1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。
2．答題前，考生務必將姓名、考生號等個人信息填寫在答題卡指定位置。
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答。超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．下面四個數中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
2．從1、2、3、4、5中任選3個不同數字組成一個三位數，則該三位數能被3整除的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．若等差數列 的前n項和為S ，且滿足 ，對任意正整數 ，都有 則 的值為（ ）
A．21B．22C．23D．24
4．已知 的內角 的對邊分別為 若面積 則（ ）
A．B．C．D．
5．已知在等腰直角三角形中，，點在以為圓心、2為半徑的圓上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知表示兩條直線，表示平面，下列命題中正確的有（ ）
①若，且，則；
②若相交且都在平面外，，則；
③若，則；
④若，且，則．
A．1個B．2個C．3個D．4個
7．已知橢圓：與雙曲線：（，）有共同的焦點，，且在第一象限的交點為，滿足（其中為原點）.設，的離心率分別為，，當取得最小值時，的值為（ ）
A．B．
C．D．
8．古希臘數學家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來構造無理數. 已知與交于點，若，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．下列命題正確的是（ ）
A．若樣本數據的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數據的平均數大于中位數
B．若散點圖的散點均落在一條斜率非0的直線上，則決定系數
C．數據的均值為4，標準差為1，則這組數據中沒有大于5的數
D．數據12，23，35，47，61的75百分位數為47
10．如圖，在銳角中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，D是外一點且B、D在直線AC異側，，，則下列說法正確的是（ ）

A．是等邊三角形
B．若，則A，B，C，D四點共圓
C．四邊形ABCD面積的最小值為
D．四邊形ABCD面積的最大值為
11．已知拋物線的準線方程為，過拋物線C的焦點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，則下列說法正確的是（ ）
A．以AF為直徑的圓與y軸相切
B．設，則周長的最小值為4
C．若，則直線l的斜率為或
D．x軸上存在一點N，使為定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．曲線所圍成的封閉圖形的面積為 ．
13．已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點.現將雙曲線：上的每個點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到曲線，則曲線的方程為 ．
14．若函數f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d（b，c，d∈R）恰有兩個零點x1，x2，且|x2－x1|＝1，則函數f（x）所有可能的極大值為 .
四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．在等差數列中，，且等差數列的公差為4.
(1)求；
(2)若，數列的前項和為，證明：.
16．為提升基層綜合文化服務中心服務效能，廣泛開展群眾性文化活動，某村干部在本村的村民中進行問卷調查，將他們的成績（滿分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.
(1)求的值并估計該村村民成績的平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；
(2)從成績在內的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3人中成績在內的村民人數為，求的分布列與期望.
17．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，，是的中點.
(1)證明：平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
18．設拋物線的焦點為，已知點到圓上一點的距離的最大值為6.
(1)求拋物線的方程.
(2)設是坐標原點，點是拋物線上異于點的兩點，直線與軸分別相交于兩點（異于點），且是線段的中點，試判斷直線是否經過定點.若是，求出該定點坐標；若不是，說明理由.
19．已知函數.
(1)當時，證明：是增函數.
(2)若恒成立，求的取值范圍.
(3)證明：（，）.
參考答案：
1．D
【分析】先根據對數函數單調性求得，然后可判斷最大項.
【詳解】因為，即，
所以，，故B，C錯誤；
又，所以.
故選：D
2．D
【分析】利用排列組合知識求出對應的方法種數，利用古典概型的概率公式直接求解.
【詳解】從1、2、3、4、5中任選3個不同數字組成一個三位數，有種；
要使該三位數能被3整除，只需數字和能被3整除，
所以數字為1，2，3時，有種；數字為1，3，5時，有種；
數字為2，3，4時，有種；數字為3，4，5時，有種；共24種.
所以該三位數能被3整除的概率為.
故選：D
3．C
【分析】根據給定條件，利用等差數列的性質及前n項和公式計算推理得解.
【詳解】依題意，，則，
又，則，，
等差數列的公差，因此數列單調遞減，
，且，
即任意正整數，恒成立，
所以對任意正整數，都有成立的.
故選：C
4．A
【分析】先利用余弦定理的變形：，結合三角形的面積公式，可把條件轉化為：，再根據同角三角函數的基本關系和三角形中，可求得.
【詳解】因為，所以，
又由，
所以.
所以
所以，又因為在中，，所以.
