本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.
★祝考試順利★
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考號填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將考號條形碼貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用像皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.答在試題卷?草稿紙上無效.
3.非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆將答案直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).答在試題卷?草稿紙上無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
2.2.某公司在職員工有1200人，其中銷售人員有400人，研發(fā)人員有600人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)加樣的方法抽取120人進(jìn)行調(diào)研，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多（ ）
A.20 B.30 C.40 D.50
3.設(shè)是三條不同的直線，是兩個不同的平面.下列命題正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若.則或
4.函數(shù)是（ ）
A.周期為的偶函數(shù) B.周期為的偶函數(shù)
C.周期為的奇函數(shù) D.周期為的奇函數(shù)
5.在一個港口，有一艘船以每小時30海里的速度向正東方向行駛，在某時觀測到在該船北偏東75°方向上有一座燈塔A，2小時后，燈塔A在該船的東北方向上，該船繼續(xù)向正東方向行駛足夠長時間，則該船與燈塔A之間的最短距離是（ ）
A.海里 B.海里
C.海里 D.海里
6.已知某圓柱的斬截面是正方形，且上?下底面圓周上的所有點(diǎn)都在球的表面上，則該圓柱的體積與球的體積的比值是（ ）
A. B. C. D.
7.我國唐代僧人一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即.對同一“表高”測量兩次，第一次和第二次的太陽天頂距分別為.若第一次的“晷影長”是“表高”的2倍，第二次的“晷影長”是“表高”的7倍，則（ ）
A. B. C. D.
8.若向量是一組基底，向量，則稱為向量在其底下的坐標(biāo).如圖，某人仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小的平行四邊形拼成一個大平行四邊形，其中分別是的中點(diǎn).已知向量分別是與向量同向的單位向量，且向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.某商場評選金牌銷售員，現(xiàn)將該商場所有銷售員某月的銷售額進(jìn)行整理，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則（ ）
A.該商場有20名銷售員
B.該啇場這個月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為7萬元
C.該商場這個月有的銷售員的銷售額超過7萬元
D.該商場這個月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是8.5萬元
10.已知函數(shù)，則（ ）
A.的最小正周期為
B.的圖象關(guān)于直線對稱
C.不等式的解集是
D.將的圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
11.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.若是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是
B.若為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為
C.若為線段上的動點(diǎn)，則平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為
D.若為線段上的動點(diǎn)，且與平面交于點(diǎn)，則三棱錐的體積為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，且.則__________.
13.如圖，均為圓上的動點(diǎn)（可重合），為圓心，已知該圓的半徑為1，則的取值范圍是__________.
14.如圖，在邊長為2的正方形中，分別為邊上的點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.若的周長為4，則的最大值是__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
某中學(xué)地理組教師團(tuán)隊(duì)研發(fā)了《聽歌曲學(xué)地理》校本課程并對高一年級共1200名學(xué)生進(jìn)行了授課，授課結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了知識測驗(yàn)，從所有答卷中隨機(jī)抽取了100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于50分的整數(shù)）整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求的值；
（2）估計(jì)樣本成績的中位數(shù)（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）；
（3）若測驗(yàn)成績不低于80分的同學(xué)被定義為“地理愛好者”.試估計(jì)全年級“地理愛好者”的人數(shù).
16.（15分）
如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，是等邊三角形.平面平面分別棱的中點(diǎn).
（1）證明：平面平面.
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
17.（15分）
已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）求的解析式；
（2）在銳角中，角所對的邊分別為，且，求面積的取值范圍.
18.（17分）
如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.
（1）證明：平面.
（2）茬，求二面角的正切值.
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在.請說明理由.
19.（17分）
點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上（點(diǎn)與兩點(diǎn)均不重合），我們稱如下操作為“由點(diǎn)對施以視角運(yùn)第”：若點(diǎn)在線段上，記；若點(diǎn)在線段外，記.
（1）若在正方體的棱的延長線上，且，由對施以視角運(yùn)算，求的值；
（2）若在正方體的棱上，且，由對施以視角運(yùn)算，得到，求的值；
（3）若是的邊的等分點(diǎn)，由對施以視角運(yùn)算，證明：.
十堰市2023—2024學(xué)年度下學(xué)期期末調(diào)研考試
高一數(shù)學(xué)參考答案
1.B 因?yàn)椋?
2.A 由題意可得被抽到的研發(fā)人員有人，銷售人員有人，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多.
3.C 若，則或A錯誤.若，則或異面，B錯誤.若，則，C正確.若，則與的位置關(guān)系不確定，D錯誤.
