3.2雙曲線 蘇教版（  2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）已知等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與直線交于，兩點，若，則該雙曲線的方程為(    )A.  B.  C.  D. 已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)為(    )雙曲線的實軸長為雙曲線的離心率為曲線經(jīng)過雙曲線的一個焦點直線與雙曲線有兩個公共點．A.  B.  C.  D. 已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，離心率為，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若，且，則(    )A.  B.  C.  D. 已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是(    )A.  B.  C.  D. 設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點若為右支上的一點，且為線段的中點，，，則雙曲線的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 設(shè)雙曲線的左，右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的左支交于點，與雙曲線的漸近線在第一象限交于點，若，則的周長為(    )A.  B.  C.  D. 已知，分別為雙曲線的左、右焦點，，是上右支上的兩點，且直線經(jīng)過點若，以為直徑的圓經(jīng)過點，則的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 已知雙曲線的左、右焦點分別為、，實軸的兩個端點分別為、，虛軸的兩個端點分別為、以坐標(biāo)原點為圓心，為直徑的圓與雙曲線交于點位于第二象限，若過點作圓的切線恰過左焦點，則雙曲線的離心率是  (    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，為左頂點，為雙曲線右支上一點若，且的最小內(nèi)角為，則(    )A. 雙曲線的離心率為
B. 雙曲線的漸近線方程為
C.
D. 直線與雙曲線有兩個公共點已知雙曲線經(jīng)過點，并且它的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 的離心率為
B. 的漸近線為
C. 的方程為
D. 直線與有兩個公共點已知雙曲線：過點，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 的焦距為
B. 的離心率為
C. 的漸近線方程為
D. 直線與有兩個公共點已知雙曲線過點且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 的方程為
B. 的離心率為
C. 曲線經(jīng)過的一個焦點
D. 直線與有兩個公共點第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知雙曲線：的左焦點為，過且與的一條漸近線垂直的直線與的右支交于點，若為的中點，且為坐標(biāo)原點，則的離心率為________．已知、分別為雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于、兩點，記的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，，則此雙曲線離心率的取值范圍為             ．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，離心率為，點是雙曲線上一點，連接，過點作與雙曲線交于點，且，則___．若直線：過雙曲線：的左焦點，且與雙曲線只有一個公共點，則雙曲線的方程為___________． 四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分雙曲線的離心率為，經(jīng)過的焦點垂直于軸的直線被所截得的弦長為．求的方程設(shè)，是上兩點，線段的中點為，求直線的方程．本小題分已知雙曲線與有相同的漸近線，且經(jīng)過點求雙曲線的方程，并寫出其離心率與漸近線方程；已知直線與雙曲線交于不同的兩點，，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值．本小題分
已知雙曲線的中心在原點，、為左、右焦點，焦距是實軸長的倍，雙曲線過點．

