第6章圖形的相似【題型專練】——2022-2023學年蘇科版數(shù)學九年級下冊單元綜合復習（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

典例1-1．（2022·靖江月考）在一幅地圖上，用2厘米表示實際距離90千米，這幅地圖的比例尺是（）
A．145B．14500C．145000D．14500000
變式1-1．（2021·秦淮期末）2021年12月28日，南京市第一條跨市域地鐵S6（寧句城際）正式運營，在比例尺為1：100000的工程示意圖上，南京地鐵S6號線全長約為43.7cm，它的實際長度約為（）
A．0.437kmB．4.37kmC．43.7kmD．437km
典例1-2．（2022·杭州模擬）下列各組中的四條線段成比例的是（）
A．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝2，d＝3B．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2，d＝22D．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝1
變式1-2．（2021·秦都期末）已知a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，則線段d的長為（）
A．0.4B．0.6C．0.8D．4
典例1-3．（2021·蘇州期末）若線段a＝2cm，線段b＝8cm，則a，b的比例中項c為（）
A．4cmB．5cmC．6cmD．32cm
變式1-3．（2021·沭陽期末）已知線段b是線段a和線段c的比例中項，若a＝3，c＝4，則b的值是（）
A．2B．5C．23D．32
考察題型二：比例的性質(zhì)
典例2-1．（2022·綏棱期末）根據(jù)4a＝5b，可以組成的比例有（）
A．a(chǎn)：b＝4：5B．a(chǎn)：b＝5：4C．a(chǎn)：4＝b：5D．a(chǎn)：5＝4：b
變式2-1．（2022·鼓樓二模）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）
A．m4＝n5B．m4＝5nC．mn＝45D．mn＝54
典例2-2．（2022·蘇州模擬）已知ab＝35，則a+bb-a的值為（）
A．2B．52C．4D．45
變式2-2．（2022·邗江月考）若xy＝34，則下列式子正確的是（）
A．x+yy＝7B．x+3y+4＝34C．yx-y＝4D．x3＝y(tǒng)4
典例2-3．（2022·泰山期末）已知a5＝b4＝c3≠0，則b+ca的值為．
變式2-3．（2022·游仙模擬）已知x2＝y(tǒng)3＝z4≠0，則xy+yzzx的值是．
典例2-4．（2022·虹口期中）已知：a2＝b3＝c4≠0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值．
變式2-4．（2022·淮安模擬）已知a6＝b5＝c4，且a+b﹣2c＝6，求a值．
典例2-5．（2021·東港期末）已知b+ca＝a+cb＝a+bc＝k，則k的值是（）
A．﹣1B．2C．﹣1或2D．無法確定
變式2-5．（2022·江陰月考）已知a+bc＝b+ca＝c+ab＝x，求x的值．
考察題型三：黃金分割
典例3-1．（2022·常州期中）大自然巧奪天工，一片樹葉也蘊含著“黃金分割”．如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），如果AB的長度為8cm，那么AP的長度是（）
A．（12﹣45）cmB．（45+4）cmC．（9﹣45）cmD．（45﹣4）cm
變式3-1．（2022·江陰月考）已知點C是線段AB的黃金分割點，AB＝10且AC＜BC，求線段AC＝．
典例3-2．（2022·新華期中）如圖，已知點C是線段AB的黃金分割點，且BC＞AC．若S1表示以BC為邊的正方形的面積，S2表示長為AD（AD＝AB）、寬為AC的矩形的面積，則S1與S2的大小關(guān)系為（）
A．S1＝S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．無法確定
變式3-2．（2021·句容期末）如圖，P是線段AB的黃金分割點，且PA＞PB，若S1表示以PA為一邊的正方形的面積，S2表示長為AB，寬為PB的矩形的面積，則S1與S2的大小關(guān)系是（）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．無法確定
考察題型四：相似圖形
典例4-1．（2021·瀘西期末）下列圖形中，不是相似圖形的一組是（）
A．B．
C． D．
變式4-1．觀察下列圖形中，是相似圖形的一組是（）
A．B．
C．D．
典例4-2．下列說法中，錯誤的是（）
A．全等圖形一定是相似圖形
B．兩個等邊三角形一定相似
C．兩個等腰直角三角形一定相似
D．兩個直角三角形一定相似
變式4-2．（2021·沙坪期末）下列圖形中不一定相似的是（）
A．兩個矩形B．兩個圓
C．兩個正方形D．兩個等邊三角形
典例4-3．若將一個正方形的各邊長擴大為原來的4倍，則這個正方形的面積擴大為原來的（）
A．16倍B．8倍C．4 倍D．2 倍
變式4-3．（2021·榆陽月考）利用復印機的縮放功能，將原圖中邊長為5cm的一個等邊三角形放大成邊長為20cm的等邊三角形，則放大前后的兩個三角形的面積比為．
考察題型五：平行線分線段成比例
典例5-1．（2022·蓬萊期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（）
A．CDCB＝ADDFB．DFAD＝BCCEC．ADAF＝BEBCD．ADDF＝BCCE
