TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc25735" 【題型1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷結(jié)論】 PAGEREF _Tc25735 \h 1
\l "_Tc23027" 【題型2 利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值】 PAGEREF _Tc23027 \h 2
\l "_Tc26774" 【題型3 二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc26774 \h 3
\l "_Tc28267" 【題型4 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求字母的范圍】 PAGEREF _Tc28267 \h 3
\l "_Tc25183" 【題型5 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】 PAGEREF _Tc25183 \h 4
\l "_Tc16982" 【題型6 二次函數(shù)給定范圍內(nèi)的最值問(wèn)題】 PAGEREF _Tc16982 \h 5
【題型1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷結(jié)論】
【例1】（2023?新華區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)m＝0時(shí)，y隨x的增大而增大
B．當(dāng)m=12時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（12，?14）
C．當(dāng)m＝﹣1時(shí)，若x＜54，則y隨x的增大而減小
D．無(wú)論m取何值，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)
【變式1-1】（2023秋?遂川縣期末）關(guān)于拋物線y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．開(kāi)口向上
B．當(dāng)a＝2時(shí)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O
C．不論a為何值，都過(guò)定點(diǎn)（1，﹣2）
D．a(chǎn)＞0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)
【變式1-2】（2023秋?金牛區(qū)期末）對(duì)于拋物線y＝﹣2（x+1）2+3，下列結(jié)論：①拋物線的開(kāi)口向下；②對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1：③頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3）；④x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式1-3】（2023?赤壁市一模）對(duì)于二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣3，有下列結(jié)論：
①它的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
②如果當(dāng)x≤﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，則m＝﹣1；
③如果將它的圖象向左平移3個(gè)單位后過(guò)原點(diǎn)，則m＝1；
④如果當(dāng)x＝2時(shí)的函數(shù)值與x＝8時(shí)的函數(shù)值相等，則m＝5．
其中一定正確的結(jié)論是 ．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）
【題型2 利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值】
【例2】（2023?陜西）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3．當(dāng)﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時(shí)，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【變式2-1】（2023秋?金安區(qū)校級(jí)月考）拋物線y＝x2+x+2，點(diǎn)（2，a），（﹣1，﹣b），（3，c），則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞c
C．a(chǎn)＞b＞cD．無(wú)法比較大小
【變式2-2】（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函數(shù)y＝﹣x2+2bx+c的圖象上，若0＜m＜n，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【變式2-3】（2023?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）為拋物線上三點(diǎn)，且總有y3＞y1＞y2．結(jié)合圖象，則m的取值范圍是 ．
【題型3 二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用】
【例3】（2023秋?望江縣期末）在二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
則m、n的大小關(guān)系為（ ）
A．m＜nB．m＞nC．m＝nD．無(wú)法確定
【變式3-1】（2023秋?甘州區(qū)校級(jí)期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
則該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為（ ）
A．y軸B．直線x=12C．直線x＝1D．直線x=32
【變式3-2】（2023?隨州校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣9x﹣34，當(dāng)自變量x取兩個(gè)不同的值x1，x2時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)自變量x取x1+x2時(shí)的函數(shù)值應(yīng)當(dāng)與（ ）
