【知識梳理】
1.直線、射線、線段的認(rèn)識
（1）直線、射線、線段的表示方法
①直線：用一個(gè)小寫字母表示，如：直線l，或用兩個(gè)大寫字母（直線上的）表示，如直線AB．
②射線：是直線的一部分，用一個(gè)小寫字母表示，如：射線l；用兩個(gè)大寫字母表示，端點(diǎn)在前，如：射線OA．注意：用兩個(gè)字母表示時(shí)，端點(diǎn)的字母放在前邊．
③線段：線段是直線的一部分，用一個(gè)小寫字母表示，如線段a；用兩個(gè)表示端點(diǎn)的字母表示，如：線段AB（或線段BA）．
（2）點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：①點(diǎn)經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線上；②點(diǎn)不經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線外．
2.直線與線段的性質(zhì)
（1）直線公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．
簡稱：兩點(diǎn)確定一條直線．
（2）經(jīng)過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條，過兩點(diǎn)就唯一確定，過三點(diǎn)就不一定了．
（3）線段性質(zhì)
兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．
簡單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短．
3.線段的比較與計(jì)算：
（1）比較兩條線段長短的方法有兩種：度量比較法、重合比較法．
就結(jié)果而言有三種結(jié)果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD．
（2）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)．
（3）線段的和、差、倍、分及計(jì)算
做一條線段等于已知線段，可以通過度量的方法，先量出已知線段的長度，再利用刻度尺畫條等于這個(gè)長度的線段，也可以利用圓規(guī)在射線上截取一條線段等于已知線段．
（4）兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離．
4.角的概念：
（1）角的定義：有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．
（2）角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．角還可以用一個(gè)希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時(shí)形成平角，當(dāng)始 邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時(shí)，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（5）角的單位的換算可類比時(shí)鐘上的時(shí)、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進(jìn)制，將高級單位化為低級單位時(shí)，乘以60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時(shí)除以60．同時(shí)，在進(jìn)行度、分、秒的運(yùn)算時(shí)也應(yīng)注意借位和進(jìn)位的方法．
5.角的比較與計(jì)算：
（1）角平分線的定義
從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．
（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線
則∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．
（3）角的和差倍分計(jì)算：
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
6.余角與補(bǔ)角：
（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．
（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．
（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．
（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．
注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．
【典例剖析】
【考點(diǎn)1】直線、射線、線段的認(rèn)識
【例1】（2019秋?開遠(yuǎn)市期末）如圖，在平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)．
（1）畫直線AC，線段BC，射線AB；
（2）在線段BC上任取一點(diǎn)D（不同于B，C），連接線段AD；
（3）數(shù)數(shù)看，此時(shí)圖中線段的條數(shù)．
【變式1.1】（2022·山東·聊城市茌平區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，觀察圖形，下列說法正確的有（ ）個(gè)
①直線和直線是同一條直線，②射線和射線是同一條射線，③，④三條直線兩兩相交時(shí)一定有三個(gè)交點(diǎn)
A．1B．2C．3D．4
【變式1.2】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）下列說法正確的是( )
A．直線AB與直線BA不是同一條直線B．射線AB與射線BA是同一條射線
C．延長線段AB和延長線段BA的含義一樣D．線段AB與線段BA是同一條線段
【變式1.3】（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）下列說法：①射線與射線是同一條射線；②線段是直線的一部分；③延長線段到，使；④射線與射線的公共部分是線段．正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考點(diǎn)2】直線、線段的性質(zhì)
