一、單選題
1．設全集，集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．設復數(shù)滿足，，復數(shù)所對應的點位于第四象限；則（ ）
A．B．C．D．
3．某幾何體的三視圖如圖所示，設三視圖中三個直角頂點在該幾何體中對應的點為，則點到它所對的面的距離為（ ）
A．B．C．D．
4．已知是奇函數(shù)，則（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．設甲盒中有4個紅球，2個白球；乙盒中有2個紅球，4個白球．先從甲盒中隨機取出一球放入乙盒，用事件表示“從甲盒中取出的是紅球”，用事件表示“從甲盒中取出的是白球”；再從乙盒中隨機取出一球，用事件表示“從乙盒中取出的是紅球”，則下列結論正確的是（ ）
A．事件與事件是互斥事件B．事件與事件是獨立事件
C．D．
6．已知函數(shù)的最大值為2，其圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，且的圖象關于點對稱，則在區(qū)間上的最小值為（ ）
A．B．C．D．0
7．已知的二項展開式中第六項的系數(shù)為，則實數(shù)等于（ ）
A．B．C．D．1
8．如圖，底面是邊長為2的正方形，半圓面底面，點為圓弧上的動點．當三棱錐的體積最大時，二面角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
9．已知等差數(shù)列中，，，設，則（ ）
A．245B．263C．281D．290
10．已知兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在該球面上，若兩個圓錐的高之比為，它們的體積之和為，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
11．已知雙曲線的右焦點為，若關于漸近線的對稱點恰好落在漸近線上，則的面積為（ ）
A．B．2C．3D．
12．如圖，在菱形中，，，分別為上的點，，．若線段上存在一點，使得，則等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
13．設拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線l與C交于P、Q兩點，則 .
14．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的，則輸出的的取值范圍是 ．
15．已知數(shù)列的前項和為，，，，則 ．
16．已知函數(shù)，若，現(xiàn)有下列4個結論：①；②；③；④．則其中正確的有 ．（填上你認為所有正確結論的序號）
三、解答題
17．為了比較兩種治療高血壓的藥（分別稱為甲藥，乙藥）的療效，隨機選取20位患者服用甲藥，20位患者服用乙藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均降低的血壓數(shù)值（單位：mmhg）．根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種藥的療效更好？并給出兩種理由進行說明；
(2)求40位患者在服用一段時間后，日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)，并將日平均降低血壓數(shù)值超過和不超過的患者數(shù)填入下面的列聯(lián)表：
(3)根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有的把握認為這兩種藥物的療效有差異？
附：，
18．如圖，在中，，是斜邊上的一點，，．
(1)若，求和的面積；
(2)若，求的值．
19．如圖，在四棱錐中，平面，，點在棱上，，點，是棱上的三等分點，點是棱的中點．，．
(1)證明：∥平面，且，，，四點共面；
(2)證明：平面平面；
(3)求直線與平面所成角的正弦值．
20．已知橢圓：，是的一個焦點，是上一點，為的左頂點，直線與交于不同的兩點，．
(1)求的方程；
(2)直線，分別交軸于，兩點，為坐標原點；在軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
21．設函數(shù)．
(1)當時，討論的單調性，并證明；
(2)證明：①當時，；
②當時，，當時，；
③當時，函數(shù)存在唯一的零點．
22．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線的普通方程為，曲線的普通方程為．
(1)寫出的一個參數(shù)方程；
(2)若直線的極坐標方程為，且該直線與或有公共點，求的取值范圍．
23．已知．
(1)求不等式的解集；
(2)在直角坐標系中，求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積．
超過
不超過
服用甲藥
服用乙藥
0.15
0.10
0.05
2.072
2.706
3.841
參考答案：
1．A
【分析】
根據(jù)題意，將集合化簡，再由交集以及補集的運算，即可得到結果.
【詳解】因為，
則，所以.
故選：A
2．B
【分析】
設出復數(shù)，由題意有，且，求出即可得解.
【詳解】設，則，所以，
又，復數(shù)所對應的點位于第四象限，所以，
解得，從而.