變式5-1．（2022·濰坊期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A．DGBG＝12B．CDEF＝12C．CGCF＝13D．DGBE＝13
典例5-2．（2022·龍崗期中）如圖，l1∥l2∥l3，若ABBC＝23，DF＝15，則DE等于（）
A．5B．6C．7D．9
變式5-2．（2022·惠山月考）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，AE＝6cm，則AC的長為（）
A．6cmB．5cmC．4cmD．10cm
考察題型六：相似三角形的判定
典例6-1．（2021·易縣期末）如圖，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，將△ABC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不構(gòu)成相似的是（）
A．B．
C．D．
變式6-1．如圖，在三角形紙片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
典例6-2．（2021·晉江期末）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）
A．∠B＝∠DB．ABAD＝ACAEC．∠C＝∠AEDD．ABAD＝BCDE
變式6-2．（2021·興化期末）如圖，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一個條件后，仍不能確定△ABC∽△ADE的是（）
A．∠B＝∠DB．ABAD＝DEBCC．∠C＝∠AEDD．ABAD＝ACAE
典例6-3．（2022·鐘樓模擬）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一個條件，則以下所添加條件不正確的為（）
A．∠B＝∠ADEB．∠C＝∠AEDC．ADAB＝AEACD．ADAB＝DEBC
變式6-3．（2021·蓬溪期末）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，則在下列五個條件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③ADAC＝AEAB；④AD?BC＝DE?AC；⑤∠ADE＝∠C，能滿足△ADE∽△ACB的條件有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
典例6-4．（2021·鄞州期末）如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是（）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．APAB＝ABACD．ABAP＝ACCB
變式6-4．（2022·杭州模擬）如圖，D是△ABC邊AB上一點，添加一個條件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．ADAC＝CDBCD．AC2＝AD?AB
典例6-5．（2021·高郵期末）如圖，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)至△AB'C'的位置，點B'恰好在BC上，AC與B'C'交于點E，連接CC'．
（1）求證：ECEC'＝EB'EA；
（2）求證：△ABB'∽△ACC'．
變式6-5．（2021·百色期末）已知：如圖，點D在三角形ABC的邊AB上，DE交AC于點E，∠ADE＝∠B，點F在AD上，且AD2＝AF?AB．
求證：（1）ADAB＝AEAC；
（2）△AEF∽△ACD．
考察題型七：相似三角形的性質(zhì)
【7.1】“8”字模型
典例7-1-1．如圖，正方形OABC的邊長為8，A，C分別位于x軸、y軸上，點P在AB上，CP交OB于點Q（m，n），若S△BPQ＝19S△OQC，則mn值為（）
A．12B．16C．18D．36
變式7-1-1．如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE相交于G，BD和AF相交于H，那么四邊形BEGH的面積是（）
A．13B．25C．715D．815
典例7-1-2．（1）某學校“智慧方園”數(shù)學社團遇到這樣一個題目：
如圖1，在△ABC中，點O在線段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝33，BO：CO＝1：3，求AB的長．
經(jīng)過社團成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B作BD∥AC，交AO的延長線于點D，通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題（如圖2）．
請回答：∠ADB＝ °，AB＝．
（2）請參考以上解決思路，解決問題：
如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC⊥AD，AO＝33，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的長．
變式7-1-2．小明同學遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，點D在線段BC上，且BD＝2DC，若∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，求AC的長．
小明研究發(fā)現(xiàn)，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，通過構(gòu)造△ACE，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．
