人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專題05圓中的重要模型-圓中的翻折模型(原卷版+解析)

這是一份人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專題05圓中的重要模型-圓中的翻折模型(原卷版+解析)，共40頁。試卷主要包含了翻折變換的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，等圓相交，弧翻折等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1、翻折變換的性質(zhì)：翻折前后，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點之間的連線被折痕垂直平分；
2、圓的性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所對的弦也相等；同弧或等弧所對的圓周角相等；
3、等圓相交：如圖，圓O和圓G為兩個相等的圓，圓O和圓G相交，相交形成的弦為AB，則弦AB為整個圖形的對稱軸，圓心O和圓心G關(guān)于AB對稱，弧ACB和弧ADB為等弧，且關(guān)于AB對稱；

4、弧翻折（即等圓相交）：如圖，以弦BC為對稱軸，將弧BC翻折后交弦AB于點D，那么弧CDB所在的圓圓G與圓O是相等的圓，且兩個圓關(guān)于BC對稱，故圓心O、G也關(guān)于BC對稱。
模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
如圖，以圓O的一條弦BC為對稱軸將弧BC折疊后與弦AB交于點D，則CD=CA

特別的，若將弧BC折疊后過圓心，則CD=CA，∠CAB=60°

例1．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┮阎c，，在上，，把劣弧沿著直線折疊交弦于點．若，，則的長為（ ）
A．B．9C．D．
例2．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，以為直徑的半圓沿弦BC折疊后，與相交于點D．若，則 ．
例3．（2023·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿弦折疊交直徑于圓心O，則 度．

例4．（2023春·廣西·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為，，，點為圓上一點，，將沿弦翻折，交于點，圖中陰影部分的面積 ．
例5．（2022·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，且，點是上一點，連接，過點作于點，將沿直線翻折．若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧上，將沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D，連接AC，CD．則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB
A．1B．2C．3D．4
例7．（2022秋·山東九年級課時練習(xí)）如圖，將⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點D，再將沿BD翻折交BC于點E，連接DE． 若AD＝2OD，則的值為（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023秋·四川南充·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，將劣弧沿弦折疊得弧，P是弧上一動點，過點P作弧的切線與交于C，D兩點，若⊙O的半徑為13，，則的長度最大值為 ．
例9．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，CD是⊙O的切線，∠CDB＝90°，BD交⊙O于點E．（1）求證：．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的長；
②如圖2，將沿弦BC折疊，交AB于點F，則AF的長為
課后專項訓(xùn)練
1．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）將半徑為5的如圖折疊，折痕長為8，C為折疊后的中點，則長為（ ）

A．2B．C．1D．
2．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，將劣弧沿AC折疊后剛好經(jīng)過弦BC的中點D．若AC＝6，∠C＝60°，則⊙O的半徑長為（ ）
A．B．2C．D．
3．（2022春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形紙片中，點M，N在上，將紙片沿折疊，折疊后使點A和點D重合于點I，的外接圓分別交于點P，Q．若，則的長度為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，為直徑，點為圖上一點，將劣弧沿弦翻折交于點，連接，如果，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿弦折疊，點，分別是兩條弧的中點，與的度數(shù)之比為，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于圓，D是上一點，將沿翻折，B點正好落在圓上的點E處，若，則（ ）

A．40°B．50°C．55°D．65°
7．（2023·湖北黃石·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好經(jīng)過點O，交于點D，連接，若，，則的半徑長是（ ）

A．B．C．D．
8．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為的中點，D、E為圓上動點，且D、E關(guān)于AB對稱，將沿AD翻折交AE于點F，使點C恰好落在直徑AB上點處，若⊙O的周長為10，則的長為（ ）
A．1B．1.25C．1.5D．2
9．（2023·浙江溫州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點D，再將沿BD翻折交BC于點E，連結(jié)DE．若AB＝10，OD＝1，則線段DE的長為（ ）
A．5B．2C．2D．+1
10．（2023·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，且，是上一點，將弧沿直線翻折，若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點，取，，，那么由線段、和弧所圍成的曲邊三角形的面積與下列四個數(shù)值最接近的是（ ）
A．3.2B．3.6C．3.8D．4.2
11．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在半徑為5的⊙O中；弦AC＝8，B為上一動點，將△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延長CD交⊙O于點E，F(xiàn)為DE中點，連接AE，OF．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①AE＝AB；②∠AED=∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值為2，其中正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的序號）．
12．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖①，為半圓的直徑，點在上從點向點運動，將沿弦，翻折，翻折后的中點為，設(shè)點，間的距離為，點，間的距離為，圖②是點運動時隨變化的關(guān)系圖象，則的長為 ．