故選：B.
3．D
【分析】
首先將三視圖還原得到三棱錐，兩兩垂直，，然后根據(jù)等體積法求高即可.
【詳解】
考慮三棱錐，兩兩垂直，，從點朝平面看時，順時針排列.
分別將定為看向該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖視線方向，即得到所求三視圖.
考慮將該幾何體放入正方體中，
此時，該幾何體的體積，
同時設到平面的距離為，則又有.
容易得到是邊長為的等邊三角形，故.
從而.
故選：D.
4．D
【分析】
根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質，代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為，則函數(shù)的定義域為，
即是定義在上的奇函數(shù)，則，
則，所以.
經(jīng)檢驗，當時，為奇函數(shù)，滿足題意.
故選：D.
5．C
【分析】
直接用古典概型、條件概率公式求出，，，，，然后逐項判斷即可.
【詳解】
由于甲盒中有6個球，其中有4個紅球，2個白球，故，.
如果從甲盒中取出了紅球，則在乙盒中取球時，有3個紅球，4個白球，故，
如果從甲盒中取出了白球，則在乙盒中取球時，有2個紅球，5個白球，故，
同時，我們有.
由于，故A錯誤；
由于，，故B錯誤；
而，，故C正確，D錯誤.
故選：C.
6．B
【分析】
利用題目條件求出的解析式，然后討論在上的單調性即可.
【詳解】
由條件知，，，
從而，，
所以，即，
又因為，故.
這說明，該函數(shù)在上遞增，在上遞減.
又，所以在區(qū)間上的最小值為.
故選：B.
7．C
【分析】
寫出展開式的通項，即可求出二項展開式中第六項的系數(shù)，從而得到方程，解得即可.
【詳解】二項式展開式的通項為
其中且，
所以二項展開式中第六項的系數(shù)為，
依題意可得，解得.
故選：C
8．D
【分析】由題意當三棱錐的體積最大時,此時點處于半圓弧的正中間位置.此時建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出平面，平面的法向量，由法向量夾角余弦的坐標公式即可求解.
【詳解】三棱錐的體積與到平面的距離成正比，
故當三棱錐的體積最大時,此時點處于半圓弧的正中間位置.
點處于半圓弧的正中間位置時，記的中點為，以其為原點，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標系.
平面顯然有法向量，
，
設為平面的法向量，
則該向量與和均垂直，
所以，從而.
令，解得，
故符合條件，
顯然二面角為銳角，
因此所求余弦值為.
故選：D.
9．C
【分析】
根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差及通項公式，判斷正數(shù)、負數(shù)項，再求出
【詳解】等差數(shù)列中，由，，得公差，
則，顯然當時，，當時，，
所以
.
故選：C
10．B
【分析】首先根據(jù)同底圓錐高的比得到，兩個圓錐的高分別是，而由它們的體積之和為即可求出，進而得解.
【詳解】
記該截面和球的半徑分別為，由于兩個圓錐的高之比為，
故球心到該截面的距離為，從而，.
而兩個圓錐的高分別是，故體積之和.
從而，故，.
該球的表面積.
故選：B.
11．A
【分析】
根據(jù)題意，由點與點關于直線對稱可得，，再由三角形的面積公式，即可得到結果.
【詳解】
設與漸近線的交點為，
由題意可知，，，
所以，
則.
故選：A
12．A
【分析】
以為基底可表示出，由三點共線可構造方程求得，將所求數(shù)量積化為，根據(jù)數(shù)量積的定義和運算律可求得結果.
【詳解】
，，，，
，
，
三點共線，，解得：，，
.
故選：A.
13．
【分析】
由題意求出直線l的方程，聯(lián)立方程組，由拋物線的焦點弦公式求解即可.
【詳解】拋物線的焦點為，
過F且斜率為2的直線l方程為：，設，，
聯(lián)立得：，則，
所以.
故答案為：.
14．
【分析】
根據(jù)題意，由程序框圖代入計算，即可得到結果.
