本試題卷共4頁，共19道題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
★祝考試順利★
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將考號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答在試題卷、草稿紙上無效。
3．非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆將答案直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試題卷、草稿紙上無效。
4．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，只交答題卡。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．某運(yùn)動(dòng)物體的位移（單位：米）關(guān)于時(shí)間（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式為，則該物體在秒時(shí)的瞬時(shí)速度為（ ）
A．9米/秒B．8米/秒C．7米/秒D．6米/秒
2．已知一系列樣本點(diǎn)的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，則（ ）
A．67B．68C．D．
3．已知某商品生產(chǎn)成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為，單價(jià)與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為，則利潤(rùn)最大時(shí)，（ ）
A．80B．90C．100D．110
4．3000的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．36B．45C．32D．54
5．已知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)隨機(jī)選擇一個(gè)有三個(gè)孩子的家庭，若已知該家庭有女孩，則三個(gè)小孩中恰好有兩個(gè)女孩的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知樣本數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位數(shù)為，第75百分位數(shù)為，從樣本數(shù)據(jù)
落在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，則所組成的三位數(shù)中能被3整除的個(gè)數(shù)為（ ）
A．54B．60C．64D．72
8．“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于同余的問題．用表示整數(shù)被整除，設(shè)且，若，則稱與對(duì)模同余，記為．已知，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．為普及航天知識(shí)，弘揚(yáng)航天精神，某學(xué)校舉辦了一次航天知識(shí)競(jìng)賽．統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，學(xué)生成績(jī)（滿分100分），其中不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，且優(yōu)秀率為．若從全校參與競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)選取5人，記選取的5人中優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為，則（ ）
A．估計(jì)知識(shí)競(jìng)賽的及格率為B．
C．D．
10．已知，且第5項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若有極小值，則
B．若在上單調(diào)遞增，則
C．對(duì)任意的存在唯一零點(diǎn)
D．若恒成立，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．隨機(jī)變量，則______________．
13．已知一系列樣本點(diǎn)滿足，，由最小二乘法得到與的回歸方程，現(xiàn)用決定系數(shù)來判斷擬合效果（越接近1，擬合效果越好），若，則______________．（參考公式：決定系數(shù)）
14．已知函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過高考招收飛行學(xué)生，報(bào)名的學(xué)生需參與預(yù)選初檢、體檢鑒定、飛行職業(yè)心理學(xué)檢測(cè)、背景調(diào)查、高考選拔共5項(xiàng)流程，其中前4項(xiàng)流程選拔均通過，則被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄?。畵?jù)統(tǒng)計(jì)，某校高三在校學(xué)生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名學(xué)生有民航招飛意向．
（1）完成以下列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別有關(guān)？
（2）若每名報(bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為，1，假設(shè)學(xué)生能否通過這4項(xiàng)流程相互獨(dú)立，估計(jì)該校高三學(xué)生被認(rèn)為有效招飛的人數(shù)．
附：．
16．（15分）
某地五一假期舉辦大型促銷活動(dòng)，匯聚了各大品牌新產(chǎn)品的展銷．現(xiàn)隨機(jī)抽取7個(gè)品牌產(chǎn)品，得到其促銷活動(dòng)經(jīng)費(fèi)（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下：
若將銷售額與促銷活動(dòng)經(jīng)費(fèi)的比值稱為促銷效率值，當(dāng)時(shí)，稱為“有效促銷”，當(dāng)時(shí)，稱為“過度促銷”．
（1）從這7個(gè)品牌中隨機(jī)抽取4個(gè)品牌，求取出的4個(gè)品牌中“有效促銷”的個(gè)數(shù)比“過度促銷”的個(gè)數(shù)多的概率；
（2）從這7個(gè)品牌中隨機(jī)抽取3個(gè)，記這3個(gè)品牌中“有效促銷”的個(gè)數(shù)為，求的分布列與期望．
17．（15分）
設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為．
（1）當(dāng)切線與直線平行時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值．
18．（17分）
為加深學(xué)生對(duì)新中國(guó)成立以來我國(guó)在經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技創(chuàng)新、精神文明建設(shè)等方面取得成就的了解，某學(xué)校高二年級(jí)組織舉辦了知識(shí)競(jìng)賽．選拔賽階段采用逐一答題的方式，每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3道題則進(jìn)入初賽，累計(jì)答錯(cuò)3道題則被淘汰．初賽階段參賽者每?jī)扇艘唤M進(jìn)行比賽，組織者隨機(jī)從準(zhǔn)備好的題目中抽取2道試題供兩位選手搶答，每位選手搶到每道試題的機(jī)會(huì)相等，得分規(guī)則如下：選手搶到試題且回答正確得10分，對(duì)方選手得0分，選手搶到試題但沒有回答正確得0分，對(duì)方選手得5分，2道試題搶答完畢后得分少者被淘汰，得分多者進(jìn)入決賽（若分?jǐn)?shù)相同，則同時(shí)進(jìn)入決賽）．
