考試時間：120分鐘 分值：150分
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
已知集合,,則 （ ）
A． B. C. D．
2. 5名應(yīng)屆畢業(yè)生報考3所不同院校，每人報考且僅報考1所院校，則不同的報名方法種數(shù)是( )
A. B. C. D.
3. 一份新高考數(shù)學試卷中有8道單項選擇題，小李對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路。有思路的題做對的概率是，沒有思路的題只能猜一個答案，猜對答案的概率為，則小李從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為（ ）
A． B． C． D．
4. 已知為虛數(shù)單位，復數(shù)且滿足，求點到直線距離的最大值為（ ）
A. 0 B. C. D.
5. 酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6. 已知為不共線的平面向量，，若，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
7. 已知=是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若關(guān)于實數(shù)的不等式 +恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)，．若有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯誤的得0分.
9. 下列說法中正確的是（ ）
A.某射擊運動員在一次訓練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：
6，5，7，9，6，8，9，9，7，5, 這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為9
B.若隨機變量100,，且20，則16
C.若隨機變量,，且，則
D.對一組樣本數(shù)據(jù),,,進行分析，由此得到的線性回歸方程為：
，至少有一個數(shù)據(jù)點在回歸直線上
已知為函數(shù)的一個對稱中心，則（ ）
A. B. 函數(shù)為奇函數(shù)
C. 曲線關(guān)于對稱 D. 函數(shù)在單調(diào)遞增
11.如圖，已知正方體的棱長為，為底面內(nèi)(包括邊界)的動點，則下
列結(jié)論正確的是（ ）
A.三棱錐的體積為定值
B．存在點，使得
C.若，則點在正方形底面內(nèi)的運動軌跡長為
D.若點是的中點，點是的中點，過，作平面平
面，則平面截正方體的截面面積為
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，點在終邊上，則_____
13. 已知,則 (用數(shù)字作答)
14. 設(shè)為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.(13分)設(shè)，若數(shù)列的前項和為，且是與的等差中項
(Ⅰ) 求數(shù)列的通項公式；
(Ⅱ) 若是以為首項，為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和．
16.(15分)某高中舉辦詩詞知識競賽答題活動，比賽分兩輪，具體規(guī)則如下：第一輪，參賽選手從 類7道題中任選4道進行答題，答完后正確數(shù)超過兩道（否則終止比賽）才能進行第二輪答題。第二輪答題從類5道題中任選3道進行答題，直到答完為止。類題每答對一道得10分，類題每答對一道得20分，答錯不扣分。以兩輪總分和決定優(yōu)勝者?？偡?0分或80分為三等獎，90分為二等獎，100分為一等獎。某班小張同學類題中有5道會做，類5題中，每題答對的概率均為，且各題答對與否互不影響.
(Ⅰ) 求小張同學被終止比賽的概率；
(Ⅱ) 現(xiàn)已知小張同學第一輪中回答的類題全部正確，求小張同學第二輪答完題后總得分
的分布列及期望；
(Ⅲ) 求小張同學獲得三等獎的概率.
17.（15分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，．為的中點，點在上，且．
(Ⅰ) 求證：平面；
(Ⅱ) 求平面與平面夾角的余弦值.
(Ⅲ) 設(shè)點在上，且．判斷直線
是否在平面內(nèi)，說明理由
18.(17分)已知雙曲線的左、右焦點分別為, ,雙曲線的虛軸長為，有一條漸近線方程為, 如圖，點是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的點，過點作直線與雙曲線的右支交于另外一點，連接并延長交雙曲線左支于點，連接與，其中垂直于 的平分線，垂足為.
(Ⅰ) 求雙曲線的標準方程；
(Ⅱ) 求證：直線與直線的斜率之積為定值；
(Ⅲ) 求的最小值.


19.(17分)設(shè) ,
(Ⅰ) 當時，求函數(shù)的最小值；
(Ⅱ) 當時,求證: ;
(Ⅲ) 求證: 數(shù)學試題 參考答案
考試時間：120分鐘 分值：150分
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯誤的得0分.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
13. 14.
