蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題5.4二次函數(shù)與一元二次方程【六大題型】(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11956" 【題型1 拋物線與x軸的交點(diǎn)情況】 PAGEREF _Tc11956 \h 1
\l "_Tc27150" 【題型2 拋物線與x軸交點(diǎn)上的四點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc27150 \h 2
\l "_Tc6382" 【題型3 由二次函數(shù)解一元二次方程】 PAGEREF _Tc6382 \h 3
\l "_Tc10610" 【題型4 由二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】 PAGEREF _Tc10610 \h 3
\l "_Tc8367" 【題型5 由二次函數(shù)的圖象解不等式】 PAGEREF _Tc8367 \h 4
\l "_Tc13" 【題型6 由二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求范圍】 PAGEREF _Tc13 \h 5
【知識(shí)點(diǎn)1 二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況】
【題型1 拋物線與x軸的交點(diǎn)情況】
【例1】（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期末）拋物線y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（x1，0）．下列式子中正確的是（）
A．x1﹣x2＝mB．x2﹣x1＝mC．m（x1﹣x2）＝nD．m（x1+x2）＝n
【變式1-1】（2023春?澧縣校級(jí)月考）拋物線y＝x2+2x﹣3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有（）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【變式1-2】（2023?廣陽區(qū)一模）已知拋物線y＝﹣3x2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且過點(diǎn)A（m﹣2，n），B（m+4，n），則n的值為（）
A．﹣9B．﹣16C．﹣18D．﹣27
【變式1-3】（2023春?漢濱區(qū)期中）已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，對(duì)稱軸為x＝3，則拋物線的頂點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P'的坐標(biāo)是（）
A．（3，9）B．（3，﹣9）C．（﹣3，9）D．（﹣3，﹣9）
【題型2 拋物線與x軸交點(diǎn)上的四點(diǎn)問題】
【例2】（2023?武漢模擬）二次函數(shù)與一元二次方程有著緊密的聯(lián)系，一元二次方程問題有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題．請(qǐng)你根據(jù)這句話所提供的思想方法解決如下問題：若s，t（s＜t）是關(guān)于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的兩根，且m＜n，則m，n，s，t的大小關(guān)系是（）
A．s＜m＜n＜tB．m＜s＜n＜tC．m＜s＜t＜nD．s＜m＜t＜n
【變式2-1】（2023?定遠(yuǎn)縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則下列結(jié)論正確的是（）
A．x1＜﹣1＜5＜x2B．x1＜﹣1＜x2＜5C．﹣1＜x1＜5＜x2D．﹣1＜x1＜x2＜5
【變式2-2】（2023?張店區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的兩根分別為m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的兩根分別為p，q（p＜q），判斷m，n，p，q的大小關(guān)系是（）
A．p＜q＜m＜nB．p＜m＜n＜qC．m＜p＜q＜nD．m＜n＜p＜q
【變式2-3】（2023?河?xùn)|區(qū)期末）已知拋物線y＝x2+bx+c的圖象與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的兩根為M、N（M＜N），則α、β、M、N的大小順序?yàn)椋? ）
A．α＜β＜M＜NB．M＜α＜β＜NC．α＜M＜β＜ND．M＜α＜N＜β
【題型3 由二次函數(shù)解一元二次方程】
【例3】（2023?婁底一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（3，0）兩點(diǎn)，關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是5．則關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個(gè)整數(shù)根，這兩個(gè)整數(shù)根是（）
A．﹣2或4B．﹣2或0C．0或4D．﹣2或5
【變式3-1】（2023?潮南區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），則關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是．
【變式3-2】（2023?咸寧一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是．
【變式3-3】（2023?永嘉縣校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（5，0）兩點(diǎn)，且關(guān)于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是6，則d的值為（）
A．5B．7C．12D．﹣7
【知識(shí)點(diǎn)2 求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）】
作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；
由圖象與y=h的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；
（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．
【題型4 由二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】
【例4】（2023?平度市期末）如表給出了二次函數(shù)y＝x2+2x﹣10中x，y的一些對(duì)應(yīng)值，則可以估計(jì)一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一個(gè)近似解為（）
A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5
【變式4-1】（2023?灌云縣期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表，則方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)解的范圍是．
