完成一件事,有 n 類辦法,在第 1 類辦法中有 m1 種不同的方法,在第 2 類辦法中有
m2 種不同的方法 ? ,在第 n 類辦法中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有: N=_________ 種不同的方法.
注: (1) 分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn): 分類加法計(jì)數(shù)原理又稱為分類計(jì)數(shù)原理或加法原理, 其特點(diǎn)是各類中的每一種 方法都可以完成要做的事情,強(qiáng)調(diào)每一類中的任何一種方法都可以完成要做的事,因此共有 m1+m2+?+mn 種不同 方法可以完成這件事.
(2) 分類的原則: 分類計(jì)數(shù)時(shí), 首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn), 確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn), 然后利用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分 類, 分類時(shí)要注意兩個(gè)基本原則: 一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類; 二是不同類的任意兩種方法 必須是不同的方法, 只要滿足這兩個(gè)基本原則, 就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.
2、分步計(jì)數(shù)原理 (乘法原理)
完成一件事,需要 n 個(gè)步驟,在第 1 個(gè)步驟中有 m1 種不同的方法,在第 2 個(gè)步驟中有
m2 種不同的方法 ? ,在第 n 個(gè)步驟中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有:
N=_______ 種不同的方法.
注: (1) 分布乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)是在所有的各步之中, 每一步都要使用一種方法才能完成要做的事情, 強(qiáng)調(diào)依次 完成各個(gè)步驟才能完成要做的事情,因此共有 m1×m2×?×mn 種不同方法可以完成這件事.
(2) 分類的原則: (i) 明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事。怎樣才能完成這件事, 弄清要經(jīng)過(guò)哪幾步才能 完成這件事; (ii) 完成這件事需要分成 n 個(gè)步驟,只有每個(gè)步驟完成了,才算完成這件事,缺少任何一步,這件事 就不可能完成; (iii) 根據(jù)題意正確分步,要求各步驟之間必須連續(xù) (不能缺少步驟),只有按照這 n 個(gè)步驟逐步去 做, 才能完成這件事, 各個(gè)步驟既能不重復(fù)也不能遺漏.
3、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析
(1) 區(qū)別與聯(lián)系
(2) 分類加法計(jì)算原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇
在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí), 應(yīng)注意合理分類, 準(zhǔn)確分步, 同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.
4、排列
(1) 排列的定義: 一般地,從 n 個(gè)不同元素中取出 mm≤n,n,m∈N′ 個(gè)元素,并按照一定的順序排成 一列,叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列. 特別地,當(dāng) m=n 時(shí),這個(gè)排列被稱為全排列.
(2) 排列概念的理解:
1) 排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容, 一是取出元素; 二是按照一
定的順序排列.
2) 兩個(gè)排列相同的條件
(1)元素完全相同; (2)元素的排列順序也相同.
3) 定義中 “一定的順序” 就是說(shuō)排列與位置有關(guān).
(3) 排列的判斷
判斷一個(gè)問(wèn)題是不是排列問(wèn)題的關(guān)鍵: 判斷是否與順序有關(guān),與順序有關(guān)且是從 n 個(gè)不同元素中取出 m m≤n,n,m∈N* 個(gè)元素的問(wèn)題就是排列問(wèn)題,否則就不是排列問(wèn)題,檢驗(yàn)一個(gè)問(wèn)題是否與順序有關(guān)的依據(jù)就 是變換不同元素的位置, 看其結(jié)果是否有變化, 如有變化就與順序有關(guān), 就是排列問(wèn)題: 若沒(méi)有變化, 就與順序無(wú) 關(guān), 就不是排列問(wèn)題.
5、排列數(shù)
一般地,從 n 個(gè)不同元素中取出 mm≤n,n,m∈N* 個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫從 n 個(gè)不同元素 中取出 m 個(gè)元素的排列數(shù),用 Anm 表示.