13．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在扇形中，點C，D在上，將沿弦折疊后恰好與，相切于點E，F(xiàn)．已知，，則的度數(shù)為 ；折痕的長為 ．
14．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，點C是半徑OA上一點，點D是弧AB上一點．將扇形AOB沿CD對折，使得折疊后的圖形恰好與半徑OB相切于點 E．若∠OCD＝45°，OC＝+1，則扇形AOB的半徑長是 ．
15．（2023·河北·九年級校聯(lián)考專題練習(xí)）已知⊙O的直徑AB=4，點C在⊙O上，連接AC，沿AC折疊劣弧，記折疊后的劣弧為．（1）如圖1，當(dāng)經(jīng)過圓心O時，求的長．（2）如圖2，當(dāng)與AB相切于A時．①畫出所在的圓的圓心P．②求出陰影部分弓形的面積．

16．（2023·江蘇徐州·九年級階段練習(xí)）小明在研究由矩形紙片折疊等邊三角形之后，經(jīng)過探究，他用圓形紙片也折疊出了等邊三角形，以下是他的折疊過程：第一步：將圓形紙片沿直徑AM對折，然后打開；第二步：將紙片沿折痕BC翻折使點M落在圓心I處，然后打開，連接AB、AC．
（1）在圖③中BC與IM的位置關(guān)系是 ；（2）小明折疊出的△ABC是等邊三角形嗎？請你說明理由．
17．（2023·江西萍鄉(xiāng)·萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖（1）是的直徑，且，點是半圓的中點，點是上一動點，將沿直線折疊交于點，連接，．
(1)求證：；(2)當(dāng)點與點重合時，如圖（2），求的長．
18．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）（1）在《折疊圓形紙片》綜合實踐課上，小東同學(xué)展示了如下的操作及問題：如圖1，的半徑為4cm，通過折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過圓心，則AB長為 cm； 請同學(xué)們進一步研究以下問題：（2）如圖2，⊥弦AB，垂足為點C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過C的中點D，AB=10cm，求的半徑；（3）如圖3，的半徑為4cm，劣弧AB沿弦AB折疊后與直徑CD相切于點E，ED=2cm，求弦AB的長．
專題05 圓中的重要模型-圓中的翻折模型
知識儲備：
1、翻折變換的性質(zhì)：翻折前后，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點之間的連線被折痕垂直平分；
2、圓的性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所對的弦也相等；同弧或等弧所對的圓周角相等；
3、等圓相交：如圖，圓O和圓G為兩個相等的圓，圓O和圓G相交，相交形成的弦為AB，則弦AB為整個圖形的對稱軸，圓心O和圓心G關(guān)于AB對稱，弧ACB和弧ADB為等弧，且關(guān)于AB對稱；

4、弧翻折（即等圓相交）：如圖，以弦BC為對稱軸，將弧BC翻折后交弦AB于點D，那么弧CDB所在的圓圓G與圓O是相等的圓，且兩個圓關(guān)于BC對稱，故圓心O、G也關(guān)于BC對稱。
模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
如圖，以圓O的一條弦BC為對稱軸將弧BC折疊后與弦AB交于點D，則CD=CA