（1）在圖2中，∠ACE的度數(shù)為 °；
（2）求AC的長．
（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC與BD交于點E，AE＝2，BE＝2ED，求BC的長．
【7.2】“A”字模型
典例7-2-1．如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ACB的角平分線分別交AB、BD于M、N兩點，若AM＝4，則線段ON的長為（）
A．2B．3C．2D．6
變式7-2-1．（2022·泗陽一模）如圖，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若內(nèi)接正方形DEFG的邊長是x，則h、c、x的數(shù)量關(guān)系為（）
A．x2+h2＝c2B．12x+h＝cC．h2＝xcD．1x＝1h+1c
典例7-2-2．（2021·甘谷模擬）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AC，AB的中點，BD與CE交于點O，連接DE．下列結(jié)論：①OEOB＝ODOC②DEBC＝12③S△DOES△BOC＝12④S△DOES△DBE＝13，其中正確的個數(shù)有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
變式7-2-2．（2021·覃塘模擬）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA＝1：36，則S△BDE與S△BAC的比是（）
A．1：3B．1：4C．1：5D．1：36
【7.3】“母子”模型（共邊共角模型）
典例7-3．已知：如圖，△ABC中，點E在中線AD上，∠DEB＝∠ABC．
求證：（1）DB2＝DE?DA；
（2）∠DCE＝∠DAC．
變式7-3．已知：如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分別交AD、AC于E、F．求證：BE2＝EF?EG．
【7.4】射影定理
典例7-4-1．如圖，△ABC中，點D在線段BC上，且∠BAD＝∠C，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A．AB2＝AC?BDB．AB?AD＝BD?BC
C．AB2＝BC?BDD．AB?AD＝BD?CD
變式7-4-1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高．下列結(jié)論①CD2＝AD?BD；②AC2＝AD?AB；③BC2＝AB?BD；④BD2＝AC?BC，不正確的是．
典例7-4-2．如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點，AF⊥DE于點O，則AODO等于（）
A．12B．13C．23D．253
變式7-4-2．矩形ABCD中AE⊥BD于E，AB＝4，∠BAE＝30°，求△DEC的面積是．
【7.5】“K字”模型（“三垂直”模型）
典例7-5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2，且l1，l2，l3分別經(jīng)過點A，B，C，則邊AC的長為．
變式7-5．如圖，直線l1∥l2∥l3，且l1與l3之間的距離為3，l2與l3之間的距離為1．若點A，B，C分別在直線l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC＝BC，AC與直線l2交于點D，則BD的長為．
【7.6】“一線三等角”模型
典例7-6-1．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，點D、E分別在BC、AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）求線段AE的最小值．
變式7-6-1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD＝∠B．
（1）求證：AC?CD＝CP?BP；
（2）若AB＝10，BC＝12，當PD∥AB時，求BP的長．
典例7-6-2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點D是邊BC上（不與B，C重合）一動點，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E．下列結(jié)論：
①AD2＝AE?AB；
②3.6≤AE＜10；
③當AD＝210時，△ABD≌△DCE；
④△DCE為直角三角形時，BD為8或12.5．
其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
變式7-6-2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D是邊BC上一動點（不與點B，C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，給出下列結(jié)論：①圖中有2對相似三角形；②線段CE長的最大值為6.4；③當AD＝DC時，BD的長為394．其中正確的結(jié)論是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【7.7】“手拉手”模型
典例7-7．如圖，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°．
（1）求證：△ACD∽△BCE；