【例2】（2019秋?曹縣校級期末模擬）如圖，在直線a上求一點(diǎn)O，使它到點(diǎn)M、N的距離最?。?br>【變式2.1】（2022·陜西·西安市鐵一中學(xué)七年級期中）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①連接兩點(diǎn)之間的線段叫兩點(diǎn)間的距離；
②線段AB和線段BA表示同一條線段；
③木匠師傅鋸木料時(shí)，一般先在模板上畫出兩個(gè)點(diǎn)，然后過這兩點(diǎn)彈出一條墨線，這樣做的原理是：兩點(diǎn)之間，線段最短；
④若，則點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式2.2】（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）下列四個(gè)有關(guān)生活、生產(chǎn)中的現(xiàn)象：①用兩個(gè)釘子就可以把一根木條固定在墻上；②把彎曲的公路改直，就能縮短路程；③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB架設(shè)；④植樹時(shí)，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線．其中不可用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有（ ）
A．②③B．①③C．②④D．①④
【變式2.3】（2022·河北·石家莊外國語學(xué)校七年級期中）如圖，建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常用細(xì)繩在墻的兩端之間拉一條參照線，使砌的每一層磚在一條直線上，這樣做的依據(jù)是（ ）
A．直線比曲線短B．兩點(diǎn)之間，線段最短
C．兩點(diǎn)確定一條直線D．兩點(diǎn)之間的線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離
【考點(diǎn)3】線段的中點(diǎn)及計(jì)算問題
【例3】（2019秋?杭州期末）如圖，將線段AB延長至點(diǎn)C，使BCAB，D為線段AC的中點(diǎn)，若BD＝2，則線段AB的長為（ ）
A．4B．6C．8D．12
【變式3.1】（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)．若線段，則線段的長為（ ）
A．B．C．或D．或
【變式3.2】（2022·新疆·烏魯木齊八一中學(xué)七年級期中）如圖，數(shù)軸上，，，四點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)都是整數(shù)，且為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．若點(diǎn)對應(yīng)的整數(shù)是，點(diǎn)對應(yīng)的整數(shù)是，且，則數(shù)軸上的原點(diǎn)是（ ）
A．點(diǎn)B．點(diǎn)C．點(diǎn)D．點(diǎn)
【變式3.3】（2022·遼寧·沈陽市和平區(qū)南昌中學(xué)沈北分校七年級階段練習(xí)）如圖，cm，C為的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AC上且，則的長是（ ）
A．8cmB．10cmC．12cm
【考點(diǎn)4】兩點(diǎn)間的距離問題
【例4】（2019秋?昌平區(qū)期末）已知線段AB，點(diǎn)C在直線AB上，D為線段BC的中點(diǎn)．
（1）若AB＝8，AC＝2，求線段CD的長．
（2）若點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，直接寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系是 AB＝2DE ．
【變式4.1】（2021·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）已知A，B，C三點(diǎn)共線，線段，，點(diǎn)M，N分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則MN的長為（ ）
A．16cmB．16cm或4cmC．4cmD．6cm或12cm
【變式4.2】（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)七年級期末）已知線段AB=10cm，線段AC=16cm，且AB、AC在同一條直線上，點(diǎn)B在A、C之間，此時(shí)AB、AC的中點(diǎn)M、N之間的距離為（ ）
A．13cmB．6cmC．3cmD．1.5cm
【變式4.3】（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級期末）如圖，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，，則線段的長（ ）
A．7B．C．6D．5
【考點(diǎn)5】角的概念及表示
【例5】圖中以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？以D點(diǎn)為頂點(diǎn)小于平角的角有幾個(gè)？以E點(diǎn)為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？試用適當(dāng)?shù)姆椒▉肀硎具@些角．
【變式5.1】（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）如圖，下列說法中不正確的是（ ）
A．與是同一個(gè)角B．與是同一個(gè)角
C．可以用來表示D．圖中共有三個(gè)角：，，
【變式5.2】（2021·江蘇·南通市北城中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列四個(gè)圖形中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角的是（ ）
A．B．C．D．
【變式5.3】（2022·安徽·七年級）如下圖，下列說法正確的是（ ）
A．與表示同一個(gè)角B．
C．圖中共有兩個(gè)角：，D．表示
【考點(diǎn)6】度分秒的換算
【例6】（2019秋?鄲城縣校級期末模擬）（1）48°39′+67°31′
（2）78°﹣47°34′56″
（3）22°16′×5；
（4）42°15′÷5．
