了解二次根式的概念
理解二次根式有意義的條件，會求二次根式的被開方數(shù)中所含字母的取值范圍。
掌握二次根式的性質，能利用二次根式的性質進行化簡
【知識點梳理】
知識點1：二次根式
二次根式的概念
一般地，我們把形如 的式子的式子叫做二次根式，稱為 稱為二次根號．
二次根式滿足條件：
必須含有二次根號
被開方數(shù)必須是非負數(shù)
如都是二次根式。
知識點2：二次根式有無意義的條件
知識點3：二次根式的性質
1.的性質
2.的性質
3.的性質
【典例分析】
【考點1：二次根式概念】
【典例1】（2022秋?景德鎮(zhèn)期中）已知是二次根式，則x的值可以為（ ）
A．﹣2B．﹣12C．±1D．π
【變式1-1】（2022秋?云巖區(qū)月考）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022秋?新蔡縣校級月考）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022春?宜城市期末）在式子，，，x+y中，二次根式有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【典例2】（2022春?昭陽區(qū)校級月考）若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【變式2-1】（2022春?朝陽區(qū)期末）若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（ ）
A．3B．7C．9D．63
【變式2-2】（2022?南京模擬）若是整數(shù)，則a能取的最小整數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考點2：二次根式有無意義的條件】
【典例3】（2021秋?潮南區(qū)期末）若式子在實數(shù)范圍內有意義，則a的取值范圍是（ ）
A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞2
【變式3-1】（2022?大理州二模）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x≥0B．x≥5C．x≥﹣5D．x≤5
【變式3-2】（2021秋?寧安市期末）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍為（ ）
A．x≥0且x≠2B．x≥0C．x≠0D．x＞0且x≠2
【考點3：二次根式性質】
【典例3-1】（2022春?廣陵區(qū)期末）化簡二次根式﹣的結果為（ ）
A．2aB．﹣2C．2aD．﹣2a
【典例3-2】（2022春?蘭山區(qū)期末）下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【變式3-1】（2022春?無棣縣期末）下列等式正確的是（ ）
A．＝﹣2B．＝±9C．＝﹣2D．＝﹣5
【變式3-2】（2022春?新市區(qū)校級期末）下列各式中，正確的是（ ）
A．B．﹣C．D．
【變式3-3】（2022?山海關區(qū)一模）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的位置如圖所示，化簡的結果是（ ）
A．2b﹣aB．a+2bC．﹣aD．a
【典例4】（2022春?冠縣期末）當x＞2時，＝（ ）
A．2﹣xB．x﹣2C．2+xD．±（x﹣2）
【變式4】（2021秋?石鼓區(qū)期末）若a＜0，則化簡|a﹣3|﹣的結果為（ ）
A．3﹣2aB．3C．﹣3D．2a﹣3
【典例5】（2022春?德城區(qū)校級期中）若＝3﹣x成立，則x滿足得條件（ ）
A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3
【變式5-1】（2022?南京模擬）若成立，則x滿足的條件是（ ）
A．x＞2B．x＜﹣2C．x≥﹣2D．x≤﹣2
【變式5-2】（2022春?廣陽區(qū)校級期末）當1＜a＜2時，代數(shù)式+的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2a﹣3D．3﹣2a
【變式5-3】（2022春?秭歸縣期中）若1≤x≤4，化簡|1﹣x|﹣的結果為（ ）
A．3B．2x﹣5C．﹣3D．5﹣2x
【典例6】（2022春?宜秀區(qū)校級月考）已知|2020﹣a|+＝a，則4a﹣40402的值為（ ）
A．8084B．6063C．4042D．2021
【變式6-1】（2022?南京模擬）已知，則（x+y）2000（x﹣y）2001的值為（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【變式6-2】（2022秋?南湖區(qū)校級期中）已知y＝++4，yx的平方根是（ ）
A．16B．8C．±4D．±2
條件
字母表示
二次根式有意義
被開方數(shù)為非負數(shù)
二次根式無意義
被開方數(shù)為負數(shù)
符號語言
文字語言
