1. 考試時(shí)間120分鐘
2、全卷共三道大題，總分120分
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
詳解：解：A、根據(jù)完全平方和公式可知，，選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、由平方的性質(zhì)可知， ，選項(xiàng)正確，符合題意；
C、由積的乘方、冪的乘方運(yùn)算可知，，選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、由平方差公式可知，，選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
2. 我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．下圖為部分“卦”的符號，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
詳解：A.是中心對稱圖形，符合題意；
B.不是中心對稱圖形，不符合題意；
C.不是中心對稱圖形，不符合題意；
D.不是中心對稱圖形，不符合題意；
故選A．
3. 如圖所示是由若干個(gè)相同的小立方體搭成的幾何體的俯視圖和左視圖，則小立方體的個(gè)數(shù)不可能是（ ）
A. 5個(gè)B. 6個(gè)C. 7個(gè)D. 8個(gè)
答案：A
解析：
詳解：解：由俯視圖可得得最底層有5個(gè)立方體，由左視圖可得第二層最少有1個(gè)立方體，最多有3個(gè)立方體，所以小立方體的個(gè)數(shù)可能是6個(gè)或7個(gè)或8個(gè)，小立方體的個(gè)數(shù)不可能是5．
故選A．
4. 某班七個(gè)興趣小組人數(shù)分別為，，，，，，，已知這組數(shù)據(jù)平均數(shù)是，則這組數(shù)據(jù)中的的值和眾數(shù)分別是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
答案：C
解析：
詳解：由題意得：，解得，
∴這組數(shù)據(jù)為：，，，，，，，
數(shù)據(jù)出現(xiàn)次，最多，則眾數(shù)為，
故選：．
5. 某商場將進(jìn)貨價(jià)為45元的某種服裝以65元售出，平均每天可售30件，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件降價(jià)1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件應(yīng)降價(jià)（ ）
A 12元B. 10元C. 11元D. 9元
答案：B
解析：
詳解：設(shè)應(yīng)降價(jià)x元
則根據(jù)題意，等量方程為：(65－x－45)(30+5x)=800
解得：x=4或x=10
∵要盡快較少庫存，∴x=4舍去
故選：B．
6. 若關(guān)于的方程解為正數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且D. 且
答案：D
解析：
詳解：解：
∵方程的解為正數(shù)，且分母不等于0
∴，
∴，且
故選：D．
7. 某人只帶2元和5元兩種貨幣，要買一件27元的商品，而商店沒有零錢找錢，他只能付恰好27元，則他的付款方式共有（ ）
A. 1種B. 2種C. 3種D. 4種
答案：C
解析：
詳解：解：設(shè)帶2元的貨幣x個(gè)，帶5元的貨幣y個(gè)，根據(jù)題意可得：
2x＋5y＝27，即，分情況討論如下：
當(dāng)y＝5時(shí)，x＝1，
當(dāng)y＝4時(shí)，x＝3.5，（不合題意舍去），
當(dāng)y＝3時(shí)，x＝6，
當(dāng)y＝2時(shí)，x＝8.5（不合題意舍去），
當(dāng)y＝1時(shí)，x＝11，
∴他的付款方式3種，
故選：C．
8. 在如圖，中，，，的面積為6，與軸負(fù)半軸的夾角為，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
詳解：解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
在中，，，
，
設(shè)，則，，
由題意可知，，
，，
，
，即，
，
，
．
故選：B．
9. 如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，為原點(diǎn)，點(diǎn)、分別在軸、軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連結(jié)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．則的值是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
詳解：解：作DF⊥y軸于F，BD交OC于G．
?