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
若點在雙曲線上，求證：點在以為直徑的圓上；
在的條件下，若直線交雙曲線于另一點，求的面積．本小題分
已知雙曲線的中心在原點，、為左、右焦點，焦距是實軸長的倍，雙曲線過點．
求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
若點在雙曲線上，求證：點在以為直徑的圓上；
在的條件下，若直線交雙曲線于另一點，求的面積．
本小題分已知雙曲線的右焦點為．求雙曲線的方程求雙曲線的漸近線與直線圍成的三角形的面積．本小題分已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，離心率，且雙曲線過點．求雙曲線的方程；若直線：與雙曲線交于，兩點，線段中點的橫坐標(biāo)為，求線段的長．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了雙曲線方程及其幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題．
設(shè)出雙曲線方程，，與直線聯(lián)立求出交點坐標(biāo)，利用兩點間距離公式建立方程求出，即可得到答案．【解答】解：因為焦點在軸上，
所以設(shè)等軸雙曲線的方程為，  其中，
與直線聯(lián)立，
解得：，
因為，
所以，
解得，
故雙曲線方程為．
故選C．  2.【答案】 【解析】【分析】略【解答】根據(jù)題意設(shè)雙曲線的方程為 ，將代入雙曲線的方程得 ，所以雙曲線的方程為 雙曲線的實軸長為，所以中結(jié)論正確雙曲線的離心率為，所以中結(jié)論正確令，得，所以曲線經(jīng)過雙曲線的右焦點，所以中結(jié)論正確聯(lián)立得消去得，所以，故直線與雙曲線只有一個公共點，所以中結(jié)論錯誤故選C．  3.【答案】 【解析】略
 4.【答案】 【解析】【分析】先設(shè)出雙曲線的方程，然后與直線方程聯(lián)立方程組，經(jīng)消元得二元一次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理及中點的橫坐標(biāo)可得、的一個方程，又雙曲線中有，則另得、的一個方程，最后解、的方程組即得雙曲線方程．
本題主要考查代數(shù)方法解決幾何問題，同時考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)等．【解答】解：設(shè)雙曲線方程為．
將代入，整理得．
由韋達(dá)定理得，則．
又，解得，，
所以雙曲線的方程是．
故選D．  5.【答案】 【解析】【分析】
本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．
運用雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理、結(jié)合離心率公式，解方程可得所求值．
【解答】
解：由題意可得，
由雙曲線定義可得 ，
則，，
在中，，又，
，整理可得，即，
解得或舍去．
故選B．  6.【答案】 【解析】【分析】本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．
先結(jié)合題設(shè)條件畫出圖像，抽象出雙曲線中的基本量以及漸近線方程，在直角三角形中求得的值，在由雙曲線的定義得，從而可求的周長．【解答】解：如圖示雙曲線方程為，

，，，
又，是線段中點，
三角形為直角三角形且，
又雙曲線的漸近線方程為，
，，
是等邊三角形且，
在中，
，
．
，
．
故的周長為：
，
故選C．  7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，考查化簡運算能力，屬于中檔題．
由題設(shè)知，在和中運用勾股定理得到的關(guān)系式，即可求出離心率．
【解答】
解：由題意得，設(shè)，則
，，，
，在中，由勾股定理得，
解得，則，，
在中，由勾股定理得，
化簡得，所以的離心率．
故選A．  8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查雙曲線的性質(zhì)及直線與圓相切的性質(zhì)，屬于中檔題．
設(shè)的坐標(biāo)，由在圓和在橢圓上可得的坐標(biāo)，再由因為與圓相切，所以，可得方程，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．
【解答】
解：設(shè)，由題意可得，又在雙曲線上，在第二象限，