注: (1) 排列數(shù)公式的特征: 第一個(gè)因數(shù)是 n ,后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)因數(shù)少 1,最后一個(gè)因數(shù)是 n?m+1 , 共有 m 個(gè)因數(shù).
(2) 全排列與階乘: Ann=n×n?1×n?2×?×3×2×1=n!
(3) Ann=n?An?1n?1, Ann=n!?n?1! 6、組合
(1) 組合的定義一般地,從 n 個(gè)不同元素中取出 mm≤n,n,m∈N* 個(gè)元素作為一組,叫做從 n 個(gè)不同元 素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合.
(2) 對(duì)組合概念的理解
1) 組合的概念中有兩個(gè)要點(diǎn): (1)要求 n 個(gè)元素是不同的; (2) “只 取不排”,即取出的 m 個(gè)元素與順序無(wú)關(guān),無(wú)序性是組合的特 征性質(zhì).
2) 兩個(gè)組合相同: 只要兩個(gè)組合中的元素完全相同, 無(wú)論元素的 順序如何, 都是相同的組合.
(3) 排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系
聯(lián)系: 都是從 n 個(gè)不同元素中取出 m m≤n,n,m∈N* 個(gè)元素 (強(qiáng)調(diào)不同元素).
區(qū)別: 排列是把取出的元素按順序排成一列, 它與元素的順序有關(guān), 而組合只要把元素取出來(lái)就可以, 取出的 元素與順序無(wú)關(guān), 可以總結(jié)為: 有序排列, 無(wú)序組合.
7、組合與組合數(shù)
一般地,從 n 個(gè)不同的元素中,任取 m1≤m≤n 個(gè)元素為一組,叫作從 n 個(gè)不同 元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合.
Cnm= = n∈N*,m∈N,且m≤n.
8、組合數(shù)的性質(zhì)（能解釋其中原理）
(1) Cnm=Cnn?m; Cnm+Cnm?1=Cn+1m .
(2) Cn0+Cn1+Cn2+?+Cnr+?+Cnm=2n . 注 : 規(guī)定 Cn0=1 .
(3) mCnm=nCn?1m?1?mnCnm=nCn?1m?1 (4) Crr+Cr+1r+Cr+2r+?+Cnr=Cn+1r+1
9、二項(xiàng)式定理
一般地,對(duì)于任意正整數(shù) n ,都有 a+bn=Cn0an+Cn1an?1b+
Cn2an?2b2+?+Cnkan?kbk+?+Cnnbn.
( * )
公式 * 叫做二項(xiàng)式定理,等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做 a+bn 的二項(xiàng)展開式,其中各項(xiàng)的系數(shù) Cnkk∈{0,1,2,?,n} 叫做二 項(xiàng)式系數(shù), Cnkan?kbk 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用 Tk+1 表示,即通項(xiàng) 為展開式的第 k+1 項(xiàng): Tk+1=Cnkan?kbk .
10、二項(xiàng)展開式的規(guī)律說(shuō)明
(1) 項(xiàng)數(shù): n+1 項(xiàng)
(2) 第 r+1 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是 Cnr
(3) 在二項(xiàng)展開式中, 與首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.
(4) 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù), 中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù) 是奇數(shù), 中間兩項(xiàng)的的二項(xiàng)式系數(shù)最大, 并且相等.
(5) 通項(xiàng)公式: Tr+1=Cnran?rbrr=0,1,2?,n . 是第 r+1 項(xiàng)
11、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(2) 楊輝三角一一二項(xiàng)式系數(shù)表 (閱讀課本選擇性必修三 P39-P41)
當(dāng) n 依次取 1,2,3,? 時(shí),觀察 a+bn 的展開式的二項(xiàng)式
系數(shù):
C C10 C11 ?1 1
C20C21?C22 121
?C30 C31 C33 C33. 1331
a+b4???C40 C41 C42 C43 C44 C44 C44 C44 C44 C44 C44 C44 C44
a+b3……C50 C51 C53 C54 C55
a+b6?C60C61C62C63C64C65?1615?6?20156
(i) 每一行的二項(xiàng)式系數(shù)是對(duì)稱的,即 Cnk=Cnn?k k≤n,k=0,1,2,?,n
(ii) 每一行兩端都是 1 , 而且從第二行起, 除 1 以外的每一個(gè)數(shù)都等于它 “肩上” 兩個(gè)數(shù)的和.