∵在△BCG與△ODG中，
，
∴△BCG≌△ODG，
∴GO=GB，
∴設(shè)GO=GB=x，
則CG=GD=2-x，
于是在Rt△CGB中，（2-x）2+12=x2；
解得x=．
∴=．
故選D．
10. 如圖，在正方形 中，點(diǎn)E在對角線上，連接，作交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)H，延長交點(diǎn)K，連接．下列結(jié)論：①，②；③；④若，則 ．其中結(jié)論正確的序號是（ ）
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④
答案：D
解析：
詳解：解：如圖，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故①正確；
將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，連，
由旋轉(zhuǎn)可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正確；
∵，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
解得，，
故④正確，
故選：D．
二、填空題（每小題3分，共30分）
11. 中央廣播電視總臺2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會以匠心獨(dú)運(yùn)的歌舞創(chuàng)編、暖心真摯的節(jié)目表演，充滿科技感和時(shí)代感的視覺呈現(xiàn)，為海內(nèi)外受眾奉上了一道心意滿滿、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月 10日2時(shí)，總臺春晚全媒體累計(jì)觸達(dá)142億人次．將142億用科學(xué)記數(shù)法表示為____________．
答案：
解析：
詳解：將142億用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故答案為：．
12. 函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_____．
答案：
解析：
詳解：解：∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
∴，
故答案為．
13. 如圖，要使矩形成為正方形，需添加一個(gè)條件為______．
答案：（答案不唯一）．
解析：
詳解：解：添加的條件可以是AB=BC．理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四邊形ABCD是正方形．
故答案為：AB=BC（答案不唯一）．
14. “四大發(fā)明”是指中國古代對世界具有很大影響的四種發(fā)明，它是中國古代勞動人民的重要創(chuàng)造，具體指A.指南針、B.造紙術(shù)、C.火藥和D.印刷術(shù)四項(xiàng)發(fā)明、如圖是小強(qiáng)同學(xué)收集的中國古代四大發(fā)明的不透明卡片，四張卡片除內(nèi)容外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好，小強(qiáng)從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張后將卡片洗勻，小剛再從剩下的三張卡片中隨機(jī)抽取一張，則兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“印刷術(shù)”的概率為________．
答案：
解析：
詳解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中兩人抽到的卡片恰好是“．指南針”和“．印刷術(shù)”的結(jié)果有2種，
兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“印刷術(shù)”的概率為．
故答案為：
15. 若關(guān)于x的不等式組只有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍為______．
答案：
解析：
詳解：解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式組的解集為，
又不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，
，
解得：，
故答案為：．
16. 如圖，已知是的直徑，是的切線，連接交于點(diǎn)D，連接．若，則的度數(shù)是 _______°．
答案：27
解析：
詳解：解：∵是的直徑，是的切線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：27
17. 底面半徑為5的圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則圓錐的母線長為______ ．
答案：15
解析：
詳解：圓錐的底面周長，
則：，
解得．
故答案：15．
18. 如圖，在中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，若，則線段的最小值是________．
答案：
解析：
詳解：解：如圖，連接，
在中，
∵，，，
∴，
∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，即，
∴的最小值為（此時(shí)、、共線）．
故答案為：．
19. 在矩形 中，，E 為線段的中點(diǎn)，動點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→B→A 的方向在和上運(yùn)動，將矩形沿折疊，點(diǎn)C 的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的對角線上時(shí)（不與矩形頂點(diǎn)重合），點(diǎn) F 運(yùn)動的距離為________．
答案：3 或
解析：
詳解：分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)落在對角線上時(shí)，連接，如下圖所示：
將矩形沿折疊，點(diǎn)C 的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的對角線上，
,
∵點(diǎn)E 為線段的中點(diǎn)，
,
∴，
又∵，
，即,
，
∴，
是中點(diǎn)
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
在矩形中，,
,
,
點(diǎn)運(yùn)動的距離為3；
②當(dāng)點(diǎn)落在對角線上時(shí)，作于，
則，四邊形為矩形，
如圖2所示：
在矩形中，，,
，
∵，
，
,
，
,
四邊形為矩形，
,
,
點(diǎn)運(yùn)動的距離為；
綜上所述：點(diǎn)運(yùn)動的距離為3或；
故答案為：3或．
20. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、，…都在x軸正半軸上，點(diǎn)、、，…都在直線 上，、、，…都是等邊三角形，且，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是_________．
答案：
解析：
詳解：解：如圖，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，即，
，
，
是等邊三角形，
，，
，
，
，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
同理可得：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
歸納類推得：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（為正整數(shù)），
則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
故答案為：．
三、解答題（滿分60分）
21. 先化簡，再求值：，其中 ．
答案：，
解析：
詳解：解：原式


，
∴原式．
22. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ，．
（1）將 向右平移6個(gè)單位長度，作出平移后的；
（2）將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，作出旋轉(zhuǎn)后的；
（3）在（2）的條件下，求在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積．
答案：（1）見解析 （2）見解析
（3）
解析：
小問1詳解：
解：如圖所示：
小問2詳解：
解：如圖所示：
小問3詳解：
解：如圖所示，陰影部分即為掃過的面積，
大扇形的半徑為：，小扇形的半徑為1，

在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為．
23. 如圖，拋物線 與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且 ．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P 為拋物線上的一動點(diǎn)，且在直線上方，過點(diǎn) P 作 y 軸的平行線交直線 于點(diǎn)Q，，請直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
答案：（1）拋物線的解析式為
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
解析：
小問1詳解：
解：∵．
∴
把點(diǎn)代入得到，
解得
∴
小問2詳解：
令，
解得
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是，
設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)B和點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到，
解得
∴直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，
∴，
∵，
∴，
解得
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
24. 某超市為了解顧客對白面饅頭、大肉包、水餃、米粉、蔥油餅（以下分別用A，B．C，D，E表示）這五種早點(diǎn)的喜愛情況，對顧客進(jìn)行了調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖解答問題：
（1）本次被調(diào)查的顧客共有_________人次；補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中白面饅頭對應(yīng)的圓心角是_________度；
（3）若某天有1200人次購買了這五種早點(diǎn)，估計(jì)其中喜愛大肉包的有多少人次?