【變式4-2】（2023?渠縣一模）如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c的部分圖象，由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx＝c的兩個(gè)根可能是．（精確到0.1）
【變式4-3】（2023秋?萍鄉(xiāng)期末）代數(shù)式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常數(shù)）中，x與ax2+bx+c的對(duì)應(yīng)值如下表：
請(qǐng)判斷一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常數(shù)）的兩個(gè)根x1，x2的取值范圍是下列選項(xiàng)中的（）
A．?12＜x1＜0，32＜x2＜2B．﹣1＜x1＜?12，2＜x2＜52
C．?12＜x1＜0，2＜x2＜52D．﹣1＜x1＜?12，32＜x2＜2
【題型5 由二次函數(shù)的圖象解不等式】
【例5】（2023秋?墾利區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2﹣mx+c＜n的解集為（）
A．x＞﹣1B．x＜3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1
【變式5-1】（2023?定遠(yuǎn)縣二模）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：
請(qǐng)求出當(dāng)y＜0時(shí)x的取值范圍．
【變式5-2】（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)）的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集為．
【變式5-3】（2023?驛城區(qū)校級(jí)期末）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)．已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)A（1，0）及點(diǎn)B．則滿足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范圍是（）
A．x≤1或x≥4B．1≤x≤4C．x≤1或x≥5D．1≤x≤5
【題型6 由二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求范圍】
【例6】（2023?虞城縣三模）已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若拋物線與直線y＝mx+n交于（1，0），（5，8）兩點(diǎn)．
①求拋物線和直線的函數(shù)解析式；
②直接寫出當(dāng)a（x﹣2）2+c＞mx+n時(shí)自變量x的取值范圍．
（2）若a＝c，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（3，3），當(dāng)拋物線與線段AB有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．
【變式6-1】（2023?余姚市一模）已知：一次函數(shù)y1＝2x﹣2，二次函數(shù)y2＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)），
（1）如圖，兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)（3，m），（n，﹣6）．求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出當(dāng)y1＜y2時(shí)x的取值范圍．
（2）請(qǐng)寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，并說明理由．
【變式6-2】（2023?河南模擬）小新對(duì)函數(shù)y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究．已知當(dāng)自變量x的值為0或4時(shí)，函數(shù)值都為﹣3；當(dāng)自變量x的值為1或3時(shí)，函數(shù)值都為0．探究過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
（1）這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象并寫出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)：；
（3）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象并解決問題：
①直線y＝k與函數(shù)y＝a|x2+bx|+c有三個(gè)交點(diǎn)，則k＝；
②已知函數(shù)y＝x﹣3的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，寫出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集：．
【變式6-3】（2023?海珠區(qū)一模）令a、b、c三個(gè)數(shù)中最大數(shù)記作max{a，b，c}，直線y=12x+t與函數(shù)y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，則t的值為．根的判別式
二次函數(shù)的圖象
二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)
一元二次方程根的情況
△＞0
拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，
此時(shí)稱拋物線與x軸相交
一元二次方程
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
△＝0
拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切
一元二次方程
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
△＜0
拋物線與x軸無交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離
一元二次方程
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實(shí)數(shù)根）
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
x
﹣1
?12
0
12
1
32
2
52
3
ax2+bx+c
﹣2
?14
1
74
2
74
1
?14
﹣2
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
專題5.4 二次函數(shù)與一元二次方程【六大題型】
【蘇科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11956" 【題型1 拋物線與x軸的交點(diǎn)情況】 PAGEREF _Tc11956 \h 1
\l "_Tc27150" 【題型2 拋物線與x軸交點(diǎn)上的四點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc27150 \h 3
\l "_Tc6382" 【題型3 由二次函數(shù)解一元二次方程】 PAGEREF _Tc6382 \h 6
\l "_Tc10610" 【題型4 由二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】 PAGEREF _Tc10610 \h 9