故選：A
5．B
【分析】建立坐標系，先把轉化為，其中，再利用兩點之間線段最短求解.
【詳解】如圖：建立平面直角坐標系.則，,取.設
則.
所以，
又.
故選：B
6．A
【分析】根據線面平行和面面平行逐項判斷即可.
【詳解】對于①，若，且，則或相交，故①錯誤；
對于③和④，與也可能相交，均錯誤；
對于②，設相交確定平面，根據線面平行的判定定理知，根據平行平面的傳遞性得知．
故選：A．
7．D
【分析】作，利用橢圓和雙曲線定義可表示出，由，可得點的橫坐標為，利用勾股定理可得，即，再利用基本不等式可求出最值，并求出此時的值.
【詳解】如圖，作，垂足為M，
根據橢圓與雙曲線的定義可得，
解得，
由，可得點的橫坐標為，
即，
由勾股定理可得，
整理得，即，
，當且僅當時等號成立，
.
故選：D.
【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的基本性質，屬于中檔題.
8．A
【分析】建立平面直角坐標系，求得相關點坐標，求得相關向量坐標，根據，結合向量坐標運算，即可求得答案.
【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標系，
由題意得，
則，.
因為，故，
因為，所以（負值舍去），
所以，
故.又，則，
因為，所以，
解得，所以，
故選：A.
【點睛】方法點睛：注意到題目中的垂直關系，由此可以建立直角坐標系，利用向量的坐標運算來解決平面向量基本定理中的參數求解問題.
9．ABD
【分析】對于A，利用中位數和平均數的性質，結合圖形分析即可判斷；對于B，根據決定系數的定義判斷，對于C，設，，，，，，舉出反例即可；對于D，利用百分位的定義判斷即可.
【詳解】對于A，數據的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，，大致如圖所示：

由于右邊“拖尾時最高峰偏左，中位數靠近高峰處，平均數靠近中點處，此時樣本數據的平均數大于中位數，故A正確；
對于B：若散點圖的散點均落在一條斜率非0的直線上，則變量與變量之間滿足線性函數關系，則決定系數，B正確；
對于C，不妨設，，，，，，則，解得，此時，故找到一組數，，4，，，數據中有大于5的數，C錯誤；
對于D，由，故這組數據的上四分位數為47，D正確．
故選：ABD
10．ABD
【分析】由正弦定理的邊角互化即可得到，從而判斷A，由余弦定理即可得到，從而判斷B，由三角形的面積公式代入計算，即可判斷CD.
【詳解】，
根據正弦定理得，
即，
，顯然，則，根據題意，有，
又，可得，，為等邊三角形，故A正確；
，，在中，，
當時，，，即，
A，B，C，D共圓，B正確．
又，
四邊形ABCD面積，
，，
，則，
所以四邊形ABCD的面積沒有最小值，C錯誤．
當，即時，四邊形ABCD面積取最大值，故D正確．
故選：ABD．
11．ACD
【分析】A選項，求出拋物線方程，作出輔助線，由拋物線定義求出，得到A正確；B選項，表達出周長，數形結合當A，C與點Q三點共線時，求出最小值；C選項，設直線AB的方程為，聯(lián)立，設，，得到兩根之和，兩根之積，根據得到方程，求解得到答案；D選項，設，表達出，即存在點使得為定值0，故D項正確．
【詳解】A選項，拋物線的準線方程為，所以，則，
所以拋物線，
如圖，取AF的中點為D，過點D作y軸的垂線，垂足為，
則，是梯形的中位線，
由拋物線的定義可得，
所以，
所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故A正確；
B選項，如圖，過點A作準線的垂線，垂足為C，交y軸于，，
根據拋物線的定義可得，
所以周長為，
由圖可知，當A，C與點Q三點共線時，有最小值，
最小值為Q到準線的距離為，
所以，
所以周長的最小值是，故B錯誤；
C選項，設直線AB的方程為，
聯(lián)立，整理可得：，易知，
設，，
可得，，
∵，，解得，，
，解得，
，因此C正確；
D選項，設在x軸上存在一點，
則
，
故當時，，即存在點使得為定值0．故D項正確．
故選：ACD．
【點睛】結論點睛：拋物線的相關結論，
中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切；
中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切.
12．
【分析】首先判斷曲線關于軸，軸對稱，從而確定曲線在第一象限內與軸所圍成的圖形，再求出圖形的面積.