答案：（1）200，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖見解析
（2）72 （3）估計(jì)其中喜愛大肉包的有180人次
解析：
小問1詳解：
由扇形統(tǒng)計(jì)圖知，D所占的百分比為25%，由條形統(tǒng)計(jì)圖知，喜愛D的有50人，則被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：50÷25%=200（人次），則喜愛B的有200?（40+10+50+70）=30 (人次)
補(bǔ)充的條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
故答案為：200
小問2詳解：
喜愛A的人次為40，則它所占的百分比為：
扇形統(tǒng)計(jì)圖中白面饅頭對應(yīng)的圓心角是
故答案為：72；
小問3詳解：
，1200×15%＝180（人次）
故估計(jì)其中喜愛大肉包的有180人次
25. 某天早晨，張強(qiáng)從家跑步去體育場鍛煉，同時(shí)媽媽從體育場晨練結(jié)束回家，途中兩人相遇，張強(qiáng)跑到體育場后發(fā)現(xiàn)要下雨，立即按原路返回，遇到媽媽后兩人一起回到家（張強(qiáng)和媽媽始終在同一條筆直的公路上行進(jìn)）．張強(qiáng)、媽媽兩人距家的距離y（米）與張強(qiáng)出發(fā)的時(shí)間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示，請結(jié)合圖象信息，解答下列問題：
（1）張強(qiáng)返回時(shí)的速度是______米/分；
（2）媽媽比按原速返回提前多少分鐘到家?
（3）請求出張強(qiáng)出發(fā)多長時(shí)間與媽媽相距米．
答案：（1）
（2）分鐘
（3）分鐘、分鐘、分鐘
解析：
小問1詳解：
解：由圖象可知：
張強(qiáng)返回時(shí)的速度是：（米/分），
故答案為：
小問2詳解：
解：∵（米），（米），
∴
∴媽媽原來的速度為：（米/分），
媽媽按原來的速度回家需要：（分鐘），
∵（分鐘），
∴媽媽比按原速返回提前分鐘到家；
小問3詳解：
解：如圖所示：
設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
直線的解析式為：，
，
解得：
，
解得：
，
解得：
綜上所述：張強(qiáng)出發(fā)分鐘、分鐘、分鐘與媽媽相距米
26. 是等腰三角形， ，M是的中點(diǎn)，D 為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn) B，C重合）、連接 并延長到點(diǎn) E，使得，連接．過點(diǎn) B作的垂線交直線于點(diǎn) F．
（1）如圖①，點(diǎn)D在線段上，線段，， 之間的有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明：
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時(shí)，如圖③，直接寫出線段，， 之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．
答案：（1）圖①的猜想：，證明見解析
（2）圖②：，圖③：
解析：
小問1詳解：
，
證明：如圖，作交的延長線于，
則，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
小問2詳解：
如圖，作交于，
則，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，即；
如圖，作交的延長線于，
則，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
27. 2023年暑假，多地發(fā)生水災(zāi)，某企業(yè)組織了20輛貨車裝運(yùn)甲、乙、丙三種共120噸救援物資前往災(zāi)區(qū)，按計(jì)劃20輛貨車都要裝運(yùn)，每輛貨車只能裝運(yùn)同一種物資且必須裝滿．已知每輛貨車單獨(dú)裝甲種物資可裝8噸，單獨(dú)裝乙種物資可裝6噸，單獨(dú)裝丙種物資可裝5噸．
（1）設(shè)裝運(yùn)甲種物資的車輛數(shù)為輛，裝運(yùn)乙種物資的車輛數(shù)為輛，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果裝運(yùn)每種物資的車輛都不少于3輛，那么車輛的安排方案有哪幾種？
（3）若購買甲種物資需每噸3萬元，乙種物資每噸4萬元，丙種物資每噸2萬元，在（2）的條件下，該公司此次購買捐贈物資至少花費(fèi)多少萬元？