（1）已知選拔賽中選手甲答對(duì)每道試題的概率為，且回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求甲進(jìn)人初賽的概率；
（2）已知初賽中選手甲答對(duì)每道試題的概率為，對(duì)手答對(duì)每道試題的概率為，兩名選手回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求初賽中甲的得分的分布列與期望；
（3）進(jìn)入決賽后，每位選手回答4道試題，至少答對(duì)3道試題勝出，否則被淘汰，已知選手甲進(jìn)入決賽，且決賽中前3道試題每道試題被答對(duì)的概率都為，若甲4道試題全對(duì)的概率為，求甲能勝出的概率的最小值．
19．（17分）
已知函數(shù)．
（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的最大值；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）若存在且，使得，證明：．
十堰市2023—2024學(xué)年度下學(xué)期期末調(diào)研考試
高二數(shù)學(xué)參考答案
1．A 由，得，則物體在秒時(shí)的瞬時(shí)速度米秒．
2．D 由題意得，得．
3．B 設(shè)利潤(rùn)為，則．
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故利潤(rùn)最大時(shí)．
4．C 因?yàn)?，所?000的正因數(shù)為，其中，所以3000的不同正因數(shù)有個(gè)．
5．A 因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
令，得，所以直線與的圖象相切時(shí)的切點(diǎn)為，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
用表示女孩，表示男孩，則樣本空間．分別設(shè)“選擇的家庭中有女孩”和“選擇的家庭中三個(gè)小孩恰好有兩個(gè)女孩”為事件和事件，則．
7．C 由題意知，即從中各取一個(gè)數(shù)．
因?yàn)樗M成的三位數(shù)能被3整除，所以所取的三個(gè)數(shù)字可以為，
，
其中含0的每組可組成4個(gè)不同的三位數(shù)，不含0的每組可組成6個(gè)不同的三位數(shù)，所以共有個(gè)不同的三位數(shù)．
8．A 由二項(xiàng)式定理，得．
因?yàn)槟軌虮?整除，被7除余1，所以．因?yàn)?024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，所以．
9．ACD 因?yàn)椋?，所以，故A正確；
因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以C，D正確．
10．BD 因?yàn)榈?項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，則，
令，得，故A不正確；
令，得，所以，故B正確；
因?yàn)?，所以，故C不正確；
令，得，所以，
所以，故D正確．
11．BCD 對(duì)于A，，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，故A錯(cuò)誤．
對(duì)于B，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，
所以，即．
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故B正確．
對(duì)于C，令，則．
令，則，所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即存在唯一零點(diǎn)，故C正確．
對(duì)于D，由，得，
即．令，則．
因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以，所以，所以，故D正確．
12．3 因?yàn)?，所以，所以?br>13．0.96 因?yàn)椋?br>14． 因?yàn)?，所以，即?br>令，則．
令，則，所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
15．解：（1）列聯(lián)表如下：
零假設(shè)：該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別無關(guān)聯(lián)．
因?yàn)椋?br>所以假設(shè)成立，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別無關(guān)．
（2）因?yàn)槊棵麍?bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為，且能否通過相互獨(dú)立，
所以估計(jì)每名報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率．
因?yàn)樵撔Ｓ?00名學(xué)生有民航招飛意向，所以估計(jì)有人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)．
16．解：（1）由題知7個(gè)品牌中“有效促銷”有3個(gè)，“過度促銷”有2個(gè)．
設(shè)取出的4個(gè)品牌中“有效促銷”的個(gè)數(shù)比“過度促銷”的個(gè)數(shù)多為事件，
則．
（2）由題知，7個(gè)品牌中有3個(gè)品牌是“有效促銷”，的可能取值是0，1，2，3，
；
．
的分布列為
所以．
17．解：（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)榍芯€與直線平行，所以，
得．
（2）因?yàn)椋裕?br>所以切線方程為．
令，得；令，得．
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故．
18．解：（1）設(shè)為甲的答題數(shù)，則可能取3，4，5．
；
；
．
所以甲進(jìn)人初賽的概率為．
（2）可能取0，5，10，15，20．
；
；
；
；
．
的分布列為
所以．
（3）因?yàn)榧?道試題全對(duì)的概率為，所以第4道試題答對(duì)的概率為，
所以甲能勝出的概率，
即．
因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
19．（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立．
因?yàn)椋?，即?duì)恒成立．
因?yàn)?，所以，即?shí)數(shù)的最大值是2．
（2）解：．
①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，令，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（3）證明：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以．
要證，即證．
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只需證．
又因?yàn)?，所以只需證，
即證．
記，
則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
故成立．對(duì)民航招飛有意向
對(duì)民航招飛沒有意向
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
品牌代號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
促銷活動(dòng)經(jīng)費(fèi)
1
2
4
6
10
13
20
銷售額
12
20
44
40
56
60
82
對(duì)民航招飛有意向
對(duì)民航招飛沒有意向
合計(jì)
男生
100
500
600
女生
100
300
400
合計(jì)
200
800
1000
0
1
2
3
0
5
10
15
20

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