北京市石景山區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．（）
A．B．C．D．
2．已知正四棱錐的底面邊長為，高為，則它的體積為（）
A．B．C．D．
3．在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
4．在單位圓中，的圓心角所對的弧長為（）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)，則（）
A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增
6．平面向量與的夾角為，，，則等于（）
A．B．C．D．
7．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)（）
A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位
C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位
8．在中，內(nèi)角滿足，則的形狀為（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．正三角形
9．在中，“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
10．扇形的半徑為，，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)，，下列說法錯(cuò)誤的是（）
A．的最小值是1
B．的最大值是
C．的取值范圍為
D．的取值范圍為
二、填空題
11．已知平面向量，，且，則實(shí)數(shù) .
三、雙空題
12．若復(fù)數(shù)，則， .
四、填空題
13．已知一個(gè)正方體的個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的表面積與這個(gè)正方體的全面積之比為 .
14．函數(shù)的值域是．
15．水車在古代是進(jìn)行灌溉的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖，一個(gè)半徑為米的水車逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，水輪圓心O距離水面米.已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，如果當(dāng)水輪上一點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn))開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過秒后，水車旋轉(zhuǎn)到點(diǎn).
給出下列結(jié)論：

①在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)的高度在水面米以上的持續(xù)時(shí)間為秒；
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)距水面的最大距離為米；
③當(dāng)秒時(shí)，；
其中所有正確結(jié)論的序號是 .
五、解答題
16．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn).
（1）求，；
（2）若角滿足，求的值.
17．已知向量，，．
（1）若點(diǎn)A，B，C共線，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若△ABC為直角三角形，求實(shí)數(shù)m的值．
18．在中，．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面積．
19．已知函數(shù)，是的一個(gè)零點(diǎn).
(1)求的值；
(2)當(dāng)時(shí)，若曲線與直線有個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．
20．如圖，在四邊形中，，，.再從條件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解決下列問題．

①面積；
②.
(1)求的值；
(2)求的大小.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
參考答案：
1．C
【解析】直接利用誘導(dǎo)公式求解.
【詳解】，
故選：C
2．B
【分析】直接根據(jù)棱錐的體積公式求解即可.
【詳解】正四棱錐的體積。
故選：B
3．A
【詳解】試題分析：，對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限
考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算
4．B
【分析】根據(jù)弧度制與角度制互化公式，結(jié)合弧長公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，因?yàn)榘霃綖椋?br>所以的圓心角所對的弧長為，
故選：B
5．C
【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?
對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；
對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對；
對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).
故選：C.
6．B
【分析】轉(zhuǎn)化為平面向的數(shù)量積可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>.
故選：B
7．A
【分析】由函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．
【詳解】解：，
將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，即可得到函數(shù)的圖象．
故選：A．
8．B
【分析】根據(jù)得到，求出，得到三角形形狀.
【詳解】，
故，即，
因?yàn)?，所以?br>故為等腰三角形.
故選：B
9．A
【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式分別證明充分性和必要性，進(jìn)而得出結(jié)果.
【詳解】若，則，
即，
所以，所以，即，所以，
所以，所以，
所以“”是“”的充分條件．
若，則，則，
即，所以，所以或，
所以“”不是“”的必要條件，
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
10．D
【分析】建立坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)，化已知問題為三角函數(shù)的最值可判斷結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】以為原點(diǎn)，以為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，其中，，．
因?yàn)椋?br>所以，即，
所以．
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，
當(dāng)或時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)為或點(diǎn)，故AB正確，
而，，
所以，
．
因?yàn)?，所以，故?br>因此，
所以的取值范圍為，故C正確，
，，，
因?yàn)椋?故，
，，所以D錯(cuò)誤．
故選：D
11．
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，?
故答案為：.
12． /
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得，根據(jù)模長公式得.
【詳解】，
，
.
故答案為：；.
13．
【分析】根據(jù)正方體的對角線是球的直徑以及球的表面積公式可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)正方體的棱長為，依題意得正方體的對角線是球的直徑，
所以球的半徑為，表面積為，
正方體的全面積為，
所以球的表面積與這個(gè)正方體的全面積之比為.
故答案為：.
14．
【詳解】，
因?yàn)?，所?
15．①③
【分析】設(shè)經(jīng)過秒后，點(diǎn)的高度為，根據(jù)題意求出，得，由可得，①正確；由，得②錯(cuò)誤；根據(jù)秒時(shí)，，為正三角形，可得③正確.
【詳解】設(shè)經(jīng)過秒后，點(diǎn)的高度為，
則，解得，，
因?yàn)樗喢糠昼娹D(zhuǎn)動(dòng)1圈，所以，
所以，
由，得，因?yàn)?，所以?br>所以.
對于①，由，得，
得，，得，，
又因?yàn)?，所以，?br>所以在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)的高度在水面米以上的持續(xù)時(shí)間為秒.
故①正確；
對于②，，故②錯(cuò)誤；
對于③，當(dāng)秒時(shí)，，又，
所以為正三角形，所以米，故③正確.
故答案為：①③.
16．（1），；（2）.
【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義求，，對用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化后求解；
（2）由（1）先求出，利用兩角和的正切公式求出.
【詳解】解：（1）∵，∴
∴，，
∴.
（2）由（1）得：
∴
.
即
【點(diǎn)睛】(1) 三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P（x,y）在終邊上的位置無關(guān)，嚴(yán)格代入定義式子就可以求出對應(yīng)三角函數(shù)值；
(2)利用三角公式求三角函數(shù)值的關(guān)鍵：根據(jù)條件進(jìn)行合理的拆角，如等．
17．（1）；（2）或
【分析】首先求出，，的坐標(biāo)；
（1）依題意可得，再根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；
（2）對直角分三種情況討論，若為直角，則，所以，即可求出參數(shù)的值，其余類似；
【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，?br>所以，
因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，所以，解得
（2）①若為直角，則，所以，解得
②若為直角，則，所以，解得
③若為直角，則，所以，即，因?yàn)?，所以方程無解；
綜上可得，當(dāng)或時(shí)為直角三角形
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角得，根據(jù)兩角和的正弦公式得，再根據(jù)三角形中的恒等式可求出結(jié)果；
（2）由余弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式可求出結(jié)果.
【詳解】（1）在中，，
結(jié)合正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
，，
，，
（2）若，，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的面積
19．(1)
(2)
【分析】（1）由，解方程可得結(jié)果；
（2）化簡得，利用正弦函數(shù)的圖象可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由，得，
因?yàn)椋?所以，所以，
所以．
（2）由（1）知，，
因?yàn)椋?所以.
于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值,
又，即時(shí)，.
所以的取值范圍是．
20．(1)
(2)或
【分析】（1）若選①，根據(jù)面積公式求出，根據(jù)余弦定理求出求出，根據(jù)面積公式求出；若選②，根據(jù)兩角差的正弦公式可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)正弦定理可求出結(jié)果.
【詳解】（1）若選①，因?yàn)?，所以?br>所以，
又由，
得，得.
所以，得，
所以.
若選②，在中，，所以，
.
（2）由（1）及，則.
在△ADC中，，即，得.
又因?yàn)椋詽M足這樣的三角形有兩解.
所以或.

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