(iii) 從第二項(xiàng)起, 每一行的二項(xiàng)式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大;
(iv) 所有二項(xiàng)式系數(shù)和 Cn0+Cn1+Cn2+?+Cnn=2n ,并且中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大; 12、注意二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別, 在求某些項(xiàng)的系數(shù)的和時(shí)注意賦值法的應(yīng)用.
(1) ax+bn=a0+a1x+a2x2+?+anxn=fx 的展開式的系數(shù)關(guān)系:
(1)常數(shù)項(xiàng) a0=f0
(2)所有項(xiàng)的系數(shù)和: a0+a1+a2+?+an=f1
(3)奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的差: a0?a1+a2??+?1nan=f?1
13、二項(xiàng)展開中系數(shù)最大 (小) 項(xiàng)的求法: 設(shè)第 k 項(xiàng)的系數(shù) Ak 最大 (小),由 Ak≥Ak?1Ak≥Ak+1 (最大); Ak≤Ak?1Ak≤Ak+1 (最 小) 確定 r . 14、利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題或求余數(shù)
(1) 利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題, 關(guān)鍵是要巧妙構(gòu)造二項(xiàng)式, 其基本做法: 要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式 子整除, 只要證明這個(gè)式子按照二項(xiàng)式定理展開后個(gè)各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.
(2) 用二項(xiàng)式定理處理整除問(wèn)題時(shí), 通常把底數(shù)寫成除數(shù) (或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù)) 與某數(shù)的和或差的形 式, 再用二項(xiàng)式定理展開, 只考慮 (或者前面) 一兩項(xiàng)就可以了.
(3) 要注意余數(shù)的范圍, a=c?r+b,b 為余數(shù), b∈[0,r),r 是除數(shù),利用二項(xiàng)式定理將被除數(shù)展開變形 后, 若末項(xiàng) (或者是首項(xiàng)) 是負(fù)數(shù), 要注意轉(zhuǎn)換.
【課本優(yōu)質(zhì)習(xí)題匯總】
人教 A 版選擇性必修三 P7
4. 在 1,2,?,500 中,被 5 除余 2 的數(shù)共有多少個(gè)?
5. 由數(shù)字 1,2,3,4,5 可以組成多少個(gè)三位數(shù) (各位上的數(shù)字可以重復(fù))?
人教 A 版選擇性必修三 P11
1. 乘積 a1+a2+a3b1+b2+b3c1+c2+c3+c4+c5 展開后共有多少項(xiàng)?
4. 用 1,5,9,13 中的任意一個(gè)數(shù)作分子, 4,8,12,16 中任意一個(gè)數(shù)作分母,可構(gòu)成多少個(gè)不 同的分?jǐn)?shù)? 可構(gòu)成多少個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)?
5. 一個(gè)口袋內(nèi)裝有 5 個(gè)小球, 另一個(gè)口袋內(nèi)裝有 6 個(gè)小球, 所有這些小球的顏色互不相同. 從兩 個(gè)袋子中分別取 1 個(gè)球, 共有多少種不同的取法?
6. (1) 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均在 A={0,1,2,3,4,5} 內(nèi)取值的不同點(diǎn)共有 多少個(gè)?
(2) 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),斜率在集合 B={1,3,5,7} 內(nèi)取值, y 軸上的截距在集合 C= {2,4,6,8} 內(nèi)取值的不同直線共有多少條?