\l "_Tc8367" 【題型5 由二次函數(shù)的圖象解不等式】 PAGEREF _Tc8367 \h 11
\l "_Tc13" 【題型6 由二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求范圍】 PAGEREF _Tc13 \h 13
【知識(shí)點(diǎn)1 二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況】
【題型1 拋物線與x軸的交點(diǎn)情況】
【例1】（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期末）拋物線y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（x1，0）．下列式子中正確的是（）
A．x1﹣x2＝mB．x2﹣x1＝mC．m（x1﹣x2）＝nD．m（x1+x2）＝n
分析：由拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（x1，0）可得拋物線頂點(diǎn)式，從而可得x1，x2與m的關(guān)系．
【解答】解：∵拋物線經(jīng)過（x1，0），且拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），y＝（x﹣x1）2，
∴x2﹣2x1x+x12=（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，
∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，
故選：B．
【變式1-1】（2023春?澧縣校級(jí)月考）拋物線y＝x2+2x﹣3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有（）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
分析：由b2﹣4ac的大小可判斷拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由c的大小可判斷拋物線與y軸的交點(diǎn)，進(jìn)而求解．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0，
∴拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∵c＝﹣3，
∴拋物線與y軸交點(diǎn)為（0．﹣3），
∴拋物線與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)，
故選：D．
【變式1-2】（2023?廣陽區(qū)一模）已知拋物線y＝﹣3x2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且過點(diǎn)A（m﹣2，n），B（m+4，n），則n的值為（）
A．﹣9B．﹣16C．﹣18D．﹣27
分析：根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)易求該拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝m+1．故設(shè)拋物線解析式為y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，直接將A（m﹣2，n）代入，通過解方程來求n的值．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣3x2+bx+c過點(diǎn)A（m﹣2，n）、B（m+4，n），
∴對(duì)稱軸是直線x＝m+1，
又∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴頂點(diǎn)為（m+1，0），
∴設(shè)拋物線解析式為y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，
把A（m﹣2，n）代入，得：
n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27，
即n＝﹣27．
故選：D．
【變式1-3】（2023春?漢濱區(qū)期中）已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，對(duì)稱軸為x＝3，則拋物線的頂點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P'的坐標(biāo)是（）
A．（3，9）B．（3，﹣9）C．（﹣3，9）D．（﹣3，﹣9）
分析：根據(jù)拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6．對(duì)稱軸為直線x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到該拋物線的解析式，再將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得到點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：設(shè)拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0），
∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6，對(duì)稱軸為直線x＝3，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，?b2×1=3，
∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，
解得：c＝0，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，﹣9），
∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，9），
故選：A．
【題型2 拋物線與x軸交點(diǎn)上的四點(diǎn)問題】
【例2】（2023?武漢模擬）二次函數(shù)與一元二次方程有著緊密的聯(lián)系，一元二次方程問題有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題．請(qǐng)你根據(jù)這句話所提供的思想方法解決如下問題：若s，t（s＜t）是關(guān)于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的兩根，且m＜n，則m，n，s，t的大小關(guān)系是（）
A．s＜m＜n＜tB．m＜s＜n＜tC．m＜s＜t＜nD．s＜m＜t＜n
分析：由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），（n，0），開口向上，則拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與直線y＝﹣1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（s，﹣1），（t，﹣1），從而可得m，n，s，t的大小關(guān)系．
【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1，
由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），（n，0），拋物線開口向上，
則拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與直線y＝﹣1的交點(diǎn)在x軸下方，坐標(biāo)為（s，﹣1），（t，﹣1），
∴m＜s＜t＜n．
故選：C．
