?考向40 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式

經(jīng)典題型一：條件概率
經(jīng)典題型二：相互獨立事件的判斷
經(jīng)典題型三：相互獨立事件概率的計算
經(jīng)典題型四：相互獨立事件概率的綜合應(yīng)用
經(jīng)典題型五：全概率公式及其應(yīng)用
經(jīng)典題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用
經(jīng)典題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用

知識點1、條件概率
（一）定義
一般地，設(shè)，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．
注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．
（二）性質(zhì)
（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．
（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．
（3）如果與互斥，則．
注意：（1）如果知道事件發(fā)生會影響事件發(fā)生的概率，那么；
（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即．
知識點2、相互獨立與條件概率的關(guān)系
（一）相互獨立事件的概念及性質(zhì)
（1）相互獨立事件的概念
對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．
由此我們可得：設(shè)，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．
（2）概率的乘法公式
由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
（3）相互獨立事件的性質(zhì)
如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．
（二）事件的獨立性
（1）事件與相互獨立的充要條件是．
（2）當(dāng)時，與獨立的充要條件是．
（3）如果，與獨立，則成立．
知識點3、全概率公式
（一）全概率公式
（1）；
（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意事件，都有，且
．
注意：（1）全概率公式是用來計算一個復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．
（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
（二）貝葉斯公式
（1）一般地，當(dāng)且時，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗結(jié)果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．

1、兩個事件的相互獨立性的推廣
兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率．
2、貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．

經(jīng)典題型一：條件概率
1．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對員工的BMI值調(diào)查結(jié)果顯示，男員工中，肥胖者的占比為；女員工中，肥胖者的占比為，已知公司男、女員工的人數(shù)比例為2：1，若從該公司中任選一名肥胖的員工，則該員工為男性的概率為（????）
A． B． C． D．
2．（2022·山東日照·三模）若將整個樣本空間想象成一個邊長為1的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個子集，且事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積．則如圖所示的陰影部分的面積表示（????）

A．事件A發(fā)生的概率 B．事件B發(fā)生的概率
C．事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率 D．事件A、B同時發(fā)生的概率
3．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（????）
A． B．事件與事件B相互獨立
C． D．
4．（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宜肺敗毒方．若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機選出三種藥方，事件A表示選出的三種藥方中至少有一藥，事件B表示選出的三種藥方中至少有一方，則（????）
A． B． C． D．
5．（2022·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測）漳州某地準備建造一個以水仙花為主題的公園.在建園期間，甲?乙?丙三個工作隊負責(zé)采摘及雕刻水仙花球莖.雕刻時會損壞部分水仙花球莖，假設(shè)水仙花球莖損壞后便不能使用，無損壞的全部使用.已知甲?乙?丙工作隊所采摘的水仙花球莖分別占采摘總量的25%，35%，40%，甲?乙?丙工作隊采摘的水仙花球莖的使用率分別為0.8，0.6，0.75（水仙花球莖的使用率）.
(1)從采摘的水仙花球莖中有放回地隨機抽取三次，每次抽取一顆，記甲工作隊采摘的水仙花球莖被抽取到的次數(shù)為，求隨機變量的分布列及期望；
(2)已知采摘的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，求它是由丙工作隊所采摘的概率.




