高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試新高考數(shù)學(xué)模擬試卷02(新高考II卷)【原卷版+解析】

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試新高考數(shù)學(xué)模擬試卷02(新高考II卷)【原卷版+解析】，共32頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．(2023·山東·安丘市普通教育教學(xué)研究室高三階段練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知的共軛復(fù)數(shù)為，則（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（文））“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來華傳教士偉烈亞利將《孫子算法》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1至2022這2022個(gè)數(shù)中，能被5除余1且被7除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（ ）
A．58B．57C．56D．55
4．(2023·廣東·高三階段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·浙江·高三階段練習(xí)）源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展．太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)．在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過5道程序，其中兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有（ ）
A．18種B．36種C．72種D．108種
6．(2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知，則（ ）
A．B．C．D．2
7．(2023·江蘇·鹽城中學(xué)高三階段練習(xí)）在正四棱臺(tái)中，，，則該棱臺(tái)外接球的半徑為（ ）
A．B．3C．D．
8．(2023·上海市進(jìn)才中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意都有且的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（ ）
A．B．0C．3D．6
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.
9．(2023·福建師大附中高三階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖像如圖所示， 則下列說法中， 正確的有（ ）
A．的最小正周期為
B．向左平移個(gè)單位后得到的新函數(shù)是偶函數(shù)
C．若方程在上共有 6 個(gè)根， 則這 6 個(gè)根的和為
D．圖像上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)， 的橫坐標(biāo)為
10．(2023·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）
11．(2023·廣東·珠海市第三中學(xué)二模）在正三棱錐中，設(shè)，，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，到底面的距離為
B．當(dāng)正三棱錐的體積取最大值時(shí)，則有
C．當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作平面分別交線段，于點(diǎn)，不重合，則周長(zhǎng)的最小值為
D．當(dāng)變大時(shí)，正三棱錐的表面積一定變大
12．(2023·湖北孝感·高三階段練習(xí)）已知，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則（ ）
A．B．
C．的最小值為12D．的最小值為
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．(2023·廣東廣州·高三階段練習(xí)）某品牌手機(jī)的電池使用壽命（單位：年）服從正態(tài)分布．且使用壽命不少于1年的概率為0.9，使用壽命不少于9年的概率為，則該品牌手機(jī)的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為________．
14．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知為曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為________時(shí)，最小，此時(shí)最小值為________．
15．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為______．
16．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為．若橢圓上存在兩點(diǎn)，使得的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的方程________________．
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．(2023·上海交大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18．(2023·湖南省桃源縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在四邊形中，，，且.
(1)證明：；
(2)若，求四邊形的面積.
19．(2023·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）某芯片制造企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn). 在試產(chǎn)初期，該款芯片生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.
(1)在試產(chǎn)初期，該款芯片的批次生產(chǎn)前三道工序的次品率分別為.
①求批次芯片的次品率；
②第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰， 合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn). 已知批次的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為98%， 求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)， 抽檢一個(gè)芯片恰為合格品的概率；
(2)該企業(yè)改進(jìn)生產(chǎn)工藝后生產(chǎn)了批次的芯片. 某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得批次與批次的芯片，并在某款新型手機(jī)上使用. 現(xiàn)對(duì)使用 這款手機(jī)的用戶回訪，對(duì)開機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查. 據(jù)統(tǒng)計(jì)，回訪的100名用戶中，安裝批次有40部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有30人；安裝批次有60部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有58人. 依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)， 能否認(rèn)為芯片批次與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān)?
附：
20．(2023·江蘇·南京師大附中高三階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為矩形，平面平面，是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．
(1)證明：；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？
21．(2023·上海交大附中高三階段練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)若直線的斜率為1，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)、在上，且，.過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點(diǎn).從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①在上；②；③.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
22．(2023·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（?為常數(shù)）.
(1)討論?的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)?有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)?， 證明:?.
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
數(shù) 學(xué) 試 卷
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．(2023·山東·安丘市普通教育教學(xué)研究室高三階段練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：計(jì)算絕對(duì)值不等式得到，從而進(jìn)行交集，并集，補(bǔ)集相關(guān)計(jì)算.
【詳解】由得：，所以，
又因?yàn)?，所以?br>故，A錯(cuò)誤；
，B正確；
，C錯(cuò)誤；
，D錯(cuò)誤.