4.A 因?yàn)?，所以，所以，則是偶函數(shù).因?yàn)?，，所以是周期為的偶函?shù).
5.D 設(shè)該船的初始位置為小時后的位置為，過作，垂足為（圖略），則為所求的最短距離.由題意可知海里，則.在中，由正弦定理可得，則海里.在中，海里，則海里.
6.D 設(shè)該圓柱的底面圓半徑為，高為，則.設(shè)球的半徑為，則.由圓柱的體積公式可得.由球的體積公式可得，則.
7.C 由題意可知，則，故.因?yàn)?，且，所以，所?因?yàn)?，且，所以，所以，則.因?yàn)?，所?
8.B 由題意可得.因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以，所?br>，所以.因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為，所以，.因?yàn)?，所以在基底下的坐?biāo)是.
9.ACD 由統(tǒng)計(jì)圖可知該商場有20名銷售員，則A正確.該商場這個月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為萬元，則B錯誤.該商場這個月銷售額超過7萬元的銷售員有6人，占總?cè)藬?shù)的百分比為，則C正確.因?yàn)?，所以該商場這個月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是萬元，則D正確.
10.AC 因?yàn)?，所以的最小正周期為，則A正確.因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，則B錯誤.由，即，得，則，解得，即不等式的解集是，，故C正確.將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于點(diǎn)，1）中心對稱，則D錯誤.
11.ACD 由正方體的定義可知，則是異面直線與所成的角或補(bǔ)角.因?yàn)椋?，所以，則正確.將平面展開到平面（圖略），則，故錯誤.過點(diǎn)作，交于點(diǎn)（圖略），則為平面與平面的夾角.因?yàn)闉榫€段上的動點(diǎn)，所以為線段上的動點(diǎn)，所以，則C正確.設(shè)平面與平面的交線為，因?yàn)槠矫?，所以，則.因?yàn)榕c平面交于點(diǎn)，所以，所以，則三棱錐的體積為，故D正確.
12.3 設(shè)，且，則，所以，解得，故.
13. .
因?yàn)?，所?
14. 如圖，延長到點(diǎn)，使得，連接，易證，則，故.設(shè)，則.因?yàn)榈闹荛L為4，所以，所以.因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所?設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則.因?yàn)椋?，所以，所以，則的最大值是.
15.解：（1）由題意得，解得.
（2），中位數(shù)在這一組.
設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為，則，
解得，即樣本成績的中位數(shù)約為81.4.
（3）全年級“地理愛好者”約有人.
16.（1）證明：由三棱柱的定義可知.
因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，
所以四邊形是平行四邊形，則.
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?
因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?
因?yàn)槠矫?，且，所以平面平?
（2）解：作的延長線于點(diǎn)，連接.
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平?br>，所以平面，
則是直線與平面所成的角.
設(shè)，則.
因?yàn)椋?，則
因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，所?
由余弦定理可得.
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，則，
故，即直線與平面所成角的正弦值為.
17.解：（1）由圖可知，則，解得.
因?yàn)椋?
因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，
所以，解得.
因?yàn)?，所?
因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得.
故.
（2）由（1）可得，則.
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，則.
故的面積.
由正弦定理可得，則.
因?yàn)槭卿J角三角形，所以解得，
所以，所以，則，即.
故的面積.
18.（1）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?
因?yàn)槠矫?，且，所?br>平面.
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所?
因?yàn)椋?br>，所以.
因?yàn)槠矫?，且，所以平?br>.
（2）解：取棱的中點(diǎn)，連接，作，垂足為，連接.
因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.
由（1）可知平面，則平面.
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)槠矫?，且，所以平?
因?yàn)槠矫?，所以，則是二面角的平面角.
因?yàn)椋?
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所以，?
因?yàn)椋?
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫妫移矫?，所以?br>則.
（3）解：連接，交于點(diǎn)，連接，作，交于點(diǎn).
因?yàn)槠矫?，且平面平面，所?
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，即.
因?yàn)?，所以是的中點(diǎn).
因?yàn)椋?，所以?br>則，即.
19.（1）解：如圖1，
因?yàn)?，所?
由正方體的定義可知，則，
故，
.
因?yàn)?，所以?br>則.
（2）解：如圖2，設(shè)，
則.
因?yàn)?，所?br>，
則，解得，
故.
（3）證明：如圖3，
因?yàn)槭堑牡确贮c(diǎn)，所以
.
在中，由正弦定理可得，
則.
在中，同理可得.
因?yàn)?，所以?br>則.
同理可得.
故.

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