【變式2-1】（2023?定遠(yuǎn)縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則下列結(jié)論正確的是（）
A．x1＜﹣1＜5＜x2B．x1＜﹣1＜x2＜5C．﹣1＜x1＜5＜x2D．﹣1＜x1＜x2＜5
分析：方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根即為拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）與直線y＝﹣3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此可判斷選項(xiàng)．
【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5），
則拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）與y＝ax2+bx+c形狀相同、開口方向相同，且與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0）、（5，0），
函數(shù)圖象如圖所示，
由函數(shù)圖象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根即為拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）與直線y＝﹣3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴x1＜﹣1＜5＜x2，
故選：A．
【變式2-2】（2023?張店區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的兩根分別為m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的兩根分別為p，q（p＜q），判斷m，n，p，q的大小關(guān)系是（）
A．p＜q＜m＜nB．p＜m＜n＜qC．m＜p＜q＜nD．m＜n＜p＜q
分析：在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）的圖象，再作出直線y＝1，y＝3，它們與拋物線交于A，B和C，D，分別過交點(diǎn)作x軸的垂線，則垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)值為題干中方程的根，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可得出結(jié)論．
【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）的圖象如下圖：
作直線y＝1與拋物線y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）交于A，B，
分別經(jīng)過A，B作x軸的垂線，垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為m，n，
∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的兩根；
作直線y＝3與拋物線y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）交于C，D，
分別經(jīng)過AC，D作x軸的垂線，垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為p，q，
∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的兩根．
由圖象可知m，n，p，q的大小關(guān)系是：p＜m＜n＜q．
故選：B．
【變式2-3】（2023?河?xùn)|區(qū)期末）已知拋物線y＝x2+bx+c的圖象與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的兩根為M、N（M＜N），則α、β、M、N的大小順序?yàn)椋? ）
A．α＜β＜M＜NB．M＜α＜β＜NC．α＜M＜β＜ND．M＜α＜N＜β
分析：依題意畫出函數(shù)y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的圖象草圖，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可直接求解．
【解答】解：依題意，畫出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的圖象，如圖所示．
函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α，β（α＜β），
方程x2+bx+c﹣2＝0的兩根是拋物線y＝（x﹣α）（x﹣β）與直線y＝2的兩個(gè)交點(diǎn)．
由M＜N，可知對(duì)稱軸左側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為M，右側(cè)為N．
由圖象可知，M＜α＜β＜N，
故選：B．
【題型3 由二次函數(shù)解一元二次方程】
【例3】（2023?婁底一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（3，0）兩點(diǎn)，關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是5．則關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個(gè)整數(shù)根，這兩個(gè)整數(shù)根是（）
A．﹣2或4B．﹣2或0C．0或4D．﹣2或5
分析：根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（3，0）兩點(diǎn)求對(duì)稱軸，后面兩個(gè)方程二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)沒變，所以兩根的和也不變還是2．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（3，0）與（﹣1，0）兩點(diǎn)，
∴當(dāng)y＝0時(shí)，0＝ax2+bx+c的兩個(gè)根為3和﹣1，函數(shù)y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，
又∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是5．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一個(gè)根為﹣3，函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，
如圖，
∵0＜n＜m，
∴﹣m＞﹣m，
∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有兩個(gè)整數(shù)根，
∴直線y＝﹣n與y＝ax2+bx+c的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，4，
∴這關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有兩個(gè)整數(shù)根，是﹣2或4，
故選：A．
【變式3-1】（2023?潮南區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），則關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是 x1＝﹣1，x2＝3 ．
