TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc20696" 【題型1 二次函數(shù)的配方法】 PAGEREF _Tc20696 \h 1
\l "_Tc18664" 【題型2 二次函數(shù)的五點(diǎn)繪圖法】 PAGEREF _Tc18664 \h 3
\l "_Tc18907" 【題型3 二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc18907 \h 6
\l "_Tc5707" 【題型4 二次函數(shù)圖象的平移變換】 PAGEREF _Tc5707 \h 7
\l "_Tc25364" 【題型5 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換】 PAGEREF _Tc25364 \h 8
\l "_Tc18073" 【題型6 利用對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求值】 PAGEREF _Tc18073 \h 9
【知識(shí)點(diǎn)1 二次函數(shù)的配方法】
y=ax2+bx+ca≠0
=ax2+bax+ca ①提取二次項(xiàng)系數(shù)；
=ax2+bax+b2a2?b2a2+ca ②配方：加上再減去一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方；
=ax+b2a2+4ac?b24a2 ③整理：前三項(xiàng)化為平方形式，后兩項(xiàng)合并同類項(xiàng);
=ax+b2a2+4ac?b24a ④化簡(jiǎn)：去掉中括號(hào).
二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax2+bx+ca≠0配方成頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax+b2a2+4ac?b24a2，由此得到二次函數(shù)對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
【題型1 二次函數(shù)的配方法】
【例1】（2022秋?饒平縣校級(jí)期末）用配方法將下列函數(shù)化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出拋物線的開口方向，對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）y=12x2﹣2x+3；
（2）y＝（1﹣x）（1+2x）．
【變式1-1】（2022?西華縣校級(jí)月考）用配方法確定下列二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）y＝2x2﹣8x+7；
（2）y＝﹣3x2﹣6x+7；
（3）y＝2x2﹣12x+8；
（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）．
【變式1-2】（2021?邵陽縣月考）把下列二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式，即y＝a（x+m）2+k的形式，并寫出他們頂點(diǎn)坐標(biāo)及最大值或最小值．
（1）y＝﹣2x﹣3+12x2
（2）y＝﹣2x2﹣5x+7
（3）y＝ax2+bx+c（a≠0）
【變式1-3】（2022?監(jiān)利市期末）用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題
例如：因?yàn)?a2≥0，所以5a2+1≥1，即：當(dāng)a＝0時(shí)，5a2+1有最小值1．同樣，因?yàn)椹?（a2+1）≤0，所以﹣5（a2+1）+6≤6有最大值1，即當(dāng)a＝1時(shí)，﹣5（a2+1）+6有最大值6．
（1）當(dāng)x＝ 時(shí)，代數(shù)式﹣3（x﹣2）2+4有最 （填寫大或?。┲禐? ．
（2）當(dāng)x＝ 時(shí)，代數(shù)式﹣x2+4x+4有最 （填寫大或?。┲禐? ．
（3）矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長(zhǎng)度是14m，當(dāng)花園與墻相鄰的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？
【知識(shí)點(diǎn)2 二次函數(shù)的五點(diǎn)繪圖法】
利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).