人教 A 版選擇性必修三 P12
11. 在國(guó)慶長(zhǎng)假期間, 要從 7 人中選若干人在 7 天假期值班 (每天只需 1 人值班), 不出現(xiàn)同一人 連續(xù)值班 2 天, 有多少種可能的安排方法?
12. 2160 有多少個(gè)不同的正因數(shù)?
人教 A 版選擇性必修三 P26
6. (1) 空間中有 8 個(gè)點(diǎn), 其中任何 4 個(gè)點(diǎn)不共面, 過(guò)每 3 個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面, 可以作多少個(gè)平面?
(2) 空間中有 10 個(gè)點(diǎn), 其中任何 4 個(gè)點(diǎn)不共面, 過(guò)每 4 個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體, 可以作多 少個(gè)四面體? 人教 A 版選擇性必修三 P26
8. 求證:
(1) An+1n+1?Ann=n2 Ann?1 ; (2) n+1!k!?n!k?1!=n?k+1?n!k!k≤n .
9. 學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的 11 個(gè)節(jié)目的演出順序. 除第 1 個(gè)節(jié)目和最后 1 個(gè)節(jié)目已確定外, 4 個(gè)音樂(lè)節(jié)目要求排在第 2,5,7,10 的位置,3 個(gè)舞蹈節(jié)目要求排在第 3,6,9 的位置,2 個(gè) 曲藝節(jié)目要求排在第 4,8 的位置, 有多少種不同的排法?
人教 A 版選擇性必修三 P27
11. 一個(gè)數(shù)陣有 m 行 n 列,第一行中的 n 個(gè)數(shù)互不相同,其余行都由這 n 個(gè)數(shù)以不同的順序組 成. 如果要使任意兩行的順序都不相同,那么 m 的值最大可取多少?
12. (1) 從 0,2,4,6 中任取 3 個(gè)數(shù)字,從 1,3,5 中任取 2 個(gè)數(shù)字,一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有 重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?
(2) 由數(shù)字 0,1,2,3,4,5,6 可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字,并且比 5000000 大的正整數(shù)?人教 A 版選擇性必修三 P27
13. 從 5 名男生和 4 名女生中選出 4 人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.
(1) 如果 4 人中男生女生各選 2 人, 那么有多少種選法?
(2) 如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi), 那么有多少種選法?
(3) 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在內(nèi), 那么有多少種選法?
(第 17 題)
(4) 如果 4 人中必須既有男生又有女生, 那么有多少種選法?
14. 一個(gè)宿舍的 6 名同學(xué)被邀請(qǐng)參加一個(gè)晚會(huì).
(1) 如果必須有人去, 去幾個(gè)人自行決定, 有多少種不同的去法?
(2) 如果其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去, 要么都不去, 有多少種去法?
17. 如圖, 現(xiàn)要用 5 種不同的顏色對(duì)某市的 4 個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色, 要 求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色, 共有幾種不同的著色 方法?
人教 A 版選擇性必修三 P28
19. 甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽, 決出第 1 名到第 5 名的名次. 甲和乙去 詢問(wèn)成績(jī), 回答者對(duì)甲說(shuō): “很遺憾, 你和乙都沒(méi)有得到冠軍." 對(duì)乙說(shuō): “你當(dāng)然不會(huì)是最差 的.” 從這兩個(gè)回答分析, 5 人的名次排列可能有多少種不同情況? 人教 A 版選擇性必修三 P31
4. x?110 的展開式的第 6 項(xiàng)的系數(shù)是 ( ).
(A) C106 (B) ?C106 (C) C105 (D) ?C105
5. 在 x?1x?2x?3x?4x?5 的展開式中,含 x4 的項(xiàng)的系數(shù)是
人教 A 版選擇性必修三 P34
1. 填空題
(1) Cl1+C113+C115+?+Cl1111=
(2) Cn0+Cn1+Cn2+?+CnnCn+10+Cn+11+Cn+12+?+Cn+1n+1=
人教 A 版選擇性必修三 P35
7. 證明:
(1) x?1x2n 的展開式中常數(shù)項(xiàng)是 ?2n1×3×5×?×2n?1n! ;
(2) 1+x2n 的展開式的中間一項(xiàng)是 1×3×5×?×2n?1n!2xn .