所以，兩式聯(lián)立求出，，
所以，，
因為與圓相切，
所以，
即，
即，
所以，
所以，，即，
即解得：．
故選：．  9.【答案】 【解析】【分析】本題考查雙曲線的性質(zhì)和幾何意義、定義、直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于一般題．
利用雙曲線的幾何性質(zhì)及定義等逐一判斷即可．【解答】解：因為，，所以，．
又，，所以，
所以，所以，
所以，解得，A正確
因為，所以，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為，B正確
因為，所以，所以，所以．
又，，所以，
所以，C錯誤
聯(lián)立得方程組，所以，
所以，
所以，
所以直線與雙曲線有兩個公共點，D正確．
故選ABD．  10.【答案】 【解析】【分析】本題考查雙曲線的方程的求法及雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
由雙曲線過點，將的坐標(biāo)代入求出，的關(guān)系，求出圓心到漸近線的距離的值，再由勾股定理求出弦長，由弦長的值，可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出，的值，即求出雙曲線的方程，進(jìn)而判斷，，的真假，將中的直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立求出交點，可判斷出不正確．【解答】解：由雙曲線過，可得，則漸近線的方程為，即，
由圓的方程，可得圓心坐標(biāo)，半徑，所以圓心到漸近線的距離，
由截得的弦長可得，則，即，可得，
可得，，即雙曲線的方程為：，所以C正確
且離心率，所以A正確
漸近線的方程為，即，所以不正確
聯(lián)立整理可得，解得 ，，
即交點， 只有一個交點，所以不正確．
故選AC．
   11.【答案】 【解析】【分析】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，根據(jù)條件求出雙曲線的方程是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)條件可求出雙曲線的方程，再逐一分析即可．【解答】解：雙曲線：過點，
則，解得，所以雙曲線的方程為，
即，
對于，，焦距為，故A正確；
對于，離心率，故B錯誤；
對于，雙曲線的漸近線方程是，所以C正確；
對于，聯(lián)立，整理得
則，故沒有公共點，故D不正確，
故答案為：．
   12.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．
根據(jù)雙曲線的漸近線和過定點求出雙曲線方程，然后根據(jù)方程依次判斷每一個選項即可．
【解答】
解：由雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為 ，把點代入，得，即．雙曲線的方程為    ，故A正確；則離心率為，故B錯誤；
焦點為或，
所以曲線經(jīng)過的一個焦點，故C正確；
因為，整理得，則，
所以直線與有一個公共點，故D錯誤．
故選AC．  13.【答案】 【解析】【分析】
本題考查雙曲線幾何意義即定義，數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，屬中等題目．
根據(jù)平面幾何圖形性質(zhì)及橢圓定義，化簡得，即可得解．
【解答】
解：設(shè)的右焦點 ，不妨設(shè)直線與漸近線交點為，
在直角三角形中由點到直線的距離得，
再結(jié)合，得，
由為的中位線，得，
再由雙曲線的定義，得，從而，
．
在直角三角形中，，
化簡得，所以．

 故答案為．  14.【答案】 【解析】【分析】
本題考查雙曲線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的性質(zhì)及幾何意義，直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題．
由題意，求得兩圓切于同一點，設(shè)直線的傾斜角為，求得，，結(jié)合題意，可得，解得即可．
【解答】
解：設(shè)與切于點，與切于點，與切于點，與切于點，與切于點，如下圖：