故選：B
2．(2023·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知的共軛復(fù)數(shù)為，則（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：使用共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算知識(shí)解決
【詳解】若，則，
∴.
故選：C.
3．(2023·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（文））“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來華傳教士偉烈亞利將《孫子算法》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1至2022這2022個(gè)數(shù)中，能被5除余1且被7除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（ ）
A．58B．57C．56D．55
答案：A
分析：由題意能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的數(shù)，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)，再結(jié)合條件列不等式，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槟鼙?除余1且被7除余1，即能被35除余1的數(shù)，
所以，，，即是以1為首項(xiàng)，35為公差的等差數(shù)列.
即
由題意知且，得，
解得，，所以此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為58項(xiàng).
故選:A.
4．(2023·廣東·高三階段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根據(jù)已知條件作出圖形，利用向量的加法法則及相反向量的定義，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算律及勾股定理即可求解.
【詳解】由題意可知，取的中點(diǎn)，如圖所示
所以．
，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，取的最大值，取得最大值，且最大值為，故的最大值為.
故選：D.
5．(2023·浙江·高三階段練習(xí)）源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展．太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)．在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過5道程序，其中兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有（ ）
A．18種B．36種C．72種D．108種
答案：B
分析：先排兩道程序有種放法，再排剩余的3道程序有種放法，再由分步計(jì)數(shù)原理即可得出答案.
【詳解】先排兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2,3,4道程序選兩個(gè)放，共有種放法；再排剩余的3道程序，共有種放法；
則共有種放法.
故選：B.
6．(2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知，則（ ）
A．B．C．D．2
答案：C
分析：根據(jù)已知條件求得，化簡(jiǎn)求得正確答案.
【詳解】依題意，
，
，
，
，
，
.
故選：C
7．(2023·江蘇·鹽城中學(xué)高三階段練習(xí)）在正四棱臺(tái)中，，，則該棱臺(tái)外接球的半徑為（ ）
A．B．3C．D．
答案：C
分析：[解法1]設(shè)所求外接球球心為，則在上下底面中心的連線上，利用勾股定理可求得，設(shè)，在和中，利用勾股定理可構(gòu)造方程組求得，即可得解.
[解法2] 同解法1，求得直角梯形的各邊，利用圖形的特殊性，作出的中垂線，與的延長(zhǎng)線交點(diǎn)即為球心,由此進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】[解法1]由題意知：四邊形均為正方形，為上下底面的中心，
設(shè)正四棱臺(tái)的外接球球心為，外接球半徑為，則直線；
，，，又，
，
當(dāng)位于線段上時(shí)，
設(shè)，則，解得：（舍）；
當(dāng)位于線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，
設(shè)，則，解得：，
所以,
故選：C.
[解法2]同解法1，求得為直角梯形，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接,則為等腰直角三角形，四邊形為正方形，取中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),由于為的中垂線，所以,即O為四棱臺(tái)的外接球的球心，顯然，，
所以外接球半徑.
故選：C.
8．(2023·上海市進(jìn)才中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意都有且的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（ ）
A．B．0C．3D．6
答案：B
分析：根據(jù)得到函數(shù)周期為12，從而得到，再根據(jù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得到，再利用賦值法求出，最終求出.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
兩式相減后得：，
故函數(shù)的周期，，
所以，
中，令得：
的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
又的定義域?yàn)镽，
所以，
中，令得：，
所以，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，所以，解得：，
所以，
則.
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.
9．(2023·福建師大附中高三階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖像如圖所示， 則下列說法中， 正確的有（ ）
A．的最小正周期為
B．向左平移個(gè)單位后得到的新函數(shù)是偶函數(shù)
C．若方程在上共有 6 個(gè)根， 則這 6 個(gè)根的和為
D．圖像上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)， 的橫坐標(biāo)為
答案：ABD
分析：選項(xiàng)A，把圖像上的點(diǎn)代入函數(shù)解析式，可以求出，再算出最小正周期進(jìn)行判斷；
選項(xiàng)B，利用圖像的平移，得到新函數(shù)解析式，再判斷奇偶性；
選項(xiàng)C，方程的根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，再根據(jù)對(duì)稱性求和；
選項(xiàng)D，點(diǎn)到直線距離的最小問題，轉(zhuǎn)化成曲線的切線問題解決.