三、解答題
15（13分）【解析】（1），由于是2與的等差中項；所以①，分
當時，解得；分 當時，②，①②得：，整理得，分
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；所以（首項符合通項），所以；分
（2）若是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以，所以，或分
故①，②，分
①②得：；分
整理得分
16、（15分）解析：小張同學被終止比賽的概率為分
分
分布列如下
分
15分
17、（15分）（1）因為平面，又平面，則，
又，且，，平面，故平面；
,
分
（2）過點作的垂線交于點，
因為平面，且，平面，所以，，
故以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，..6分
則，
因為為的中點，則，所以，
又，所以，故，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，故，分
又因為平面的法向量為，
所以，
分
（3）直線不在平面內(nèi)，分
因為點在上，且，又，故，
則，由（2）可知，平面的法向量為，所以，所以直線不在平面內(nèi)．分
（第三問，通過共面向量基本定理且有一個公共點的證明方法，同樣給分）
（17分）解析
(1)因為虛軸長為2, 即: 2b=2,所以 b=1.
又因為有一條漸近線方程為，所以
所以雙曲線C的標準方程為. ’
(2)由題意，點 A 與點 P 關(guān)于原點對稱. 設(shè),則
由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線 的斜率為,
記，又直線為 ∠F?PF?的平分線，則 ’
因為 ，所以
所以 |PF1|=?2+x02+y02 =?2+x02+x023?1=233x0?3,
同理 |PF2|=233x0+3. ’
又，，代入得,
， 化簡得
所以，即直線 OA與直線m 的斜率之積為定值. ’
(3)由(2)可知 x?=3ky?.又 x?>0,y?>0,所以k>0,
將 x?=3ky?代入 x023?y02=1,x0>3得, x0=3k3k2?1,y0=13k2?1,
所以 A3k3k2?113k2?1,P(?3k2k2?1, ?13k2?1),k>33.
設(shè)直線m的方程為y=kx+n,將 P?3k3k2?1?13k2?1代 入 得 n =3k2?1,
所以直線m的方程為 y=kx+3k2?1,k>33.由點到直線距離公式得，
’
又直線 AB 的斜率為 ?1k,設(shè)直線 AB 的方程為x=?ky+t,
將 A3k3k2?113k2?1代入得 t=4k3k2?1,所以直線AB的方程為 x=?ky+4k3k2?1.
將其與 x23?y2=1x0)聯(lián)立得 k2?3y2? 8k23k2?1y+7k2+33k2?1=0。
設(shè) Ax? y?,Bx? y?,則y?+y?= 8k2k2?33k2?1,y1y2=7k2+3k2?33k2?1. ’
由 y?y?1?sinx≥0,可知f(x)在 π2+∞上單調(diào)遞增，
0≤x≤π2時，令 gx=f'x,當則 g'x=2π?csx,可知 g'x在 0π2上單調(diào)遞增.
因為 00;所以g(x)在[0,x?)上單調(diào)遞減,在 x0π2上單調(diào)遞增，且 g0=gπ2=0,
則 f'x=gx≤0在 0π2內(nèi)恒成立，可知f(x)在 0π2上單調(diào)遞減.
綜上所述, f(x)在 0π2上單調(diào)遞減，在 π2+∞上單調(diào)遞增，
所以 f(x)在[0,+∞)上的最小值為 fπ2= π4?1.
又因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x) 在 R 內(nèi)的最小值為 π4?1. ’
(2)由(1)可知 f(x)是定義在 R上的偶函數(shù),下面取x≥0,
可知 f'x=2ax?sinx,令 φx=f'x=2ax?sinx.
因為 a≥12,則 ?'x=2a?csx≥1?csx≥0,則φ(x)在[ 0+∞上單調(diào)遞增，可得 φx≥φ0=0,即 f'x≥0在 0+∞上恒成立，
可知 f(x)在[ 0+∞上單調(diào)遞增，
所以 f(x)在0+∞上的最小值為f0=0,結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可知 fx≥0. ’
(3)由(2)可得,當 a=12 時, fx=12x2+csx-1≥0,當且僅當x=0時,等號成立,即 csx≥1?12x2.
令 x=1n,n≥2,n∈N?,則 cs1n>1?12n2,
當n≥2 時, cs1n>1?12n2=1?24n2>1? 24n2?1=1?12n?1?12n+1,
即 cs1n>1?12n?1?12n+1,
則 cs12>1?13?15,cs13>1? 15?17,?,cs1n>1?12n?1?12n+1,
相加可得 cs12+cs13+?+cs1n>n?1 ?13?12n+1=n?43+12n+1.
因為 n≥2,則 12n+1>0, 所以
即 ， ’
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
D
C
B
D
A
題號
9
10
11
答案
BC
BCD
ABD
X
40
60
80
100
P

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