8. 已知 1+xn 的展開式中第 4 項(xiàng)與第 8 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,求這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).
9. 用二項(xiàng)式定理證明:
(1) n+1n?1 能被 n2 整除;
(2) 9910?1 能被 1000 整除.
10. 求證: 2n?Cn1×2n?1+Cn2×2n?2+?+?1n?1Cnn?1×2+?1n=1 .
人教 A 版選擇性必修三 P37
(6) 正十二邊形的對(duì)角線的條數(shù)是人教 A 版選擇性必修三 P38
(1) 已知 Cn+1n?1=21 ,那么 n=
(2) 某班一天上午有 4 節(jié)課, 下午有 2 節(jié)課, 現(xiàn)要安排該班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、 藝術(shù) 6 堂課的課程表, 要求數(shù)學(xué)課排在上午, 體育課排在下午, 不同排法種數(shù)是__
(4) 以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱雉的個(gè)數(shù)是
人教 A 版選擇性必修三 P38
4. (1) 平面內(nèi)有 n 條直線,其中沒(méi)有兩條平行,也沒(méi)有三條交于一點(diǎn),共有多少個(gè)交點(diǎn)?
(2) 空間有 n 個(gè)平面,其中沒(méi)有兩個(gè)互相平行,也沒(méi)有三個(gè)交于一條直線,共有多少條交線?
5. (1) 求 1?2x51+3x4 的展開式中按 x 的升冪排列的第 3 項(xiàng);
(2) 求 9x+13x18 的展開式的常數(shù)項(xiàng);
(3) 已知 1+xn 的展開式中第 9 項(xiàng)、第 10 項(xiàng)、第 11 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列,求 n ;
(4) 求 1+x+x21?x10 的展開式中 x4 的系數(shù);
(5) 求 x2+x+y5 的展開式中 x5y2 的系數(shù).
6. 用二項(xiàng)式定理證明 5555+9 能被 8 整除. (提示: 5555+9=56?155+9 .)
7. (1) 平面內(nèi)有兩組平行線,一組有 m 條,另一組有 n 條,這兩組平行線相交,可以構(gòu)成多少 個(gè)平行四邊形?
(2) 空間有三組平行平面,第一組有 m 個(gè),第二組有 n 個(gè),第三組有 l 個(gè),不同兩組的平面 都相交, 且交線不都平行, 可以構(gòu)成多少個(gè)平行六面體?
8. 某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過(guò) 5 道工序.
(1) 如果其中某道工序不能放在最后, 那么有多少種加工順序?
(2) 如果其中某 2 道工序既不能放在最前, 也不能放在最后, 那么有多少種加工順序?
(3) 如果其中某 2 道工序必須相鄰, 那么有多少種加工順序?
(4) 如果其中某 2 道工序不能相鄰, 那么有多少種加工順序?
9. 在 1+x3+1+x4+?+1+xn+2 的展開式中,含 x2 項(xiàng)的系數(shù)是多少?
10. 你能構(gòu)造一個(gè)實(shí)際背景,對(duì)等式 Cnk?Cn?km?k=Cnm?Cmk 的意義作出解釋嗎?
人教 B 版選擇性必修二 P8
(3) 已知 n 是一個(gè)小于 10 的正整數(shù),且由集合 A=x x∈N+,x≤n 中的元素可 以排成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)共 20 個(gè),求 n 的值.
(4) 如圖所示, 把硬幣有幣值的一面稱為正面, 有花的一
(第 4 題)
面稱為反面. 拋一次硬幣, 得到正面記為 1 , 得到反 面記為 0 . 現(xiàn)拋一枚硬幣 5 次, 按照每次的結(jié)果, 可得 到由 5 個(gè)數(shù)組成的數(shù)組 (例如, 若第一、二、四次得 到的是正面, 第三、五次得到的是反面, 則結(jié)果可記 為 1,1,0,1,0 ,則可得不同的數(shù)組共有多少個(gè)?