【題型2 二次函數(shù)的五點(diǎn)繪圖法】
【例2】（2022?東莞市模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x＝6時(shí)，求y的值；
（3）在所給坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象．
【變式2-1】（2022?競(jìng)秀區(qū)一模）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3
（1）求出該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入表格，并在直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫出該拋物線的圖象．
【變式2-2】已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2的圖象經(jīng)過（﹣1，1）．
（1）求出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）畫出該函數(shù)的圖象；
（3）寫出此函數(shù)的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸．
【變式2-3】（2022?越秀區(qū)模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=?12x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，﹣6）兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸以及二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)；
（3）在右圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫出該二次函數(shù)的圖象及對(duì)稱軸．
【知識(shí)點(diǎn)3 二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】
① 二次項(xiàng)系數(shù)：總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小．
②一次項(xiàng)系數(shù)：在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置，對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”
③常數(shù)項(xiàng)：總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置．
【題型3 二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】
【例3】（2022春?玉山縣月考）函數(shù)y＝ax2﹣a與y＝ax+a（a≠0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【變式3-1】（2022?邵陽縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+b的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【變式3-2】（2022?鳳翔縣一模）一次函數(shù)y＝kx+k與二次函數(shù)y＝ax2的圖象如圖所示，那么二次函數(shù)y＝ax2﹣kx﹣k的圖象可能為（ ）
A．B．
C．D．
【變式3-3】（2022?澄城縣三模）已知m，n是常數(shù)，且n＜0，二次函數(shù)y＝mx2+nx+m2﹣4的圖象是如圖中三個(gè)圖象之一，則m的值為（ ）
A．2B．±2C．﹣3D．﹣2
【知識(shí)點(diǎn)4 二次函數(shù)圖象的平移變換】
（1）平移步驟：
①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：
（2）平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．
【題型4 二次函數(shù)圖象的平移變換】
【例4】（2022?紹興縣模擬）把拋物線y＝ax2+bx+c的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，所得的圖象的解析式是y＝（x﹣3）2+5，則a+b+c＝ ．
【變式4-1】（2022?澄城縣二模）要得到函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3的圖象，可以將函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2的圖象（ ）
A．向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
B．向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
C．向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
D．向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
【變式4-2】（2022秋?濱江區(qū)期末）將拋物線y＝ax2+bx﹣1向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，5），則4a﹣2b﹣1的值是 ．
【變式4-3】（2022?澄城縣二模）二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，將該二次函數(shù)的圖象沿y軸向下平移k個(gè)單位，使其經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1），則k的值為（ ）
A．3B．4C．2D．6
【知識(shí)點(diǎn)5 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換】
（1）關(guān)于軸對(duì)稱
關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；
關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；
（2）關(guān)于軸對(duì)稱
關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；
關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；
（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；
（4）關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）
關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；
關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是．
【題型5 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換】
【例5】（2022?紹興縣模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y＝x2+（2a﹣b）x+b+1與y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b的值為（ ）
A．﹣5B．3C．5D．15
【變式5-1】（2022?蒼溪縣模擬）拋物線y＝﹣（x+2）2關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式為 ．
【變式5-2】（2022?蜀山區(qū)校級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2+2x+3繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2B．y＝﹣（x+1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2
【變式5-3】（2022春?倉山區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）與拋物線L2關(guān)于x軸對(duì)稱，且它們的頂點(diǎn)相距8個(gè)單位長(zhǎng)度，則k的值是（ ）
A．﹣1或3B．1或﹣2C．1或3D．1或2
【題型6 利用對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求值】
【例6】（2022?蒼溪縣模擬）已知二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則a的取值為（ ）
A．a(chǎn)＝±1B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝﹣1D．a(chǎn)＝0
【變式6-1】（2022?合肥模擬）如果拋物線y＝x2﹣6x+c﹣2的頂點(diǎn)到x軸的距離是4，則c的值等于 ．
【變式6-2】（2022?襄城區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)A（m﹣1，n）和點(diǎn)B（m+3，n）均在二次函數(shù)圖象上，求n的值為 ．
【變式6-3】（2022?公安縣期中）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m﹣1，根據(jù)下列條件求m的值．
（1）圖象的頂點(diǎn)在y軸上．
（2）圖象的頂點(diǎn)在x軸上．
（3）二次函數(shù)的最小值是﹣1．x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
5
2
1
2
5
…
x
…
…
y
…
…
專題5.2 二次函數(shù)的圖象【六大題型】
【蘇科版】
TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc20696" 【題型1 二次函數(shù)的配方法】 PAGEREF _Tc20696 \h 1
\l "_Tc18664" 【題型2 二次函數(shù)的五點(diǎn)繪圖法】 PAGEREF _Tc18664 \h 5
\l "_Tc18907" 【題型3 二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc18907 \h 9
\l "_Tc5707" 【題型4 二次函數(shù)圖象的平移變換】 PAGEREF _Tc5707 \h 12
\l "_Tc25364" 【題型5 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換】 PAGEREF _Tc25364 \h 14
\l "_Tc18073" 【題型6 利用對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求值】 PAGEREF _Tc18073 \h 16
【知識(shí)點(diǎn)1 二次函數(shù)的配方法】
y=ax2+bx+ca≠0
=ax2+bax+ca ①提取二次項(xiàng)系數(shù)；
=ax2+bax+b2a2?b2a2+ca ②配方：加上再減去一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方；
=ax+b2a2+4ac?b24a2 ③整理：前三項(xiàng)化為平方形式，后兩項(xiàng)合并同類項(xiàng);
=ax+b2a2+4ac?b24a ④化簡(jiǎn)：去掉中括號(hào).