A．x＝1時(shí)的函數(shù)值相等B．x＝0時(shí)的函數(shù)值相等
C．x=14的函數(shù)值相等D．x=94的函數(shù)值相等
【變式3-3】（2023?臨安區(qū)模擬）已知二次函數(shù)的解析式為y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函數(shù)過(guò)（a，b）和（a+6，b）兩點(diǎn)，則a的取值范圍（ ）
A．﹣2≤a≤?32B．﹣2≤a≤﹣1C．﹣3≤a≤?32D．0≤a≤2
【題型4 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求字母的范圍】
【例4】（2023?西湖區(qū)一模）設(shè)函數(shù)y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若當(dāng)x＜m時(shí)，y隨著x的增大而增大，則m的值可以是（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
【變式4-1】（2023?鹽城）若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+2x+2的圖象上，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于2，則n的取值范圍是 ．
【變式4-2】（2023秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）已知拋物線y＝﹣（x﹣2）2+9，當(dāng)m≤x≤5時(shí)，0≤y≤9，則m的值可以是（ ）
A．﹣2B．1C．3D．4
【變式4-3】（2023?綿竹市模擬）若拋物線y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則m的取值范圍是（ ）
A．m＜﹣3B．﹣1＜m＜2C．﹣3＜m＜0D．﹣2＜m＜1
【題型5 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】
【例5】（2023秋?丹陽(yáng)市期末）若實(shí)數(shù)m、n滿足m+n＝2，則代數(shù)式2m2+mn+m﹣n的最小值是_______．
【變式5-1】（2023秋?寧明縣期中）已知拋物線y＝﹣x2﹣3x+t經(jīng)過(guò)A（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，n）在該拋物線上，求m+n的最大值．
【變式5-2】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)四模）拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）過(guò)A（4，4），B（2，m）兩點(diǎn)，點(diǎn)B到拋物線對(duì)稱(chēng)軸的距離記為d，滿足0＜d≤1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m≤2或m≥3B．m≤3或m≥4C．2＜m＜3D．3＜m＜4
【變式5-3】（2023?永嘉縣校級(jí)模擬）已知拋物線y＝a（x﹣2）2+1經(jīng)過(guò)第一象限內(nèi)的點(diǎn)A（m，y1）和B（2m+1，y2），1＜y1＜y2，則滿足條件的m的最小整數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【題型6 二次函數(shù)給定范圍內(nèi)的最值問(wèn)題】
【例6】（2023秋?讓胡路區(qū)期末）若二次函數(shù)y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2時(shí)的最大值為3，那么m的值是（ ）
A．﹣4或72B．﹣23或72C．﹣4 或23D．﹣23或2 3
【變式6-1】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2時(shí)有最小值﹣2，則m＝（ ）
A．3B．﹣3或38C．3或?38D．﹣3或?38
【變式6-2】（2023?岳陽(yáng)）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4m2x﹣3（m為常數(shù)，m≠0），點(diǎn)P（xp，yp）是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)0≤xp≤4時(shí)，yp≤﹣3，則m的取值范圍是（ ）
A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1
【變式6-3】（2023秋?南充期末）若二次函數(shù)y＝x2﹣2x+5在m≤x≤m+1時(shí)的最小值為6，那么m的值是 ．x
…
﹣1
1
3
4
…
y
…
﹣6
m
n
﹣6
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
﹣6
﹣6
﹣4
…
專(zhuān)題5.3 二次函數(shù)的性質(zhì)【六大題型】
【蘇科版】
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\l "_Tc25735" 【題型1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷結(jié)論】 PAGEREF _Tc25735 \h 1
\l "_Tc23027" 【題型2 利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值】 PAGEREF _Tc23027 \h 4
\l "_Tc26774" 【題型3 二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc26774 \h 6
\l "_Tc28267" 【題型4 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求字母的范圍】 PAGEREF _Tc28267 \h 7
\l "_Tc25183" 【題型5 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】 PAGEREF _Tc25183 \h 9
\l "_Tc16982" 【題型6 二次函數(shù)給定范圍內(nèi)的最值問(wèn)題】 PAGEREF _Tc16982 \h 12
【題型1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷結(jié)論】