經(jīng)典題型二：相互獨立事件的判斷
6．（2022·湖北·模擬預(yù)測）奧密克戎變異毒株傳染性強、傳播速度快隱蔽性強，導(dǎo)致上海疫情嚴重，牽動了全國人民的心．某醫(yī)院抽調(diào)了包括甲、乙在內(nèi)5名醫(yī)生隨機派往上海①，②，③，④四個醫(yī)院，每個醫(yī)院至少派1名醫(yī)生，“醫(yī)生甲派往①醫(yī)院”記為事件A：“醫(yī)生乙派往①醫(yī)院”記為事件B；“醫(yī)生乙派往②醫(yī)院”記為事件C，則（????）
A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C相互獨立
C． D．
7．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））一個質(zhì)地均勻的正四面體，四個面分別標以數(shù)字1，2，3，4．拋擲該正四面體兩次，依次記下它與地面接觸的面上的數(shù)字．記事件A為“第一次記下的數(shù)字為奇數(shù)”，事件B為“第二次記下的數(shù)字比第一次記下的數(shù)字大1”，則下列說法正確的是（????）
A． B．事件A與事件B互斥
C． D．事件A與事件B相互獨立
8．（2022·湖南常德·一模）將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機派往①，②，③三個村莊進行義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（????）
A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C相互獨立
C． D．
9．（2022·上海金山·一模）設(shè)為兩個隨機事件，給出以下命題：（1）若為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則為相互獨立事件；（3）若，，，則為相互獨立事件；（4）若，，，則為相互獨立事件；（5）若，，，則為相互獨立事件；其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
經(jīng)典題型三：相互獨立事件概率的計算
10．（2022·福建·模擬預(yù)測）投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲晉代在廣泛開展投壺活動中，對投壺的壺也有所改進，即在壺口兩旁增添兩耳因此在投壺的花式上就多了許多名目，如“貫耳(投入壺耳)”.每一局投壺，每一位參賽者各有四支箭，投入壺口一次得分.投入壺耳一次得分，現(xiàn)有甲?乙兩人進行投壺比賽(兩人投中壺口?壺耳是相互獨立的)，甲四支箭已投完，共得分，乙投完支箭，目前只得分，乙投中壺口的概率為，投中壺耳的概率為.四支箭投完，以得分多者贏請問乙贏得這局比賽的概率為（????）
A． B． C． D．
11．（2022·天津和平·二模）已知甲、乙兩人獨立出行，各租用共享單車一次（假定費用只可能為、、元）．甲、乙租車費用為元的概率分別是、，甲、乙租車費用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為（????）
A． B． C． D．
12．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））甲、乙兩名同學(xué)均打算高中畢業(yè)后去A，B，C三個景區(qū)中的一個景區(qū)旅游，甲乙去A，B，C三個景區(qū)旅游的概率分別如表：則甲、乙去不同景區(qū)旅游的概率為（????）

去A景區(qū)旅游
去B景區(qū)旅游
去C景區(qū)旅游
甲
0.4
0.2

乙

0.3
0.6
A．0.66 B．0.58 C．0.54 D．0.52
13．（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）某同學(xué)高考后參加國內(nèi)3所名牌大學(xué)A，B，C的“強基計劃”招生考試，已知該同學(xué)能通過這3所大學(xué)A，B，C招生考試的概率分別為x，y，，該同學(xué)能否通過這3所大學(xué)的招生考試相互獨立，且該同學(xué)恰好能通過其中2所大學(xué)招生考試的概率為，該同學(xué)恰好通過A，B兩所大學(xué)招生考試的概率最大值為（????）
A． B． C． D．
14．（2022·河南開封·三模（理））生物的性狀是由遺傳因子確定的，遺傳因子在體細胞內(nèi)成對存在，一個來自父本，一個來自母本，且等可能隨機組合.豌豆子葉的顏色是由顯性因子D（表現(xiàn)為黃色），隱性因子d（表現(xiàn)為綠色）決定的，當(dāng)顯性因子與隱形因子結(jié)合時，表現(xiàn)顯性因子的性狀，即DD，Dd都表現(xiàn)為黃色；當(dāng)兩個隱形因子結(jié)合時，才表現(xiàn)隱形因子的性狀，即dd表現(xiàn)為綠色.已知父本和母本確定子葉顏色的遺傳因子都是Dd，不考慮基因突變，從子一代中隨機選擇兩粒豌豆進行雜交，則選擇的豌豆的子葉都是黃色且子二代豌豆的子葉是綠色的概率為（????）
A． B． C． D．
15．（2022·廣東韶關(guān)·二模）某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1和元件2同時正常工作，或元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件正常工作的概率均為，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件正常工作的概率為（???）

A． B． C． D．
經(jīng)典題型四：相互獨立事件概率的綜合應(yīng)用
16．（2022·遼寧鞍山·一模）北京時間2022年7月25日3時13分，問天實驗艙成功對接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時03分，神舟十四號航天員乘組成功開啟問天實驗艙艙門，順利進入問天實驗艙.8月，中國空間站第2個實驗艙段——夢天實驗艙已運抵文昌航天發(fā)射場，計劃10月發(fā)射.中國空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務(wù)，成為長期有人照料的國家級太空實驗室，支持開展大規(guī)模、多學(xué)科交叉的空間科學(xué)實驗.為普及空間站相關(guān)知識，某部門門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程，全部結(jié)束后提交評委測試，若其中2個及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.
(1)求乙闖關(guān)成功的概率；
(2)求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.