二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax2+bx+ca≠0配方成頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax+b2a2+4ac?b24a2，由此得到二次函數(shù)對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
【題型1 二次函數(shù)的配方法】
【例1】（2022秋?饒平縣校級(jí)期末）用配方法將下列函數(shù)化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出拋物線的開口方向，對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）y=12x2﹣2x+3；
（2）y＝（1﹣x）（1+2x）．
【分析】（1）利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；
（2）化為一般式后，利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式．
【解答】解：（1）y=12x2﹣2x+3
=12（x﹣2）2+1，
開口向上，對(duì)稱軸是直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，1）；
（2）y＝（1﹣x）（1+2x）
＝﹣2x2+x+1
＝﹣2（x?14）2+98，
開口向下，對(duì)稱軸是直線x=14，頂點(diǎn)坐標(biāo)（14，98）．
【變式1-1】（2022?西華縣校級(jí)月考）用配方法確定下列二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）y＝2x2﹣8x+7；
（2）y＝﹣3x2﹣6x+7；
（3）y＝2x2﹣12x+8；
（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）．
【分析】（1）利用配方法表示解析式配成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用配方法表示解析式配成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用配方法表示解析式配成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）利用配方法表示解析式配成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）y＝2（x2﹣4x）+7＝2（x2﹣4x+4﹣4）+7＝2（x﹣2）2﹣1，
對(duì)稱軸為x＝2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）；
（2）y＝﹣3（x2+2x）+7＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+7＝﹣3（x+1）2+10，
對(duì)稱軸為x＝﹣1，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，10）；
（3）y＝2x2﹣12x+8＝2（x2﹣6x+9﹣9）+8＝2（x﹣3）2﹣10，
對(duì)稱軸為x＝3，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣10）；
（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）＝﹣3（x2﹣2x﹣15）＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1﹣15）＝﹣3（x﹣1）2+163，
對(duì)稱軸為x＝1，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，163）．
【變式1-2】（2021?邵陽縣月考）把下列二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式，即y＝a（x+m）2+k的形式，并寫出他們頂點(diǎn)坐標(biāo)及最大值或最小值．
（1）y＝﹣2x﹣3+12x2
（2）y＝﹣2x2﹣5x+7
（3）y＝ax2+bx+c（a≠0）
【分析】利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，可把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，從而求出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及最值．
【解答】解：（1）y＝﹣2x﹣3+12x2
=12（x2﹣4x+4）﹣2﹣3
=12（x﹣2）2﹣5，
頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣5），最小值是﹣5；
（2）y＝﹣2x2﹣5x+7
＝﹣2（x2+52x+2516）+258+7
＝﹣2（x+54）2+818，
頂點(diǎn)坐標(biāo)是（?54，818），最大值是818；
（3）y＝ax2+bx+c
＝a（x2+bax+b24a2）?b24a+c
＝a（x+b2a）2+4ac?b24a，
頂點(diǎn)坐標(biāo)是（?b2a，4ac?b24a），
當(dāng)a＜0時(shí)，最大值是4ac?b24a；當(dāng)a＞0時(shí)，最小值是4ac?b24a．
【變式1-3】（2022?監(jiān)利市期末）用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題
例如：因?yàn)?a2≥0，所以5a2+1≥1，即：當(dāng)a＝0時(shí)，5a2+1有最小值1．同樣，因?yàn)椹?（a2+1）≤0，所以﹣5（a2+1）+6≤6有最大值1，即當(dāng)a＝1時(shí)，﹣5（a2+1）+6有最大值6．
（1）當(dāng)x＝ 2 時(shí)，代數(shù)式﹣3（x﹣2）2+4有最 大 （填寫大或小）值為 4 ．
（2）當(dāng)x＝ 2 時(shí)，代數(shù)式﹣x2+4x+4有最 大 （填寫大或?。┲禐?8 ．
（3）矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長(zhǎng)度是14m，當(dāng)花園與墻相鄰的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？
【分析】（1）由完全平方式的最小值為0，得到x＝2時(shí)，代數(shù)式的最大值為4；
（2）將代數(shù)式前兩項(xiàng)提取﹣1，配方為完全平方式，根據(jù)完全平方式的最小值為0，即可得到代數(shù)式的最大值及此時(shí)x的值；
