考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，則（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
2. 如圖，由觀測(cè)數(shù)據(jù) 的散點(diǎn)圖可知， 與 的關(guān)系可以用模型 擬合，設(shè) ，利用最小二乘法求得 關(guān)于 的回歸方程 . 已知 ， ，則 （ ）
A. B. C. 1D.
3. 圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，則第個(gè)三角形的面積為（ ）
A. B. C. D.
4. 下列說法中正確的有（ ）
A. 已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)可能等于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；
B. 若兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強(qiáng)；
C. 設(shè)隨機(jī)變量，則；
D. 某人參加一次游戲，游戲有三個(gè)題目，每個(gè)題目答對(duì)的概率都為0.5，答對(duì)題數(shù)多于答錯(cuò)題數(shù)可得4分，否則得2分，則某人參加游戲得分的期望為3
5. 已知函數(shù)，曲線上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與直線平行，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”為事件A，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件B，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件C，則下列說法正確的是（ ）
A. 事件A與事件B互為對(duì)立事件B.
C. D. 事件B與事件C相互不獨(dú)立
7. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（ ）
A. 是等比數(shù)列
B. 成等差數(shù)列，公差為
C. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值
D. 時(shí)，的最大值為33
8. 設(shè)函數(shù)，若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（ ）
A. 若是等差數(shù)列，，則使的最大正整數(shù)的值為15
B. 若是等比數(shù)列，（為常數(shù)），則必有
C. 若是等比數(shù)列，則
D. 若，則數(shù)列為遞增等差數(shù)列
10. 甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約去電影院看春節(jié)檔熱映《熱辣滾燙》，《飛馳人生2》，《第二十條》三部電影，每人都要看且限看其中一部.記事件為“恰有兩名同學(xué)所看電影相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人看《飛馳人生2》”，則（ ）
A. 四名同學(xué)看電影情況共有種
B. “每部電影都有人看”的情況共有72種
C
D. “四名同學(xué)最終只看了兩部電影”的概率是
11. 已知函數(shù)，，下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，且
B. 令，則函數(shù)無零點(diǎn)
C. 若恒成立，則
D. 若，，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則使的最小正整數(shù)的值是______．
13. 函數(shù).對(duì)于，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
14. 已知有兩個(gè)盒子，其中盒裝有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，盒裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．甲從盒、乙從盒各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，并將取出2個(gè)球全部放入盒中，若2個(gè)球異色，則乙勝，并將取出的2個(gè)球全部放入盒中．按上述方法重復(fù)操作兩次后，盒中恰有7個(gè)球的概率是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，
①求；
②若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17. 某學(xué)校號(hào)召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了解學(xué)生參加活動(dòng)的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在假期每周鍛煉的時(shí)間，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加鍛煉的數(shù)據(jù)，整理如下列聯(lián)表：
注：將一周參加鍛煉時(shí)間不小于3小時(shí)的稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．
（1）請(qǐng)完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；
（2）將一周參加鍛煉為0小時(shí)稱為“極度缺乏鍛煉”．在抽取的60名同學(xué)中有5人“極度缺乏鍛煉”.以樣本頻率估計(jì)概率.若在全校抽取20名同學(xué)，設(shè)“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差；
（3）將一周參加鍛煉6小時(shí)以上的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛好者”．在抽取的60名同學(xué)中有10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”，其中有7名男生，3名女生．為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，
18. 已知函數(shù)，常數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，求函數(shù)的極大值．
（2）設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，則稱點(diǎn)為的“類優(yōu)點(diǎn)”，若點(diǎn)是函數(shù)的“類優(yōu)點(diǎn)”．
①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程．
②求實(shí)數(shù)的取值范圍．
19. 定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.
（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證：數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”；
（2）已知數(shù)列{bn}滿足：，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M-數(shù)列”，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)時(shí)，都有成立，求m的最大值.
2023—2024學(xué)年度（下）七校協(xié)作體高二聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題
考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，則（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求出公比，進(jìn)而化簡(jiǎn)求值即可．
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為
，或（舍）
則
故選：B
2. 如圖，由觀測(cè)數(shù)據(jù) 散點(diǎn)圖可知， 與 的關(guān)系可以用模型 擬合，設(shè) ，利用最小二乘法求得 關(guān)于 的回歸方程 . 已知 ， ，則 （ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知數(shù)據(jù)可求得樣本中心點(diǎn)，再利用回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，即可求出.
【詳解】由可得：，
由可得：，
由回歸方程 必過樣本中心點(diǎn)，即過點(diǎn)，
所以，解得，
故選：C.
