1.已知集合A={sinπ2,e?ln3}，B={?3,?1,0,13,1}，則A∩B=( )
A. {?3,1}B. {13,1}C. {?3,0}D. {0,13}
2.5名應屆高中畢業(yè)生報考三所高校，每人報且僅報一所高校，則不同的報名方法種數(shù)是( )
A. 35B. 53C. A53D. C53
3.一份新高考數(shù)學試卷中有8道單選題，小胡對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率是0.9，沒有思路的題只能猜一個答案，猜對答案的概率為0.25，則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為( )
A. 79160B. 35C. 2132D. 58
4.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=a+bi，a，b∈R且滿足|z?i|= 2，求點Z(a,b)到直線y=x+3距離的最大值為( )
A. 0B. 2 2?2C. 2D. 2 2
5.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國家有關規(guī)定：100mL血液中酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？(結果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48，lg7≈0.85)( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.已知a,b,c為不共線的平面向量，|b|=|c|，若a+b+c=0，則b在a方向上的投影向量為( )
A. 14aB. ?14aC. 12aD. ?12a
7.已知g(x)=x3f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(?∞,0]上單調遞減，若關于實數(shù)m的不等式f(lg2m)+f(lg0.5m)≥2f(3)恒成立，則m的取值范圍是( )
A. (0,13]B. [8,+∞)C. (0,13]∪[8,+∞)D. (0,18]∪[8,+∞)
8.已知函數(shù)f(x)=(x?1)ex,x4)=P(X0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線C的虛軸長為2，有一條漸近線方程為y= 33x，如圖，點A是雙曲線C上位于第一象限內的點，過點A作直線l與雙曲線的右支交于另外一點B，連接AO并延長交雙曲線左支于點P，連接PF1與PF2，其中l(wèi)垂直于∠F1PF2的平分線m，垂足為D.
(Ⅰ)求雙曲線C的標準方程；
(Ⅱ)求證：直線m與直線OA的斜率之積為定值；
(Ⅲ)求S△APBS△APD的最小值.
19.(本小題17分)
設f(x)=ax2+csx?1，a∈R.
(1)當a=1π時，求函數(shù)f(x)的最小值；
(2)當a≥12時.證明：f(x)≥0；
(3)證明：cs12+cs13+?+cs1n>n?43(n∈N*,n>1).
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因為sinπ2=1，e?ln3=eln13=13，
所以A={sinπ2,e?ln3}={1,13}，
因為B={?3,?1,0,13,1}，
所以A∩B={13,1}.
故選：B.
求出集合A，再求交集即可．
本題考查集合的運算，屬于基礎題．
2.【答案】A
【解析】解：分析可得，這是一個分步計數(shù)原理問題，
根據(jù)題意，5個人，每人都有3種不同的選法，
則有3×3×3×3×3=35種，
故選：A.
根據(jù)題意，5個人，每人都有3種不同的選法，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
本題考查排列的應用，解題時要首先分析題意，明確時排列，還是組合問題．
3.【答案】C
【解析】解：設事件A表示“考生答對”，設事件B表示“考生選到有思路的題”．
則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為：
P(A)=P(B)P(A|B)+P(B?)P(A|B?)=58×0.9+38×0.25=2132.
故選：C.
利用全概率公式求解即可．
本題主要考查全概率公式，屬于基礎題．
4.【答案】D
【解析】解：z=a+bi，|z?i|= 2，
則|a+(b?1)i|= 2，即a2+(b?1)2=2，圓心為(0,1)，半徑為r= 2，
圓心(0,1)到直線x?y+3=0的距離d=|0?1+3| 1+1= 2，
故點Z(a,b)到直線y=x+3距離的最大值為d+r= 2+ 2=2 2.
故選：D.
結合復數(shù)模公式，求出圓心、半徑，再結合點到直線的距離公式，即可求解．
本題主要考查復數(shù)的模，屬于基礎題．
5.【答案】D
【解析】解：設此人至少經過x個小時才能駕駛，
則有0.6×(1?0.3)x1?2(15?17),?,cs1n>1?2(12n?1?12n+1)，
相加，可得cs12+cs13+?+cs1n>(n?1)?2(13?12n+1)=n?43?2n?53(2n+1)，
因為n≥3，所以2n?53(2n+1)>0，所以cs12+cs13+?+cs1n>n?43，
綜上，cs12+cs13+?+cs1n>n?43(n∈N*,n>1).
【解析】(1)由題意可知，f(x)為偶函數(shù)，則僅需研究x≥0的部分，求導，分x>π2和0≤x1?1n2(n≥2)，分n=2和n≥3兩種情況，結合裂項相消法證明不等式即可；
本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值，不等式的證明和裂項相消法求和，考查了分類討論思想和轉化思想，屬難題．X
40
60
80
100
P
8125
36125
54125
27125

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