（3）設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為xm，根據(jù)總長(zhǎng)度為14m，表示出平行于墻的一邊為（14﹣2x）m，表示出花園的面積，整理后配方，利用完全平方式的最小值為0，即可得到面積的最大值及此時(shí)x的值．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2≥0，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，（x﹣2）2的最小值為0，
則當(dāng)x＝2時(shí)，代數(shù)式﹣3（x﹣2）2+4的最小值為4；
（2）代數(shù)式﹣x2+4x+4＝﹣（x﹣2）2+8，
則當(dāng)x＝2時(shí)，代數(shù)式﹣x2+4x+4的最大值為8；
（3）設(shè)垂直于墻的一邊為xm，則平行于墻的一邊為（14﹣2x）m，
∴花園的面積為x（14﹣2x）＝﹣2x2+14x＝﹣2（x2﹣7x+494）+492=?2（x?72）2+492，
則當(dāng)邊長(zhǎng)為3.5米時(shí)，花園面積最大為492m2．
故答案為：（1）2，大，4；
（2）2，大，8；
【知識(shí)點(diǎn)2 二次函數(shù)的五點(diǎn)繪圖法】
利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).
【題型2 二次函數(shù)的五點(diǎn)繪圖法】
【例2】（2022?東莞市模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x＝6時(shí)，求y的值；
（3）在所給坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象．
【分析】（1）由表格可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，1），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+1，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）把x＝6代入（1）中的解析式即可．
（3）利用描點(diǎn)法畫出圖象即可．
【解答】解：（1）由表格可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，1），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+1，
∵x＝0時(shí)，y＝5，
∴5＝4a+1，
∴a＝1，
∴二次函數(shù)解析式為y＝（x﹣2）2+1即y＝x2﹣4x+5．
（2）當(dāng)x＝6時(shí)，y＝（6﹣2）2+1＝17．
（3）函數(shù)圖象如圖所示，
．
【變式2-1】（2022?競(jìng)秀區(qū)一模）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3
（1）求出該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入表格，并在直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫出該拋物線的圖象．
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
故該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣4）；
（2）如圖所示：
．
【變式2-2】已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2的圖象經(jīng)過（﹣1，1）．
（1）求出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）畫出該函數(shù)的圖象；
（3）寫出此函數(shù)的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸．
【分析】（1）直接把（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2中求出a的值即可得到拋物線解析式；
（2）利用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
【解答】解：（1）把（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2得a﹣2＝1，解得a＝3，
所以拋物線解析式為y＝3x2﹣2；
（2）如圖：
（3）拋物線的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），對(duì)稱軸為y軸．
【變式2-3】（2022?越秀區(qū)模擬如圖，已知二次函數(shù)y=?12x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，﹣6）兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸以及二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)；
（3）在右圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫出該二次函數(shù)的圖象及對(duì)稱軸．
【分析】（1）根據(jù)圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，﹣6）兩點(diǎn)，把兩點(diǎn)代入即可求出b和c，
（2）把二次函數(shù)寫成頂點(diǎn)坐標(biāo)式，據(jù)此寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸等，
（3）在坐標(biāo)軸中畫出圖象即可．
【解答】解：（1）∵的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，﹣6）兩點(diǎn)，
∴?2+2b+c=0c=?6，解得b＝4，c＝﹣6，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=?12x2+4x?6，
（2）y=?12x2+4x?6=?12（x2﹣8x+16）+8﹣6=?12（x﹣4）2+2，
∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）、對(duì)稱軸為x＝4、
二次函數(shù)圖象與x軸相交時(shí)：0=?12（x﹣4）2+2，
解得：x＝6或2，
∴另一個(gè)交點(diǎn)為：（6，0），
（3）作圖如下．