【詳解】由程序框圖可知，當時，，則，
當時，，
當時，取得最大值9，當或時，取得最小值5，則，
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：
15．6
【分析】
根據(jù)題意，由遞推公式可得數(shù)列是周期為6的數(shù)列，再由代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為，，，
則，，，，，
所以數(shù)列是周期為6的數(shù)列，且，
所以.
故答案為：6
16．①③
【分析】先證明是偶函數(shù)，且在上遞增，然后利用當且僅當，為條件變形，從而進一步分析.
【詳解】顯然定義域為全體實數(shù)，
又，所以是偶函數(shù)，
當時，
從而在上遞增，故當且僅當，
因為，所以，顯然同號，
所以，，，從而①③正確，②④錯誤.
故答案為：①③.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是得到當且僅當，由此即可順利得解.
17．(1)乙藥的療效更好，理由見解析
(2)，列聯(lián)表見解析
(3)沒有95%的把握認為這兩種藥物的療效有差異
【分析】
（1）根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)分析即可；
（2）根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)分析出中位數(shù)，即可得到列聯(lián)表；
（3）計算出卡方，即可判斷.
【詳解】（1）乙藥的療效更好．參考理由如下：
（?。┯酶髯缘钠骄鶖?shù)說明．
設甲藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
由莖葉圖可知，，
，
因為，所以乙藥的療效更好．
（ⅱ）用莖2和莖3上分布的數(shù)據(jù)說明．
由莖葉圖可知，用甲藥有的患者日平均降低血壓數(shù)值在20及以上，
用乙藥有的患者日平均降低血壓數(shù)值在20及以上，所以乙藥的療效更好．
（ⅲ）用各自的中位數(shù)說明．
由莖葉圖可知，用甲藥的患者日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)為，
用乙藥的患者日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)為，所以乙藥的療效更好．
（ⅳ）用各自的葉在莖上的整體分布說明．
由莖葉圖可知，用甲藥的患者日平均降低血壓數(shù)值分布集中在“單峰”莖1上，且關于莖1大致呈對稱分布；
用乙藥的患者日平均降低血壓數(shù)值分布集中在“單峰”莖2上，且關于莖2大致呈對稱分布，
又用兩種降壓藥患者日平均降低血壓數(shù)值都分布的區(qū)間內，所以乙藥的療效更好．
（2）由莖葉圖可知內有個數(shù)據(jù)，內有個數(shù)據(jù)，內有個數(shù)據(jù)，，則中位數(shù)位于之間，
且內的數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，，，，，，，，，，
所以中位數(shù)．
列聯(lián)表如下：
（3）由于，
所以沒有的把握認為這兩種藥物的療效有差異．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）在中由正弦定理可求，從而確定是等邊三角形，為等腰三角形，求出邊角可得面積.
（2）設出長，在與中，用雙余弦可得的值.
【詳解】（1）由，，可得．
在中，由正弦定理可得，所以，
所以或，又，故只能有．
因此，，又，所以是等邊三角形，
所以，
又在中，，，故，
所以，，
.
（2）令，，，則，
在與中，由余弦定理可得，
消去，得，
整理得，所以得，所以．
19．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）由中位線得，結合線面平行的判定定理即可證得∥平面，要證，，，四點共面，只需，只需，連接，結合條件證明四邊形是平行四邊形即可；
（2）由勾股定理得，由線面垂直的性質得，進一步由線面垂直、面面垂直的判定定理即可得證；
（3）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，分別求出直線與平面的方向向量、法向量，由向量夾角的坐標公式即可求解.
【詳解】（1）
因為F，G分別為的中點，
所以，
又平面CFG，平面，
所以平面．
連接HE，在中，，
所以，且，
因為，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形．
所以，
又，所以，
故C，E，F(xiàn)，G四點共面．
（2）由題意可知，，，，
所以，故．
又平面，平面，所以，
又平面，
故平面，
又平面，
所以平面平面．
（3）
因為平面，平面，
所以，，
在平面內，，，
所以．
所以兩兩互相垂直，
以C為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，
向量，，，
設平面的法向量為，則由，得，
可取，
設直線與平面所成角為，則．
因此直線與平面所成角的正弦值為．
20．(1)
(2)存在，H的坐標為和．
【分析】
（1）將點坐標代入橢圓方程，再結合橢圓的幾何性質，解方程組即可求解；
（2）設點，表示出直線的方程，從而得到點的坐標，同理得到點的坐標，再由得到，坐標代入后結合題中條件進一步計算求出點的坐標即可求解.
