1. 設(shè)全集，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次方程得集合B，然后利用并集運算和補集運算的概念求解即可.
【詳解】因為，又，所以，
又，所以.
故選：B
2. 設(shè)隨機變量，且，則（ ）
A. 0.75B. 0.5C. 0.3D. 0.25
【答案】D
【解析】
【分析】利用對立事件的意義，結(jié)合正態(tài)分布列式計算即得.
【詳解】隨機變量，顯然，
而，所以.
故選：D
3. 設(shè)函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合題意，構(gòu)造函數(shù)利用已知條件判斷出在上單調(diào)遞減，結(jié)合，構(gòu)造出從而求得解集.
【詳解】設(shè)，即，
在上單調(diào)遞減，又，
∴不等式,
即原不等式的解集為．
故選:B．
4. 設(shè)，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助，得出與所處區(qū)間及象限，結(jié)合三角恒等變換公式即可得.
【詳解】，，，
故，又，
.
故選：D.
5. 已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A. 若，，，則
B. 若，，則
C. 若，，，則
D. 若，且與所成的角和與所成的角相等，則
【答案】C
【解析】
【分析】利用線面的位置關(guān)系，結(jié)合空間想象即可得解.
【詳解】若，，，則與有可能平行，故A錯誤；
若，，則可能在內(nèi)，故B錯誤；
若，，則，又，則，故C正確；
若，且與所成的角和與所成的角相等，則與有可能相交，故D錯誤.
故選：C.
6. 在等腰中，的外接圓圓心為，點在優(yōu)弧上運動，則的最小值為（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得圓的外接圓直徑，從而可得，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由已知，所以圓的外接圓直徑為，
因為，
所以，
所以，
因為，即，所以時，取到最小值．
故選：D．
7. 已知雙曲線的離心率為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用雙曲線的離心率公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.
【詳解】由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，
故該雙曲線的離心率為，解得.
故選：A.
8. 數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體的棱長為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 勒洛四面體最大截面是正三角形
B. 若P、Q是勒洛四面體表面上的任意兩點，則PQ的最大值為
C. 勒洛四面體的體積是
D. 勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是
【答案】D
【解析】
【分析】由勒洛四面體的定義可判斷選項A；由由勒洛四面體的定義并作圖求解判斷B；根據(jù)對稱性, 由勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心求解判斷C；結(jié)合C由棱長減去外接球的半徑求得內(nèi)切球的半徑求解判斷D.
【詳解】由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體表面的截面，如圖1所示，故A錯誤；
將正四面體對棱所在的弧中點連接，此時連線長度最大，如下圖所示：
連接，交于中點，交于中點，連接，易得,
則，
而，

所以，故B錯誤；
如圖2，由對稱性可知勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心，
連接并延長交勒洛四面體的曲面于點，則就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑.
如圖3, 在正四面體中，為的中心，是正四面體外接球的球心，
連接、、，由正四面體的性質(zhì)可知在上.
因為, 所以，則.
因為，
即，解得，
則正四面體外接球的體積是，
而勒洛四面體的體積小于其外接球的體積，故C錯誤；
因為，所以 ,
所以，勒洛四面體內(nèi)切球半徑是，故 D正確.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 設(shè)正實數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 有最小值4B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式逐一判斷即可.
【詳解】A：因為正實數(shù)a，b滿足，
所以，
當且僅當時取等號，即時取等號，因此本選項正確；
B：因為正實數(shù)a，b滿足，
所以，當且僅當時，取等號，
即有最大值，因此本選項不正確；
C：因為正實數(shù)a，b滿足，
所以，
當且僅當時取等號，因此本選項正確；
D：因為正實數(shù)a，b滿足，
所以，
當且僅當時取等號，因此本選項正確，
故選：ACD
10. 在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則（ ）
A. 異面直線與所成角的余弦值為
B. 點為正方形內(nèi)一點，當平面時，的最大值為
C. 過點，，的平面截正方體所得的截面周長為
D. 當三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在中即為異面直線與所成的角，即可判定；對于B：取的中點的中點，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過作，此時取得最小值，即可判定；對于C：過點的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設(shè)，，以為原點，分別以方向為軸?軸?軸正方向建立空間直角坐標系，得出，，，的坐標，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長，即過點的平面截正方體所得的截面周長，即可判定；對于D：取的中點，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定.