【知識(shí)點(diǎn)3 二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】
① 二次項(xiàng)系數(shù)：總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大?。?br>②一次項(xiàng)系數(shù)：在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置，對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”
③常數(shù)項(xiàng)：總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置．
【題型3 二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】
【例3】（2022春?玉山縣月考）函數(shù)y＝ax2﹣a與y＝ax+a（a≠0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法可以得到函數(shù)y＝ax2﹣a與y＝ax+a（a≠0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是哪個(gè)選項(xiàng)中的圖象．
【解答】解：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2﹣a的圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax2﹣a的圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；
故選：C．
【變式3-1】（2022?邵陽縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+b的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次函數(shù)圖象得出a，b的符號(hào)，進(jìn)而利用一次函數(shù)的圖象性質(zhì)得出答案．
【解答】解：如圖所示：拋物線開口向下，交y軸的正半軸，則a＜0，b＞0，
故一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限．
故選：C．
【變式3-2】（2022?鳳翔縣一模）一次函數(shù)y＝kx+k與二次函數(shù)y＝ax2的圖象如圖所示，那么二次函數(shù)y＝ax2﹣kx﹣k的圖象可能為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由二次函數(shù)y＝ax2的圖象知：開口向上，a＞0，一次函數(shù)y＝kx+k圖象可知k＞0，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：由二次函數(shù)y＝ax2的圖象知：開口向上，a＞0，一次函數(shù)y＝kx+k圖象可知k＞0，
∴二次函數(shù)y＝ax2﹣kx﹣k的圖象開口向上，對(duì)稱軸x=??k2a在y軸的右側(cè)，交y軸的負(fù)半軸，
∴B選項(xiàng)正確，
故選：B．
【變式3-3】（2022?澄城縣三模）已知m，n是常數(shù)，且n＜0，二次函數(shù)y＝mx2+nx+m2﹣4的圖象是如圖中三個(gè)圖象之一，則m的值為（ ）
A．2B．±2C．﹣3D．﹣2
【分析】可根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸，以及當(dāng)x＝0時(shí)，y的值來確定符合題意的函數(shù)式，進(jìn)而確定m的值．
【解答】解：∵y＝mx2+nx+m2﹣4，
∴x=?n2m，
因?yàn)閚＜0，所以對(duì)稱軸不可能是x＝0，所以第一個(gè)圖不正確．
二，三兩個(gè)圖都過原點(diǎn)，
∴m2﹣4＝0，
m＝±2．
第二個(gè)圖中m＞0，開口才能向上．
對(duì)稱軸為：x=?n2m＞0，
所以m可以為2．
第三個(gè)圖，m＜0，開口才能向下，
x=?n2m＜0，而從圖上可看出對(duì)稱軸大于0，從而m＝﹣2不符合題意．
故選：A．
【知識(shí)點(diǎn)4 二次函數(shù)圖象的平移變換】
（1）平移步驟：
①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：
（2）平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．
【題型4 二次函數(shù)圖象的平移變換】
【例4】（2022?紹興縣模擬）把拋物線y＝ax2+bx+c的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，所得的圖象的解析式是y＝（x﹣3）2+5，則a+b+c＝ 3 ．
【分析】先得到拋物線y＝（x﹣3）2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5），通過點(diǎn)（3，5）先向左平移2個(gè)單位再向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），然后利用頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線解析式，再把解析式化為一般式即可得到a、b和c的值．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+5，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5），
把點(diǎn)（3，5）先向左平移2個(gè)單位再向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），
∴原拋物線解析式為y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝4．
∴a+b+c＝3，
故答案為3．
【變式4-1】（2022?澄城縣二模）要得到函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3的圖象，可以將函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2的圖象（ ）
A．向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
B．向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
C．向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
D．向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