（2）若AC＝3，AE＝8，求AD．
變式7-7．如圖，在矩形ABCD中，將∠ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后，BC的對應(yīng)邊B'C'交CD邊于點G．連接BB'、CC'．若AD＝7，CG＝4，AB'＝B'G，則CC'BB'＝（結(jié)果保留根號）．
考察題型八：作圖——相似變換
典例8．（2021·高新月考）如圖△ABC，點A，B，C在格點上，試分別在下列兩個圖中按要求使用無刻度的直尺畫圖（保留作圖痕跡）．
（1）在圖1中，畫出格點△ADE，使△ADE和△ABC相似且相似比為2：1；
（2）在圖2中，畫出格點△AEF，使△AEF和△ABC相似且面積比為5：2．
變式8．由邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格，以下各圖中點A、B、C、D都在格點上．
（1）在圖1中，PC：PB＝；
（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．
①如圖2，在AB上找點P，使得AP：PB＝1：3；
②如圖3，在BC上找點P，使得△APB∽△DPC；
③如圖4，在△ABC中內(nèi)找一點P，連接PA、PB、PC，將△ABC分成面積相等的三部分．
考察題型九：相似中的動態(tài)問題
典例9．將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得△AB′C′，即如圖①，∠BAB′＝θ，AB'AB＝B'C'BC＝AC'AC＝n，我們將這種變換記作：[θ，n]．
（1）如圖①，對△ABC作變換[60°，3]得△AB′C′，則S△AB′C′：S△ABC＝；
直線BC與直線B′C′所夾的銳角為；
（2）如圖②，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點B、C、C′在同一條直線上，且四邊形ABB′C′為矩形，求θ和n的值．
（3）如圖③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使得點B、C、B′在同一條直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，求θ和n的值．
變式9．將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得△AB′C′，即如圖①，∠BAB′＝8，AB'AB＝B'C'BC＝AC'AC＝n，我們將這種變換記為[θ，n]．
（1）如圖1，△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點B，C，C′在同一條直線上，且四邊形ABB′C′為矩形，求θ和n的值；
（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，對△ABC做變換[θ，n]△AB′C′，使得點B，C，B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，求θ和n的值；
（3）如圖3，△ABC中，CB＝AC＝2，AB＝3，∠BAC＝40°，對△ABC做變換[θ，n]△ADE，使得點B，C，E在同一直線上，且四邊形ABDE為等腰梯形（AE∥BD），求①θ和n的值；②BE的長．
考察題型十：位似變換
典例10-1．（2021·錫山月考）如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A（2，2）、B（2.5，0.8），以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴大為原來的2倍后得到線段CD，則端點C的坐標為（）
A．（3，1.6）B．（4，3.2）C．（4，4）D．（6，1.6）
變式10-1．（2021·蘇州期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在第二象限，點B坐標為（﹣2，0），點C坐標為（﹣1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C．若點A的對應(yīng)點A′的坐標為（2，﹣3），點B的對應(yīng)點B′的坐標為（1，0），則點A坐標為（）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，32）C．（﹣52，32）D．（﹣52，2）
典例10-2．（2022·崇川月考）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）以原點O為位似中心，位似比為1：2，在y軸的左側(cè)，畫出△ABC放大后的圖形△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面積為．
變式10-2．（2022·梁溪期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A（1，1）、B（3，1）、C（0，2）．
（1）①以點O為位似中心，在網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)畫出△DEF，使得△DEF與△ABC位似，且點D與點A對應(yīng)，位似比為2：1；
②點D坐標為；
③△DEF的面積為個平方單位；
（2）△ABC的外接圓圓心M的坐標為．
考察題型十一：影長問題
典例11．（2021·廣饒期末）閱讀以下文字并解答問題：
在“測量物體的高度”活動中，某數(shù)學興趣小組的4名同學選擇了測量學校里的四棵樹的高度．在同一時刻的陽光下，他們分別做了以下工作：