【變式6.1】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）若，，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式6.2】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）下列角度換算錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
【變式6.3】（2022·全國·七年級單元測試）下列換算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【考點(diǎn)7】角的大小比較
【例7】（2019秋?鄞州區(qū)期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，則這三個(gè)角的大小關(guān)系正確的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠AC．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
【變式7.1】（2022·山東·莘縣櫻桃園鎮(zhèn)中心初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）在∠AOB的內(nèi)部任取一點(diǎn)C，作射線OC，則一定存在（ ）
A．∠AOB＞∠AOCB．∠AOB＜∠BOCC．∠BOC＞∠AOCD．∠AOC＞∠BOC
【變式7.2】（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校七年級期末）楊老師到幾何王國去散步，剛走到“角”的家門，就聽到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A說：“我是，我應(yīng)該最大!”∠B說：“我是48.3°，我應(yīng)該最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我應(yīng)該和∠A一樣大!”聽到這里，楊老師對它們說：“別吵了，你們誰大誰小，由我來作評判!”，楊老師評判的結(jié)果是（ ）
A．∠A最大B．∠B最大C．∠C最大D．∠A＝∠C
【變式7.3】（2021·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，射線、分別在的內(nèi)部外部，下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）．
A．B．
C．D．
【考點(diǎn)8】有關(guān)角平分線的計(jì)算問題
【例8】（2019秋?天心區(qū)期末）線段與角的計(jì)算．
（1）如圖1，已知點(diǎn)C為AB上一點(diǎn)，AC＝15cm，CBAC，若D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，求DE的長．
（2）已知：如圖2，∠AOB被分成∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°，求∠AOB的度數(shù)．
【變式8.1】（2021·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）如圖，已知，平分，且，則的度數(shù)為（ ）
A．126°B．108°C．112°D．106°
【變式8.2】（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，將一副三角板與的直角頂點(diǎn)O重合在一起，若，為的平分線，則的度數(shù)為（ ）
A．72°B．73°C．75°D．76°
【變式8.3】（2022·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級期末）如圖，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分線，是∠AOC的平分線，是的平分線，是的平分線， 則與大小關(guān)系是（ ）
A．=B．＜C．＞D．無法確定
【考點(diǎn)9】方向角問題
【例9】（2020春?長葛市期中）如圖，是小明家和學(xué)校所在地的簡單地圖，已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，點(diǎn)C為OP的中點(diǎn)，回答下列問題：
（1）圖中到小明家距離相同的是哪些地方？
（2）由圖可知，公園在小明家東偏南30°方向2km處．請用方向與距離描述學(xué)校、商場、停車場相對于小明家的位置．
【變式9.1】（2021·貴州畢節(jié)·七年級期末）若的補(bǔ)角與的余角相等，則等于（ ）
A．90°B．60°C．180°D．270°
【變式9.2】（2022·安徽合肥·七年級期末）如圖，在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西56°的方向，輪船B位于南偏東17°的方向，求∠AOB的度數(shù)．
【變式9.3】（2022·安徽·七年級）如圖，射線表示的方向是北偏東，射線表示的方向是北偏東，已知圖中．
(1)求∠AOB的度數(shù)；
(2)寫出射線OC的方向．
【考點(diǎn)10】基本作圖
【例10】讀下列語句，并畫出圖形．（每題3分，共12分）
（1）任意畫A、O兩點(diǎn)，作射線OA．
（2）點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B在直線l外．
（3）畫線段AB＝4cm，并找出它的中點(diǎn)C．
（4）直線l與直線AB交于O點(diǎn)．
【變式10.1】（2022·重慶市璧山區(qū)正興初級中學(xué)校七年級期末）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，利用尺規(guī)，按下列要求作圖并作答．
(1)畫射線，連接線段交線段于點(diǎn)E；
(2)在射線上求作一點(diǎn)F，使．
【變式10.2】（2022·重慶南開中學(xué)七年級開學(xué)考試）尺規(guī)作圖：如圖，已知平面上有四個(gè)點(diǎn)．
(1)作射線，作直線與射線交于點(diǎn)；
(2)在射線上作一點(diǎn)，使得．
【變式10.3】（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，根據(jù)下列語句畫圖
(1)直線；
(2)畫射線；
(3)連接、；
(4)在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使點(diǎn)到、、、四個(gè)點(diǎn)的距離和最?。?br>【考點(diǎn)11】分類討論及方程思想在線段計(jì)算中的應(yīng)用
