一、選擇題
1．已知復(fù)數(shù),則( )
A.B.C.D.
2．2.某公司在職員工有1200人,其中銷售人員有400人,研發(fā)人員有600人,現(xiàn)采用分層隨機(jī)加樣的方法抽取120人進(jìn)行調(diào)研,則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多( )
A.20B.30C.40D.50
3．設(shè)a,b,c是三條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面.下列命題正確的是( )
A.若,,則B.若,,則
C.若,,則D.若,.則或
4．函數(shù)是( )
A.周期為的偶函數(shù)B.周期為的偶函數(shù)
C.周期為的奇函數(shù)D.周期為的奇函數(shù)
5．在一個(gè)港口,有一艘船以每小時(shí)30海里的速度向正東方向行駛,在某時(shí)觀測到在該船北偏東75°方向上有一座燈塔A,2小時(shí)后,燈塔A在該船的東北方向上,該船繼續(xù)向正東方向行駛足夠長時(shí)間,則該船與燈塔A之間的最短距離是( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
6．已知某圓柱的斬截面是正方形,且上?下底面圓周上的所有點(diǎn)都在球的表面上,則該圓柱的體積與球O的體積的比值是( )
A.B.C.D.
7．我國唐代僧人一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距的對應(yīng)數(shù)表,這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知,晷影長l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距正切值的乘積,即.對同一“表高”測量兩次,第一次和第二次的太陽天頂距分別為,.若第一次的“晷影長”是“表高”的2倍,第二次的“晷影長”是“表高”的7倍,則( )
A.B.C.D.
8．若向量,是一組基底,向量,則稱為向量在其底,下的坐標(biāo).如圖,某人仿照趙爽弦圖,用四個(gè)三角形和一個(gè)小的平行四邊形拼成一個(gè)大平行四邊形,其中E,F,G,H分別是,,,的中點(diǎn).已知向量,分別是與向量同向的單位向量,且向量在基底下的坐標(biāo)為,則在基底下的坐標(biāo)是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．某商場評選金牌銷售員,現(xiàn)將該商場所有銷售員某月的銷售額進(jìn)行整理,得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖,則( )
A.該商場有20名銷售員
B.該啇場這個(gè)月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為7萬元
C.該商場這個(gè)月有的銷售員的銷售額超過7萬元
D.該商場這個(gè)月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是8.5萬元
10．已知函數(shù),則( )
A.的最小正周期為
B.的圖象關(guān)于直線對稱
C.不等式的解集是
D.將的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
11．在正方體中,,E是棱的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
A.若F是線段的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值是
B.若F為線段上的動點(diǎn),則的最小值為
C.若F為線段上的動點(diǎn),則平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為
D.若F為線段上的動點(diǎn),且與平面交于點(diǎn)G,則三棱錐的體積為
三、填空題
12．已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),且.則__________.
13．如圖,A,B均為圓上的動點(diǎn)（可重合）,O為圓心,已知該圓的半徑為1,則的取值范圍是____________.
14．如圖,在邊長為2的正方形中,E,F分別為邊,上的點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.若的周長為4,則的最大值是__________.
四、解答題
15．某中學(xué)地理組教師團(tuán)隊(duì)研發(fā)了《聽歌曲學(xué)地理》校本課程并對高一年級共1200名學(xué)生進(jìn)行了授課,授課結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了知識測驗(yàn),從所有答卷中隨機(jī)抽取了100份作為樣本,將樣本的成績（滿分100分,成績均為不低于50分的整數(shù)）整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求a的值；
（2）估計(jì)樣本成績的中位數(shù)（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）；
（3）若測驗(yàn)成績不低于80分的同學(xué)被定義為“地理愛好者”.試估計(jì)全年級“地理愛好者”的人數(shù).
16．如圖,在三棱柱中,四邊形是菱形,是等邊三角形.平面平面,D,E,F分別棱,,的中點(diǎn).
（1）證明：平面平面.
（2）若,求直線與平面所成角的正弦值.
17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）求的解析式；
（2）在銳角中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,,且,求面積的取值范圍.
18．如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形,,,,,,.
（1）證明：平面.
（2）茬,求二面角的正切值.
（3）是否存在實(shí)數(shù),使得直線平面？若存在,求出的值；若不存在.請說明理由.
19．點(diǎn)A是直線外一點(diǎn),點(diǎn)M在直線上（點(diǎn)M與P,Q兩點(diǎn)均不重合）,我們稱如下操作為“由A點(diǎn)對施以視角運(yùn)第”：若點(diǎn)M在線段上,記；若點(diǎn)M在線段外,記.
（1）若M在正方體的棱的延長線上,且,由對施以視角運(yùn)算,求的值；
（2）若在正方體的棱上,且,由對施以視角運(yùn)算,得到,求的值；
（3）若,,,,是的邊的等分點(diǎn),由A對施以視角運(yùn)算,證明：.
參考答案
1．答案：B
解析：因?yàn)?所以.
2．答案：A
解析：由題意可得被抽到的研發(fā)人員有人,銷售人員有人,則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多.
3．答案：C
解析：若,則或A錯(cuò)誤.
若,,則或a,b異面,B錯(cuò)誤.
若,則,C正確.
若,,則a與c的位置關(guān)系不確定,D錯(cuò)誤.
4．答案：A
解析：因?yàn)?所以,
所以,則是偶函數(shù).
因?yàn)?,
所以是周期為的偶函數(shù).
5．答案：D
解析：設(shè)該船的初始位置為B,2小時(shí)后的位置為C,過A作,垂足為D（圖略）,
則為所求的最短距離.由題意可知海里,則.在中,由正弦定理可得,則海里.
在中,,,海里,則海里.