17．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））產(chǎn)品開發(fā)是企業(yè)改進老產(chǎn)品?開發(fā)新產(chǎn)品，使其具有新的特征或用途，以滿足市場需求的流程.某企業(yè)開發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進入到樣品試制階段，需要對5個樣品進行性能測試，現(xiàn)有甲?乙兩種不同的測試方案，每個樣品隨機選擇其中的一種進行測試，已知選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每次測試的結(jié)果互不影響.
(1)若3個樣品選擇甲方案，2個樣品選擇乙方案.
（i）求5個樣品全部測試合格的概率；
（ii）求4個樣品測試合格的概率.
(2)若測試合格的樣品個數(shù)的期望不小于3，求選擇甲方案進行測試的樣品個數(shù).




18．（2022·江西九江·三模（理））電子競技（Electronic???Sports）是電子游戲比賽達到“競技”層面的體育項目，其利用電子設(shè)備作為運動器械進行的、人與人之間的智力和體力結(jié)合的比拼.電子競技可以鍛煉和提高參與者的思維能力、反應(yīng)能力、四肢協(xié)調(diào)能力和意志力，培養(yǎng)團隊精神.第19屆亞運會將于2022年9月10日至25日在浙江杭州舉行，本屆亞運會增設(shè)電子競技競賽項目，比賽采取“雙敗淘汰制”.以一個4支戰(zhàn)隊參加的“雙敗淘汰制”為例，規(guī)則如下：
首輪比賽：抽簽決定4支戰(zhàn)隊兩兩對陣，共兩場比賽.根據(jù)比賽結(jié)果（每場比賽只有勝、敗兩種結(jié)果），兩支獲勝戰(zhàn)隊進入勝者組，另外兩支戰(zhàn)隊進入敗者組；
第二輪比賽：敗者組兩支戰(zhàn)隊進行比賽，并淘汰1支戰(zhàn)隊（該戰(zhàn)隊獲得殿軍）；勝者組兩支戰(zhàn)隊進行比賽，獲勝戰(zhàn)隊進入總決賽，失敗戰(zhàn)隊進入敗者組；
第三輪比賽：上一輪比賽中敗者組的獲勝戰(zhàn)隊與勝者組的失敗戰(zhàn)隊進行比賽，并淘汰1支戰(zhàn)隊（該戰(zhàn)隊獲得季軍）；
第四輪比賽：剩下的兩支戰(zhàn)隊進行總決賽，獲勝戰(zhàn)隊獲得冠軍，失敗戰(zhàn)隊獲得亞軍.
現(xiàn)有包括戰(zhàn)隊在內(nèi)的4支戰(zhàn)隊參加比賽，采用“雙敗淘汰制”.已知戰(zhàn)隊每場比賽獲勝的概率為，且各場比賽互不影響.
(1)估計戰(zhàn)隊獲得冠軍的概率；
(2)某公司是戰(zhàn)隊的贊助商之一，賽前提出了兩種獎勵方案：
方案1：獲得冠軍則獎勵24萬元，獲得亞軍或季軍則獎勵15萬元，獲得殿軍則不獎勵；
方案2：獲得冠軍則獎勵（其中以全勝的戰(zhàn)績獲得冠軍獎勵40萬元，否則獎勵30萬元），其他情況不獎勵.
請以獲獎金額的期望為依據(jù)，選擇獎勵方案，并說明理由.