【例11】已知線段AB＝m（m為常數(shù)），點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)P、Q分別在線段BC、AC上，且滿足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)時(shí)，則PQ＝ m （用含m的代數(shù)式表示）；
（2）若點(diǎn)C為直線AB上任一點(diǎn)，則PQ長度是否為常數(shù)？若是，請求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請說明理由；
（3）若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)P在線段AB上（不與端點(diǎn)重合），請判斷2AP+CQ﹣2PQ與1的大小關(guān)系，并說明理由．
【變式11.1】（2022·全國·七年級階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，且二次項(xiàng)系數(shù)為b，數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B對應(yīng)的數(shù)分別為a，b．
(1)a=___________，b=___________，線段AB=___________；
(2)若數(shù)軸上有一點(diǎn)C，使得，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，求的長；
(3)有一動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)A出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)H從點(diǎn)B出發(fā)，以個(gè)單位每秒的速度在數(shù)軸上作同向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上且，在G，H的運(yùn)動(dòng)過程中，求的值．
【變式11.2】（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖一，點(diǎn)在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點(diǎn)是線段的“巧點(diǎn)”．
(1)填空：線段的中點(diǎn) 這條線段的巧點(diǎn)（填“是”或“不是”或“不確定是”）
(2)（問題解決）如圖二，點(diǎn)和在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點(diǎn)是線段的巧點(diǎn)，求點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)．
(3)（應(yīng)用拓展）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)處，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止，當(dāng)、、三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)時(shí)，直接寫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值．
【變式11.3】（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB＝18cm，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線BA向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng)．
(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，2cm/s．
①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s，且點(diǎn)D仍在線段PB上時(shí)，AC＋PD＝_________cm；
②若點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，則AP∶PB＝_________；
(2)若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD＝3AC，求AP的長度．
【考點(diǎn)12】分類討論及方程思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用
【例12】（2020春?南崗區(qū)期末）已知，在∠AOB內(nèi)部作射線OC，OD平分∠BOC，∠AOD+∠COD＝120°．
（1）如圖1，求∠AOB的度數(shù)；
（2）如圖2，在∠AOB的外部和∠BOD的內(nèi)部分別作射線OE、OF，已知∠COD＝2∠BOF+∠BOE，求證：OF平分∠DOE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，在∠COD內(nèi)部作射線OM，當(dāng)∠BOM＝4∠COM，∠BOE∠AOC時(shí)，求∠MOF的度數(shù)．
【變式12.1】（2022·河北石家莊·七年級期中）如圖所示，已知，從點(diǎn)出發(fā)的一條射線滿足，是的平分線，是的平分線，請補(bǔ)全圖形（畫出符合題意的草圖即可），并求出的大小．
【變式12.2】（2022·河北石家莊·七年級期中）如圖所示，以直線上的一點(diǎn)為端點(diǎn)，在直線的上方作射線，使，將一塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，且直角三角尺在直線的上方．設(shè)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的大小；
(2)當(dāng)恰好平分時(shí)，求的值；
(3)當(dāng)時(shí)，嘉嘉認(rèn)為與的差為定值，淇淇認(rèn)為與的和為定值，且二人求得的定值相同，均為，老師說，要使兩人的說法都正確，需要對分別附加條件．請你補(bǔ)充這個(gè)條件：
當(dāng)滿足 時(shí)，；
當(dāng)滿足 時(shí)，．
【變式12.3】（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）己知，
(1)如圖1，平分，平分，若，則是__________°；
(2)如圖2，、分別平分和，若，求的度數(shù)．
(3)若、分別平分和，，則的度數(shù)是__________（直接填空）．

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