一、選擇題
1．設(shè)全集,集合,,則( )
A.B.C.D.
2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足,,復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,則( )
A.B.C.D.
3．如圖為某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( )
A.4B.C.2D.
4．已知是奇函數(shù),則( )
A.4B.3C.2D.1
5．某不透明的袋中有3個(gè)紅球,2個(gè)白球,它們除顏色不同,質(zhì)地和大小都完全相同.甲,乙兩同學(xué)先后從中各取一個(gè)球,先取的球不放回,則他們?nèi)〉讲煌伾虻母怕蕿? )
A.B.C.D.
6．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E是AD的中點(diǎn),F是DC的中點(diǎn),則( )
A.4B.3C.D.
7．設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),記該點(diǎn)為P,則直線OP的傾斜角的概率為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)的最大值為2,其圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為,且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則在區(qū)間上的最小值為( )
A.B.C.D.0
9．如圖,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,半圓面底面ABCD,點(diǎn)P為圓弧AD上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),與半圓面APD所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
10．設(shè)a,b是正數(shù),曲線關(guān)于直線對(duì)稱,若取得最小值,則該直線的方程為( )
A.B.C.D.
11．已知等差數(shù)列中,,,設(shè),則( )
A.245B.263C.281D.290
12．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,若F關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)R恰好落在漸近線上,則的面積為( )
A.B.2C.3D.
二、填空題
13．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為2的直線l與C交于P,Q兩點(diǎn),則________.
14．執(zhí)行如圖的程序框圖,如果輸入的,則輸出的s的取值范圍是________
15．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為40,且,則________.
16．已知函數(shù),若存在唯一的零點(diǎn),則k的取值范圍是________.
三、解答題
17．為了比較兩種治療高血壓的藥(分別稱為甲藥,乙藥)的療效,隨機(jī)選取20位患者服用甲藥,20位患者服用乙藥,這40位患者在服用一段時(shí)間后,記錄他們?nèi)掌骄档偷难獕簲?shù)值(單位:mmhg)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖:
（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種藥的療效更好?并給出兩種理由進(jìn)行說(shuō)明;
（2）求40位患者在服用一段時(shí)間后,日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)n,并將日平均降低血壓數(shù)值超過(guò)n和不超過(guò)n的患者數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為這兩種藥物的療效有差異?
附:,
18．如圖,在中,,D是斜邊AC上的一點(diǎn),,.
（1）若,求和DA;
（2）若,證明:.
19．如圖,在四棱錐中,平面ABCD,,點(diǎn)E在棱PB上,,點(diǎn)F,H是棱PA上的三等分點(diǎn),點(diǎn)G是棱PD的中點(diǎn).,.
（1）證明:平面CFG,且;
（2）求三棱錐的體積.
20．設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
（2）證明:①當(dāng)時(shí),;
②當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;
③當(dāng)時(shí),函數(shù)在單調(diào)遞增.
21．已知橢圓,是C的一個(gè)焦點(diǎn),是上一點(diǎn),R為C的左頂點(diǎn),直線與C交于不同的兩點(diǎn)P,Q
（1）求C的方程;
（2）直線RP,RQ分別交y軸于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn);在x軸上是否存在點(diǎn)H,使得,若存在,求出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由
22．在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知曲線的普通方程為,曲線的普通方程為
（1）寫(xiě)出的一個(gè)參數(shù)方程;
（2）若直線的極坐標(biāo)方程為,且該直線與或有公共點(diǎn),求m的取值范圍
23．已知
（1）求不等式的解集;
（2）在直角坐標(biāo)系xOy中,求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積
參考答案
1．答案：A
解析：集合,,則,
所以.
故選:A.
2．答案：B
解析：設(shè)復(fù)數(shù),因?yàn)?
所以,又,解得,
因?yàn)閺?fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,所以,
所以.
故選:B.
3．答案：D
解析：由三視圖畫(huà)出幾何體的直觀圖,如圖所示:
由于CA,CB,CP兩兩垂直,且,則平面ABC,所以該幾何體的體積為.
故選:D
4．答案：D
解析：由函數(shù)是奇函數(shù),可得,
解得,即函數(shù),
又由函數(shù)的定義域?yàn)镽,且,
所以函數(shù)為奇函數(shù),所以符合題意.