19．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計學(xué)家德梅赫（Demere）向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡（B．Pascal）提出了一個問題，帕斯卡和費馬（Fermat）討論了這個問題，后來惠更斯（C．Huygens）也加入了討論，這三位當(dāng)時全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答．該問題如下：設(shè)兩名運動員約定誰先贏(，)局，誰便贏得全部獎金元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立．在甲贏了局，乙贏了局時，比賽意外終止．獎金該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．
(1)規(guī)定如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．若，，，，求．
(2)記事件為“比賽繼續(xù)進行下去乙贏得全部獎金”，試求當(dāng)，，時比賽繼續(xù)進行下去甲贏得全部獎金的概率，并判斷當(dāng)時，事件是否為小概率事件，并說明理由．規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機事件為小概率事件．




20．（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）某工廠對一批零件進行質(zhì)量檢測，具體檢測方案是：從這批零件中任取10件逐一進行檢測，當(dāng)檢測到2件不合格零件時，停止檢測，此批零件未通過，否則檢測通過.設(shè)每件零件為合格零件的概率為p，且每件零件是否合格是相互獨立的.
(1)已知，若此批零件檢測未通過，求恰好檢測5次的概率；
(2)已知每件零件的生產(chǎn)成本為80元，合格零件的售價為每件150元.現(xiàn)對不合格零件進行修復(fù)，修復(fù)后按正常零件進行銷售，修復(fù)后不合格零件以每件10元按廢品處理.若每件零件修復(fù)的費用為每件20元，每件不合格的零件修復(fù)為合格零件的概率為工廠希望每件零件可獲利至少60元.求每件零件為合格零件的概率p的最小值？
經(jīng)典題型五：全概率公式及其應(yīng)用
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“送出一本書，共圓讀書夢”，某校組織為偏遠鄉(xiāng)村小學(xué)送書籍的志愿活動，運送的卡車共裝有10個紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學(xué)書、3箱語文書．到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下9箱中任意打開2箱都是英語書的概率為（????）
A． B． C． D．
22．（2022·黑龍江·綏芬河市高級中學(xué)高三階段練習(xí)）某射擊小組共有25名射手，其中一級射手5人，二級射手10人，三級射手10人，若一、二、三級射手能通過選拔進入比賽的概率分別是0.9，0.8，0.4，則任選一名射手能通過選拔進入比賽的概率為（????）
A．0.48 B．0.66 C．0.70 D．0.75
23．（2022·山東濰坊·高三階段練習(xí)）某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為，現(xiàn)用甲胎蛋白法進行普查，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有肝癌的人其化驗結(jié)果呈陽性，而沒有患肝癌的人其化驗結(jié)果呈陽性，現(xiàn)在某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患肝癌的概率是（????）
A． B． C． D．
24．（2022·全國·模擬預(yù)測）書架上放有本語文書和本數(shù)學(xué)書，學(xué)生甲先隨機取走本書，學(xué)生乙再在剩下的書中隨機取走本書．已知甲至少取走了本數(shù)學(xué)書，則乙取走語文書的概率為__________．
25．（2022·黑龍江·牡丹江市第二高級中學(xué)高三階段練習(xí)）一道考題有4個答案，要求學(xué)生將其中的一個正確答案選擇出來.某考生知道正確答案的概率為，在亂猜時，4個答案都有機會被他選擇，若他答對了，則他確實知道正確答案的概率是__________.
經(jīng)典題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某人下午5：00下班，他所積累的資料如表所示
到家時間
5：35~5：39
5：40~5：44
5：45~5：49
5：50~5：54
晚于5：54
乘地鐵到家的概率
0.10
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽車到家的概率
0.30
0.35
0.20
0.10
0.05
某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，結(jié)果他是5：47到家的，則他是乘地鐵回家的概率為______．
27．（2022·山東青島·高三開學(xué)考試）北京時間年月日，歷時天的東京奧運會落下帷幕，中國代表團以金?銀?銅?打破項世界紀錄?創(chuàng)造項奧運會紀錄的傲人成績，順利收官.作為“夢之隊”的中國乒乓球隊在東京奧運會斬獲金銀的好成績，參賽的名選手全部登上領(lǐng)獎臺.我國是乒乓球生產(chǎn)大國，某廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的乒乓球，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為.為確保質(zhì)量，現(xiàn)在將兩批乒乓球混合，工作人員從中抽樣檢查·
（1）從混合的乒乓球中任取個.
（i）求這個乒乓球是合格品的概率；
（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率.
（2）從混合的乒乓球中有放回地連續(xù)抽取次，每次抽取個，記兩次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.