答案：（1）
（2）安排方案有3種：①裝運(yùn)甲種物資的車輛數(shù)為3輛，裝運(yùn)乙種物資的車輛數(shù)為11輛，則裝運(yùn)丙種物資的車輛為6輛；②裝運(yùn)甲種物資的車輛數(shù)為4輛，裝運(yùn)乙種物資的車輛數(shù)為8輛，則裝運(yùn)丙種物資的車輛為8輛；③裝運(yùn)甲種物資的車輛數(shù)為5輛，裝運(yùn)乙種物資的車輛數(shù)為5輛，則裝運(yùn)丙種物資的車輛為10輛；
（3）該公司此次購買捐贈物資花費(fèi)340萬元
解析：
小問1詳解：
解：設(shè)裝運(yùn)甲種物資的車輛數(shù)為輛，裝運(yùn)乙種物資的車輛數(shù)為輛，則裝運(yùn)丙種物資的車輛為輛，
根據(jù)題意得：，
解得：，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為：；
小問2詳解：
解：由（1）得：裝運(yùn)甲種物資的車輛數(shù)為輛，裝運(yùn)乙種物資的車輛數(shù)為輛，則裝運(yùn)丙種物資的車輛為輛，
由題意得：，
解得：，
為整數(shù)，
的值為3，4，5，
安排方案有3種：①裝運(yùn)甲種物資的車輛數(shù)為3輛，裝運(yùn)乙種物資的車輛數(shù)為11輛，則裝運(yùn)丙種物資的車輛為6輛；②裝運(yùn)甲種物資的車輛數(shù)為4輛，裝運(yùn)乙種物資的車輛數(shù)為8輛，則裝運(yùn)丙種物資的車輛為8輛；③裝運(yùn)甲種物資的車輛數(shù)為5輛，裝運(yùn)乙種物資的車輛數(shù)為5輛，則裝運(yùn)丙種物資的車輛為10輛；
小問3詳解：
解：設(shè)該公司此次購買捐贈物資花費(fèi)萬元，
由題意得：，
，
隨著的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，最小（萬元），
該公司此次購買捐贈物資花費(fèi)340萬元．
28. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y 軸交于點(diǎn)B，， 的長是一元二次方程 的兩個(gè)根，直線經(jīng)過y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)C，且 ．

（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）直線沿著y 軸平移，平移后的直線與直線交于點(diǎn)D，與 y 軸交于點(diǎn)，連接，求 的面積S 與t 的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，將直線向上平移9個(gè)單位長度，平移后的直線與x 軸交于點(diǎn)E，M為x 軸上的一點(diǎn)，直線上是否存在點(diǎn)N（不與點(diǎn) D 重合），使 與 全等?若存在，請直接寫出點(diǎn) N 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
答案：（1）直線的函數(shù)表達(dá)式為
（2），
（3）存在， N 的坐標(biāo)為或 或
解析：
小問1詳解：
解：解方程，得
，
∵，的長是一元二次方程 的兩個(gè)根，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
把，分別代入，得，
則，
解得，
∴直線的表達(dá)式為，
小問2詳解：
由題意，設(shè)平移后的直線解析式為：，
∵直線過點(diǎn)，
∴，
∴直線解析式為：，
設(shè)直線解析式為：，
把點(diǎn)，代入，得，
，
解得，
∴直線的表達(dá)式為，
當(dāng)時(shí)，
解得，
即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，
則點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為，
由題意，，
則，
∴
小問3詳解：
解：∵直線：與x軸交于點(diǎn)E，
∴點(diǎn)，
∴，
當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)N作x軸的垂線交x軸于一點(diǎn)F，如圖所示：

設(shè)，
則，，
在中，
即，
解得，
∴N或；
當(dāng)時(shí)，如圖所示：

∴，
∴點(diǎn)E為的中點(diǎn)，
∵ ，，
∴，
綜上，存在，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．

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