分析：利用二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的對(duì)稱性求得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，再利用拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與一元二次方程的根的關(guān)系得出結(jié)論．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=??2a2a=1．
∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），
∴該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0）．
∴關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案為：x1＝﹣1，x2＝3．
【變式3-2】（2023?咸寧一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 x1＝﹣4，x2＝1 ．
分析：由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣5，6），（2，6）可得拋物線對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線對(duì)稱性及拋物線經(jīng)過（﹣4，0）求解．
【解答】解：由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣5，6），（2，6）可得拋物線拋物線對(duì)稱軸為直線x=?5+22=?32，
∵拋物線經(jīng)過（﹣4，0），對(duì)稱軸為直線x=?32，
∴拋物線經(jīng)過（1，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1．
故答案為：x1＝﹣4，x2＝1．
【變式3-3】（2023?永嘉縣校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（5，0）兩點(diǎn)，且關(guān)于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是6，則d的值為（）
A．5B．7C．12D．﹣7
分析：先由二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（5，0）兩點(diǎn)，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（5，0）兩點(diǎn)，
∴?1?b+c=0?25+5b+c=0，
解得：b=4c=5，
將b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，
可得：﹣x2+4x+5+d＝0，
又∵關(guān)于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是6，
∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
經(jīng)驗(yàn)證d＝7時(shí)，Δ＞0，符合題意，
∴d＝7．
故選：B．
【知識(shí)點(diǎn)2 求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）】
作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；
由圖象與y=h的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；
（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．
【題型4 由二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】
【例4】（2023?平度市期末）如表給出了二次函數(shù)y＝x2+2x﹣10中x，y的一些對(duì)應(yīng)值，則可以估計(jì)一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一個(gè)近似解為（）
A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5
分析：根據(jù)函數(shù)值，可得一元二次方程的近似根．
【解答】解：如圖：
x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一個(gè)近似根是2.3．
故選：B．
【變式4-1】（2023?灌云縣期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表，則方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)解的范圍是 6.18＜x＜6.19 ．
分析：根據(jù)表格中自變量、函數(shù)的值的變化情況，得出當(dāng)y＝0時(shí)，相應(yīng)的自變量的取值范圍即可．
【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，當(dāng)x＝6.18時(shí)，y＝﹣0.01，當(dāng)x＝6.19時(shí)，y＝0.02，
于是可得，當(dāng)y＝0時(shí)，相應(yīng)的自變量x的取值范圍為6.18＜x＜6.19，
故答案為：6.18＜x＜6.19．
【變式4-2】（2023?渠縣一模）如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c的部分圖象，由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx＝c的兩個(gè)根可能是 x1＝0.8，x2＝3.2合理即可．（精確到0.1）
分析：直接利用拋物線與x軸交點(diǎn)的位置估算出兩根的大?。?br>【解答】解：由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx＝c的兩個(gè)根可能是：x1＝0.8，x2＝3.2合理即可．
故答案為：x1＝0.8，x2＝3.2合理即可．
【變式4-3】（2023秋?萍鄉(xiāng)期末）代數(shù)式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常數(shù)）中，x與ax2+bx+c的對(duì)應(yīng)值如下表：
請(qǐng)判斷一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常數(shù)）的兩個(gè)根x1，x2的取值范圍是下列選項(xiàng)中的（）
A．?12＜x1＜0，32＜x2＜2B．﹣1＜x1＜?12，2＜x2＜52
C．?12＜x1＜0，2＜x2＜52D．﹣1＜x1＜?12，32＜x2＜2
分析：觀察表格可知，在x＜1時(shí)，隨x值的增大，代數(shù)式ax2+bx+c的值逐漸增大，x的值在?12～0之間，代數(shù)式ax2+bx+c的值由負(fù)到正，故可判斷ax2+bx+c＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值在?12～0之間，在x＞1時(shí)，隨x的值增大，代數(shù)式ax2+bx+c逐漸減小，x的值在2～52之間，代數(shù)式ax2+bx+c的值由正到負(fù)，故可判斷ax2+bx+c＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值在2～52之間，
【解答】解：根據(jù)表格可知，代數(shù)式ax2+bx+c＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值在?12～0和2～52之間，