28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)某廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%，35%，40%，并且各車間的次品率依次為5%，4%，2%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，則此次品由三個車間生產(chǎn)的概率分別是多少？




29．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高三開學(xué)考試）某品牌汽車廠今年計劃生產(chǎn)10萬輛轎車，生產(chǎn)每輛轎車都需要安裝一個配件M，其中由本廠自主生產(chǎn)的配件M可以滿足20%的生產(chǎn)需要，其余的要向甲、乙兩個配件廠家訂購．已知本廠生產(chǎn)配件M的成本為500元/件，從甲、乙兩廠訂購配件M的成本分別為600元/件和800元/件，該汽車廠計劃將每輛轎車使用配件M的平均成本控制為640元/件．
(1)分別求該汽車廠需要從甲廠和乙廠訂購配件M的數(shù)量；
(2)已知甲廠、乙廠和本廠自主生產(chǎn)的配件M的次品率分別為4%，2%和1%，求該廠生產(chǎn)的一輛轎車使用的配件M是次品的概率；
(3)現(xiàn)有一輛轎車由于使用了次品配件M出現(xiàn)了質(zhì)量問題，需要返廠維修，維修費用為14 000元，若維修費用由甲廠、乙廠和本廠按照次品配件M來自各廠的概率的比例分擔(dān)，則它們各自應(yīng)該承擔(dān)的維修費用分別為多少？




經(jīng)典題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
30．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則（????）
A．事件與事件相互獨立 B．
C． D．
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02．加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1個零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1個零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率．




32．（2022·山西長治·高三階段練習(xí)）已知有一道有四個選項的單項選擇題和一道有四個選項的多項選擇題，小明知道每道多項選擇題均有兩個或三個正確選項．但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．這樣，小明在做多項選擇題時，可能選擇一個選項，也可能選擇兩個或三個選項，但不會選擇四個選項．
（i）；
（ii）的分布列及數(shù)學(xué)期望．




1．（2021·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（????）
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
2．（2020·天津·高考真題）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為_________．
甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，
所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.
故答案為：；.
3．（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
4．（2022·全國·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好
良好
病例組
40
60
對照組
10
90
(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為R．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．
附，

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828




5．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立．
（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計值記為，假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為，試比較與 的大小．（結(jié)論不要求證明）



6．（2020·全國·高考真題（理））甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.



7．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為____________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為____________
8．（2021·天津·高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為____________，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為______________．


經(jīng)典題型一：條件概率
1．【答案】D
【解析】設(shè)公司男、女員工的人數(shù)分別為和，
則男員工中，肥胖者有人，
女員工中，肥胖者有人，
設(shè)任選一名員工為肥胖者為事件，肥胖者為男性為事件，
則，，
則.
故選：D.
2．【答案】A
【解析】由題意可知：
表示在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，表示在事件B不發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，結(jié)合在一塊就是事件A發(fā)生的概率.
故選：A.
3．【答案】D
【解析】由題意得，所以A錯誤；
因為，
，所以，即，
故事件事件與事件B不相互獨立，所以B錯誤，D正確；
，所以C錯誤；
故選：D
4．【答案】D
【解析】由題可得，，，
所以．
故選：D
5．【解析】（1）在采摘的水仙花球莖中，任取一顆是由甲工作隊采摘的概率是.
依題意，的所有取值為0，1，2，3，且，
所以，，
即，，，，
所以的分布列為：