【例1】（2023?新華區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)m＝0時(shí)，y隨x的增大而增大
B．當(dāng)m=12時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（12，?14）
C．當(dāng)m＝﹣1時(shí)，若x＜54，則y隨x的增大而減小
D．無(wú)論m取何值，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)
分析：根據(jù)題意中的函數(shù)解析式和各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法可以判斷是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：當(dāng)m＝0時(shí)，y＝x﹣1，則y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)A正確，
當(dāng)m=12時(shí)，y＝x2﹣x＝（x?12）2?14，則函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（12，?14），故選項(xiàng)B正確，
當(dāng)m＝﹣1時(shí)，y＝﹣2x2+5x﹣3＝﹣2（x?54）2+18，則當(dāng)x＜54，則y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
∵y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1＝2mx2+x﹣4mx+2m﹣1＝（2mx2﹣4mx+2m）+（x﹣1）＝2m（x﹣1）2+（x﹣1）＝（x﹣1）[2m（x﹣1）+1]，
∴函數(shù)y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，無(wú)論m取何值，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（1，0），故選項(xiàng)D正確，
故選：C．
【變式1-1】（2023秋?遂川縣期末）關(guān)于拋物線y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．開(kāi)口向上
B．當(dāng)a＝2時(shí)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O
C．不論a為何值，都過(guò)定點(diǎn)（1，﹣2）
D．a(chǎn)＞0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)
分析：根據(jù)函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，
∴此拋物線開(kāi)口向上，故選項(xiàng)A正確，
當(dāng)a＝2時(shí)，y＝x2﹣3x過(guò)點(diǎn)（0，0），故選項(xiàng)B正確，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2，此時(shí)解析式中的a正好可以消掉，故選項(xiàng)C正確，
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=??(a+1)2×1=a+12，當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸x＞12在y軸右側(cè)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：D．
【變式1-2】（2023秋?金牛區(qū)期末）對(duì)于拋物線y＝﹣2（x+1）2+3，下列結(jié)論：①拋物線的開(kāi)口向下；②對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1：③頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3）；④x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
分析：根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣2（x+1）2+3，a＝﹣2＜0，
∴拋物線的開(kāi)口向下，故①正確，
對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣1，故②錯(cuò)誤，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3），故③正確，
x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，故④正確，
故選：C．
【變式1-3】（2023?赤壁市一模）對(duì)于二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣3，有下列結(jié)論：
①它的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
②如果當(dāng)x≤﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，則m＝﹣1；
③如果將它的圖象向左平移3個(gè)單位后過(guò)原點(diǎn)，則m＝1；
④如果當(dāng)x＝2時(shí)的函數(shù)值與x＝8時(shí)的函數(shù)值相等，則m＝5．
其中一定正確的結(jié)論是 ①③④ ．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）
分析：①利用根的判別式Δ＞0判定即可；
②根據(jù)二次函數(shù)的增減性利用對(duì)稱(chēng)軸列不等式求解即可；
③根據(jù)向左平移橫坐標(biāo)減求出平移前的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式計(jì)算即可求出m的值；
④根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出對(duì)稱(chēng)軸，再求出m的值，然后把x＝2012代入函數(shù)關(guān)系式計(jì)算即可得解．
【解答】解：①∵△＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣3）＝4m2+12＞0，
∴它的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，故本小題正確；