【詳解】因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，
又在的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，所以①；
又因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，，
又是在時(shí)最小的解，所以②．
聯(lián)立①、②，可得，即，代入①，可得，又，所以，則．的最小正周期為，A正確．
向左平移個(gè)單位后得到的新函數(shù)是，為偶函數(shù)，B正確．
設(shè)在上的6個(gè)根從小到大依次為．令，則，根據(jù)的對(duì)稱性，可得，則由的周期性可得，，所以，C錯(cuò)誤．
作與平行的直線，使其與有公共點(diǎn)，則在運(yùn)動(dòng)的過程中，只有當(dāng)直線與相切時(shí)，直線與l存在最小距離，也是點(diǎn)M到直線的最小距離，
令，則，
解得或，又，所以（舍去），
又，令，，，則由可得到直線的距離大于到直線的距離，所以到直線的距離最小時(shí)，的橫坐標(biāo)為，D正確
故選：ABD．
10．(2023·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）
答案：BC
分析：設(shè)，利用焦半徑公式求出，進(jìn)而求出，并結(jié)合，求出，即可判斷A；求出三點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出向量，的坐標(biāo)， 即可判斷B；已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，且，利用斜率公式可得，即可判斷C；由，求出的面積，即可判斷D.
【詳解】
如圖，設(shè)，
，
，
，
又，
，即，
解得：；
故選項(xiàng)A不正確；
由上述分析可知，
又容易知，
則，，
故成立；
故選項(xiàng)B正確；
；
故選項(xiàng)C正確；
，
故選項(xiàng)D不正確；
故選：BC．
11．(2023·廣東·珠海市第三中學(xué)二模）在正三棱錐中，設(shè)，，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，到底面的距離為
B．當(dāng)正三棱錐的體積取最大值時(shí)，則有
C．當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作平面分別交線段，于點(diǎn)，不重合，則周長(zhǎng)的最小值為
D．當(dāng)變大時(shí)，正三棱錐的表面積一定變大
答案：AD
分析：利用等體積法求正三棱錐的高判斷A；分析可得當(dāng)時(shí)三棱錐體積最大判斷B；利用平面展開圖分析C，寫出表面積，利用三角函數(shù)的單調(diào)性判斷D．
【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)正三棱錐的高為，
根據(jù)，得，A正確；
對(duì)于B，結(jié)合A的分析，當(dāng)正三棱錐的體積取最大值時(shí)，則有，B錯(cuò)；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作平面分別交線段，于，不重合，
則周長(zhǎng)的最小值為展開圖的直線距離，C錯(cuò)；
對(duì)于，在中根據(jù)余弦定理得，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>故函數(shù)在上遞增，
即當(dāng)變大時(shí)，正三棱錐的表面積一定變大，故D正確．
故選：AD．
12．(2023·湖北孝感·高三階段練習(xí)）已知，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則（ ）
A．B．
C．的最小值為12D．的最小值為
答案：ACD
分析：由已知可得，由于，所以可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而可得，，則，然后代入各選項(xiàng)的式子中結(jié)合基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】由，得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以對(duì)于函數(shù)，有，，所以，
所以A正確，B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)椋裕?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為12，所以C正確，
對(duì)于D，，
令，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，
由，得，所以，
所以，
所以函數(shù)在上遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
所以的最小值為，所以D正確，
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查不等式恒成立問題，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題意結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)得，，從而可結(jié)合基本不等式分析判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．(2023·廣東廣州·高三階段練習(xí)）某品牌手機(jī)的電池使用壽命（單位：年）服從正態(tài)分布．且使用壽命不少于1年的概率為0.9，使用壽命不少于9年的概率為，則該品牌手機(jī)的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為________．
答案：0.4##
分析：易得從而正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為直線，即可得到答案
【詳解】由題意知，，
∴
∴正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為直線，
因?yàn)椋?br>∴，
故該品牌手機(jī)的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為0.4，
故答案為：0.4
14．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知為曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為________時(shí)，最小，此時(shí)最小值為________．
答案：
分析：通過圖像可知當(dāng)直線與曲線相切且與直線平行時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離即為的最小值，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可構(gòu)造方程求得，利用點(diǎn)到直線距離公式求得最小值.
