A．B．
C．D．
2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．19B．25C．37D．85
3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在的右支上，且，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
題型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
5．（2022秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線上，滿足，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在雙曲線上，且A、B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線的焦距三等分，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
題型三：雙曲線的幾何性質(zhì)
7．（2021秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線C的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為8
B．雙曲線C的漸近線方程為
C．雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3
D．雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為
8．（2022秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且與橢圓有相等的焦距，則C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）直線過(guò)圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
題型四：雙曲線的漸近線問題
10．（2022秋·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）若雙曲線C：（，）的一條漸近線被以焦點(diǎn)為圓心的圓所截得的弦長(zhǎng)為，則a的值為（ ）
A．1B．C．D．2
11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知是雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)，過(guò)作與軸垂直的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過(guò)作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則（ ）
A．1B．C．D．3
12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)），分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程是（ ）
A．B．C．D．
題型五：雙曲線的離心率問題
13．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州市第一中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)作一傾斜角為 的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，且滿足（為原點(diǎn)）為等腰三角形，則該雙曲線離心率為（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）雙曲線方程為為其左?右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)A和點(diǎn)，滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
15．（2022秋·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線:的左焦點(diǎn)為,過(guò)的直線與圓相切于點(diǎn),與雙曲線的右支交于點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
題型六：雙曲線和直線的位置關(guān)系
16．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線（，）的離心率，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且雙曲線與直線相切，則（ ）
A．B．C．D．1
18．（2021春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)為、，焦點(diǎn)在軸上的橢圓以、為頂點(diǎn)，且離心率為，過(guò)作斜率為的直線交雙曲線于另一點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
題型七：雙曲線的弦長(zhǎng)問題
19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
20．（2020秋·江蘇常州·高二江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若且的面積為,則C的方程為
A．B．C．D．
21．（2021秋·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若的面積為8，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
題型八：雙曲線的中點(diǎn)弦問題
22．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線方程，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是（ ）
A．B．C．D．
23．（2021·江蘇·高二期中）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于M，N兩點(diǎn)，若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（ ）
A．B．C．D．
24．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）不垂直于坐標(biāo)軸的直線與雙曲線的漸近線交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，和的斜率滿足，則頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線方程是（ ）
A．B．C．D．
題型九：雙曲線的定點(diǎn)定值問題
25．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，中心為原點(diǎn)的雙曲線的一條漸近線為y＝x，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為．
(1)求此雙曲線方程及其離心率；
(2)過(guò)P(2,0)的直線l交雙曲線于點(diǎn)M、N．Q(b,0)，若對(duì)于任意直線l，數(shù)量積是定值，求b的值．
26．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線交于兩點(diǎn)，且.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn).
27．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，存在兩定點(diǎn)，與一動(dòng)點(diǎn)A.已知直線與直線的斜率之積為3.
(1)求A的軌跡；
(2)記的左、右焦點(diǎn)分別為、.過(guò)定點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn).若、兩點(diǎn)滿足，求的方程.
題型十：雙曲線的定值線和向量問題
28．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線l過(guò)F與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，；
(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．
29．（2023秋·江蘇蘇州·高二常熟中學(xué)?？计谀┮阎?，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn).
（1）若，求直線的方程；
（2）若直線與相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.
30．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，C的一條漸近線斜率為，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上.
(1)若直線l過(guò)C的右焦點(diǎn)，且斜率為，求的面積；
(2)設(shè)P，Q為雙曲線C上異于點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，記直線MP，MQ的斜率分別為，，若，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn).
【專題訓(xùn)練】
一、單選題
31．（2023秋·江蘇連云港·高二）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
32．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)傾斜角為的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
33．（2023秋·江蘇南通·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線過(guò)圓的圓心，且與圓相交于兩點(diǎn)，為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．1C．2D．0
34．（2023春·江蘇南京·高二南京市江寧高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓O：與雙曲線C：的右支交于點(diǎn)A，B，若，則C的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
35．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，M、N分別為的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線AB的斜率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．4B．C．D．2
36．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
37．（2023春·江蘇泰州·高二靖江高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知兩點(diǎn)在雙曲線C：的右支上，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，交y軸于點(diǎn)T，若，，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
38．（2023秋·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線C：，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2
B．若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則
C．若是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，則
D．若，則雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最小值為2
39．（2023秋·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，若圓與雙曲線C的漸近線相切，則（ ）
A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為6
B．雙曲線C的離心率
C．點(diǎn)P為雙曲線C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離分別為、，則
D．直線與交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則
40．（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，左、右焦點(diǎn)為，為雙曲線上一點(diǎn)，則下列正確的是（ ）
A．離心率為B．漸近線方程為
C．虛軸長(zhǎng)為4D．若，則
41．（2023秋·江蘇·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且它的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線的漸近線為
C．若雙曲線的頂點(diǎn)為，則
D．直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)
三、填空題
42．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則雙曲線的離心率為 ．
43．（2023春·江蘇鹽城·高二?？奸_學(xué)考試）已知，是雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限交于點(diǎn)M，則的面積為 ．
44．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線方程為，焦距為8，左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，P為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
45．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，直線分別與的左、右兩支交于點(diǎn)，．若，，則的最小值為 ．
四、解答題
46．（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)在上，且，求的面積．
47．（2023秋·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C : 的左?右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C的右頂點(diǎn)A在圓 O :上，且.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)動(dòng)直線與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)M，N，求△OMN (O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積．
48．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知雙曲線，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，且離心率為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，求的值．
49．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二校考階段練習(xí)）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為2.
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)為雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，若，求.
50．（2023春·江蘇南京·高二金陵中學(xué)?？计谀┮阎p曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

3.2 雙曲線

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