故選:D.
5．答案：C
解析：設(shè)這幾個(gè)球中,紅球分別為,,,白球分別為,,
則甲,乙兩同學(xué)先后取出的兩球可能的情況有:
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,共二十種,
其中取到不同顏色球的情況有:
,,,,,,,,,,,共十二種,
故其概率為.
故選:C.
6．答案：D
解析：
.
故選:D.
7．答案：B
解析：由題意,區(qū)域所表示的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的正方形ABCD.
設(shè),,,,
則滿足直線OP的傾斜角的P的點(diǎn)在與內(nèi)部與邊上.
故概率為.
故選:B
8．答案：B
解析：由條件知,,,
從而,,
所以,,即,,
又因?yàn)?故,.
這說(shuō)明,該函數(shù)在上遞增,在上遞減.
又,,所以在區(qū)間上的最小值為.
故選:B.
9．答案：D
解析：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)O,
因?yàn)槊娴酌鍭BCD,面底面,面PAD,
所以平面ABCD,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即點(diǎn)P位于圓弧AD的中點(diǎn)時(shí),最大,此時(shí)P為AD的中點(diǎn),
因?yàn)槊娴酌鍭BCD,面底面,,面ABCD,
所以面PAD,
所以即為PC與半圓面APD所成角的平面角,
在中,,,,
所以,
即與半圓面APD所成角的余弦值為.
故選:D.
10．答案：A
解析：由曲線關(guān)于直線對(duì)稱,
故直線經(jīng)過(guò)圓心,
可化為,
即該圓圓心為,即有,即,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,
故該直線的方程為,即.
故選:A
11．答案：C
解析：等差數(shù)列中,由,,得公差,
則,顯然當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以
.
故選:C.
12．答案：A
解析：設(shè)與漸近線的交點(diǎn)為P,
由題意可知,,,
所以,,
則.
故選:A.
13．答案：5
解析：拋物線的焦點(diǎn)為,
過(guò)F且斜率為2的直線l方程為:,設(shè),,
聯(lián)立得:,則,
所以.
故答案為:5.
14．答案：
解析：由程序框圖可知,當(dāng)時(shí),,則,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),取得最大值9,當(dāng)或時(shí),取得最小值5,則,
綜上所述,的取值范圍是.
故答案為:
15．答案：9
解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為,等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為40,
且,則,解得,故.
故答案為:9.
16．答案：
解析：因?yàn)?,所以,
令,解得
所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為,
又,,
當(dāng)函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)時(shí),要使存在唯一的零點(diǎn),
則必有,解得,此時(shí),
易知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),分別為和,不滿足題意;
所以函數(shù)在必有一個(gè)零點(diǎn),要使存在唯一的零點(diǎn),
則必有,解得.
綜上k的取值范圍為.
故答案為:.
17．答案：（1）乙藥的療效更好,理由見(jiàn)解析
（2）,列聯(lián)表見(jiàn)解析
（3）沒(méi)有95%的把握認(rèn)為這兩種藥物的療效有差異
解析：（1）乙藥的療效更好參考理由如下:
(i)用各自的平均數(shù)說(shuō)明
設(shè)甲藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,乙藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,
由莖葉圖可知,,
,
因?yàn)?所以乙藥的療效更好
(ii)用莖2和莖3上分布的數(shù)據(jù)說(shuō)明
由莖葉圖可知,用甲藥有的患者日平均降低血壓數(shù)值在20及以上,
用乙藥有65%的患者日平均降低血壓數(shù)值在20及以上,所以乙藥的療效更好
(iii)用各自的中位數(shù)說(shuō)明
由莖葉圖可知,用甲藥的患者日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)為15,
用乙藥的患者日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)為21,所以乙藥的療效更好
(iv)用各自的葉在莖上的整體分布說(shuō)明
由莖葉圖可知,用甲藥的患者日平均降低血壓數(shù)值分布集中在“單峰”莖1上,且關(guān)于莖1大致呈對(duì)稱分布;
用乙藥的患者日平均降低血壓數(shù)值分布集中在“單峰”莖2上,且關(guān)于莖2大致呈對(duì)稱分布,
又用兩種降壓藥患者日平均降低血壓數(shù)值都分布的區(qū)間內(nèi),所以乙藥的療效更好
（2）由莖葉圖可知內(nèi)有個(gè)數(shù)據(jù),內(nèi)有3個(gè)數(shù)據(jù),內(nèi)有16個(gè)數(shù)據(jù),,則中位數(shù)位于之間,
且內(nèi)的數(shù)據(jù)從小到大排列為11,12,12,12,12,13,14,14,15,15,16,17,
18,18,19,所以中位數(shù)
列聯(lián)表如下:
（3）由于,
所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為這兩種藥物的療效有差異
18．答案：（1）,
（2）證明見(jiàn)解析
解析：（1）由,,可得.