(5) 已知 A 是一個(gè)有限集,且 A 中的元素個(gè)數(shù)為 n ,求 A 的子集的個(gè)數(shù).人教 B 版選擇性必修二 P15
(3) 用 0,1,2,3,4,5 可組成多少個(gè):
(1) 沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?
(2) 沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且被 5 整除的四位數(shù)?
(3) 比 2000 大且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)?
(4) 四對(duì)夫婦坐成一排照相:
(1) 每對(duì)夫婦都不能被隔開的排法有多少種?
(2) 每對(duì)夫婦都不能被隔開, 且同性別的人不能相鄰的排法有多少種?
將 2 個(gè)男生和 4 個(gè)女生排成一排:
(1) 男生排在中間的排法有多少種?
(2) 男生不在頭尾的排法有多少種?
(3) 男生不相鄰的排法有多少種?
(4) 男生不相鄰且不在頭尾的排法有多少種?
(5) 2 個(gè)男生都不與女生甲相鄰的排法有多少種? 人教 B 版選擇性必修二 P23
(2) 解方程: C18x=C183x?6 .
(4) 利用組合數(shù)公式證明 Cnm+1+Cnm=Cn+1m+1 .
(4) 甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加某項(xiàng)競(jìng)賽, 決出了第一名到第五名的 5 個(gè)名 次. 甲、乙兩人去詢問(wèn)成績(jī), 組織者對(duì)甲說(shuō): “很遺憾, 你和乙都未拿到冠軍. " 對(duì)乙說(shuō): “你當(dāng)然不會(huì)是最差的. ” 從組織者的回答分析，這五名同學(xué)的名次排 列共有多少種不同的情況.
將 6 名中學(xué)生分到甲、乙、丙 3 個(gè)不同的公益小組:
(1) 要求有 3 人分到甲組, 2 人分到乙組, 1 個(gè)人分到丙組, 共有多少種不同的 分法?
(2) 要求三個(gè)組的人數(shù)分別為 3,2,1 ,共有多少種不同的分法?
人教 B 版選擇性必修二 P24
(2) 已知從 n 個(gè)不同對(duì)象中取出 2 個(gè)對(duì)象的排列數(shù)等于從 n?4 個(gè)不同對(duì)象中取出 2 個(gè)對(duì)象的排列數(shù)的 7 倍,求正整數(shù) n 的值.
(5) (1) 已知圓上有 10 個(gè)點(diǎn), 過(guò)任意 3 個(gè)點(diǎn)都可畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形, 一共可畫 多少個(gè)圓內(nèi)接三角形?
(2) 已知空間中有 10 個(gè)點(diǎn), 且任意 4 個(gè)點(diǎn)都不共面, 即以任意 4 個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn) 都可構(gòu)造一個(gè)四面體, 則一共可以構(gòu)造多少個(gè)四面體?
(1) (1) 平面內(nèi)有兩組平行線,一組有 m 條,另一組有 n 條,不同組的平行線都相 交,其中 m,n 都是大于 1 的正整數(shù),這些平行線一共構(gòu)成了多少個(gè)平行四邊形? (2) 空間中有三組平行平面,第一組有 m 個(gè),第二組有 n 個(gè),第三組有 l 個(gè),不同組的平面都互相垂直,其中 m,n,l 都是大于 1 的正整數(shù),這些平 行平面一共構(gòu)成了多少個(gè)長(zhǎng)方體?人教 B 版選擇性必修二 P24
將 4 封不同的信全部投入 3 個(gè)郵筒:
(1) 不加任何限制, 有多少種不同的投法?
(2) 每個(gè)郵筒至少投 1 封信, 有多少種不同的投法?