【分析】根據(jù)拋物線頂點(diǎn)的變換規(guī)律得到正確的選項(xiàng)．
【解答】解：拋物線y＝﹣（x﹣3）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），拋物線y＝﹣（x﹣2）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3），
所以將頂點(diǎn)（3，0）向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到頂點(diǎn)（2，3），
即將函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3的圖象．
故選：C．
【變式4-2】（2022秋?濱江區(qū)期末）將拋物線y＝ax2+bx﹣1向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，5），則4a﹣2b﹣1的值是 2 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移得出平移后的表達(dá)式，再將點(diǎn)（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后整體代入求值即可．
【解答】解：將拋物線y＝ax2+bx﹣1向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，
表達(dá)式為：y＝ax2+bx+2，
∵經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
則4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．
故答案為：2．
【變式4-3】（2022?澄城縣二模）二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，將該二次函數(shù)的圖象沿y軸向下平移k個(gè)單位，使其經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1），則k的值為（ ）
A．3B．4C．2D．6
【分析】根據(jù)拋物線解析式得到拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的軸對(duì)稱性質(zhì)求得a的值，結(jié)合拋物線解析式求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式，利用待定系數(shù)法求得k的值．
【解答】解：由二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）知，該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）和（a，0）．
∵對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴1+a2=2．
解得a＝3．
則該拋物線解析式是：y＝x2﹣4x+3．
∴拋物線向下平移k個(gè)單位后經(jīng)過（0，﹣1），
∴﹣1＝3﹣k．
∴k＝4．
故選：B．
【知識(shí)點(diǎn)5 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換】
（1）關(guān)于軸對(duì)稱
關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；
關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；
（2）關(guān)于軸對(duì)稱
關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；
關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；
（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；
（4）關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）
關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；
關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是．
【題型5 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換】
【例5】（2022?紹興縣模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y＝x2+（2a﹣b）x+b+1與y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b的值為（ ）
A．﹣5B．3C．5D．15
【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)y是互為相反數(shù)即可求得．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+（2a﹣b）x+b+1與y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴﹣y＝﹣x2﹣（2a﹣b）x﹣b﹣1，
∴?(2a?b)=a+b?b?1=a?4，
解得a＝0，b＝3，
∴a+b＝3，
故選：B．
【變式5-1】（2022?蒼溪縣模擬）拋物線y＝﹣（x+2）2關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式為 y＝﹣（x﹣2）2 ．
【分析】寫出頂點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，把它作為所求拋物線的頂點(diǎn)，這樣就可確定對(duì)稱后拋物線的解析式．
【解答】解：拋物線y＝﹣（x+2）2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），
∵兩拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)形狀不變，
∴拋物線y＝﹣（x+2）2關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣2）2．
故答案是：y＝﹣（x﹣2）2．
【變式5-2】（2022?蜀山區(qū)校級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2+2x+3繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2B．y＝﹣（x+1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2