②∵當(dāng)x≤﹣1時(shí)y隨x的增大而減小，
∴對(duì)稱(chēng)軸直線x=??2m2≤?1，
解得m≤﹣1，故本小題錯(cuò)誤；
③∵將它的圖象向左平移3個(gè)單位后過(guò)原點(diǎn)，
∴平移前的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），
代入函數(shù)關(guān)系式得，32﹣2m?3﹣3＝0，
解得m＝1，故本小題正確；
④∵當(dāng)x＝2時(shí)的函數(shù)值與x＝8時(shí)的函數(shù)值相等，
∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2+82=5，
∴??2m2×1=5，
解得m＝5，故本小題正確；
綜上所述，結(jié)論正確的是①③④共3個(gè)．
故答案為：①③④．
【題型2 利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值】
【例2】（2023?陜西）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3．當(dāng)﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時(shí)，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
分析：首先求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可解決問(wèn)題．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴對(duì)稱(chēng)軸x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），
當(dāng)y＝0時(shí)，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣1，0），（3，0），
∴當(dāng)﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時(shí)，y2＜y1＜y3，
故選：D．
【變式2-1】（2023秋?金安區(qū)校級(jí)月考）拋物線y＝x2+x+2，點(diǎn)（2，a），（﹣1，﹣b），（3，c），則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞c
C．a(chǎn)＞b＞cD．無(wú)法比較大小
分析：先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?12，然后比較三個(gè)點(diǎn)都直線x=?12的遠(yuǎn)近得到a、b、c的大小關(guān)系．
【解答】解：∵y＝x2+x+2，
∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?12×1=?12，
∵（2，a）、（﹣1，b），（3，c），
∴點(diǎn)（3，c）離直線x=?12最遠(yuǎn)，（﹣1，﹣b）離直線x=?12最近，
∴c＞a＞b；
故選：A．
【變式2-2】（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函數(shù)y＝﹣x2+2bx+c的圖象上，若0＜m＜n，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
分析：逐次比較A、B、C三個(gè)點(diǎn)離函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸距離即可求解．
【解答】解：拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝b，
∵0＜m＜n，
∴點(diǎn)B離對(duì)稱(chēng)軸最遠(yuǎn)，點(diǎn)A離對(duì)稱(chēng)軸近，
∴y2＜y3＜y1，
故選：B．
【變式2-3】（2023?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）為拋物線上三點(diǎn)，且總有y3＞y1＞y2．結(jié)合圖象，則m的取值范圍是 12＜m＜32 ．
分析：由拋物線解析式可得拋物線開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸，分類(lèi)討論y3＞y1與y1＞y2，由兩點(diǎn)中點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+4（a＞0），
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，拋物線開(kāi)口向上，
∵y3＞y1，
∴x1+x32＞1，即m?1+m+22＞1，
解得m＞12，
∵y1＞y2，
∴m?1+m2＜1，
解得m＜32，
∴12＜m＜32，
故答案為：12＜m＜32．
【題型3 二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用】
【例3】（2023秋?望江縣期末）在二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
則m、n的大小關(guān)系為（ ）
A．m＜nB．m＞nC．m＝nD．無(wú)法確定
分析：根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象具有對(duì)稱(chēng)性，可以得到m、n的大小關(guān)系，從而可以解答本題．
【解答】解：由表格可得，
二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=?1+42=32，
∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c
∴該函數(shù)圖象開(kāi)口向下，
∵32?1=12，3?32=32，
∴m＞n，
故選：B．
【變式3-1】（2023秋?甘州區(qū)校級(jí)期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
則該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為（ ）
A．y軸B．直線x=12C．直線x＝1D．直線x=32
分析：根據(jù)圖表找出函數(shù)值相等時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量即可求出對(duì)稱(chēng)軸．
【解答】解：由圖表可知：x＝0時(shí)，y＝﹣6，
