一、選擇題
1．已知全集,集合滿足,則( )
A.B.C.D.
2．已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則的虛部為( )
A.B.C.D.
3．設(shè)m,,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
4．若非零向量,滿足,則向量與向量的夾角為( )
A.B.C.D.
5．從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張,則抽到兩張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為( )
A.B.C.D.
6．已知函數(shù)的值域?yàn)?若,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．已知數(shù)列為等比數(shù)列,且,,設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則( )
A.或36B.C.36D.18
8．聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波,其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù),但我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響,而是許多個(gè)音的結(jié)合,稱(chēng)為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.的一個(gè)周期為
B.的最大值為
C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
D.在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)
9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè),動(dòng)點(diǎn)滿足,則的最大值為( )
A.B.C.D.
10．在正方體中,E為BD的中點(diǎn),則直線與所成角的余弦值為( )
A.0B.C.D.
11．設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且.若,則( )
A.B.C.D.
12．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為,,雙曲線C的離心率為e,在第一象限存在點(diǎn)P,滿足,且,則雙曲線C的漸近線方程為( )
A.B.C.D.
二、填空題
13．拋物線的準(zhǔn)線方程為,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_________.
14．在中,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,,,則邊__________.
15．若實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值為_(kāi)_________.
16．已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上,則該圓柱的側(cè)面積的最大值為_(kāi)_________.
三、解答題
17．某企業(yè)擬對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行科技升級(jí),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬,得到科技升級(jí)投入m(萬(wàn)元)與科技升級(jí)直接收益y(萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),建立了y與m的兩個(gè)回歸模型:
模型①:模型②:.
（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較模型①?②的相關(guān)指數(shù)的大小,并選擇擬合精度更高?更可靠的模型;
（2）根據(jù)（1）選擇的模型,預(yù)測(cè)對(duì)該產(chǎn)品科技升級(jí)的投入為100萬(wàn)元時(shí)的直接收益.
(附:刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù),越大,模型的擬合效果越好)
18．如圖,在多面體DABCE中,是等邊三角形,,.
（1）求證:;
（2）求三棱錐的體積.
19．已知函數(shù).
（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn),求a的值;
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
20．己知橢圓過(guò)點(diǎn),且焦距為.
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)弦AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N.證明:直線MN必過(guò)定點(diǎn).
21．已知數(shù)列為有窮數(shù)列,且,若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì),則稱(chēng)數(shù)列為的k增數(shù)列:
①;
②對(duì)于,使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).
（1）寫(xiě)出所有4的1增數(shù)列;
（2）當(dāng)時(shí),若存在m的6增數(shù)列,求m的最小值.
22．在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線W的參數(shù)方程為(為參數(shù),),
以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為
.
（1）求曲線W的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
（2）已知點(diǎn),若直線l與曲線W交于M,N兩點(diǎn),求的值.
23．已知.
（1）求不等式的解集;
（2）若的最小值為n,正實(shí)數(shù)a,b,c滿足,求證.
參考答案
1．答案：B
解析:因?yàn)?,所以,
所以.
故選:B.
2．答案：A
解析:,則,其虛部為,
故選:A.
3．答案：B
解析:時(shí),m和n可能都是負(fù)數(shù),得不出,充分性不成立;時(shí),得出,得出,必要性成立,
是的必要不充分條件.
故選:B.
4．答案：C
解析:
5．答案：D
解析:從6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張,共有15種情況,其中數(shù)字之積是3的倍數(shù)的有,,,,,,,,,共9種情況,故所求概率為.
6．答案：A
解析:由題意得,函數(shù)的定義域?yàn)镽,令,
則,所以,所以函數(shù)的值域?yàn)?因?yàn)?所以,故選A.
7．答案：C
解析:為等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,,,,則,則,等差數(shù)列中,.故選:C.
8．答案：D
解析:函數(shù),
對(duì)于A:,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B:函數(shù),,
令,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故函數(shù)在時(shí),函數(shù)取得最大值為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:當(dāng)時(shí),,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:當(dāng),時(shí),,,故在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn),故D正確.故選:D.