小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米（如圖1）．
小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上（如圖2），墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米．
小麗：測量的丙樹的影子除落在地面上外，還有一部分落在教學樓的第一級臺階上（如圖3），測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，落在地面上的影長為4.4米．
小明：測得丁樹落在地面上的影長為2.4米，落在坡面上影長為3.2米（如圖4）．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳測得他的影長為2m．
（1）在橫線上直接填寫甲樹的高度為米．
（2）畫出測量乙樹高度的示意圖，并求出乙樹的高度．
（3）請選擇丙樹的高度為．
A．6.5米 B．5.75米 C．6.05米D．7.25米
（4）你能計算出丁樹的高度嗎？試試看．
變式11．如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點，CD是水平的，在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知鐵塔底座寬CD＝12m，塔影長DE＝18m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時刻，小明站在點E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子在平地上，兩人的影長分別為2m和1m，求塔高AB．
考察題型十二：相似三角形的存在性問題
典例12-1．（1）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，點P是邊AB上一點，若△PAD∽△CBP，請利用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，畫出滿足條件的所有點P；
（2）在（1）的條件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，則AP的長是．
變式12-1．（2021·蒙陰一模）如圖，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果邊AB上的點P使得以P，A，D為頂點的三角形和以P，B，C為頂點的三角形相似，則這樣的P點共有幾個（）
A．1B．2C．3D．4
典例12-2．已知：如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，點A，C的坐標分別為A（﹣3，0），C（1，0），BC＝34AC．
（1）求過點A，B的直線的函數(shù)表達式；
（2）在x軸上找一點D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設(shè)AP＝DQ＝m，問是否存在這樣的m，使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由．
變式12-2．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+6的圖象分別與x軸，y軸交于點A，B，點A的坐標為（﹣8，0）．
（1）點B的坐標為；
（2）在第二象限內(nèi)是否存在點P，使得以P、O、A為頂點的三角形與△OAB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標：若不存在，請說明理由．
考察題型十三：相似三角形綜合題
典例13．（2022·清江浦月考）【結(jié)論提出】：三角形的角平分線分對邊所成的兩條線段的比等于夾這個角的兩條邊的比．
【思路說明】已知：如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D．試說明：BDCD＝ABAC．理由：過點C作CE∥AD，交BA延長線于點E，易得BDCD＝，由CE∥AD，AD平分∠BAC可得AE＝，代入上式得BDCD＝ABAC．
【直接應(yīng)用】
（1）如圖2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD＝10，CD＝6，在不添加輔助線的情況下直接寫出AB＝．
（2）如圖3，若四邊形ABCD為矩形，AB＝8，AD＝6，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，延長EF、AF分別交AB，BC于M、H兩點，當FH＝BH時，
①求BH的長；
②直接寫出AMBM＝；
【拓展延申】
（3）如圖4，若四邊形ABCD是邊長為6的菱形，∠ABC＝60°，當點E為CD邊的三等分點時，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF與BC所在直線交于點P、與AD所在直線交于點Q，請直接寫出CP的長．
變式13．（2022·錫山二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點E在直線AB上，連結(jié)DE，過點A作AF⊥DE交直線BC于點F，以AE、AF為鄰邊作平行四邊形AEGF．連結(jié)DG交直線AB于點H．
（1）當點E在線段AB上時，求證：△ABF∽△DAE．
（2）當AE＝2時，求EH的長．
（3）在點E的運動過程中，是否存在某一位置，使得△EGH為等腰三角形．若存在，求AE的長．

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