【詳解】對于A選項，，
在中即為異面直線與所成的角，
，
異面直線與所成的角的余弦值為．故A正確；
對于B選項，取的中點的中點，取的中點，連接，，，

四邊形為平行四邊形，，，，
同理可得，
又面，面，面，面，
面，面，
又，面，
面面，
又面，面，
軌跡為線段，
在中，過作，此時取得最小值，
中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
如圖，在中，，
即的最小值為，而的最大值為．故B錯誤；
對于C選項，過點的平面截正方體，
平面平面，則過點的平面必與與交于兩點，
設(shè)過點的平面必與與分別交于、，
過點的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，
如圖過點的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，
如圖以為原點，分別以方向為軸?軸?軸正方向建立空間直角坐標系，
設(shè)，，
則，，，，，
，，，，
，，
，解得，
，，，，
在中，，，，同理：，
在中，，，，同理：
在中，，，
，
即過點的平面截正方體所得的截面周長為．故C正確；
對于D選項，如圖所示，取的中點，則，過作，
且使得，則為三棱錐的外接球的球心，
所以為外接球的半徑，
在中，，
，
．故D項正確，
故選：ACD．
【點睛】關(guān)鍵點睛：通過證明面面平行得到動點的軌跡，利用空間向量法確定點的位置是B、C的關(guān)鍵.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)有且只有2個零點
B. 函數(shù)的遞減區(qū)間為
C. 函數(shù)存在最大值和最小值
D. 若方程有三個實數(shù)解，則
【答案】AB
【解析】
【分析】求得，得到函數(shù)的的單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，逐項判定，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，則，
令，解得；令，解得或，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
且，，當時，，
作出函數(shù)的圖形，如圖所示，可得A、B正確；
所以，無最大值，所以C錯誤；
若方程有三個實數(shù)解，即與的圖象有三個不同的交點，
可得，所以D錯誤.
故選：AB.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，若，則________．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)垂直得到，得到方程，求出.
【詳解】，
因為，所以，
即，
解得.
故答案為：2
13. 等差數(shù)列，前n項和分別為與，且，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列前n項和形式特征設(shè)，再根據(jù)前n項和與通項公式之間的關(guān)系求，代入結(jié)合等差中項分析運算.
【詳解】∵數(shù)列，均為等差數(shù)列，
∴，
∵，即，
根據(jù)等差數(shù)列前n項和為，可設(shè)，
對于數(shù)列，則有：
當時，則；
當時，則；
顯然當時，也滿足，
故，
同理可得：，
故.
故答案為：.
14. 已知圓和兩點，．若圓上存在點，使得，則的最大值為__________．
【答案】11
【解析】
【分析】根據(jù)垂直確定的軌跡為以為圓心，半徑的圓，計算圓心距，根據(jù)解得答案.
【詳解】設(shè)，，則，
即，則的軌跡為以為圓心，半徑的圓，
根據(jù)題意知兩圓有交點，圓心距，故，
解得，故的最大值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 中，角，，的對邊分別為，，，的外接圓半徑為，面積為，已知為銳角，且.
（1）求；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析】
（1）根據(jù)正、余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出sinA的值，再根據(jù)是銳角三角形可確定角A的值；
（2）將a，A的值代入余弦定理，得到關(guān)系b，c的關(guān)系式，再由面積公式及基本不等式可求最大值．
【詳解】（1），
，
即，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，得，
為銳角，.
（2）由余弦定理，得，.
，取等號的條件是，.
.
的最大值為.