3. 圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，則第個(gè)三角形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】記的長度構(gòu)成的數(shù)列為，依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而求出，再由面積公式計(jì)算可得.
【詳解】記的長度構(gòu)成的數(shù)列為，
由題意知，，且都是直角三角形，
所以，且，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，
由，所以.
所以第個(gè)三角形的面積為.
故選：B．
4. 下列說法中正確的有（ ）
A. 已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)可能等于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；
B. 若兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強(qiáng)；
C. 設(shè)隨機(jī)變量，則；
D. 某人參加一次游戲，游戲有三個(gè)題目，每個(gè)題目答對(duì)的概率都為0.5，答對(duì)題數(shù)多于答錯(cuò)題數(shù)可得4分，否則得2分，則某人參加游戲得分的期望為3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法，可得判定A錯(cuò)誤；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念，可判定B錯(cuò)誤，根據(jù)正態(tài)分布的定義和期望、方差的性質(zhì)，可得判定C錯(cuò)誤；設(shè)得分為隨機(jī)變量，得到的可能取值，求得相應(yīng)的概率，結(jié)合期望公式，求得數(shù)學(xué)期望，可判定D正確.
【詳解】對(duì)于A中，原來30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，從小到大排列，設(shè)為，
可得，所以分位數(shù)為，
若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下28個(gè)數(shù)據(jù)，可得，
可得，所以分位數(shù)為，其中，所以A不正確；
對(duì)于B中，若兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，
可得，所以則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強(qiáng)，所以B不正確；
對(duì)于C中，設(shè)隨機(jī)變量，可得，
則，所以C不正確；
對(duì)于D中，設(shè)得分為隨機(jī)變量，則的可能取值為，
可得，，
所以參加游戲得分的期望為，所以D正確.
故選：D.
5. 已知函數(shù)，曲線上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與直線平行，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求導(dǎo)，問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和最值可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，則，
令，整理得，
設(shè)，則，
時(shí)，；時(shí)，；
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，
由題意可知：有兩個(gè)不同的解，
即與的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則，解得，
令，則，
可知，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，
代入點(diǎn)可得：，解得，
且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
6. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”為事件A，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件B，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件C，則下列說法正確的是（ ）
A. 事件A與事件B互為對(duì)立事件B.
C. D. 事件B與事件C相互不獨(dú)立
【答案】C
【解析】
【分析】由對(duì)立事件的定義判斷A；應(yīng)用列舉法求、判斷B、C；根據(jù)獨(dú)立事件的判定判斷D.
【詳解】由事件定義，事件A與事件B可以同時(shí)發(fā)生，故不互為對(duì)立事件，A錯(cuò)誤；
拋擲一枚骰子兩次的樣本點(diǎn)數(shù)共36種，
事件B的樣本點(diǎn)為共18種，
事件C的樣本點(diǎn)為共有12種，
事件的樣本點(diǎn)為共6種，
所以，B錯(cuò)誤；，C正確；
因?yàn)?，所以事件B與事件C相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤．
故選：C
7. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（ ）
A. 是等比數(shù)列
B. 成等差數(shù)列，公差為
C. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值
D. 時(shí)，的最大值為33
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可得數(shù)列是以為公差，32為首項(xiàng)的等差數(shù)列，求出，然后利用可求出，再逐個(gè)分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以為公差，32為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
所以，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
因?yàn)?，所以?br>對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以是以為公差的等差數(shù)列，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以成等差數(shù)列，公差為，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，，對(duì)稱軸為，
因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，取得最大值，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，由，得，且，所以的最大值為33，所以D正確，
故選：D
8. 設(shè)函數(shù)，若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式，即?br>兩邊除以，則,注意到直線：恒過定點(diǎn)，
函數(shù)圖象上恰有兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)落在直線的上方，由圖象可知，這兩個(gè)點(diǎn)分別為，所以直線的斜率的取值范圍為，即.
故選A
點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（ ）
A. 若是等差數(shù)列，，則使的最大正整數(shù)的值為15
B. 若是等比數(shù)列，（為常數(shù)），則必有
C. 若是等比數(shù)列，則
D. 若，則數(shù)列為遞增等差數(shù)列
【答案】BD
【解析】
【分析】由等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】若是等差數(shù)列，，
所以，則，
所以使的最大正整數(shù)的值為30.故A錯(cuò)誤；
若是等比數(shù)列，，則，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，故B正確；
若是等比數(shù)列，則，故C錯(cuò)誤；
若，所以，
所以，所以，
即，所以，
所以是以為首項(xiàng)，為公差的遞增等差數(shù)列，故D正確；
故選：BD.