(3) 某乒乓球邀請(qǐng)賽, 參加的有三個(gè)組, 第一、第二組各有 7 個(gè)隊(duì), 第三組有 6 個(gè)隊(duì), 首先各組進(jìn)行單循環(huán)賽, 然后各小組的第一名共 3 個(gè)隊(duì)分主客場(chǎng)進(jìn)行 決賽，最終決出冠、亞軍，該乒乓球邀請(qǐng)賽一共需要比賽多少場(chǎng)?
人教 B 版選擇性必修二 P24
(2) 在不小于 3000 且不大于 7000 的正整數(shù)中, 有多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的 5 的倍數(shù)? 人教 B 版選擇性必修二 P25
某班有 35 名學(xué)生，其中正、副班長(zhǎng)各 1 名，現(xiàn)要從該班選派 5 名學(xué)生參加某 種活動(dòng):
(1) 如果正、副班長(zhǎng)必須在內(nèi), 共有多少種不同的選派方法?
(2) 如果正、副班長(zhǎng)必須有一人在內(nèi), 且只能有一人在內(nèi), 共有多少種不同 的選派方法?
(3) 如果正、副班長(zhǎng)都不在內(nèi), 共有多少種不同的選派方法?
(4) 如果正、副班長(zhǎng)至少有一人在內(nèi), 共有多少種不同的選派方法?
(3) 有 6 個(gè)座位連成一排, 安排 3 個(gè)人就座, 恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法共有 多少種?
(3) 有 10 個(gè)人圍著一張圓桌坐成一圈, 共有多少種不同的坐法? 人教 B 版選擇性必修二 P25
(1) 求 C22+C32+C42+?+C1002 的值.
(2) 求證: Amm+Am+1m+Am+2m+?+A2mm=A2m+1m . (提示: 考察排列數(shù)與組合數(shù)的 關(guān)系.)
(3) 如圖所示, 一個(gè)地區(qū)分為 5 個(gè)行政區(qū)域, 現(xiàn)
(第 3 題)
給地圖著色, 要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏 色, 有 4 種顏色可供選擇, 則不同的著色方 法共有多少種?
要把 9 本不同的課外書分別裝到三個(gè)相同的 手提袋里, 每個(gè)袋中至少一本, 一共有多少 種不同的裝法?
(3) 把分別標(biāo)有 1 號(hào)、 2 號(hào)、 3 號(hào)、 4 號(hào)的 4 個(gè)不同的小球放入分別標(biāo)有 1 號(hào)、 2 號(hào)、 3 號(hào)的 3 個(gè)盒子中, 不許有空盒子且任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號(hào) 的盒子中, 則不同的放法共有多少種?人教 B 版選擇性必修二 P35 (4) 已知 13x?15x2n 的展開式中,所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和等于 1024,求展開式中 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).
(5) 求 a13b?16+a?16b1411 的展開式中 a 和 b 的指數(shù)相等的項(xiàng).
(6) 求 1+a1+b21+c3 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和.
(1) 求 1+x2?x6 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)和含 x 的項(xiàng). 人教 B 版選擇性必修二 P35 將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù) Cnr 都換成分?jǐn)?shù)
(第 1 題)
1n+1Cnr ,可得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三 角形, 稱為 “萊布尼茨三角形”, 從萊布尼 茨三角形可看出,存在 x 使得
1n+1Cnr+1n+1Cnx=1nCn?1r,
求 x 的值. (2) 設(shè) 3x?18=a8x8+a7x7+?+a1x+ a0 ,求:
(1) a8+a7+?+a1 ;
(2) a8?a7+a6?a5+a4?a3+a2?a1+a0 ;
(3) a8+a6+a4+a2+a0 .
(3) 求 2+x?x26 的展開式中含 x 的項(xiàng)和含 x3 的項(xiàng).