【詳解】對于曲線，
在上式中，將y換成得，即曲線關于x軸對稱，
將x換成得，即曲線關于y軸對稱，
因此只需考慮在第一象限的情形，
當，時曲線即，即，
所以曲線在第一象限內與x軸所圍成的圖形是由半徑為的圓去掉一個等腰直角三角形而形成的圖形，
根據對稱性可得曲線所圍成的封閉圖形為下圖陰影部分，
所以所圍成的封閉圖形的面積．
故答案為：.
13．
【分析】根據定義，在雙曲線上設點,求出旋轉后點的坐標，然后反求出的坐標，再代入雙曲線方程，化簡即得.
【詳解】在雙曲線：上任取一點，將其繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到點
，即，在曲線上設點，
則有反求出，得：
因點在雙曲線：上，故得：
，整理得：，故曲線的方程為
故答案為：
14．0，
【分析】利用導數研究函數的圖象，結合題意可知其中一個極值點就是零點才能滿足函數恰好有2個零點的情況，再分類討論即可得解.
【詳解】由于，所以，
由于函數恰有兩個零點，所以有2個不等實數根，
所以的圖象呈先增，再減，再增的趨勢，
所以其中一個極值點就是零點，假設，
即是極值點又是零點，如下圖：
則，此時的極大值剛好為，
即是極值點又是零點，如下圖：
則，即，
設為極大值點，則，即，
顯然，則，
整理得，又，所以；
此時的極大值為，
故答案為：0，.
15．(1)；
(2)證明見解析．
【分析】（1）利用等差數列的求出公差，再求得首項后可得通項公式；
（2）由裂項相消法及等差數列的前項和公式求得和后可證結論．
【詳解】（1）設的公差為，則，，
又，所以，
所以，．
（2）由（1）得，
所以．
16．(1)；
(2)分布列見詳解；
【分析】（1）由頻率和為1，可求的值，再由平均數計算公式求解；
（2）根據分層抽樣可確定的取值，再分別求出概率，最后利用期望公式求解.
【詳解】（1）由圖可知，，
解得，
該村村民成績的平均數約為
；
（2）從成績在內的村民中用分層抽樣的方法選取6人，
其中成績在的村民有人，
成績在的村民有4人，
從中任選3人，的取值可能為1,2,3，
，，，
則的分布列為
故
17．(1)證明見解析．
(2)
【分析】（1）取中點，連接，證明平面，分別以為軸建立空間直角坐標系，用空間向量法證明面面垂直；
（2）用空間向量法求二面角．
【詳解】（1）取中點，連接，如圖，
因為四邊形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中點，
所以，，從而有，
又，所以是矩形．
又，所以，所以，即是等腰直角三角形，
所以，，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，，，
，
設平面的一個法向量是，則
，取得，
設平面的一個法向量是，則
，取得，
，所以，
所以平面平面；
（2）設平面的一個法向量是，
則，取得，
設二面角的大小為，由圖知為銳角，
所以．
18．(1)
(2)過定點，定點坐標為
【分析】（1）點到圓上點的最大距離為，即,計算即可；
（2）由已知設，求得則，方程，聯(lián)立與拋物線的方程求得點坐標，同理可得點坐標，進而求得直線的方程得出結果.
【詳解】（1）點到圓上點的最大距離為，即，得,
故拋物線的方程為.
（2）設，則方程為，方程為,
聯(lián)立與拋物線的方程可得，即,
因此點縱坐標為，代入拋物線方程可得點橫坐標為，
則點坐標為,同理可得點坐標為,
因此直線的斜率為,
代入點坐標可以得到方程為,
整理可以得到,因此經過定點.
19．(1)證明見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）求定義域，求導，得到函數單調性，得到答案；
（2）參變分離得到，構造函數，求導得到其單調性和最值，得到，求出的求值范圍；
（3）由（2）可知，當時，，所以，…，，相加后得到結果.
【詳解】（1）當時，，定義域為，
則.
令，則在上恒成立，
則在上單調遞增，
則，故在上恒成立，是增函數.
（2）當時，等價于，
令，則，
令，則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，所以.
所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
則，所以，即，故的取值范圍為.
（3）證明：由（2）可知，當時，有，則，
所以，…，，
故.
【點睛】導函數證明數列相關不等式，常根據已知函數不等式，用關于正整數的不等式代替函數不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由前面幾問中的特征式的特征而得到.
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