0
1
2
3





所以.
（2）用，，分別表示水仙花球莖由甲，乙，丙工作隊采摘，表示采摘的水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，
則，，，
且，
故
，
所以.
即采摘出的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，它是由丙工作隊所采摘的概率為.
經(jīng)典題型二：相互獨立事件的判斷
6．【答案】C
【解析】將甲、乙在內(nèi)5名醫(yī)生派往①，②，③，④四個醫(yī)院，每個醫(yī)院至少派1名醫(yī)生有個基本事件，它們等可能．
事件A含有的基本事件數(shù)為，則，同理，
事件AB含有的基本事件數(shù)為，則
事件AC含有的基本事件數(shù)為，則
，
即事件A與B相互不獨立，事件A與C相互不獨立，故A、B不正確；
，，
故選：C．
7．【答案】C
【解析】由題意得，，，
∵，∴事件A和事件B不相互獨立，．
故選：C．
8．【答案】D
【解析】將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①，②，③三個村莊義診的試驗有個基本事件，它們等可能，
事件A含有的基本事件數(shù)為，則，同理，
事件AB含有的基本事件數(shù)為，則，事件AC含有的基本事件數(shù)為，則，
對于A，，即事件A與B相互不獨立，A不正確；
對于B，，即事件A與C相互不獨立，B不正確；
對于C，，C不正確；
對于D，，D正確.
故選：D
9．【答案】D
【解析】若為互斥事件，且，
則 ，
故（1）正確；
若
則由相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，
故（2）正確；
若，
則
由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，
故（3）正確；
若 ，
當(dāng)為相互獨立事件時，
故（4）錯誤；
若
則
由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，
故（5）正確.
故選D.
經(jīng)典題型三：相互獨立事件概率的計算
10．【答案】A
【解析】由題意，若乙要贏得這局比賽，按照乙第三支箭的情況可分為兩類：
（1）第三支箭投中壺口，第四支箭必須投入表耳，其概率為；
（2）第三支箭投入壺耳，第四支箭投入壺口?壺耳均可，其概率為，
所以乙贏得這局比賽的概率為.
故選：A.
11．【答案】B
【解析】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是，
∴甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為
．
故選：B．
12．【答案】A
【解析】由題可得甲乙去A，B，C三個景區(qū)旅游的概率分別如表：

去A景區(qū)旅游
去B景區(qū)旅游
去C景區(qū)旅游
甲
0.4
0.2
0.4
乙
0.1
0.3
0.6
故甲、乙去同一景區(qū)旅游的概率為，
故甲、乙去不同景區(qū)旅游的概率為.
故選：A.
13．【答案】D
【解析】由題意
，恰好通過兩所大學(xué)招生考試的概率最大值為，
故選：D．
14．【答案】B
【解析】因為子一代中遺傳因子為，取兩粒葉子為黃色的豌豆并要子二代是綠色，
所以子一代父本、母本只能取型基因，取出兩粒都是滿足題意的子一代豌豆概率為，
因為子二代葉子是綠色的，故基因為，所占概率為，
所以由相互獨立事件同時發(fā)生的概率為.
故選：B
15．【答案】D
【解析】討論元件3正常與不正常，
第一類，元件3正常，上部分正?；虿徽６疾挥绊懺摬考９ぷ?，則正常工作的概率為．
第二類，元件3不正常，上部分必須正常，則正常工作的概率為，
故概率為．
故選：D．
經(jīng)典題型四：相互獨立事件概率的綜合應(yīng)用
16．【解析】（1）乙正確完成2個程序或者3個程序則闖關(guān)成功，記乙闖關(guān)成功為事件A，則.
（2）由題意知隨機變量X所有可能取值為0，1，2，3，
，，，，
故X的分布列為
X
0
1
2
3
P




