1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念. 2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問題.（重點(diǎn)）3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法，會(huì)利用公式求它們的方差.（難點(diǎn)）核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
在一次選拔賽中，甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，概率分布如下：射手甲擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.2，0.6,0.2；射手乙擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.4,0.2,0.4.如果你是教練，如何比較兩名射手的射擊水平，選拔誰呢？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們就會(huì)得到答案.
一、離散型隨機(jī)變量的方差
【解析】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.它們的均值相等，只根據(jù)均值無法區(qū)分這兩臺(tái)機(jī)床的加工質(zhì)量.可以利用樣本方差，它可以刻畫樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.
2.離散型隨機(jī)變量的方差如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示
因?yàn)閄的均值為E(X)，所以D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝______________，能夠刻畫X相對(duì)于均值的離散程度(或波動(dòng)大小)，這稱為離散型隨機(jī)變量X的方差.離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)也可用DX表示.
2.離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差一般地，_______稱為離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，它也可以刻畫一個(gè)離散型隨機(jī)變量的離散程度 (或波動(dòng)大小).
注意：(1)離散型隨機(jī)變量方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.(2)離散型隨機(jī)變量的方差的單位是隨機(jī)變量本身的單位的平方，標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身的單位相同.
【解析】E(ξ)＝0.1×0＋0.2×1＋0.3×2＋0.4×3＝2，所以D(ξ)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1，
【總結(jié)】求離散型隨機(jī)變量的方差的方法(1)根據(jù)題目條件先求分布列.(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，當(dāng)分布列中的概率值是待定常數(shù)時(shí)，應(yīng)先由分布列的性質(zhì)求出待定常數(shù)再求方差.
二、兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差
【答案】（1）用X表示命中次數(shù)，則X＝0,1.X服從兩點(diǎn)分布，且P(X＝0)＝0. 2，P(X＝1)＝0. 8，所以D(X)＝p(1－p)＝0. 8×(1－0. 8)＝0. 1 6.
【總結(jié)】?jī)牲c(diǎn)分布與二項(xiàng)分布方差的計(jì)算步驟(1)判斷：判斷隨機(jī)變量服從什么分布.(2)計(jì)算：直接代入相應(yīng)的公式求解方差.
【問題】若隨機(jī)變量X的方差為D(X)，Y＝aX＋b(a，b為常數(shù)，且a≠0)，你能推導(dǎo)出D(X)與D(Y)的關(guān)系嗎？
【詳解】E(Y)＝aE(X)＋b，∴D(Y)＝D(aX＋b)＝[ax1＋b－aE(X)－b]2p1＋[ax2＋b－aE(X)－b]2p2＋…＋[axn＋b－aE(X)－b]2pn＝[ax1－aE(X)]2p1＋[ax2－aE(X)]2p2＋…＋[axn－aE(X)]2pn＝a2D(X).
【總結(jié)】(1)求隨機(jī)變量Y＝aX＋b方差的方法①先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差.②應(yīng)用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解.(2)均值、方差在決策中的作用①均值：均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.②方差：方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的離散波動(dòng)程度，方差越大越不穩(wěn)定.③在決策中常結(jié)合實(shí)際情形依據(jù)均值、方差做出決斷.
1.知識(shí)清單： (1)離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差. (2)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差. (3)D(aX＋b)＝a2D(X)(a≠0).2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)：方差公式套用錯(cuò)誤.
離散型隨機(jī)變量的方差（分層練習(xí)）

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4.2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

版本： 人教B版 (2019)

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