特別的，若將弧BC折疊后過圓心，則CD=CA，∠CAB=60°

例1．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┮阎c，，在上，，把劣弧沿著直線折疊交弦于點．若，，則的長為（ ）
A．B．9C．D．
【答案】C
【分析】取點D在上的對應(yīng)點E，連接、、、，過C點作于F點，根據(jù)四邊形內(nèi)接于，有，根據(jù)根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，可證明，即是等腰三角形，則有，進而有，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．
【詳解】取點D在上的對應(yīng)點E，連接、、、，過C點作于F點，如圖，
∵四邊形內(nèi)接于，∴，
∵點D在上的對應(yīng)點為點E，∴根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，
∵，∴，
∵，∴，∴是等腰三角形，
∵，，∴，
∵，∴，∵，∴是直角三角形，
∵，∴在中，，
∵在中，，∴，
∴，（負(fù)值舍去），故選：C．
【點睛】本題考查圓中折疊的問題，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，作出輔助線，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，是解答本題關(guān)鍵．
例2．（2023秋·湖北武漢·九年級校考階段練習(xí)）如圖，以為直徑的半圓沿弦BC折疊后，與相交于點D．若，則 ．
【答案】
【分析】如圖，根據(jù)題意補出半圓，點A的對應(yīng)點為點E，點O的對應(yīng)點為，連接，，由題意得到，進而求得，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得到，繼而求得的大小即可求得答案．
【詳解】解：如圖，根據(jù)題意補出半圓，點A的對應(yīng)點為點E，點O的對應(yīng)點為，連接，．則，，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴故答案為：
【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，翻折變換等知識，正確作出輔助線、熟練運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿弦折疊交直徑于圓心O，則 度．

【答案】120
【分析】過O點作交于D，交于E，連接，．根據(jù)折疊可得，，根據(jù)三角形中位線定理可得，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及鄰補角的定義即可求解．
【詳解】解：過O點作交于D，交于E，連接，．

由折疊可得：，，則為的中位線，
∵是直徑，∴，，則，
又∵，∴是等邊三角形，∴，
∴．故答案為：120．
【點睛】考查了翻折變換（折疊問題），圓周角定理，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及鄰補角的定義，綜合性較強，構(gòu)造輔助線是是解決問題的關(guān)鍵．
例4．（2023春·廣西·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為，，，點為圓上一點，，將沿弦翻折，交于點，圖中陰影部分的面積 ．
【答案】
【分析】如圖，連接，將陰影部分沿翻折，點的對應(yīng)點為，過點作于點，可求出的半徑，由對稱性可知，，，連接，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，將陰影部分沿翻折，點的對應(yīng)點為，過點作于點，
為的直徑，，，，
∵，，垂足為，設(shè)的半徑為，則，
∴，解得：或（舍去），
，即的半徑是，連接，則，，
過點作于點，∴，
∴，即，
即圖中陰影部分的面積是：．故答案為：．
【點睛】本題主要考查直角三角形的，圓，扇形面積的計算，折疊知識的綜合，理解圓的基礎(chǔ)知識，直角三角形的勾股定理，扇形面積的計算方法，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例5．（2022·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，且，點是上一點，連接，過點作于點，將沿直線翻折．若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖，連接OC，BC．證明△OBC是等邊三角形，利用分割法求解即可．
【詳解】解：如圖，連接OC，BC．可得OB=OC=4，
∵∠CAO=∠CAB，∴，∴OC=BC=OB，∴∠COB=60°，∴∠AOC=180°-60°=120°，
∵，∴∠COD=60°，∴，
∴，故選：A．
【點睛】本題考查扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．
例6．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧上，將沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D，連接AC，CD．則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD＝CD；根據(jù)線段中點的定義可得AD＝BD；根據(jù)垂徑定理可作判斷③；延長OD交⊙O于E，連接CE，根據(jù)垂徑定理可作判斷④．