，
，
即切于同一點，
設(shè)點，則，解得，
點，
設(shè)直線的傾斜角為，則，，
在四邊形中，
，在中，，
在四邊形中，
，在中，，
，，即，
，結(jié)合，解得，
故此雙曲線離心率的取值范圍為．  15.【答案】 【解析】【分析】本題考查雙曲線的性質(zhì)及幾何意義和直線與雙曲線的位置關(guān)系．
由已知可得雙曲線的方程為可得，易得直線的斜率為，連接，在中，由余弦定理得，即可求解；【解答】解：由點是雙曲線上一點和雙曲線的離心率為，
得，解得
所以，，所以，，
直線的斜率為，因為，所以直線的斜率為．
設(shè)直線的傾斜角為，則，所以．
連接，在中，由余弦定理得，
又，所以，所以．  16.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了直線的方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，推出、關(guān)系，然后根據(jù)條件求出、即可．
【解答】
解：雙曲線：的漸近線方程為，
因為線：過雙曲線：的左焦點且與雙曲線只有一個公共點，
所以，且，又因為，
解得，，
則雙曲線的方程為．
故答案為．  17.【答案】解：因為的離心率為，
所以，
可得，
因為經(jīng)過的焦點垂直于軸的直線被所截得的弦長為，
將代入，
可得，
所以，與聯(lián)立，解得，
所以，，
所以的方程為；
設(shè)，，則，，
因此，即，
因為線段的中點為，
所以，，
從而，即直線的斜率為，
所以直線的方程為，
即直線的方程是． 【解析】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，利用點差法求直線方程問題，解題時要認(rèn)真審題，注意點差法的合理運用，屬于中檔題．
根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及題意得出和，列出方程組，解出，，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
設(shè)，，利用點差法求出直線的斜率，即可得直線的方程．
 18.【答案】解：由題意，雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，
可設(shè)雙曲線的方程為，
代入，得，即，
故雙曲線的方程為；
由方程得，，，
故離心率；
其漸近線方程為；
設(shè)，，則的中點坐標(biāo)為，
聯(lián)立直線與雙曲線的方程得：
經(jīng)整理得，
，
由韋達(dá)定理得：，
，
的中點坐標(biāo)為，
又在圓上，
，
． 【解析】本題主要考查求雙曲線的方程、離心率與漸近線方程，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系，中點坐標(biāo)公式，屬于中檔題．
待定系數(shù)法求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求出其離心率與漸近線方程；
聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合判別式和韋達(dá)定理求解即可．
 19.【答案】解：焦距是實軸長的倍，
，
所以雙曲線為等軸雙曲線，
故可設(shè)雙曲線的方程為，
雙曲線過點，，
，
雙曲線方程為，即．
證明：由可知：在雙曲線中，，，
，，
，，
，
點在雙曲線上，，，
，
點在以為直徑的圓上；
解：由不妨，，
直線的方程為：，
代入雙曲線方程消去可得：，
因為的縱坐標(biāo)為，
則，可得，
的面積為：． 【解析】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，同時考查直線與雙曲線的位置關(guān)系及平面向量的在幾何中的運用，考查分析解決問題的能力，屬于中檔題．
求出離心率，可設(shè)雙曲線的方程為，由雙曲線過點，可求得，即可求雙曲線方程；
求出向量，的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，即可證明結(jié)論．
利用與的坐標(biāo)可得直線方程，求出的縱坐標(biāo)，然后求解三角形的面積．
 20.【答案】解：焦距是實軸長的倍，
，故可等軸設(shè)雙曲線的方程為，
過點，，
．
雙曲線方程為．
即：．
證明：由可知：在雙曲線中，，．
，．
，
．
．
點在雙曲線上，，．
．
點在以為直徑的圓上；
由不妨，，
直線的方程為：，代入雙曲線方程可得：
消去可得：，
因為的縱坐標(biāo)為，所以的縱坐標(biāo)為：，
解得，
的面積為：． 【解析】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積公式，考查分析解決問題的能力，屬于中檔題．
求出離心率，故可等軸設(shè)雙曲線的方程為，過點，可得，即可求雙曲線方程；
求出向量坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，即可證明結(jié)論．
利用與可得直線方程，求出的縱坐標(biāo)，然后求解三角形的面積．
 21.【答案】解：雙曲線的右焦點的坐標(biāo)為，且雙曲線的方程為，
，，雙曲線的方程為．，，雙曲線的漸近線方程為令，則，設(shè)直線與雙曲線的漸近線的交點為，，則．記雙曲線的漸近線與直線圍成的三角形的面積為，則． 【解析】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)及幾何意義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．
由題意可得，求得，即可求出雙曲線的方程．
因為，，雙曲線的漸近線方程為，令，則，設(shè)直線與雙曲線的漸近線的交點為，，可求出，記雙曲線的漸近線與直線圍成的三角形的面積為，即可求出面積．
 22.【答案】解：設(shè)雙曲線，
由題意得：
解得，，
雙曲線的方程為，
聯(lián)立方程消去得：，
與有兩個交點，
且，
解得：且，
，，
設(shè)，，則由上可知，
又中點的橫坐標(biāo)為，
，即，
解得或，
結(jié)合可知，
此時，，，
，
即線段的長為． 【解析】本題主要考查了雙曲線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的性質(zhì)及幾何意義，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，
根據(jù)已知及雙曲線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程的計算，得，求出，的值，求出雙曲線的方程；
根據(jù)已知及雙曲線的性質(zhì)及幾何意義，直線與雙曲線的位置關(guān)系的計算，得，，求出線段的長．
 

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3.2 雙曲線

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