x＝1時(shí)，y＝﹣6，
∴二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=0+12=12
故選：B．
【變式3-2】（2023?隨州校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣9x﹣34，當(dāng)自變量x取兩個(gè)不同的值x1，x2時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)自變量x取x1+x2時(shí)的函數(shù)值應(yīng)當(dāng)與（ ）
A．x＝1時(shí)的函數(shù)值相等B．x＝0時(shí)的函數(shù)值相等
C．x=14的函數(shù)值相等D．x=94的函數(shù)值相等
分析：由于二次函數(shù)y＝2x2﹣9x﹣34，當(dāng)自變量x取兩個(gè)不同的值x1，x2時(shí)，函數(shù)值相等，由此可以確定x1+x2的值，然后根據(jù)已知條件即可求解．
【解答】解：∵y＝2x2﹣9x﹣34，
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=?b2a=94，
而自變量x取兩個(gè)不同的值x1，x2時(shí)，函數(shù)值相等，
∴x1+x2=92，
而x=92和x＝0關(guān)于x=94對(duì)稱(chēng)，
當(dāng)自變量x取x1+x2時(shí)的函數(shù)值應(yīng)當(dāng)與x＝0時(shí)的函數(shù)值相等．
故選：B．
【變式3-3】（2023?臨安區(qū)模擬）已知二次函數(shù)的解析式為y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函數(shù)過(guò)（a，b）和（a+6，b）兩點(diǎn)，則a的取值范圍（ ）
A．﹣2≤a≤?32B．﹣2≤a≤﹣1C．﹣3≤a≤?32D．0≤a≤2
分析：先將原二次函數(shù)整理得一般式，再得當(dāng)x=m+12時(shí)取最小值，根據(jù)函數(shù)過(guò)（a，b）和（a+6，b）兩點(diǎn)，得x＝a+3時(shí)取最小值，根據(jù)1≤m≤2，進(jìn)而可得a的取值范圍．
【解答】解：方法一：∵y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），
∴y＝x2﹣（m+1）x+m，
∴當(dāng)x=m+12時(shí)取最小值，
∵函數(shù)過(guò)（a，b）和（a+6，b）兩點(diǎn)，
∴x=a+a+62=a+3時(shí)取最小值，
∴a+3=m+12，
∴m＝2a+5，
方法二：令y＝0，則x＝m，x＝1，
又函數(shù)過(guò)（a，b）和（a+6，b），
所以對(duì)稱(chēng)軸x＝（a+a+6）÷2＝a+3，
得出m＝2a+5
∵1≤m≤2，
∴1≤2a+5≤2，
解得﹣2≤a≤?32．
故選：A．
【題型4 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求字母的范圍】
【例4】（2023?西湖區(qū)一模）設(shè)函數(shù)y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若當(dāng)x＜m時(shí)，y隨著x的增大而增大，則m的值可以是（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
分析：當(dāng)k＜0時(shí)，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?4k+32k，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，根據(jù)題意，得m≤?4k+32k，而當(dāng)k＜0時(shí)，?4k+32k=?2?32k＞?2，可確定m的范圍，
【解答】解：∵k＜0，
∴函數(shù)y＝kx2+（4k+3）x+1的圖象在對(duì)稱(chēng)軸直線x=?4k+32k的左側(cè)，y隨x的增大而增大．
∵當(dāng)x＜m時(shí)，y隨著x的增大而增大
∴m≤?4k+32k，
而當(dāng)k＜0時(shí)，?4k+32k=?2?32k＞?2，
所以m≤﹣2，
故選：D．
【變式4-1】（2023?鹽城）若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+2x+2的圖象上，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于2，則n的取值范圍是 1≤n＜10 ．
分析：由題意可知﹣2＜m＜2，根據(jù)m的范圍即可確定n的范圍．
【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函數(shù)y＝x2+2x+2的圖象開(kāi)口象上，頂點(diǎn)為（﹣1，1），對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣1，
∵P（m，n）到y(tǒng)軸的距離小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
當(dāng)m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
當(dāng)m＝﹣1時(shí)，n＝1，
∴n的取值范圍是1≤n＜10，
故答案為：1≤n＜10．
【變式4-2】（2023秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）已知拋物線y＝﹣（x﹣2）2+9，當(dāng)m≤x≤5時(shí)，0≤y≤9，則m的值可以是（ ）
A．﹣2B．1C．3D．4
分析：根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得m的取值范圍，從而可以求得m可能的值．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+9，
∴該函數(shù)圖象開(kāi)口向下，當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最大值9，
∵m≤x≤5，
∴m≤2；
又∵當(dāng)m≤x≤5時(shí)，0≤y≤9，
令y＝0，則﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴m≥﹣1．
∴m的取值范圍為：﹣1≤m≤2，
故選：B．
【變式4-3】（2023?綿竹市模擬）若拋物線y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則m的取值范圍是（ ）