【詳解】過D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，連接CD'、BD'，
由折疊得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正確；
∵點D是AB的中點，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正確；
∴，由折疊得：，∴；故③正確；
延長OD交⊙O于E，連接CE，∵OD⊥AB，
∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④錯誤；故選：A．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了圓周角定理和垂徑定理．
例7．（2022秋·山東九年級課時練習(xí)）如圖，將⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點D，再將沿BD翻折交BC于點E，連接DE． 若AD＝2OD，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如圖，連接AC，CD，OC，過點C作CH⊥AB于H．設(shè)OA＝3a，則AB＝6a．首先證明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接AC，CD，OC，過點C作CH⊥AB于H．設(shè)OA＝3a，則AB＝6a．
∵在同圓或等圓中，∠ABC所對的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，
∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a，
在Rt△OCH中，CH＝，
在Rt△ACH中，AC＝，
∴．故選：D．
【點睛】本題考查圓周角定理，翻折變換，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．
例8．（2023秋·四川南充·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，將劣弧沿弦折疊得弧，P是弧上一動點，過點P作弧的切線與交于C，D兩點，若⊙O的半徑為13，，則的長度最大值為 ．
【答案】
【分析】過點O作于點M，交于點N，交于點P，此時過點P的切線最長，連接，，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)勾股定理求出，求出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．
【詳解】解：過點O作于點M，交于點N，交于點P，此時過點P的切線最長，連接，，∵，∴，
在中，根據(jù)勾股定理可得：，
根據(jù)折疊可知，，∴，
∵是弧的切線，∴，∴，，
在中，根據(jù)勾股定理可得：，
∴．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最大時，點P的位置．
例9．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，CD是⊙O的切線，∠CDB＝90°，BD交⊙O于點E．（1）求證：．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的長；
②如圖2，將沿弦BC折疊，交AB于點F，則AF的長為
【答案】（1）證明見解析；（2）①；②9.
【分析】（1）連接OC交AE于M，由DC與⊙C相切于點C可得∠OCD＝90°，又因為
AB是⊙O的直徑，所以∠CDB＝90°，易得OC⊥AE，可證弧AC=弧CE
（2）①由（1）易得四邊形CMED是矩形，所以CD＝ME＝AM＝AE＝6，由勾股定理求出BD的長，由cs∠DBC= cs∠CAM可求出AC的長，即可求出答案
②由勾股定理可求出BE的長，由折疊知BF＝BE，根據(jù)AF＝AB﹣BF即可求出答案
【詳解】解：（1）如圖1，連接OC交AE于M，
∵DC與⊙C相切于點C，∴OC⊥DC，即：∠OCD＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，
∵∠CDB＝90°，∴CD∥AE，∴OC⊥AE，∴弧AC=弧CE；
（2）①由（1）知，∠D＝∠OCD＝∠DEM＝∠EMC＝90°，
∴四邊形CMED是矩形，∴CD＝ME＝AM＝AE＝6，
在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得，BD＝＝8，∴cs∠DBC＝，
∵∠CAM＝∠DBC，∴cs∠CAM＝＝，∴AC＝，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB＝；
②如圖2，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，BE＝＝
連接EF，∵弧AC=弧CE，∴∠ABC＝∠DBC，
由折疊知，BF＝BE，∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝9，故答案為9．