10. 甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約去電影院看春節(jié)檔熱映的《熱辣滾燙》，《飛馳人生2》，《第二十條》三部電影，每人都要看且限看其中一部.記事件為“恰有兩名同學(xué)所看電影相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人看《飛馳人生2》”，則（ ）
A 四名同學(xué)看電影情況共有種
B. “每部電影都有人看”的情況共有72種
C.
D. “四名同學(xué)最終只看了兩部電影”的概率是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可判斷A；將四名同學(xué)先分組，再分到三部電影可判斷B；由條件概率可判斷C；先求出四名同學(xué)最終只報(bào)了兩個(gè)項(xiàng)目的方法總數(shù)，再結(jié)合A選項(xiàng)可判斷 D.
【詳解】對(duì)于A，由題意可知，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)每人有3種選擇，
故四名同學(xué)的報(bào)名情況共有種，A正確；
對(duì)于B，現(xiàn)將四名志愿者分為2，1，1三組，共有種情況，
再將其分到三個(gè)活動(dòng)中，共有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到種，
故“每個(gè)項(xiàng)目都有人報(bào)名”的報(bào)名情況共有36種，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由已知有：，，
所以， C正確；
對(duì)于D， “四名同學(xué)最終只報(bào)了兩個(gè)項(xiàng)目”的概率是，D正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)，，下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，且
B. 令，則函數(shù)無零點(diǎn)
C. 若恒成立，則
D. 若，，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】由在單調(diào)遞增，又，，即可判斷A；由導(dǎo)數(shù)判斷出恒大于0，恒大于0，即可判斷B；由的值域即可判斷C；由的單調(diào)性即可判斷D．
【詳解】對(duì)于A，，顯然在單調(diào)遞增，又，，
所以，使得，故A正確；
對(duì)于B，由A得，，使得，即，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以恒大于0；
由，令，
，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，
所以，即，即在單調(diào)遞增，
又時(shí)，，所以，
由恒大于0，恒大于0，故無零點(diǎn)，B正確；
對(duì)于C，由B得，由恒成立，得在恒成立，
所以，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，又，，則，
所以，即，
整理得，
不等式兩邊同除以得，，故D正確，
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則使的最小正整數(shù)的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程組求得，得到的通項(xiàng)公式為，令，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋傻?，即?br>解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
令，即，解得，
又因?yàn)椋?，所以使的最小正整?shù)的值是.
故答案為：.
13. 函數(shù).對(duì)于，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出在上的最小值和在上的最大值，由題意，列式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>所以時(shí)，，時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)?，，所以?br>所以時(shí)，，時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，
所以，
對(duì)于，都有，則，
所以，即.
故答案為：
14. 已知有兩個(gè)盒子，其中盒裝有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，盒裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．甲從盒、乙從盒各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，并將取出的2個(gè)球全部放入盒中，若2個(gè)球異色，則乙勝，并將取出的2個(gè)球全部放入盒中．按上述方法重復(fù)操作兩次后，盒中恰有7個(gè)球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】確定出兩次取球后盒中恰有7個(gè)球必須滿足兩次取球均為乙獲勝，再分別計(jì)算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得結(jié)果.
【詳解】若兩次取球后，盒中恰有7個(gè)球，則兩次取球均為乙獲勝；
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率為，
第一次取球后盒中有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，盒裝有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，
第二次取到異色球?yàn)槿〉揭粋€(gè)白球一個(gè)黑球，其概率為；
此時(shí)盒中恰有7個(gè)球的概率為；
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率為，
第一次取球后盒中有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，盒裝有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，
第二次取到異色球?yàn)槿〉揭粋€(gè)白球一個(gè)黑球，其概率為；
此時(shí)盒中恰有7個(gè)球的概率為；
所以盒中恰有7個(gè)球的概率為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的突破口在于先分清楚兩次取球后，盒中恰有7個(gè)球必須滿足兩次取球均為乙獲勝；再分別討論并計(jì)算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得結(jié)果.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，參數(shù)進(jìn)行分類討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即得；（2）由題可得函數(shù)在上為增函數(shù)，在上恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.
【小問1詳解】
由題意得，，
①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
【小問2詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，
所以，在上恒成立．
即在上恒成立．
令，當(dāng)時(shí)，，
所以，在上單調(diào)遞增，．
所以，，解得，
所以，實(shí)數(shù)取值范圍為．
16. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，
①求；
②若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程求得公差，由此可得；利用與關(guān)系可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得；
（2）①由（1）可得，采用錯(cuò)位相減法可求得；
②分別在為奇數(shù)和為偶數(shù)的情況下分離參數(shù)，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可求得的取值范圍.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列公差為，
由，得：，即，
解得：，；
當(dāng)時(shí)，，解得：；
當(dāng)且時(shí)，，
，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，.