9．答案：C
解析:,
整理得:,
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以為圓心,2為半徑的圓,
因?yàn)?,所以A,B,D三點(diǎn)共線,如圖,
設(shè),則,,所以,
當(dāng)PB與圓相切時(shí),為銳角且最大,最大,即,
所以,
,
,即的最大值為.
故選:C.
10．答案：D
解析:連接,取的中點(diǎn)F,連接DF,易知,
為異面直線與所成角,
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,
則,,,
,
故選:D.
11．答案：A
解析:因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù),所以,則,所以,所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù),所以.
12．答案：A
解析:設(shè),,由雙曲線的定義可得,
由,且,
可得,
,
,
解得,,
在中,由余弦定理可得,
即,化為,
即為,
則雙曲線的漸近線方程為.
故選:A.
13．答案：
解析:
14．答案：
解析:,,,
則,即,
故,
解得.
故答案為:.
15．答案：5
解析:
16．答案：
解析:設(shè)球的半徑為R,圓柱的底面半徑為r,母線為l,則由題意知,,解得,又圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上,
則圓柱的兩個(gè)底面圓的圓心關(guān)于球心對(duì)稱(chēng),且,
則圓柱的側(cè)面積,,
因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),等號(hào)成立,
所以,.
故答案為:.
17．答案：（1）見(jiàn)解析
（2）198.6萬(wàn)元
解析:（1）由表格中的數(shù)據(jù),,
所以,模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù),
即模型②的擬合效果精度更高?更可靠.
（2）當(dāng)萬(wàn)元時(shí),科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為:
(萬(wàn)元)
18．答案：（1）見(jiàn)解析
（2）
解析:（1）證明:取BC中點(diǎn)O,連接AO,EO.
是等邊三角形,O為BC中點(diǎn),
,
又,,
,平面AEO,
又平面AEO,
.
（2）連接DO,則,
由,得,,
又,,
,
又,平面ABC
所以
19．答案：（1）見(jiàn)解析
（2）見(jiàn)解析
解析:（1）函數(shù)定義域?yàn)?,
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn),
所以,解得或,
因?yàn)?所以.
此時(shí),
令得,令得,
在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).
所以.
（2）
因?yàn)?所以,
令得;令得;
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.
20．答案：（1）
（2）見(jiàn)解析
解析:（1）依題意有,,解得,
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè),,,則,
聯(lián)立,故,
,,
故,
由代替m,得,
當(dāng),即時(shí),,過(guò)點(diǎn).
當(dāng),即時(shí),
,,
令,
直線恒過(guò)點(diǎn).
當(dāng),經(jīng)驗(yàn)證直線MN過(guò)點(diǎn).
綜上,直線MN恒過(guò)點(diǎn).
21．答案：（1）
（2）
解析:（1）由題意得,則或,
故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1,2,1和數(shù)列1,3.
（2）當(dāng)時(shí),因?yàn)榇嬖趍的6增數(shù)列,
所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng),所以且
若,滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1,一項(xiàng)為2,
所以,不符合題意,所以
若,滿足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1,兩項(xiàng)為2,符合m的6增數(shù)列.
所以,當(dāng)時(shí),若存在m的6增數(shù)列,m的最小值為7
22．答案：（1）
（2）見(jiàn)解析
解析:（1）因?yàn)榍€W的參數(shù)方程為(為參數(shù),),
所以,,所以,.
即曲線的普通方程為
直線l的極坐標(biāo)方程為,則,
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為
（2）直線l過(guò)點(diǎn),直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
令點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,
將代入,得,
則,,故
23．答案：（1）
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）①當(dāng)時(shí),,解得;
②當(dāng)時(shí),,解得;
③當(dāng)時(shí),,無(wú)解;
綜上,不等式的解集為.
（2）因?yàn)?
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以,即.
.
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.
序號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
m
2
3
4
6
8
10
13
y
13
22
31
42
50
56
58
回歸模型
模型①
模型②
回歸方程
182.4
79.2

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