【點睛】此題主要考查圓的綜合運用
課后專項訓(xùn)練
1．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）將半徑為5的如圖折疊，折痕長為8，C為折疊后的中點，則長為（ ）

A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】延長交于點D，交于點E，連接、、、，根據(jù)圓心角、弧、弦、的關(guān)系由得到，可以判斷是的垂直平分線，則，再利用勾股定理求出，所以，然后利用點C和點D關(guān)于對稱得出，最后計算即可得出答案．
【詳解】解：延長交于點D，交于點E，連接、、、，如圖，
∵C為折疊后的中點，∴，∴，
∵，∴是的垂直平分線，∴，
在中，,∴，
∵沿折疊得到，，∴點C和點D關(guān)于對稱，
∴，∴，故選C
【點睛】本題主要考查了圖形的折疊變換，圓的對稱性，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性及折疊前后的對應(yīng)關(guān)系．
2．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，將劣弧沿AC折疊后剛好經(jīng)過弦BC的中點D．若AC＝6，∠C＝60°，則⊙O的半徑長為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】取折疊后的弧所在圓圓心為O′，則⊙O與⊙O′設(shè)等圓，∠ACD是公共的圓周角，所以可以證得AB＝AD，過A作AM⊥BC于M，則M為BD的中點，在Rt△AMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM的長度，由于D是BC中點，可以證明MC＝3BM，所以BM可以求，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AB的長度，連接OA，OB，由于△AOB是頂角為120°的等腰三角形，過O作OG⊥AB于G，利用30度的特殊角和勾股定理，可以證明AB＝3OA，由此圓O半徑可求．
【詳解】解：如圖1，設(shè)折疊后的所在圓的圓心為O′，連接O′A，O′D，
∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°，連接OA，OB，同理，∠AOB＝120°，∴∠AOB＝∠AO′D，
∵⊙O與⊙O′是等圓，∴AB＝AD，設(shè)⊙O的半徑為R，過O作OG⊥AB于G，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG，
∴OG＝OA＝R，∴AG＝＝R，∴AB＝2AG＝R，
如圖2，過A作AM⊥BC于M，∵AB＝AD，∴可設(shè)BM＝DM＝x，則BD＝2x，
∵D為BC的中點，∴CD＝BD＝2x，∴MC＝DM+CD＝3x，
∵AM⊥BC，∠ACB＝60°，∴∠MAC＝30°，
在Rt△AMC中，MC＝AC＝3，∴3x＝3，∴x＝1，
∴AM＝＝3，BM＝x＝1，在Rt△ABM中，AB＝＝2，
∵AB＝R，∴R＝，故⊙O的半徑長為，故選：A．
【點睛】本題是圓的一道綜合題型，考查圓中的折疊變換，注意等圓中的公共角，公共弦、公共弧，這些都是相等的，利用這些等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2022春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形紙片中，點M，N在上，將紙片沿折疊，折疊后使點A和點D重合于點I，的外接圓分別交于點P，Q．若，則的長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先證明是等邊三角形，得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)推出，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到，，過點作，則OH平分BC，利用勾股定理求出OB，再利用弧長公式計算即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，∴是等邊三角形，
∴，∴，
由折疊知：，，
∴，，∴，
∵圓是的外接圓，∴點是的內(nèi)心，
∴OB平分，OC平分，∴，，
過點作，則OH平分BC．則：，在中：，
由勾股定理得：，即，
解得：，（舍），∴．故選B．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外接圓，內(nèi)心的有關(guān)性質(zhì)，弧長公式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)定理，掌握求弧長所需的條件．
4．（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，為直徑，點為圖上一點，將劣弧沿弦翻折交于點，連接，如果，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后根據(jù)所對的圓周角為，所對的圓周角為，可得，結(jié)合即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵是直徑，∴，
∵，∴，
根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對的圓周角為，所對的圓周角為，
∴，∵，∴．故選：B．
【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)以及圓周角定理的應(yīng)用，掌握圓周角定理及翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿弦折疊，點，分別是兩條弧的中點，與的度數(shù)之比為，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)與的度數(shù)之比為，點C，D分別是兩條弧的中點，可知的度數(shù)，進一步可知優(yōu)弧的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可得的度數(shù)．
【詳解】解：∵與的度數(shù)之比為，點C，D分別是兩條弧的中點，
∴的度數(shù)為，根據(jù)折疊，優(yōu)弧的度數(shù)為，
∴，故選：A．
【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），圓周角定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于圓，D是上一點，將沿翻折，B點正好落在圓上的點E處，若，則（ ）

A．40°B．50°C．55°D．65°
【答案】B
【分析】首先連接，由折疊的性質(zhì)可得：，結(jié)合已知，由三角形內(nèi)角和定理得出的度數(shù)，再由同弧上圓周角相等求得的度數(shù)．
【詳解】連接，如圖所示：由折疊的性質(zhì)可得：，
∴，
∵（同弧所對的圓周角相等）∴．故選B．

【點睛】本題考查了圓周角定理，折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
7．（2023·湖北黃石·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好經(jīng)過點O，交于點D，連接，若，，則的半徑長是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，，，過點B作于點E，過點O作于點F，求出，根據(jù)圓周角定理求出，證明為等邊三角形，得出，根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理求出，，根據(jù)，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：連接，，，過點B作于點E，過點O作于點F，如圖所示：

則，∵劣弧沿弦翻折恰好經(jīng)過點O，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∵，且由翻折而成，
∴∴，
∴，∴，
∴，∴為等邊三角形，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∵，∴，
解得：，故B正確．故選：B．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明為等邊三角形．
8．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為的中點，D、E為圓上動點，且D、E關(guān)于AB對稱，將沿AD翻折交AE于點F，使點C恰好落在直徑AB上點處，若⊙O的周長為10，則的長為（ ）
A．1B．1.25C．1.5D．2
【答案】B
【分析】連接 再利用軸對稱的性質(zhì)求解 設(shè)的圓心為,則與關(guān)于對稱，求解 從而可得答案.
【詳解】解：連接 為圓的直徑，點C為的中點，