即：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常數(shù)）的兩個(gè)根x1，x2的取值范圍是?12＜x1＜0，2＜x2＜52
故選：C．
【題型5 由二次函數(shù)的圖象解不等式】
【例5】（2023秋?墾利區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2﹣mx+c＜n的解集為（）
A．x＞﹣1B．x＜3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1
分析：由拋物線與直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)確定直線在拋物線上方時(shí)x的取值范圍．
【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），
∴﹣1＜x＜3時(shí)，直線在拋物線上方，即﹣1＜x＜3時(shí)，ax2+c＜mx+n，
∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集為﹣1＜x＜3．
故選：C．
【變式5-1】（2023?定遠(yuǎn)縣二模）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：
請(qǐng)求出當(dāng)y＜0時(shí)x的取值范圍 x＜﹣2或x＞3 ．
分析：把點(diǎn)（0，6）代入求出c，把點(diǎn)（﹣1，4）和（1，6）代入拋物線的解析式列方程組，解出可得a、b，即可得拋物線的解析式，進(jìn)而可列不等式求出y＜0時(shí)x的取值范圍．
【解答】解：由表得，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點(diǎn)（0，6），
∴c＝6，
∵拋物線y＝ax2+bx+6過點(diǎn)（﹣1，4）和（1，6），
∴a?b+6=4a+b+6=6，
解得：a=?1b=1，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+6，
所以令﹣x2+x+6＜0，
解得：x＜﹣2或x＞3．
故答案為：x＜﹣2或x＞3．
【變式5-2】（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)）的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集為 x＜﹣1或x＞1 ．
分析：根據(jù)圖象可得x＜1或x＞3時(shí)ax2+bx+c＜0，則a（x+2）2+b（x+2）+c＜0時(shí)x+2＜1或x+2＞3，進(jìn)而求解．
【解答】解：由圖象可得x＜1或x＞3時(shí)ax2+bx+c＜0，
∴當(dāng)a（x+2）2+b（x+2）+c＜0時(shí)，x+2＜1或x+2＞3，
解得x＜﹣1或x＞1，
故答案為：x＜﹣1或x＞1．
【變式5-3】（2023?驛城區(qū)校級(jí)期末）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)．已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)A（1，0）及點(diǎn)B．則滿足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范圍是（）
A．x≤1或x≥4B．1≤x≤4C．x≤1或x≥5D．1≤x≤5
分析：由二次函數(shù)解析式可得拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2，從而可得點(diǎn)B橫坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2，
∵點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，
∴點(diǎn)B橫坐標(biāo)為4，
∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)為1，
∴1≤x≤4時(shí)，kx+b≥x2﹣4x+m，
故選：B．
【題型6 由二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求范圍】
【例6】（2023?虞城縣三模）已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若拋物線與直線y＝mx+n交于（1，0），（5，8）兩點(diǎn)．
①求拋物線和直線的函數(shù)解析式；
②直接寫出當(dāng)a（x﹣2）2+c＞mx+n時(shí)自變量x的取值范圍．
（2）若a＝c，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（3，3），當(dāng)拋物線與線段AB有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．
分析：（1）①利用待定系數(shù)法求解析式即可，②拋物線開口向上，數(shù)形結(jié)合直接寫出答案；
（2）結(jié)合拋物線和線段AB，分情況討論求a的取值范圍．
【解答】解：（1）①∵拋物線y＝a（x﹣2）2+c與直線y＝mx+n交于（1，0），（5，8）兩點(diǎn)，
∴a+c=09a+c=8，m+n=05m+n=8，
解得a=1c=?1，m=2n=?2，
∴拋物線和直線的函數(shù)解析式分別為y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．
②∵a＞0，拋物線開口向上，拋物線與直線y＝mx+n交于（1，0），（5，8）兩點(diǎn)，
∴當(dāng)a（x﹣2）2+c＞mx+n時(shí)自變量x的取值范圍為x＜1或x＞5．
（2）若a＝c，則拋物線y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），
∴開口向上，對(duì)稱軸為x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，a），
當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)有唯一公共點(diǎn)，此時(shí)a＝3，
當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在線段AB下方時(shí)，
當(dāng)經(jīng)過B（3，3）時(shí)，a+a＝3，解得a=32，
當(dāng)經(jīng)過A（0，3）時(shí)，4a+a＝3，解得a=35，
∴當(dāng)拋物線與線段AB有唯一公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為35≤a＜32或a＝3．
【變式6-1】（2023?余姚市一模）已知：一次函數(shù)y1＝2x﹣2，二次函數(shù)y2＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)），
（1）如圖，兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)（3，m），（n，﹣6）．求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出當(dāng)y1＜y2時(shí)x的取值范圍．
（2）請(qǐng)寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，并說明理由．
分析：（1）將（3，m），（n，﹣6）代入直線解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過待定系數(shù)法求解，根據(jù)圖象可得y1＜y2時(shí)x的取值范圍．