【點睛】本題考查正、余弦定理的應(yīng)用，涉及到的考點由同角三角函數(shù)關(guān)系、面積公式、基本不等式，屬于綜合題，考查綜合分析能力及轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.
16. 等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.根據(jù)，得.再由，可求得，得通項公式，由和，求得公比，得通項公式 ；
（2）由（1）得，轉(zhuǎn)化為，利用裂項相消法求和.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.
，即，
.
，，.
，，
，，.
（2）
.
【點睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列通項公式和裂項相消法求和，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.
17. 某大學(xué)為了調(diào)查該校學(xué)生性別與身高的關(guān)系，對該校1000名學(xué)生按照的比例進行抽樣調(diào)查，得到身高頻數(shù)分布表如下：
男生身高頻率分布表
女生身高頻數(shù)分布表
（1）估計這1000名學(xué)生中女生的人數(shù)；
（2）估計這1000名學(xué)生中身高在的概率；
（3）在樣本中，從身高在的女生中任取3名女生進行調(diào)查，設(shè)表示所選3名學(xué)生中身高在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（身高單位：厘米）
【答案】（1）（名）（2）0.49（3）詳見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)統(tǒng)計表，可知樣本中男生人數(shù)和女生人數(shù)，再按比例求解.
（2）由表知樣本中身高在的人數(shù)和樣本容量，再代入公式求解.
（3）根據(jù)題意，明確的可能取值為0，1，2，3，然后分別求得其概率，列出分布列求期望.
【詳解】（1）樣本中男生為60名，女生為40名.
估計這1000名學(xué)生中女生的人數(shù)大約是（名）.
（2）由表知樣本中身高在的人數(shù)為，樣本容量是100，
樣本中身高在的概率為.
估計這1000名學(xué)生中身高在的概率為0.49.
（3）依題意，的可能取值為0，1，2，3.
，，
，.
的分布列為
.
【點睛】本題主要考查樣本估計總體和離散型隨機變量的分布列，還考查了數(shù)據(jù)處理和運算求解的能力，屬于中檔題.
18. 如圖1，在中，D，E分別為的中點；O為的中點，，，將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2，點F是線段上的一點（不包含端點）．

（1）求證：；
（2）若直線和平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直判定線面垂直，再得線線垂直即可；
（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量由線面角計算F的位置，再根據(jù)三棱錐的體積公式計算即可.
【小問1詳解】
由題意可知：，，
所以，
又O為的中點，所以．
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
【小問2詳解】
取的中點G，連接，所以，以O(shè)為坐標原點，，，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，，，所以．
設(shè)，
所以，
又，設(shè)平面DEF的一個法向量為，
所以，
令，解得，，所以平面DEF的一個法向量為，
又，設(shè)直線EC和平面DEF所成角的大小為θ，
所以，
解得或（舍），所以．
所以，
即三棱錐的體積為．
19. 已知是坐標原點，橢圓的焦距為，左、右焦點分別為，，點在橢圓上，若的面積最大時.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線與橢圓在第一象限交于點，點是第四象限的點且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于另一點，求證：.
【答案】（1）（2）證明見解析
【解析】
【分析】
（1）確定是橢圓的上頂點或下頂點時的面積最大，則有，即，再根據(jù)求解.
（2）依題意，點的坐標為，直線不與軸垂直，設(shè)直線，即，設(shè)，.由，得.由韋達定理，用k表示，再根據(jù)，得到，進而求得，證明.
【詳解】（1）當是橢圓的上頂點或下頂點時的面積最大，
設(shè)是橢圓的上頂點，
則，即.
又，，
，，.
橢圓的標準方程為.
（2）證明：依題意，點的坐標為，
直線不與軸垂直，設(shè)直線，
即，直線，即.
設(shè)，.
由，
得.
，.
則.
又，，
.
又，.
.
【點睛】本題主要考查橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.
男生身高
（單位：厘米）
頻數(shù)
7
10
19
18
4
2
女生身高
（單位：厘米）
頻數(shù)
3
10
15
6
3
3
0
1
2
3

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