將沿AD翻折交AE于點F，使點C恰好落在直徑AB上點處，是的垂直平分線，
D、E關(guān)于AB對稱，垂直平分
設(shè)的圓心為,則與關(guān)于對稱，
連接 則在上，
而
的周長為10，的半徑為： 的長為： 故選B
【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，弧長的計算，熟練的運用軸對稱的性質(zhì)得出是解本題的關(guān)鍵.
9．（2023·浙江溫州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點D，再將沿BD翻折交BC于點E，連結(jié)DE．若AB＝10，OD＝1，則線段DE的長為（ ）
A．5B．2C．2D．+1
【答案】B
【分析】連接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，則AD＝4，先利用折疊的性質(zhì)和圓周角定理得到 ，再利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得到AC＝CD＝DE，則AF＝DF＝2，然后利用勾股定理計算出CF，接著再計算出CD即可．
【詳解】解：連接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如圖，

∵⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點D，再將沿BD翻折交BC于點E，
∴為等圓中的弧，∵它們所對的圓周角為∠ABC，∴，
∴AC＝CD＝DE，∴AF＝DF＝2，在Rt△OCF中，CF＝＝4，
在Rt△CDF中，CD＝＝ ，．故選：B．
【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，圓周角定理及弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，掌握圓周角定理及弧，弦，圓心角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，且，是上一點，將弧沿直線翻折，若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點，取，，，那么由線段、和弧所圍成的曲邊三角形的面積與下列四個數(shù)值最接近的是（ ）
A．3.2B．3.6C．3.8D．4.2
【答案】C
【分析】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，連接CO，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OE＝OF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠CAB，再得到∠COB，再分別求出S△ACO與S扇形BCO即可求解.．
【詳解】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，
由折疊的性質(zhì)可知，EF＝OE＝OF，∴OE＝OA，
在Rt△AOE中，OE＝OA，∴∠CAB＝30°，
連接CO，故∠BOC=60°∵∴r=2，OE=1,AC=2AE=2×=2
∴線段、和弧所圍成的曲邊三角形的面積為S△ACO+S扇形BCO
===≈3.8故選C.
【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、圓周角定理，扇形的面積求解，解題的關(guān)鍵是熟知折疊是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
11．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在半徑為5的⊙O中；弦AC＝8，B為上一動點，將△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延長CD交⊙O于點E，F(xiàn)為DE中點，連接AE，OF．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①AE＝AB；②∠AED=∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值為2，其中正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的序號）．
【答案】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，結(jié)合圓周角定理可得出進而推出正確；假設(shè)，推出是等邊三角形，進而推出，為定值，這與是變角相矛盾；作于M，并延長交于G，連接FM、OC、AF，先根據(jù)垂徑定理求出OM的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出FM長，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出 ，則可解決問題．
【詳解】解：折疊得到， ，，
又在 中，和所對的弦分別是AB和AE，
又 ， ，在中， ，，故正確；
由可得，假設(shè)，
，
，∴是等邊三角形，
，，是定值，
而B是動點，A、C兩點固定，則是變化的，兩者矛盾，故錯誤；
如圖，作于M，并延長交于G，連接FM、OC、AF，
， ，
由得，F(xiàn)為ED的中點， ， ，
，當(dāng)O、F、M三點共線時，OF最小，這時OF=1，故錯誤；
綜上所述，正確的是 ．故答案為：．
【點睛】本題考查了圓的綜合，涉及圖形的翻著的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系等，熟練掌握以上性質(zhì)，靈活運用是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖①，為半圓的直徑，點在上從點向點運動，將沿弦，翻折，翻折后的中點為，設(shè)點，間的距離為，點，間的距離為，圖②是點運動時隨變化的關(guān)系圖象，則的長為 ．

