【模型解讀】
內(nèi)切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內(nèi)部的一個圓形相切，該圓就是該多邊形的內(nèi)切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是該多邊形內(nèi)部最大的圓形。內(nèi)切圓的圓心被稱為該多邊形的內(nèi)心。
三角形內(nèi)切圓圓心：在三角形中，三個角的角平分線的交點是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。正多邊形必然有內(nèi)切圓，而且其內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。
【常見模型及結(jié)論】
1）三角形的內(nèi)切圓模型
條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。
結(jié)論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。

圖1 圖2 圖3
2）直角三角形的內(nèi)切圓模型
條件：如圖2，⊙O為Rt的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。
結(jié)論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；
3）四邊形的內(nèi)切圓模型
條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓。結(jié)論：。
例1．（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，在中，，半徑為的是的內(nèi)切圓，連接，分別交于D，E兩點，則的長為 ．（結(jié)果用含的式子表示）
例2．（2022秋·安徽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，過點作于點D，P是內(nèi)一點，且，連接交于點，若點恰好為內(nèi)心，則的度數(shù)為（ ）
A．36°B．48°C．60°D．72°
例3．（2023秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的內(nèi)切圓，切點分別為，且，，，則的半徑是 ．

例4．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點是的內(nèi)心，，，，，則的半徑為 ．

例5．（2023·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線．若，，則的值是 ．
例6．（2023·成都市九年級期中）如圖，是的內(nèi)切圓，、、為切點，，，，切交于，交于，則的周長為（ ）

A．B．C．D．
例7．（2023·四川宜賓·九年級專題練習）如圖，在直角坐標系中，一直線l經(jīng)過點M（，1）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且MA＝MB，可求得△ABO的內(nèi)切圓⊙O1的半徑r1＝﹣1；若⊙O2與⊙O1、l、y軸分別相切，⊙O3與⊙O2、l、y軸分別相切，…，按此規(guī)律，則⊙O2014的半徑r2014＝ ．
例8．（2023·廣東東莞·九年級?？计谥校┤鐖D，在內(nèi)切圓半徑為1的直角三角形ABC中，，，內(nèi)切圓與BC邊切于點D，則A到D的距離AD（ ）
A．B．C．D．
模型2、多邊形的外接圓模型
【模型解讀】
外接圓：與多邊形各頂點都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對一個凸多邊形來說的，如三角形，若一個圓恰好過三個頂點，這個圓就叫作三角形的外接圓，此時圓正好把三角形包圍。
三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點）。
【常見模型及結(jié)論】
1）三角形的外接圓模型
條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。
結(jié)論：①OA=OB=OC；②。

圖1 圖2 圖3
2）等邊三角形的外接圓模型
條件：如圖2，點P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點。
結(jié)論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；
3）四邊形的外接圓模型
條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形。
結(jié)論：①；；②。
例1．（2023·黑龍江·校聯(lián)考模擬預測）△ABC中，∠A＝80°，點M是△ABC的外心，點N是△ABC的內(nèi)心，連接BM，CM，BN，CN，則∠BMC與∠BNC的差為（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
例2．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，點O，I分別是銳角的外心、內(nèi)心，若，則的度數(shù)為 ．
例3．（2023·湖北武漢·九年級階段練習）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，則⊙O的半徑為 .
例4．（2022春·江蘇·九年級期末）中，，，點I是的內(nèi)心，點O是的外心，則 ．
例5．（2023.廣東九年級期中）如圖，在△ABC中，∠C=60°，以AB為直徑的半圓O分別交AC，BC于點D，E，已知⊙O的半徑為．（1）求證：△CDE∽△CBA；（2）求DE的長．
例6．（2023湖北省荊門市九年級上期中）如圖，、、、是上的四個點，．
(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
例7．（2023廣東中考模擬）如圖，點P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）求證：PA=PB+PC；（3）設(shè)PA，BC交于點M，若AB=4，PC=2，求CM的長度．
課后專項訓練
1．（2023·湖北恩施·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AD＝BD＝2，EC＝3，則△ABC的周長為（ ）
A．10B．10C．14D．16
2．（2023春·湖北九年級課時練習）已知的內(nèi)切圓的半徑為，且，的周長為16，則的長為（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕．將再次折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕，，交于點．則以下結(jié)論一定成立的是（ ）
A．B．
C．點到三邊的距離相等D．點到三個頂點的距離相等
4．（2022春·綿陽市九年級課時練習）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BD，CE，若∠CBD=32°，則∠BEC的大小為（ ）
A．64°B．120°C．122°D．128°
5．（2023·山西太原·校考模擬預測）如圖，截的三條邊所得的弦長相等，若，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
6．（2023·河北邢臺·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，點為的內(nèi)心，點在邊上，且⊥，若，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·湖北九年級期中）點I是的內(nèi)心，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．或
8．（2023·重慶九年級期中）已知三角形三邊長分別為5cm、5cm、6cm，則這個三角形內(nèi)切圓的半徑是（ ）
A．cm B．cmC．2cmD．3cm
9．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（ ）
A．2r，B．0，C．2r，D．0，
10．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，點I為的內(nèi)心，連接并延長交的外接圓于點D，若，點E為弦的中點，連接，若，則的長為（ ）
A．5B．C．4D．
11．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點為的內(nèi)心，連接并延長交的外接圓于點，交于點，若，則的值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
12．（2022秋·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，在⊙O中，，BC＝6，AC．I是△ABC的內(nèi)心，則線段OI的值為（ ）
A．1B．C．D．
13．（2022春·浙江·九年級專題練習）如圖，點 O 是△ABC 的內(nèi)心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，則∠D 的度數(shù)是（ ）
A．60°B．65C．70°D．75°
14．（2023·江蘇九年級課時練習）已知等腰直角三角形外接圓半徑為5，則內(nèi)切圓半徑為（ ）
A．5+5B．12﹣5C．5﹣5D．10﹣10
15．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
16．（2023·山東九年級月考）如圖，是的內(nèi)切圓，切點分別為點、、，設(shè)的面積、周長分別為、，的半徑為，則下列等式：①；②；③；④，其中成立的是 （填序號）
17．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周長為20，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，其半徑為，則△BIC的外接圓直徑為 .
18．（2023·廣東·九年級專題練習）已知，點為的外心，點為的內(nèi)心．
（1）若，則 ；（2）若，則 ．
19．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，正方形的邊長是，是邊的中點．將該正方形沿折疊，點落在點處．分別與，，相切，切點分別為，，，則的半徑為 ．

20．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，I是的內(nèi)心，的延長線交的外接圓于點D．
(1)求證：；(2)求證：；(3)連接、，求證：點D是的外心．
21．（2023浙江年級上期中）我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形．如圖1，與的三邊分別相切于點則叫做的外切三角形.以此類推，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形．如圖2，與四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA分別相切于點則四邊形叫做的外切四邊形．
（1）如圖2，試探究圓外切四邊形的兩組對邊與之間的數(shù)量關(guān)系，猜想： (橫線上填“>”，“”，“

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