(4) 當(dāng) n 是大于 1 的正整數(shù)且 x>0 時(shí),求證: 1+xn≥1+nx+nn?12x2 . 人教 B 版選擇性必修二 P38
11. 設(shè) i 為虛數(shù)單位,求 2?i7 的實(shí)部.
12. 已知 x+33xn 的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比 為 64,求正整數(shù) n 的值. 人教 B 版選擇性必修二 P39
4. 書架上有 4 本不同的數(shù)學(xué)書, 5 本不同的物理書, 3 本不同的化學(xué)書, 將這些 書全部堅(jiān)起排成一排:
(1) 如果同類書不能分開, 一共有多少種不同的排法?
(2) 如果要使任意兩本物理書都不相鄰, 一共有多少種不同的排法?
5. (1) 已知 1C5n?1C6n=710C7n ,求 C8n ;
(2) 已知 Cnm?12=Cnm3=Cnm+14 ,求 n,m .人教 B 版選擇性必修二 P39
6. 設(shè)
1?2x9=a0+a1x+a2x2+?+a9x9,
求 a0+a1+a2+?+a9 .
7. 已知
x2+12x+19=a0+a1x+2+a2x+22+?+a11x+211,
求 a0+a1+a2+?+a11 的值.
8. 已知
1?x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
求 a0+a2+a4a1+a3+a5 的值.
9. 在 2+4350 的展開式中,有多少個(gè)有理項(xiàng)?
10. 求 x+1x?23 的展開式中的常數(shù)項(xiàng).
11. 求 1+x+x21?x10 的展開式中 x4 的系數(shù).
12. 求 1?2x51+3x4 的展開式中,按 x 的升冪排列的前三項(xiàng).
人教 B 版選擇性必修二 P40
2. 把 6 張座位編號(hào)為 1,2,3,4,5,6 的電影票全部分給 4 個(gè)人,每人至少 分 1 張, 至多分 2 張, 且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào), 那么不同的分法共有多少種?
3. 設(shè) n 是正整數(shù),化簡(jiǎn) Cn1+Cn26+Cn362+?+Cnn6n?1 .
4. 求 1+x3+1+x4+1+x5+?+1+x19+1+x20 的展開式中含 x3 的項(xiàng).
5. 過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共 15 條, 其中異面直線有多少對(duì)?
6. 將 a,b,c 填人 3×3 的方格中,要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)的字母,則不 同的填寫方法共有多少種?
7. 某人有 3 種顏色的燈泡 (每種顏色的燈泡足夠多), 要在如圖所示的 6 個(gè)點(diǎn) A,B,C,A1,B1,C1 上各安裝一個(gè)燈泡,要求同一條線段兩端的燈泡顏色不 同, 則不同的安裝方法共有多少種?
(第 7 題)區(qū)別
分類加法計(jì)數(shù)原理
分步加法計(jì)數(shù)原理
(1)針對(duì)的是“分類問(wèn)題”;
針對(duì)的是“分步問(wèn)題”;
(2)各種方法相互獨(dú)立;
(2)各種步驟之間的方法相互依存;
(3)用其中一種方法都可以完成這件事
(3)只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事
聯(lián)系解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問(wèn)題
對(duì)稱性
與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等(即 Cnm=Cnn?m
增減性
當(dāng) kn+1n 時(shí)，二 項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小,因此二項(xiàng)式系數(shù)在中間取得 最大值
最大值
當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí),展開式的中間一項(xiàng) T42+1 的二項(xiàng)式系 數(shù) Cn12 最大; 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí),展開式的中間兩項(xiàng) Tn?12 與 T?n?12+1 的二項(xiàng)式系數(shù) Cnn+12,Cnn+12 相等且最大
各二項(xiàng)式 系數(shù)的和
各二項(xiàng)式的系數(shù)和 Cn0+Cn1+Cn2+?+Cnn=2n
奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系 數(shù)的和 Cn0+Cn2+Cn4+?=Cn1+Cn3+Cn5+?=2n?1

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