【答案】8
【分析】由圖可知，當(dāng)時，，此時，，點與點重合，由此即可解題．
【詳解】解：由圖可知，當(dāng)時，，
此時，，點與點重合，如圖，

取的中點，連接、，
，根據(jù)對稱性，得，，
，是等邊三角形，，，
為直徑，，在中，，，
，長為．故答案為：．
【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象、圓周角定理及含角的直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖2得到時，點與點重合，此題難度一般．
13．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在扇形中，點C，D在上，將沿弦折疊后恰好與，相切于點E，F(xiàn)．已知，，則的度數(shù)為 ；折痕的長為 ．
【答案】 60°/60度
【分析】根據(jù)對稱性作O關(guān)于CD的對稱點M，則點D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上，再結(jié)合切線的性質(zhì)和垂徑定理求解即可．
【詳解】作O關(guān)于CD的對稱點M，則ON=MN
連接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N
∵將沿弦折疊∴點D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上
∵將沿弦折疊后恰好與，相切于點E，F(xiàn)．
∴ME⊥OA，MF⊥OB∴
∵∴四邊形MEOF中
即的度數(shù)為60°；∵，
∴（HL）∴
∴∴
∵MO⊥DC∴
∴ 故答案為：60°；
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，點C是半徑OA上一點，點D是弧AB上一點．將扇形AOB沿CD對折，使得折疊后的圖形恰好與半徑OB相切于點 E．若∠OCD＝45°，OC＝+1，則扇形AOB的半徑長是 ．
【答案】2+
【分析】作關(guān)于的對稱點，連接、，則為扇形的半徑，由折疊的性質(zhì)得：，，得出是等腰直角三角形，得出，，，由切線的性質(zhì)得出，得出，由三角函數(shù)即可得出結(jié)果．
【詳解】解：作關(guān)于的對稱點，連接、，如圖1所示：
則為扇形的半徑，由折疊的性質(zhì)得：，，
，是等腰直角三角形，
，，，
折疊后的圖形恰好與半徑相切于點，，，
，如圖2所示：
；故答案為：．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)，證出是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·河北·九年級校聯(lián)考專題練習(xí)）已知⊙O的直徑AB=4，點C在⊙O上，連接AC，沿AC折疊劣弧，記折疊后的劣弧為．（1）如圖1，當(dāng)經(jīng)過圓心O時，求的長．（2）如圖2，當(dāng)與AB相切于A時．①畫出所在的圓的圓心P．②求出陰影部分弓形的面積．

【答案】（1）的長=；（2）①P點為所求，見解析； ②S陰=π-2．
【分析】（1）只要證明△EAO是等邊三角形即可解決問題；
（2）①過A點作AP⊥AB，再截取AP=2，則P點為所求，如圖2；
②只要證明四邊形AOCP是正方形即可解決問題；
【詳解】（1）作半徑OE⊥AC于F，連接AE，如圖1，
∵沿AC折疊劣弧，記折疊后的劣弧為，∴OF=OE=OF，
∵OE⊥AC，∴AE=AO，∵OA=OE，∴AE=AO=OE，
∴△AOE是等邊三角形，∴∠AEO=60°，∴的長=．
（2）①過A點作AP⊥AB，再截取AP=2，則P點為所求，如圖2，