所以.
所以甲闖關(guān)成功的概率為，因為，所以甲比乙闖關(guān)成功的可能性大.
17．【解析】（1）（i）因為3個樣品選擇甲方案, 2個樣品選擇乙方案,
所以5個樣品全部測試合格的概率為
（ii）4個樣品測試合格分兩種情況,
第一種情況, 3個樣品甲方案測試合格和1個樣品乙方案測試合格,
此時概率為
第二種情況, 2個樣品甲方案測試合格和2個樣品乙方案測試合格,
此時概率為
所以 4 個樣品測試合格的概率為
（2）設(shè)選擇甲方案測試的樣品個數(shù)為, 則選擇乙方案測試的樣品個數(shù)為,并設(shè)通過甲方案測試合格的樣品個數(shù)為, 通過乙方案測試合格的樣品個數(shù)為,
當(dāng)時, 此時所有樣品均選擇方案乙測試, 則,
所以, 不符合題意;
當(dāng)時, 此時所有樣品均選擇方案甲測試, 則
所以,符合題意;
當(dāng)時, ,
所以
若使, , 則,
由于, 故時符合題意,
綜上, 選擇甲方案測試的樣品個數(shù)為 3,4 或者5時, 測試合格的樣品個數(shù)的期望不小于3 .
18．【解析】(1)由題意可知，戰(zhàn)隊獲得冠軍有以下3種可能情況：
①“勝勝勝”概率為
②“敗勝勝勝”概率為
③“勝敗勝勝”概率為
則戰(zhàn)隊獲得冠軍的概率為；
(2)戰(zhàn)隊獲得殿軍的情況是“敗敗”，故戰(zhàn)隊獲得殿軍的概率為，
則獲得亞軍或季軍的概率為，
設(shè)方案1中戰(zhàn)隊獲獎金額為，則其分布列為

24
15
0




若選擇方案1，則戰(zhàn)隊獲獎金額的期望為（萬元）
設(shè)方案2中戰(zhàn)隊獲獎金額為，則其分布列為

40
30
0




若選擇方案2，則戰(zhàn)隊獲獎金額的期望為（萬元）
∵，故選擇方案1、方案2均可.
19．【解析】(1)設(shè)比賽再繼續(xù)進行局甲贏得全部獎金，則，2．
，，
故，
從而．
(2)設(shè)比賽繼續(xù)進行局甲贏得全部獎金，則，3．
，，
故，即，
則，
當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增，從而，
所以，
故事件是小概率事件．
20．【答案】(1)
(2)
【分析】
若此批零件檢測未通過，恰好檢測5次，則第五次檢驗不合格，前四次有一次檢驗不合格，再結(jié)合二項分布的概率公式，即可求解．
由題意可得，合格產(chǎn)品利潤為70元，不合格產(chǎn)品修復(fù)合格后利潤為50元，不合格產(chǎn)品修復(fù)后不合格的利潤為元，則X可取70，50，，分別求出對應(yīng)的概率，即可得X的分布列，并結(jié)合期望公式，即可求解．
（1）記事件“此批零件檢測未通過，恰好檢測5次”則前4次有1次未通過，第5次未通過.
即恰好檢測5次未通過的概率為；
（2）由題意可得，合格產(chǎn)品利潤為70元，不合格產(chǎn)品修復(fù)合格后利潤為50元，不合格產(chǎn)品修復(fù)后不合格的利潤為元，
設(shè)每件零件可獲利X元，；50；
；；，
則，
?? 解得，
即：每件零件為合格零件的概率p的最小值為
經(jīng)典題型五：全概率公式及其應(yīng)用
21．【答案】A
【解析】設(shè)事件A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，事件表示丟失的一箱為分別表示英語書、數(shù)學(xué)書、語文書．由全概率公式得．
故選：A
22．【答案】B
【解析】設(shè)表示選到i級射手的事件，B表示任選一名射手能通過選拔進入比賽的事件，
則 ,
,
故任選一名射手能通過選拔進入比賽的概率為
,
故選：B
23．【答案】C
【解析】記事件某人患肝癌，事件化驗結(jié)果呈陽性，
由題意可知，，，
所以，，
現(xiàn)在某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患肝癌的概率是
.
故選：C.
24．【答案】
【解析】記2本語文書為，本數(shù)學(xué)書為，則甲至少取走了本數(shù)學(xué)書包含以下基本事件：共9個基本事件，
設(shè)“甲至少取走了本數(shù)學(xué)書的情況下甲取走i本數(shù)學(xué)書”為事件，“乙取走語文書”為事件，則事件包含共6個基本事件，
故
同理可得
則，
故答案為：
25．【答案】
【解析】設(shè)表示“考生答對”，表示“考生知道正確答案”，由全概率公式得
故
故答案為：.
經(jīng)典題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用
26．【答案】
【解析】設(shè)事件H表示“乘地鐵回家”，則事件表示“乘汽車回家”．
到家時間為5：47，屬于區(qū)間5：45~5：49，
設(shè)事件T表示“到家時間在5：45~5：49之間”，則所求概率為．
易知，，因為他是由擲硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，所以．
由貝葉斯公式得．
故答案為：
27．【解析】設(shè)事件“任取一個乒乓球是合格品”，事件“產(chǎn)品取自第一批”，事件“產(chǎn)品取自第二批”，則且互斥；
（1）（i）由全概率公式可知：，
所以；
（ii）由貝葉斯公式可知：；
（2）由條件可知：的可取值為，
，
，
，
所以的分布列為：