（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．
【解答】解：（1）將（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，
將（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，
解得n＝﹣2，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，4），（﹣2，﹣6），
將（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得4=?9+3b+c?6=?4?2b+c，
解得b=3c=4，
∴y＝﹣x2+3x+4，
由圖象可得﹣2＜x＜3時(shí)，拋物線在直線上方，
∴y1＜y2時(shí)x的取值范圍是﹣2＜x＜3．
（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，
當(dāng)Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0時(shí)，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴b＝2，c＝﹣2，滿足題意．
【變式6-2】（2023?河南模擬）小新對(duì)函數(shù)y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究．已知當(dāng)自變量x的值為0或4時(shí)，函數(shù)值都為﹣3；當(dāng)自變量x的值為1或3時(shí)，函數(shù)值都為0．探究過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
（1）這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為 y＝|x2﹣4x|﹣3 ；
（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象并寫出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)：函數(shù)關(guān)于直線x＝2對(duì)稱；
（3）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象并解決問題：
①直線y＝k與函數(shù)y＝a|x2+bx|+c有三個(gè)交點(diǎn)，則k＝ 1 ；
②已知函數(shù)y＝x﹣3的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，寫出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集： x＝0或3≤x≤5 ．
分析：（1）將x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，即可求解析式為y＝|x2﹣4x|﹣3；
（2）描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，函數(shù)關(guān)于x＝2對(duì)稱；
（3）①?gòu)膱D象可知：當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，k＝1時(shí)直線y＝k與函數(shù)y＝|x2﹣4x|﹣3有三個(gè)交點(diǎn)；
②y＝x﹣3與y＝x2﹣4x﹣3的交點(diǎn)為x＝0或x＝5，結(jié)合圖象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集為3≤x≤5．
【解答】解：（1）將x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），
得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，
∴y＝|x2﹣4x|﹣3，
故答案為：y＝|x2﹣4x|﹣3；
（2）如圖：
函數(shù)關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，
故答案為：函數(shù)關(guān)于直線x＝2對(duì)稱；
（3）①當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，
∴k＝1時(shí)直線y＝k與函數(shù)y＝|x2﹣4x|﹣3有三個(gè)交點(diǎn)，
故答案為1；
②y＝x﹣3與y＝|x2﹣4x|﹣3的交點(diǎn)為x＝0或x＝3，
結(jié)合圖象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集為x＝0或3≤x≤5，
故答案為：x＝0或3≤x≤5．
【變式6-3】（2023?海珠區(qū)一模）令a、b、c三個(gè)數(shù)中最大數(shù)記作max{a，b，c}，直線y=12x+t與函數(shù)y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，則t的值為 1或6516 ．
分析：只需畫出函數(shù)y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的圖象，然后結(jié)合圖象并運(yùn)用分類討論的思想，就可解決問題．
【解答】解：在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的圖象，如圖所示．
當(dāng)直線y=12x+t經(jīng)過（﹣2，0）或與拋物線y＝﹣x2+4相切時(shí)，
直線y=12x+t與函數(shù)y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)．
①若直線y=12x+t經(jīng)過（﹣2，0），
則有0=12×（﹣2）+t，
解得t＝1；
②若直線y=12x+t與拋物線y＝﹣x2+4相切，
則關(guān)于x的方程12x+t＝﹣x2+4即x2+12x+t﹣4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
則△＝（12）2﹣4×1×（t﹣4）＝0，
解得t=6516．
綜上所述：t＝1或6516．
故答案為1或6516．根的判別式
二次函數(shù)的圖象
二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)
一元二次方程根的情況
△＞0
拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，
此時(shí)稱拋物線與x軸相交
一元二次方程
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
△＝0
拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切
一元二次方程
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
△＜0
拋物線與x軸無交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離
一元二次方程
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實(shí)數(shù)根）
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
x
﹣1
?12
0
12
1
32
2
52
3
ax2+bx+c
﹣2
?14
1
74
2
74
1
?14
﹣2
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…

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