②連接PC、OC，∵AP=OA=OC=PC=2，∴四邊形PAOC為菱形，而∠PAO=90°，
∴四邊形PAOC為正方形，∴S陰=×2×2=π-2．
【點睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和切線的性質(zhì)；會利用勾股定理和相似比進行幾何計算；理解折疊的性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì).
16．（2023·江蘇徐州·九年級階段練習(xí)）小明在研究由矩形紙片折疊等邊三角形之后，經(jīng)過探究，他用圓形紙片也折疊出了等邊三角形，以下是他的折疊過程：第一步：將圓形紙片沿直徑AM對折，然后打開；第二步：將紙片沿折痕BC翻折使點M落在圓心I處，然后打開，連接AB、AC．
（1）在圖③中BC與IM的位置關(guān)系是 ；
（2）小明折疊出的△ABC是等邊三角形嗎？請你說明理由．
【答案】（1）互相垂直平分；（2）△ABC為等邊三角形．
【詳解】試題分析：（1）利用折疊的性質(zhì)易得IM垂直平分BC，BC垂直平分IM，即BC和IM互相垂直平分；（2）連結(jié)IB、BM、MC，如圖，由BC和IM互相垂直平分可判斷四邊形BMCI為菱形，易得△IBM和△TMC為等邊三角形，則∠BIM=∠CIM=60°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=∠BIC=60°，加上AB=AC，于是可判斷△ABC為等邊三角形．
解：（1）∵圓形紙片沿直徑AM對折，∴IM垂直平分BC，
∵紙片沿折痕BC翻折使點M落在圓心I處，∴BC垂直平分IM，
即BC和IM互相垂直平分；故答案為互相垂直平分；
（2）△ABC為等邊三角形．理由如下：連結(jié)IB、BM、MC，如圖，
∵BC和IM互相垂直平分，∴四邊形BMCI為菱形，
∴IB=BM=MC=IC，∴IB=BM=MC=IC=IM，
∴△IBM和△TMC為等邊三角形，∴∠BIM=∠CIM=60°，
∴∠BAC=∠BIC=60°，而AM垂直平分BC，∴AB=AC，∴△ABC為等邊三角形．
考點：翻折變換（折疊問題）．
17．（2023·江西萍鄉(xiāng)·萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖（1）是的直徑，且，點是半圓的中點，點是上一動點，將沿直線折疊交于點，連接，．
(1)求證：；(2)當(dāng)點與點重合時，如圖（2），求的長．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，根據(jù)圓周角定理可知，，可得，繼而得到，即；
（2）證明是等邊三角形，可知所對圓心角為，利用弧長公式可求的長．
【詳解】（1）證明：如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，
又∵，，
∴，∴，∴．
（2）解：由（1）知，
又∵，∴是等邊三角形，
∴，∴所對圓心角為，
∴的長為．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、圓周角定理和弧長公式，根據(jù)題意及軸對稱的性質(zhì)作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
18．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）（1）在《折疊圓形紙片》綜合實踐課上，小東同學(xué)展示了如下的操作及問題：如圖1，的半徑為4cm，通過折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過圓心，則AB長為 cm； 請同學(xué)們進一步研究以下問題：（2）如圖2，⊥弦AB，垂足為點C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過C的中點D，AB=10cm，求的半徑；（3）如圖3，的半徑為4cm，劣弧AB沿弦AB折疊后與直徑CD相切于點E，ED=2cm，求弦AB的長．
【答案】（1）cm；（2） cm；（3）cm
【分析】（1）過點O1作O1F⊥AB于F，得出O1F＝O1F，再根據(jù)勾股定理，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法先判斷出O2C＝2r cm，再根據(jù)勾股定理建立方程求解，即可得出結(jié)論；
（3）先求出OO3，進而求出O3E，進而利用勾股定理求出AH，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）如圖1，過點O1作O1F⊥AB于F，并延長O1F交虛線劣弧AB于E，
∴AB＝2AF，由折疊知，EF＝O1F＝O1E＝×4＝2（cm），
連接O1A，在Rt△O1FA中，O1A＝4，
根據(jù)勾股定理得，AF＝（cm），
∴AB＝2AF＝（cm），故答案為：；
（2）如圖2，延長O2C交虛線劣弧AB于G，由折疊知，CG＝CD，
∵D是O2C的中點，∴CD＝O2D，∴CG＝CD＝O2D，
設(shè)⊙O2的半徑為3r cm，則O2C＝2r（cm），
∵O2C⊥弦AB，∴AC＝AB＝5（cm），連接O2A，
在Rt△ACO2中，根據(jù)勾股定理得，（3r）2?（2r）2＝25，
∴r＝（舍去負(fù)值），∴O2A＝3r＝（cm），即⊙O2的半徑為cm；
（3）如圖3，記實線劣弧AB所在的圓心為O，連接OE，O3A，OA，OO3，
則O3A＝OA＝OE＝4（cm），
∵折疊后與直徑CD相切，∴∠OEO3＝90°，
∵⊙O3的半徑為4cm，∴O3A＝O3D＝4（cm），
∵DE＝2cm，∴O3E＝O3D?DE＝2（cm），
在Rt△OEO3中，根據(jù)勾股定理得，OO3＝（cm），
∵AB是⊙O和⊙O3的公共弦，∴OO3⊥AB，∴AB＝2AH，O3H＝OO3＝（cm），
在Rt△O3HA中，根據(jù)勾股定理得，AH＝（cm），
∴AB＝2AH＝2（cm）．
【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了垂徑定理，勾股定理，相交兩圓的連心線垂直于勾股弦，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．