【詳解】如圖所示，當(dāng)直線與曲線相切且與直線平行時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離即為的最小值．
令，解得：，，.
故答案為：；.
15．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為______．
答案：10
分析：解法1：借助阿波羅尼斯圓的逆用，得到，進(jìn)而根據(jù)三點(diǎn)共線即可求出最值；
解法2：將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而結(jié)合進(jìn)而根據(jù)三點(diǎn)共線即可求出最值．
【詳解】解法1：阿波羅尼斯圓的逆用
假設(shè)，使得，
則，
從而可得，
從而可知圓心坐標(biāo)為，
所以，，解得，即．
所以
．
即的最小值為10．
解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法
由，得．
表示的是動(dòng)點(diǎn)與和之間的距離之和，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，和最小，
故．
16．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為．若橢圓上存在兩點(diǎn)，使得的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的方程________________．
答案：
分析：根據(jù)題意列式求出，即可得出橢圓方程，再設(shè)，，根據(jù)題意，得到，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)判別式，以及根與系數(shù)關(guān)系，由題意，得到，求出，即可得出結(jié)果．
【詳解】由題意，得，解得，∴橢圓的方程為．
設(shè)，．∵，而，∴，
故可設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立，得，
首先，由得，解得．（*）且，．
又，∴，得，
即，整理得，，
∴，
即，解得或（均適合（*）式）．
當(dāng)時(shí)，直線恰好經(jīng)過點(diǎn)，不能構(gòu)成三角形，不合題意，故舍去．
∴直線的方程為．
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．(2023·上海交大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
答案：(1)，
(2)
分析：（1）先利用求出，再利用累加法求出；
（2）先利用（1）結(jié)果求出，再利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求和即可．
（1）
∵，∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵，
∴，…，，
以上各式相加得：
，
，
又符合上式，∴；
（2）
由題意得，
時(shí)，,
當(dāng)時(shí)，，
∴.
18．(2023·湖南省桃源縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在四邊形中，，，且.
(1)證明：；
(2)若，求四邊形的面積.
答案：(1)證明見解析；
(2).
分析：(1)根據(jù)題意和正弦定理，利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算得，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系即可證明；
(2)由(1)，利用余弦定理求出，求得，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出，結(jié)合三角形面積公式即可求解.
（1）
在中，，在中，，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>，
，
所以，
即，
所以，
所以.
（2）
由（1）可設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因?yàn)椋?br>所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以四邊形的面積.
19．(2023·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）某芯片制造企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn). 在試產(chǎn)初期，該款芯片生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.
(1)在試產(chǎn)初期，該款芯片的批次生產(chǎn)前三道工序的次品率分別為.
①求批次芯片的次品率；
②第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰， 合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn). 已知批次的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為98%， 求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)， 抽檢一個(gè)芯片恰為合格品的概率；
(2)該企業(yè)改進(jìn)生產(chǎn)工藝后生產(chǎn)了批次的芯片. 某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得批次與批次的芯片，并在某款新型手機(jī)上使用. 現(xiàn)對(duì)使用 這款手機(jī)的用戶回訪，對(duì)開機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查. 據(jù)統(tǒng)計(jì)，回訪的100名用戶中，安裝批次有40部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有30人；安裝批次有60部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有58人. 依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)， 能否認(rèn)為芯片批次與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān)?
附：
答案：(1)①；②；
(2)能認(rèn)為芯片批次與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān)聯(lián)，理由見解析.
分析：（1）①先求出芯片的正品率，利用對(duì)立事件求概率公式求出答案；
②利用條件概率公式求出人工抽檢時(shí)， 抽檢一個(gè)芯片恰為合格品的概率；
（2）寫出列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，與7.879比較后得到結(jié)論.
（1）
①批次芯片的次品率為
②設(shè)批次的芯片智能自功檢測(cè)合格為事件， 人工抽檢合格為事件，
由已知得，
則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)， 抽檢一個(gè)芯片恰為合格品為事件，
.
（2）
零假設(shè)為： 芯片批次與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度無關(guān)聯(lián).
由數(shù)據(jù)可建立列聯(lián)表如下： （單位： 人）
根據(jù)列聯(lián)表得
因此，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷此推斷不成立，即能認(rèn)為芯片批次與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān)聯(lián).此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.