A．m＜﹣3B．﹣1＜m＜2C．﹣3＜m＜0D．﹣2＜m＜1
分析：拋物線y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）中，令y＝0，可得x1＝m，x2＝m+3，即該拋物線與x軸交點(diǎn)為（m，0 ）和（m+3，0），又拋物線過(guò)四個(gè)象限，故這兩點(diǎn)必須位于原點(diǎn)的左右兩側(cè)，故能得出正確答案．
【解答】解：令y＝0，得 （x﹣m）（x﹣m﹣3）＝0，
解得x1＝m，x2＝m+3，
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（m，0 ）和（m+3，0），
∵拋物線經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，
∴（m，0 ）和（m+3，0）分別位于原點(diǎn)兩側(cè)，
即 m＜0＜m+3，
∴﹣3＜m＜0，
故選：C．
【題型5 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】
【例5】（2023秋?丹陽(yáng)市期末）若實(shí)數(shù)m、n滿足m+n＝2，則代數(shù)式2m2+mn+m﹣n的最小值是_______．
分析：設(shè)y＝2m2+mn+m﹣n，由m+n＝2得n＝2﹣m，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【解答】解：設(shè)y＝2m2+mn+m﹣n，
∵m+n＝2，
∴n＝2﹣m，
∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6，
此為一個(gè)二次函數(shù)，開(kāi)口向上，有最小值，
當(dāng)m＝﹣2時(shí)，y有最小值為﹣6，
故答案為：﹣6．
【變式5-1】（2023秋?寧明縣期中）已知拋物線y＝﹣x2﹣3x+t經(jīng)過(guò)A（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，n）在該拋物線上，求m+n的最大值．
分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，得到n＝﹣m2﹣3m+3，進(jìn)而得到m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
【解答】解：（1）將A（0，3）代入解析式，得t＝3，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣3x+3；
（2）∵點(diǎn)P（m，n）在拋物線y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴當(dāng)m＝﹣1時(shí)，m+n有最大值是4．
【變式5-2】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)四模）拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）過(guò)A（4，4），B（2，m）兩點(diǎn)，點(diǎn)B到拋物線對(duì)稱(chēng)軸的距離記為d，滿足0＜d≤1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m≤2或m≥3B．m≤3或m≥4C．2＜m＜3D．3＜m＜4
分析：把A（4，4）代入拋物線y＝ax2+bx+3得4a+b=14，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸x=?b2a，B（2，m），且點(diǎn)B到拋物線對(duì)稱(chēng)軸的距離記為d，滿足0＜d≤1，所以0＜|2?(?b2a)|≤1，解得a≥18或a≤?18，把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：4a+2b+3＝m，得到a=78?m4，所以78?m4≥18或78?m4≤?18，即可解答．
【解答】解：把A（4，4）代入拋物線y＝ax2+bx+3得：
16a+4b+3＝4，
∴16a+4b＝1，
∴4a+b=14，
∵對(duì)稱(chēng)軸x=?b2a，B（2，m），且點(diǎn)B到拋物線對(duì)稱(chēng)軸的距離記為d，滿足0＜d≤1，
∴0＜|2?(?b2a)|≤1
∴0＜|4a+b2a|≤1，
∴|18a|≤1，
∴a≥18或a≤?18，
把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：
4a+2b+3＝m
2（2a+b）+3＝m
2（2a+14?4a）+3＝m
72?4a＝m，
a=78?m4，
∴78?m4≥18或78?m4≤?18，
∴m≤3或m≥4．
故選：B．
【變式5-3】（2023?永嘉縣校級(jí)模擬）已知拋物線y＝a（x﹣2）2+1經(jīng)過(guò)第一象限內(nèi)的點(diǎn)A（m，y1）和B（2m+1，y2），1＜y1＜y2，則滿足條件的m的最小整數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
分析：根據(jù)題意得到拋物線開(kāi)口向上，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于m的不等式，解得即可．
【解答】解：∵y＝a（x﹣2）2+1，
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，函數(shù)的最值為1，
∵拋物線y＝a（x﹣2）2+1經(jīng)過(guò)第一象限內(nèi)的點(diǎn)A（m，y1）和B（2m+1，y2），1＜y1＜y2，
∴拋物線開(kāi)口向上，
∵m＞0，
∴0＜m＜2m+1，
當(dāng)0＜m＜2時(shí)，則2﹣m＜2m+1﹣2，解得m＞1，
當(dāng)m＞2時(shí)，2m+1﹣2＞2﹣m，解得m＞1，
∵1＜y1＜y2，
∴m≠2，
∴滿足條件的m的最小整數(shù)是3，
故選：C．
解法二：
解：∵拋物線y＝a（x﹣2）2+1經(jīng)過(guò)第一象限內(nèi)的點(diǎn)A（m，y1）和B（2m+1，y2），1＜y1＜y2，
∴拋物線開(kāi)口向上，即a＞0，
∵m＞0，
∴0＜m＜2m+1，
∵1＜y1＜y2，
∴y1﹣y2＝a（m﹣2）2+1﹣[a（2m+1﹣2）2+1]＝﹣3a（m+1）（m﹣1）＜0，
∵a＞0，m＞0，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
∵1＜y1＜y2，
∴m≠2，
∴滿足條件的m的最小整數(shù)是3，