一個非負數(shù)的算數(shù)平方根是非負數(shù)
提示
有最小值，為0
符號語言
應用
正用：
逆用：若a≥0，則
提示
逆用可以再實數(shù)范圍內分解因式：如
符號語言
a（a＞0）
0（a=0)
-a(a＜0）
文字語言
任意一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值
應用
正用：
逆用：
專題1.1 二次根式（知識解讀）
【學習目標】
了解二次根式的概念
理解二次根式有意義的條件，會求二次根式的被開方數(shù)中所含字母的取值范圍。
掌握二次根式的性質，能利用二次根式的性質進行化簡
【知識點梳理】
知識點1：二次根式
二次根式的概念
一般地，我們把形如 的式子的式子叫做二次根式，稱為 稱為二次根號．
二次根式滿足條件：
必須含有二次根號
被開方數(shù)必須是非負數(shù)
如都是二次根式。
知識點2：二次根式有無意義的條件
知識點3：二次根式的性質
1.的性質
2.的性質
3.的性質
【典例分析】
【考點1：二次根式概念】
【典例1】（2022秋?景德鎮(zhèn)期中）已知是二次根式，則x的值可以為（ ）
A．﹣2B．﹣12C．±1D．π
【答案】D
【解答】解：∵x≥0，
∴x的值可以為π，
故選：D．
【變式1-1】（2022秋?云巖區(qū)月考）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A、當x＜0時，二次根式無意義，故選項A一定是二次根式，選項A不符合題意；
B、是二次根式，故選項B符合題意；
C、當x+2＜0時，此時二次根式無意義，故選項C不一定是二次根式，選項C不符合題意；
D、﹣2＜0，二次根式無意義，故選項D一定不是二次根式，選項D不符合題意；
故選：B．
【變式1-2】（2022秋?新蔡縣校級月考）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A．當a＜0時，無意義，故此選項不合題意；
B．是二次根式，故此選項符合題意；
C．是三次根式，故此選項不合題意；
D．的被開方數(shù)是負數(shù)，該式子無意義，故此選項不合題意；
故選：B．
【變式1-3】（2022春?宜城市期末）在式子，，，x+y中，二次根式有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【解答】解：在式子，，，x+y中，二次根式有，，
共有2個，
故選：B．
【典例2】（2022春?昭陽區(qū)校級月考）若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解答】解：∵＝4，
∴正整數(shù)n的最小值是：5．
故選：D．
【變式2-1】（2022春?朝陽區(qū)期末）若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（ ）
A．3B．7C．9D．63
【答案】B
【解答】解：∵＝3，，且是整數(shù)；
∴3是整數(shù)，即7n是完全平方數(shù)；
∴n的最小正整數(shù)值為7．
故選：B．
【變式2-2】（2022?南京模擬）若是整數(shù)，則a能取的最小整數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解答】解：∵成立，
∴4a+1≥0，
解得，
又∵是整數(shù)，
∴a能取的最小整數(shù)為0，
故選：A．
【考點2：二次根式有無意義的條件】
【典例3】（2021秋?潮南區(qū)期末）若式子在實數(shù)范圍內有意義，則a的取值范圍是（ ）
A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞2
【答案】C
【解答】解：根據(jù)題意，得a+1≥0且a﹣2≠0．
解得a≥﹣1且a≠2．
故選：A．故選：C．
【變式3-1】（2022?大理州二模）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x≥0B．x≥5C．x≥﹣5D．x≤5
【答案】B
【解答】解：∵x﹣5≥0，
∴x≥5．
故選：B．
【變式3-2】（2021秋?寧安市期末）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍為（ ）
A．x≥0且x≠2B．x≥0C．x≠0D．x＞0且x≠2
【答案】A
【解答】解：由題意得：3x≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥0且x≠2
【考點3：二次根式性質】
【典例3-1】（2022春?廣陵區(qū)期末）化簡二次根式﹣的結果為（ ）
A．2aB．﹣2C．2aD．﹣2a
【答案】D
【解答】解：∵8a3≥0，
∴a≥0
∴﹣＝﹣＝﹣2a，
故選：D．
【典例3-2】（2022春?蘭山區(qū)期末）下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：因為：＝|a|，
所以：＝2，＝2，
故選：D．