【分析】先利用配方法得到拋物線y＝x2+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2），再寫出點(diǎn)（﹣1，2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（1，﹣2），由于旋轉(zhuǎn)180°，拋物線開口相反，于是得到拋物線y＝x2+2x+3繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2．
【解答】解：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，拋物線y＝x2+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)（﹣1，2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（1，﹣2），
所以拋物線y＝x2+2x+3繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2．
故選：A．
【變式5-3】（2022春?倉山區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）與拋物線L2關(guān)于x軸對(duì)稱，且它們的頂點(diǎn)相距8個(gè)單位長(zhǎng)度，則k的值是（ ）
A．﹣1或3B．1或﹣2C．1或3D．1或2
【分析】先求出拋物線L1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)頂點(diǎn)相距8個(gè)單位長(zhǎng)度列方程即可解得答案．
【解答】解：∵y＝kx2+4kx+8＝k（x+2）2+8﹣4k，
∴拋物線L1：y＝kx2+4kx+8頂點(diǎn)為（﹣2，8﹣4k），
∵拋物線L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）與拋物線L2關(guān)于x軸對(duì)稱，它們的頂點(diǎn)相距8個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴8﹣4k=82或8﹣4k=?82，
解得k＝1或k＝3，
故選：C．
【題型6 利用對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求值】
【例6】（2022?蒼溪縣模擬）已知二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則a的取值為（ ）
A．a(chǎn)＝±1B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝﹣1D．a(chǎn)＝0
【分析】把（0，0）代入函數(shù)解析式求出a的值，再由a﹣1≠0求解．
【解答】解：把（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1得0＝a2﹣1，
解得a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1，
故選：C．
【變式6-1】（2022?合肥模擬）如果拋物線y＝x2﹣6x+c﹣2的頂點(diǎn)到x軸的距離是4，則c的值等于 7或15 ．
【分析】根據(jù)拋物線y＝x2﹣6x+c﹣2的頂點(diǎn)到x軸的距離是4，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值是4，然后計(jì)算即可．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+c﹣2的頂點(diǎn)到x軸的距離是4，
∴|4×1×(c?2)?(?6)24×1|＝4，
解得c1＝7，c2＝15，
故答案為：7或15．
【變式6-2】（2022?襄城區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)A（m﹣1，n）和點(diǎn)B（m+3，n）均在二次函數(shù)圖象上，求n的值為 4 ．
【分析】根據(jù)題意得出b＝﹣2（m+1），c＝（m+1）2，即可得出y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，把A的坐標(biāo)代入即可求得n的值．
【解答】解：∵點(diǎn)A（m﹣1，n）和點(diǎn)B（m+3，n）均在二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象上，
∴?b2=m?1+m+32，
∴b＝﹣2（m+1），
∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)在x軸上，
∴b2﹣4c＝0，
∴[﹣2（m+1）]2﹣4c＝0，
∴c＝（m+1）2，
∴y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，
把A的坐標(biāo)代入得，n＝（m﹣1）2﹣2（m+1）（m﹣1）+（m+1）2＝4，
故答案為：4．
【變式6-3】（2022?公安縣期中）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m﹣1，根據(jù)下列條件求m的值．
（1）圖象的頂點(diǎn)在y軸上．
（2）圖象的頂點(diǎn)在x軸上．
（3）二次函數(shù)的最小值是﹣1．
【分析】（1）將二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式y(tǒng)＝（x+m2）2?m2?4m+44，由圖象的頂點(diǎn)在y軸上可得?m2=0，即m＝0；
（2）由圖象的頂點(diǎn)在x軸上可得m2?4m+44=0，解之即可；
（3）由二次函數(shù)的最小值是﹣1可得?m2?4m+44=?1，解之即可．
【解答】解：（1）y＝x2+mx+m﹣1＝x2+mx+m24?m24+m﹣1＝（x+m2）2?m2?4m+44，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（?m2，?m2?4m+44）
∵圖象的頂點(diǎn)在y軸上，
∴?m2=0，即m＝0；
（2）∵圖象的頂點(diǎn)在x軸上，
∴m2?4m+44=0，
解得m＝2；
（3）∵二次函數(shù)的最小值是﹣1，
∴?m2?4m+44=?1，
解得：m＝0或m＝4．x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
5
2
1
2
5
…
x
…
…
y
…
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…

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