故選：C．
【題型6 二次函數(shù)給定范圍內(nèi)的最值問(wèn)題】
【例6】（2023秋?讓胡路區(qū)期末）若二次函數(shù)y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2時(shí)的最大值為3，那么m的值是（ ）
A．﹣4或72B．﹣23或72C．﹣4 或23D．﹣23或2 3
分析：表示出對(duì)稱(chēng)軸，分三種情況，找出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵y＝﹣x2+mx，
∴拋物線開(kāi)口向下，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?m2×(?1)=m2，
①當(dāng)m2≤?1，即m≤﹣2時(shí)，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)最大值為3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②當(dāng)m2≥2，即m≥4時(shí)，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)最大值為3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m=72（舍去）．
③當(dāng)﹣1＜m2＜2，即﹣2＜m＜4時(shí)，當(dāng)x=m2時(shí)，函數(shù)最大值為3，
∴?m24+m22=3，
解得m＝23或m＝﹣23（舍去），
綜上所述，m＝﹣4或m＝23，
故選：C．
【變式6-1】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2時(shí)有最小值﹣2，則m＝（ ）
A．3B．﹣3或38C．3或?38D．﹣3或?38
分析：先求出對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣1，分m＞0，m＜0兩種情況討論解答即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1，
①m＞0，拋物線開(kāi)口向上，
x＝﹣1時(shí)，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，拋物線開(kāi)口向下，
∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1，在﹣2≤x≤2時(shí)有最小值﹣2，
∴x＝2時(shí)，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m=?38；
故選：C．
【變式6-2】（2023?岳陽(yáng)）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4m2x﹣3（m為常數(shù)，m≠0），點(diǎn)P（xp，yp）是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)0≤xp≤4時(shí)，yp≤﹣3，則m的取值范圍是（ ）
A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1
分析：先求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再分兩種情況：m＞0或m＜0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得m的不同取值范圍便可．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝mx2﹣4m2x﹣3，
∴對(duì)稱(chēng)軸為x＝2m，拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣3），
∵點(diǎn)P（xp，yp）是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)0≤xp≤4時(shí)，yp≤﹣3，
∴①當(dāng)m＞0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸x＝2m＞0，
此時(shí)，當(dāng)x＝4時(shí)，y≤﹣3，即m?42﹣4m2?4﹣3≤﹣3，
解得m≥1；
②當(dāng)m＜0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸x＝2m＜0，
當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y隨x增大而減小，
則當(dāng)0≤xp≤4時(shí)，yp≤﹣3恒成立；
綜上，m的取值范圍是：m≥1或m＜0．
故選：A．
【變式6-3】（2023秋?南充期末）若二次函數(shù)y＝x2﹣2x+5在m≤x≤m+1時(shí)的最小值為6，那么m的值是 1+2或?2 ．
分析：由拋物線解析式確定出其對(duì)稱(chēng)軸x＝1，分m＞1或m+1＜1或m＜1＜m+1三種情況，分別確定出其最小值，由最小值為6，則可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，
∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，
當(dāng)m＞1時(shí)，可知當(dāng)自變量x滿足m≤x≤m+1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝m時(shí)，y有最小值，
∴m2﹣2m+5＝6，解得m＝1+2或m＝1?2（舍去），
當(dāng)m+1＜1時(shí)，可知當(dāng)自變量x滿足m≤x≤m+1時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝m+1時(shí)，y有最小值，
∴（m+1）2﹣2（m+1）+5＝6，解得m=2（舍去）或m=?2，
當(dāng)m＜1＜m+1時(shí)，可知當(dāng)自變量x滿足m≤x≤m+1時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y的最小值為4，不合題意，
綜上可知m的值為1+2或?2．
故答案為：1+2或?2．x
…
﹣1
1
3
4
…
y
…
﹣6
m
n
﹣6
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
﹣6
﹣6
﹣4
…

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