6．答案：D
解析：設(shè)該圓柱的底面圓半徑為r,高為h,則.設(shè)球O的半徑為R,則.
由圓柱的體積公式可得.
由球的體積公式可得,
則.
7．答案：C
解析：由題意可知,則,
故.因?yàn)?且,所以,
所以.因?yàn)?且,所以,所以,則.因?yàn)?所以.
8．答案：B
解析：由題意可得.
因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?所以,
所以,
所以.因?yàn)橄蛄吭诨?下的坐標(biāo)為,所以,.
因?yàn)?所以在基底,下的坐標(biāo)是.
9．答案：ACD
解析：由統(tǒng)計(jì)圖可知該商場有20名銷售員,則A正確.
該商場這個(gè)月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為萬元,則B錯(cuò)誤.
該商場這個(gè)月銷售額超過7萬元的銷售員有6人,占總?cè)藬?shù)的百分比為,則C正確.
因?yàn)?所以該商場這個(gè)月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是萬元,則D正確.
10．答案：AC
解析：因?yàn)?所以的最小正周期為,則A正確.
因?yàn)?所以的圖象不關(guān)于直線對稱,則B錯(cuò)誤.
由,即,得,則,解得,即不等式的解集是,,故C正確.
將的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象.
因?yàn)?所以的圖象不關(guān)于點(diǎn),1）中心對稱,則D錯(cuò)誤.
11．答案：ACD
解析：由正方體的定義可知,則是異面直線與所成的角或補(bǔ)角.因?yàn)?所以,,,所以,則A正確.
將平面展開到平面（圖略）,則,故B錯(cuò)誤.
過點(diǎn)F作,交于H點(diǎn)（圖略）,則為平面與平面的夾角.
因?yàn)镕為線段上的動點(diǎn),所以H為線段上的動點(diǎn),所以,則C正確.
設(shè)平面與平面的交線為l,因?yàn)槠矫?所以,則.
因?yàn)榕c平面交于點(diǎn)G,所以,所以,則三棱錐的體積為,故D正確.
12．答案：3
解析：設(shè),且,則,所以,解得,故.
13．答案：
解析：.
因?yàn)?所以.
14．答案：
解析：如圖,延長到點(diǎn)G,使得,連接,易證,
則,,故.設(shè),,
則,,.因?yàn)榈闹荛L為4,
所以,所以.因?yàn)?所以.
因?yàn)?所以,所以.設(shè),
則.因?yàn)?所以,,
則.
因?yàn)?所以,所以,
所以,則的最大值是.
15．答案：（1）0.025
（2）81.4
（3）660
解析：（1）由題意得,解得.
（2）,中位數(shù)在這一組.
設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為,則,
解得,即樣本成績的中位數(shù)約為81.4.
（3）全年級“地理愛好者”約有人.
16．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明：由三棱柱的定義可知.
因?yàn)镈,E分別是棱,的中點(diǎn),所以,,
所以四邊形是平行四邊形,則.
因?yàn)槠矫?平面,所以平面.
因?yàn)镋,F分別是棱,的中點(diǎn),所以.
因?yàn)槠矫?平面,所以平面.
因?yàn)?平面,且,所以平面平面.
（2）作的延長線于點(diǎn)H,連接.
因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面,
所以平面,
則是直線與平面所成的角.
設(shè),則.
因?yàn)?所以,則,
因?yàn)槭堑冗吶切?所以,,所以.
由余弦定理可得.
因?yàn)槠矫嫫矫?所以,則,
故,即直線與平面所成角的正弦值為.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由圖可知,則,解得.
因?yàn)?所以.
因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn),所以,
所以,解得.
因?yàn)?所以.
因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn),所以,解得.
故.
（2）由（1）可得,則.
因?yàn)槭卿J角三角形,所以,所以,則.
故的面積.
由正弦定理可得,則.
因?yàn)槭卿J角三角形,所以解得,
所以,所以,則,即.
故的面積.
18．答案：（1）見解析
（2）
（3）
解析：（1）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?所以.
因?yàn)?,平面,且,所以平面.
因?yàn)槠矫?所以.
因?yàn)樗倪呅问橇庑?且,所以.
因?yàn)?所以,
所以.
因?yàn)?平面,且,所以平面.
（2）取棱的中點(diǎn)H,連接,作,垂足為G,連接.
因?yàn)镋,H分別是,的中點(diǎn),所以,.
由（1）可知平面,則平面.
因?yàn)槠矫?所以.
因?yàn)?,平面,且,所以平面.
因?yàn)槠矫?所以,則是二面角的平面角.
因?yàn)?所以.
因?yàn)樗倪呅问橇庑?且,所以,且.
因?yàn)?所以.
因?yàn)镠是的中點(diǎn),所以.
因?yàn)槠矫?且平面,所以,
則.
（3）連接,交于點(diǎn)N,連接,作,交于點(diǎn)K.
因?yàn)槠矫?且平面平面,所以.
因?yàn)樗倪呅问橇庑?所以是的中點(diǎn),所以是的中點(diǎn),即.
因?yàn)?所以E是的中點(diǎn).
因?yàn)?所以,所以,
則,即.
19．答案：（1）-3
（2）
（3）見解析
解析：（1）如圖1,
因?yàn)?所以,,.
由正方體的定義可知,則,
故,,
,.
因?yàn)?所以,
則.
（2）如圖2,設(shè),
則,.
因?yàn)?所以,
則,解得,
故.
（3）證明：如圖3,
因?yàn)?,,,是的n等分點(diǎn),所以
.
在中,由正弦定理可得,
則.
在中,同理可得.
因?yàn)?所以,
則.
同理可得.
故.

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