)數(shù)為.
（1）若，求：；
（2）若，求的取值范圍.
答案：（1）；（2）.
分析：
（1）先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，令，再利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算計(jì)算即可；
（2）利用復(fù)數(shù)的乘法和模長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)不等式可得，求解即可
【詳解】
（1），
當(dāng)時(shí)，，則，
.
（2）由，得，
整理，得，
即，解得或，
即的取值范圍為.
22．（2023·廣東·仲元中學(xué)高一期中）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量?分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，，且，，若是實(shí)數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求以?為鄰邊的平行四邊形的面積.
答案：
（1）
（2）
分析：
（1）由已知結(jié)合為實(shí)數(shù)求得的值，（2）求得、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再由的值計(jì)算夾角的正余弦，則可求面積．
（1）由，得
，則的虛部為0，
．
解得：或．
又，．
（2）由（1）可知，．
，，．
．所以，
所以，
所以?為鄰邊的平行四邊形的面積

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