1.已知集合A={x|x2?4x+3≤0}，B={?1,1,2,4}，則A∩B=( )
A. {1,2,3}B. {1,2}C. {2,3}D. {?1,1,2}
2.已知a∈R，若z=a+i2i?1為純虛數(shù)，則a=( )
A. 2B. 2C. 1D. 12
3.已知f(x)=x3+2x2,x≥0x3+ax2,x0,b>0)的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B，C為雙曲線E上兩點(diǎn)，且AB+AC=2AO，直線AB，AC的斜率分別為2和14，則雙曲線E的離心率為( )
A. 2B. 52C. 62D. 2
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知圓C1：(x?3)2+y2=1,C2：x2+(y?a)2=16，則下列結(jié)論正確的有( )
A. 若圓C1和圓C2外離，則a>4
B. 若圓C1和圓C2外切，則a=±4
C. 當(dāng)a=0時(shí)，圓C1和圓C2有且僅有一條公切線
D. 當(dāng)a=?2時(shí)，圓C1和圓C2相交
10.已知函數(shù)f(x)=cs2x+acsx+2，則下列說(shuō)法正確的有( )
A. 當(dāng)a=0時(shí)，f(x)的最小正周期為π
B. 當(dāng)a=1時(shí)，f(x)的最小值為78
C. 當(dāng)a=3時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,2π]上有4個(gè)零點(diǎn)
D. 若f(x)在(0,π3)上單調(diào)遞減，則a≥2
11.已知四面體ABCD的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且CA=CB=2AB=4.設(shè)E為空間內(nèi)任一點(diǎn)，且A，B，C，D，E五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則( )
A. AB⊥CD
B. 四面體ABCD的體積為2 14
C. 當(dāng)AE=2 3時(shí)，點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為4π
D. 當(dāng)三棱錐E?ABC的體積為 146時(shí)，點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為3 2π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.第33屆奧運(yùn)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行，某高校需要選派4名大學(xué)生去當(dāng)志愿者，已知該校現(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有______種(用數(shù)字作答)．
13.已知P為橢圓C：x29+y23=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓M：(x?1)2+y2=2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則|AB|的最小值為_(kāi)_____．
14.若直線y=2x為曲線y=eax+b的一條切線，則ab的最大值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而許多人被睡眠時(shí)長(zhǎng)過(guò)短、質(zhì)量不高等問(wèn)題所困擾.2023年3月21日是第23個(gè)世界睡眠日，這一天某研究小組隨機(jī)調(diào)查了某高校100名學(xué)生在某一天內(nèi)的睡眠情況，將所得數(shù)據(jù)按照[5.75,6.25)，[6.25,6.75)，[6.75,7.25)，[7.25,7.75)，[7.75,8.25)，[8.25,8.75]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)求a的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該校所有學(xué)生每一天的平均睡眠時(shí)長(zhǎng)(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；
(2)每一天睡眠時(shí)長(zhǎng)不低于7.75小時(shí)認(rèn)定為睡眠充足，以頻率代替概率，樣本估計(jì)總體，在該高校學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，求至少有兩人每一天睡眠時(shí)長(zhǎng)充足的概率．
16.(本小題15分)
記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B=π4,4bcsC= 2c+2a．
(1)求tanC；
(2)若△ABC的面積為32，求BC邊上的中線長(zhǎng)．
17.(本小題15分)
如圖1，在平面四邊形PABC中，PA⊥AB，CD/?/AB，CD=2AB=2PD=2AD=4.點(diǎn)E是線段PC上靠近P端的三等分點(diǎn)，將△PDC沿CD折成四棱錐P?ABCD，且AP=2 2，連接PA，PB，BD，如圖2．

(1)在圖2中，證明：PA//平面BDE；
(2)求圖2中，直線AP與平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小題17分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F(0,1)，P為動(dòng)點(diǎn)，以PF為直徑的圓與x軸相切，記P的軌跡為Γ．
(1)求Γ的方程；
(2)設(shè)M為直線y=?1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M的直線與Γ相切于點(diǎn)A，過(guò)A作直線MA的垂線交Γ于點(diǎn)B，求△MAB面積的最小值．
19.(本小題17分)
已知函數(shù)f(x)=lnx+2ax+1．
(1)設(shè)函數(shù)g(x)=x+1x?f(x)?lnxx，討論g(x)的單調(diào)性；
(2)設(shè)x1，x2分別為f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，證明：|f(x2)?f(x1)|0恒成立，
即a≤4x+x恒成立，因?yàn)?x+x≥2 x×4x=4(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取“=”)，所以a≤4，
所以a的取值范圍為(?∞,4]．
故選：D．
由f′(x)≥0恒成立分離常數(shù)a，利用基本不等式求出a的取值范圍．
本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，基本不等式和不等式恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．
7.【答案】B
【解析】【分析】由題意，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，化簡(jiǎn)要求的式子，可得結(jié)果．
本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】
解：∵cs(α+π6)=14，
可得sin(2α?π6)=?cs[π2+(2α?π6)]=?cs(2α+π3)=1?2cs2(α+π6)=1?2×116=78，
故選：B．
8.【答案】C
【解析】解：A(a,0)，設(shè)B(x0,y0)，C(?x0,?y0)，則x02a2?y02b2=1，
則kAB=y0x0?a=2,kAC=y0x0+a=14，
kAB?kAC=y02x02?a2=b2(x02a2?1)x02?a2=b2a2=14×2=12，
∴e=ca= c2a2= a2+b2a2= 1+(ba)2= 1+12= 62．
故選：C．
先判斷出B，C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)出B，C的坐標(biāo)，根據(jù)AB+AC=2AO，可知O是BC中點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，根據(jù)直線AB，AC的斜率列方程，求得b2a2，進(jìn)而求得雙曲線的離心率．
本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．
9.【答案】BCD
【解析】解：C1(3,0),C2(0,a),|C1C2|= 9+a2,r1=1,r2=4．
若C1和C2外離，則|C1C2|= 9+a2>r1+r2=5，解得a>4或a0在(0,+∞)上恒成立，則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減，在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，
當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．
(2)證明：f′(x)=x2+(2?2a)x+1x(x+1)2(x>0)，
∵x1，x2分別是f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，
∴x1x2=1,x1+x2=2a?2,x2?x1=2 a2?2a(a>2)．
∴2(a?2) a2?2aa?1=2 a2?2a?2 a2?2aa?1=x2?x1?2x2?x1x2+x1，
綜上，要證|f(x2)?f(x1)|1,g(t)=lnt?2(t?1)t+1．
∴g′(t)=1t?4(t+1)2=(t?1)2t(t+1)2>0，
∴g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，∴g(t)>g(1)=0．
∴|f(x2)?f(x1)|0)，根據(jù)x1，x2分別是f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，要證|f(x2)?f(x1)|

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