20．(2023·江蘇·南京師大附中高三階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為矩形，平面平面，是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．
(1)證明：；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？
答案：(1)證明見解析；
(2)2.
分析：（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，可得，結(jié)合條件可得，然后利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得；
（2）利用坐標(biāo)法，表示出平面的法向量，利用向量夾角公式結(jié)合基本不等式即得.
（1）
因?yàn)槿切问堑冗吶切危褽是中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)槠矫?，平面平面，平面平面?br>所以平面，
又因?yàn)槊妫?br>所以，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，即，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以；
（2）
設(shè)F是中點(diǎn)，以E為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得，
設(shè)，則、
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，有，
設(shè)直線與平面所成的角，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角最大．
21．(2023·上海交大附中高三階段練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)若直線的斜率為1，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)、在上，且，.過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點(diǎn).從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①在上；②；③.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
答案：(1)
(2)
(3)答案見解析.
分析：（1）根據(jù)雙曲線漸近線方程和右焦點(diǎn)列出方程，即可求出答案；
（2）首先求出點(diǎn)M的軌跡方程即為 其中k為直線 的斜率；
若選擇①②∶設(shè)直線 的方程為 ，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，可得M為的中點(diǎn)，即可推出；
若選擇①③︰當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可；
若選擇②③∶設(shè)直線的方程為，設(shè)的中點(diǎn)C，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得點(diǎn)M恰為中點(diǎn)，故點(diǎn)M在直線上．
（1）
由題意可得，即 ，
解得 ，
因此C的方程為 ；
（2）
由直線的斜率為1，得直線的方程為，
聯(lián)立 ，得： ，不妨設(shè),
聯(lián)立 ，得： ，不妨設(shè),
故線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
故線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）
由題意設(shè)直線 的方程為 ，將直線的方程代入得 ,
,因?yàn)?，?br> ，，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,則，
整理得，
，，
解得，
又因?yàn)椋?br>，
，；
若選擇①②作條件：
設(shè)直線的方程為，并設(shè)A的坐標(biāo)為 ，B的坐標(biāo)為，
則，解得
同理求得，
，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足，
解得，
故M為 的中點(diǎn)，即，即③成立 ；
若選擇①③作條件：
當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M即為點(diǎn) ，此時(shí)不在直線 ，矛盾，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 ，并設(shè)A的坐標(biāo)為 ，B的坐標(biāo)為，
則，解得，
同理解得，
此時(shí)，，
由于點(diǎn)M同時(shí)在直線 上，故 解得 ，
因此 ，即②成立．
若選擇②③作條件：
設(shè)直線的方程為 ，并設(shè)A的坐標(biāo)為 ，B的坐標(biāo)為，
則，解得，
同理可得，
設(shè)的中點(diǎn)為,則，
由于，故M在的垂直平分線上，即點(diǎn)M在直線上，
將該直線與聯(lián)立，解得，
即點(diǎn)M恰為中點(diǎn)，即點(diǎn)M在直線上, ①成立；
【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程的求法以及雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，解答時(shí)要明確解題思路，關(guān)鍵是聯(lián)立方程進(jìn)行計(jì)算十分繁雜，要特別注意準(zhǔn)確性.
22．(2023·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（?為常數(shù)）.
(1)討論?的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)?有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)?， 證明:?.
答案：(1)在?上單調(diào)遞減，?上單調(diào)遞增.
(2)證明見解析
分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，再構(gòu)造函數(shù)，再次求導(dǎo)，可得在上單調(diào)遞增，再由，可求出的單調(diào)區(qū)間，
（2）不妨設(shè)，轉(zhuǎn)化為只需證?，構(gòu)造函數(shù)?，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值小于零即可.
（1）
由（），
得，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以?在?上單調(diào)遞減，?上單調(diào)遞增.
（2）
由（1）的結(jié)論，不妨設(shè)?.
又?均?，
只需證?.
構(gòu)造函數(shù)?.
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，所以取不到等號(hào)，
所以，
所以在上單遞增，
所以，
所以?恒成立，結(jié)論得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為只需證?，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
開機(jī)速度滿意度
芯片批次
合計(jì)
不滿意
10
2
12
滿意
30
58
88
合計(jì)
40
60
100