所以.
28．【解析】（1）取到次品的概率為
（2）若取到的是次品，則：
此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：.
此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為：.
此次品由丙車間生產(chǎn)的概率為：.
29．【解析】（1）設(shè)使用甲廠生產(chǎn)的配件M的比例為a，則使用乙廠生產(chǎn)的配件M的比例為0.8-a，
由已知可得，解得a＝0.5．
所以需要從甲廠訂購配件M的數(shù)量為100.5＝5萬個；
從乙廠訂購配件M的數(shù)量為＝3萬個．
（2）由（1）知甲廠、乙廠和本廠自主生產(chǎn)的配件M的比例分別為0.5，0.3，0.2，
所以該汽車廠使用的配件M的次品率的估計值為
，
所以該廠生產(chǎn)的一輛轎車使用的配件M是次品的概率為0.028．
（3）設(shè)A＝“該轎車使用了次品配件”，“配件M來自甲廠”，“配件M來自乙廠”，“配件M來自本廠”．由（2）可知 ．
該次品配件M來自甲廠的概率為： ，
該次品配件M來自乙廠的概率為： ，
該次品配件M來自本廠的概率為： ，
所以甲廠應(yīng)承擔(dān)的費用為元，
乙廠應(yīng)承擔(dān)的費用為元，
本廠應(yīng)承擔(dān)的費用為元．
經(jīng)典題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
30．【答案】BD
【解析】由題意知：，，，，，，
，D正確；
，B正確；
，C錯誤；
，，
，事件與事件不相互獨立，A錯誤.
故選：BD.
31．【解析】（1）設(shè)表示“第i臺機床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出現(xiàn)廢品”；C表示“出現(xiàn)合格品”．

．
（2）
．
32．【解析】（1）記事件A為“題目答對了”，事件B為“知道正確答案”，則由全概率公式：，所求概率為.
（2）設(shè)事件表示小明選擇了個選項，，表示選到的選項都是正確的.
則，，.
（i）；
（ii）隨機變量的分布列為

0
2
5




.




1．【答案】B
【解析】 ，


故選：B
2．【答案】???? ????
【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，
且兩球是否落入盒子互不影響，
所以甲、乙都落入盒子的概率為，
甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，
所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.
故答案為：；.
3．【解析】（1）平均年齡
????（歲）．
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：
,
則由條件概率公式可得
從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．
4．【解析】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.
（2）(i)因為，
所以
所以，
(ii) 由已知，，
又，，
所以
5．【解析】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，
該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一，（2）僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;
（Ⅲ）
6．【解析】（1）記事件甲連勝四場，則；
（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，
則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為
，
所以，需要進行第五場比賽的概率為；
（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，
記事件甲贏，記事件丙贏，
則甲贏的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲贏的概率為.
由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，
所以丙贏的概率為.
7．【答案】???? ????
【解析】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,
則.
故答案為：；.
8．【答案】???? ????
【解析】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為；
則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為.
故答案為：；.


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2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)四十三講40 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式（七大經(jīng)典題型）（原卷附答案）
考向40 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式（七大經(jīng)典題型）

考向40 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式（七大經(jīng)典題型）
【備戰(zhàn)2023高考】數(shù)學(xué)專題講與練-考向40《事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式》（七大經(jīng)典題型）全能練（新高考地區(qū)專用）

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第06講 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式 (精講）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）

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