【小問2詳解】
①由（1）得：；
，
，
，
；
②由①知：對(duì)恒成立；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
為遞增數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
為遞減數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
17. 某學(xué)校號(hào)召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了解學(xué)生參加活動(dòng)的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在假期每周鍛煉的時(shí)間，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加鍛煉的數(shù)據(jù)，整理如下列聯(lián)表：
注：將一周參加鍛煉時(shí)間不小于3小時(shí)的稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．
（1）請(qǐng)完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；
（2）將一周參加鍛煉為0小時(shí)的稱為“極度缺乏鍛煉”．在抽取的60名同學(xué)中有5人“極度缺乏鍛煉”.以樣本頻率估計(jì)概率.若在全校抽取20名同學(xué)，設(shè)“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差；
（3）將一周參加鍛煉6小時(shí)以上的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛好者”．在抽取的60名同學(xué)中有10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”，其中有7名男生，3名女生．為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，
【答案】（1）表格見解析，性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系
（2），
（3）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)題意完成列聯(lián)表，代入公式可得，即可得到結(jié)論；
（2）依題意可得X近似服從二項(xiàng)分布，先求出隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者概率為，從而可得，即可求得和；
（3）依題意可得Y的所有可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布公式求得概率，進(jìn)而即可得到Y(jié)的分布列和期望值．
【小問1詳解】
根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下；
零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；
根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1．
【小問2詳解】
因?qū)W校總學(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故X近似服從二項(xiàng)分布，
易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，即可得，
故，．
【小問3詳解】
易知10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值為0，1，2，3，
且Y服從超幾何分布：
，
，
，
故所求分布列為
可得
18. 已知函數(shù)，常數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，求函數(shù)的極大值．
（2）設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，則稱點(diǎn)為的“類優(yōu)點(diǎn)”，若點(diǎn)是函數(shù)的“類優(yōu)點(diǎn)”．
①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程．
②求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定的極值點(diǎn)及極值求出，進(jìn)而求出極大值.
（2）①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；②利用給定的定義可得當(dāng)時(shí)，恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)分類探討函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)取值情況即可判斷得解.
【小問1詳解】
依題意，，解得，函數(shù)定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在，上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減，
所以當(dāng)時(shí)，有極大值．
【小問2詳解】
①函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，則，而，
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.
②若點(diǎn)是函數(shù)的“類優(yōu)點(diǎn)”，
令，常數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，恒有，
又，且，
令，得或，
（i）當(dāng)時(shí)，在上嚴(yán)格增，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此當(dāng)時(shí)，恒有成立；
（ii）當(dāng)時(shí)，由，得，則在上嚴(yán)格減，，
所以時(shí)，不成立；
（iii）當(dāng)時(shí)，由，得，在上嚴(yán)格減，，
所以時(shí)，不成立．
綜上可知，若點(diǎn)是函數(shù)的“類優(yōu)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù).
19. 定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.
（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證：數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”；
（2）已知數(shù)列{bn}滿足：，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M-數(shù)列”，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)時(shí)，都有成立，求m的最大值.
【答案】（1）證明見解析
（2）①;②5
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程求出首項(xiàng)和公比即可證明；
（2）①根據(jù)可得，即可判斷數(shù)列為等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；
②根據(jù)題意有，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，
由，得，解得，
所以數(shù)列為“M-數(shù)列”；
【小問2詳解】
①因?yàn)?，則，則，
當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1 的等差數(shù)列，所以；
②由①知，，
因?yàn)閿?shù)列為“M-數(shù)列”，設(shè)公比為，所以，
因?yàn)?，所以，其中?br>當(dāng)時(shí)，有；
當(dāng)時(shí)，有，
設(shè)，則，
當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，
因?yàn)椋裕?br>取，當(dāng)時(shí)，，即，經(jīng)檢驗(yàn)知也成立，
因此所求的最大值不小于5，
若，分別取，得，且，從而且，所以不存在，所以，
綜上，所求的最大值為5.
性別
不經(jīng)常鍛煉
經(jīng)常鍛煉
合計(jì)
男生
7
女生
16
30
合計(jì)
21
0.1
005
0.01
2.706
3.841
6.635
性別
不經(jīng)常鍛煉
經(jīng)常鍛煉
合計(jì)
男生
7
女生
16
30
合計(jì)
21
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性別
不經(jīng)常鍛煉
經(jīng)常鍛煉
合計(jì)
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合計(jì)
21
39
60
Y
0
1
2
3
P

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