【變式3-1】（2022春?無棣縣期末）下列等式正確的是（ ）
A．＝﹣2B．＝±9C．＝﹣2D．＝﹣5
【答案】C
【解答】解：CA、＝2，故A不符合題意；
B、＝9，故B不符合題意；
C、＝﹣2，故C符合題意；
D、無意義，故D不符合題意；
故選：C．
【變式3-2】（2022春?新市區(qū)校級期末）下列各式中，正確的是（ ）
A．B．﹣C．D．
【答案】B
【解答】解：∵＝|﹣3|＝3，
∴A選項的結論不正確；
∵﹣＝﹣3，
∴B選項的結論正確；
∵＝|﹣3|＝3，
∴C選項的結論不正確；
∵＝3，
∴D選項的結論不正確，
故選：B．
【變式3-3】（2022?山海關區(qū)一模）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的位置如圖所示，化簡的結果是（ ）
A．2b﹣aB．a+2bC．﹣aD．a
【答案】B
【解答】解：由數(shù)軸可知：b＜0＜a，|a|＞|b|，
∴a+b＞0，
∴原式＝（a+b）﹣（﹣b）
＝b+a+b
＝a+2b，
故選：B．
【典例4】（2022春?冠縣期末）當x＞2時，＝（ ）
A．2﹣xB．x﹣2C．2+xD．±（x﹣2）
【答案】B
【解答】解：由題意可知：2﹣x＜0，
∴原式＝|2﹣x|
＝﹣（2﹣x）
＝﹣2+x，
故選：B．
【變式4】（2021秋?石鼓區(qū)期末）若a＜0，則化簡|a﹣3|﹣的結果為（ ）
A．3﹣2aB．3C．﹣3D．2a﹣3
【答案】B
【解答】解：∵a＜0，
∴a﹣3＜0，
∴|a﹣3|﹣
＝3﹣a﹣（﹣a）
＝3﹣a+a
＝3，
故選：B．
【典例5】（2022春?德城區(qū)校級期中）若＝3﹣x成立，則x滿足得條件（ ）
A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3
【答案】B
【解答】解：∵＝|3﹣x|＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，解得x≤3．
故選：B．
【變式5-1】（2022?南京模擬）若成立，則x滿足的條件是（ ）
A．x＞2B．x＜﹣2C．x≥﹣2D．x≤﹣2
【答案】D
【解答】解：∵，
∴2+x≤0，
解得x≤﹣2，
故選：D．
【變式5-2】（2022春?廣陽區(qū)校級期末）當1＜a＜2時，代數(shù)式+的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2a﹣3D．3﹣2a
【答案】A
【解答】解：∵1＜a＜2，
∴a﹣2＜0，a﹣1＞0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣1|
＝2﹣a+a﹣1
＝1．
故選：A．
【變式5-3】（2022春?秭歸縣期中）若1≤x≤4，化簡|1﹣x|﹣的結果為（ ）
A．3B．2x﹣5C．﹣3D．5﹣2x
【答案】B
【解答】解：∵1≤x≤4，
∴|1﹣x|﹣
＝x﹣1﹣（4﹣x）
＝2x﹣5．
故選：B
【典例6】（2022春?宜秀區(qū)校級月考）已知|2020﹣a|+＝a，則4a﹣40402的值為（ ）
A．8084B．6063C．4042D．2021
【答案】A
【解答】解：由題意得，a﹣2021≥0，
解得，a≥2021，
原式變形為：a﹣2020+＝a，
則＝2020，
∴a﹣2021＝20202，
∴4a＝4×20202+8084，
∴4a﹣40402＝40402+8084﹣40402＝8084，
故選：A．
【變式6-1】（2022?南京模擬）已知，則（x+y）2000（x﹣y）2001的值為（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【答案】B
【解答】解：∵，
∴x＝2，y＝﹣，
則（x+y）2000（x﹣y）2001＝（2﹣）2000×（2+）2001
＝[（2+）×（2﹣）]2000×（2+）
＝（4﹣3）2000×（2+）
＝1×（2+）
＝2+．
故選：B．
【變式6-2】（2022秋?南湖區(qū)校級期中）已知y＝++4，yx的平方根是（ ）
A．16B．8C．±4D．±2
【答案】C
【解答】解：∵y＝++4，
∴，
解得x＝2，
∴y＝4，
∴yx＝42＝16．
∴yx的平方根是±4．
故選：C．
條件
字母表示
二次根式有意義
被開方數(shù)為非負數(shù)
二次根式無意義
被開方數(shù)為負數(shù)
符號語言
文字語言
一個非負數(shù)的算數(shù)平方根是非負數(shù)
提示
有最小值，為0
符號語言
應用
正用：
逆用：若a≥0，則
提示
逆用可以再實數(shù)范圍內分解因式：如
符號語言
a（a＞0）
0（a=0)
-a(a＜0）
文字語言
任意一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值
應用
正用：
逆用：

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1.1 二次根式

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