因?yàn)?所以在中,由正弦定理可得,即,
則或60°,又因?yàn)?故.
因此,又因?yàn)?所以是等邊三角形,
所以,
又在中,,,故,
所以.
（2）證明:令,,,.
因?yàn)?則.
在與中,由余弦定理可得
消去,得,整理得,
所以,即.
19．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）2
解析：（1）因?yàn)镕,G分別為PH,PD的中點(diǎn),
所以,又平面CFG,平面CFG,
所以平面CFG,
連接HE,在中,,
所以,且,
因?yàn)?,
所以,且,
所以四邊形HECD為平行四邊形,
所以,又,所以,
（2）由題意可知,,,,
所以,故,
又,所以,所以BC為的頂點(diǎn)D到邊AB的高,
因?yàn)槠矫鍭BCD,所以PC為三棱錐的高,
故.
20．答案：（1）在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
（2）①證明見(jiàn)解析;
②證明見(jiàn)解析;
③證明見(jiàn)解析.
解析：（1）因?yàn)?
所以,
設(shè),則,
所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以在上單調(diào)遞增,又,
所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
因此,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
（2）①設(shè),則,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
所以,即時(shí),.
②設(shè),則,
所以在上單調(diào)遞增,且,
所以當(dāng)時(shí),,即;
當(dāng)時(shí),,即.
③當(dāng)時(shí),,
,設(shè),則,
當(dāng)時(shí),
由①,②,得,
所以在單調(diào)遞增;
所以,故在單調(diào)遞增.
21．答案：（1）
（2）存在,H的坐標(biāo)為和
解析：（1）由題意可知,橢圓C的半焦距,
由得,
把D的坐標(biāo)代入C的方程得,
由解得
所以C的方程為
（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)H,使得
設(shè),由,可知,
所以,即,所以
因?yàn)橹本€交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱
設(shè),,(,且),
由題意得,則直線RP的方程為,令,得,
直線RQ的方程為,令,得,
因?yàn)?所以,
又因?yàn)樵贑上,所以,即,
所以,得
當(dāng)時(shí),由,得,
,,
所以,,
所以,又,為銳角,所以,
所以,滿足題意,同理當(dāng)時(shí),也滿足題意
所以,在x軸上存在點(diǎn)H,使得,且H的坐標(biāo)為和
22．答案：（1）(為參數(shù),)
（2）
解析：（1）:,設(shè),,又,,
所以的參數(shù)方程為(為參數(shù),)
（2）把,代入中,
得,即,
數(shù)形結(jié)合可知,若直線與有公共點(diǎn),
則,
若直線與有公共點(diǎn),當(dāng)直線與相切時(shí),有,結(jié)合圖像可知得,
所以當(dāng)時(shí),直線與有公共點(diǎn),
綜上,當(dāng)時(shí),直線與或有公共點(diǎn)
23．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因?yàn)?
故當(dāng)時(shí),,得,
當(dāng)時(shí),,無(wú)解,
當(dāng)時(shí),,得;
綜上,不等式的解集為.
（2）如圖所示,做出不等式組,
即所確定的平面區(qū)域(圖中陰影部分),為四邊形ABCD,
其中,,,,
設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為E,則,
所以,
其中,
求時(shí),以線段BC為底,點(diǎn)A到BC的距離為高h(yuǎn),
又,;
則可求得,所以
超過(guò)n
不超過(guò)n
服用甲藥
服用乙藥
0.15
0.10
0.05
2.072
2.706
3.841
超過(guò)n
不超過(guò)n
服用甲藥
7
13
服用乙藥
13
7

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