【詳解】（1）由題意可知，橢圓C的半焦距，
由得，
把D的坐標代入C的方程得，
由解得
所以C的方程為．
（2）假設在軸上存在點H，使得．
設，由，可知，
所以，即，所以．
因為直線交橢圓C于P，Q兩點，則P，Q兩點關于y軸對稱．
設，，（，且），
由題意得，則直線RP的方程為，令，得，
直線RQ的方程為，令，得，
因為，所以，
又因為在C上，所以，即，
所以，得．
當時，由，得，
，，
所以，，
所以，又，為銳角，所以，
所以，滿足題意，同理當時，也滿足題意．
所以，在軸上存在點H，使得，且H的坐標為和．
21．(1)在單調遞減，在單調遞增，證明見解析
(2)①證明見解析；②證明見解析；③證明見解析
【分析】（1）求導得，令，繼續(xù)求導發(fā)現(xiàn)即在上單調遞增，結合即可得的單調性，從而也可得證；
（2）①構造函數(shù)，求導得其單調性、最值即可得證；
②構造函數(shù)，求導得其單調性即可得證；
③當時，，，設，則，由①、②得在單調遞增，然后分類討論得在單調遞減，從而，由此可得單調，由零點存在定理即可得解.
【詳解】（1）因為，所以，
設，則，
所以當時，，函數(shù)在上單調遞增，
所以在上單調遞增，又，
所以當時；當時，
因此，當時，在單調遞減，在單調遞增，
所以．
（2）①設，則，
當時，，當時，，
所以在單調遞減，在單調遞增，
所以，即時，．
②設，則，
所以在上單調遞增，且，
所以當時，，即；
當時，，即．
③當時，，，
設，則，
當時，由①、②，得
，
所以在單調遞增；
當時，
（?。┤?，由①知，得，故，
又由②知當時，成立，
則，此時單調遞減，
（ⅱ）若，則，
此時單調遞減，
由（?。áⅲ┛芍趩握{遞減，即在單調遞減．
綜上，可知當時，，所以在上單調遞增，
又，，
所以根據(jù)零點存在定理可知在上存在唯一零點．
【點睛】關鍵點點睛：第二問③的關鍵是結合①、②結論得在單調遞增，然后分類討論得在單調遞減，由此即可順利得解.
22．(1)（為參數(shù)，）
(2)
【分析】
（1）由題意直接三角換元結合的范圍即可得的范圍，由此即可得解；
（2）將直線的極坐標方程轉換為普通方程，通過數(shù)形結合的方法分類討論即可求解的范圍.
【詳解】（1）：，設，，又，，
所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．
（2）把，代入中，
得，即，
數(shù)形結合可知，若直線與有公共點，
則，

若直線與有公共點，當直線與相切時，有，結合圖像可知得，
所以當時，直線與有公共點，

綜上，當時，直線與或有公共點．
23．(1)或；
(2).
【分析】
（1）將寫成分段函數(shù)的形式，再分類討論求解不等式即可；
（2）畫出不等式組表示的平面區(qū)域面積，結合點到直線的距離公式以及三角形面積公式，即可求得結果.
【詳解】（1）因為，
故當時，，得，
當時，，無解，
當時，，得；
綜上，不等式的解集為或.
（2）如圖所示，做出不等式組
即所確定的平面區(qū)域（圖中陰影部分），為四邊形，
其中，，，，
設直線與y軸的交點為，則，
所以，
其中，．
求時，以線段BC為底，點A到BC的距離為高，
又，；
則可求得，所以．
超過
不超過
服用甲藥
7
13
服用乙藥
13
7

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