2021-2022學(xué)年湖北省鄂州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 題號(hào)一二三四總分得分       一、單選題（本大題共8小題，共40分）已知，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限在中，角，，所對的邊分別為，，，，，，則(    )A.  B.  C.  D. 某單位有員工人，其中女員工有人．為做某項(xiàng)調(diào)查，擬采用分層抽樣法抽取容量為的樣本，則男員工應(yīng)選取的人數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 設(shè)為單位向量，，當(dāng)，的夾角為時(shí)，在上的投影向量為(    )A.  B.  C.  D. 某小組有名男生和名女生，從中任選名學(xué)生參加圍棋比賽，事件“至少有名男生”與事件“至少有名女生”(    )A. 是對立事件 B. 都是不可能事件
C. 是互斥事件但不是對立事件 D. 不是互斥事件設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法錯(cuò)誤的是(    )A. 若，，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，則在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則(    )A.  B.  C.  D. 在三棱錐中，平面平面．，，，則三棱錐的外接球的表面積為(    )A.
B.
C.
D.  二、多選題（本大題共4小題，共20分）復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是(    )A. 的實(shí)部為 B. 的虛部為 C.  D. 年前個(gè)月各月社會(huì)消費(fèi)品的零售總額增速如圖所示，則下列說法中正確的有(    )
A. 受疫情影響，月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額明顯下降
B. 社會(huì)消費(fèi)品的零售總額前期增長較快，后期增長放緩
C. 與月份相比，月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額名義增速回升幅度有所擴(kuò)大
D. 與月份相比，月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額實(shí)際增速回升幅度有所擴(kuò)大用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的高之比為：，則關(guān)于上、下兩部分空間圖形的說法正確的是(    )A. 側(cè)面積之比為： B. 側(cè)面積之比為：
C. 體積之比為： D. 體積之比為：在中，角，，的對邊分別為，，，則下列條件能判斷是鈍角三角形的有(    )A.  B.
C.  D.  三、填空題（本大題共4小題，共20分）若為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，則______．某圓柱的側(cè)面展開圖是面積為的正方形，則該圓柱一個(gè)底面的面積為______．已知甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為和，甲和乙是否命中目標(biāo)互不影響，且各次射擊是否命中目標(biāo)也互不影響．若按甲、乙、甲、乙的次序輪流射擊，直到有一人擊中目標(biāo)就停止射擊，則停止射擊時(shí)，甲、乙共射擊了四次的概率是______．如圖，在中，，點(diǎn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．
   四、解答題（本大題共6小題，共70分）Ⅰ用擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣做勝負(fù)游戲．規(guī)定：兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)正面或同時(shí)出現(xiàn)反面算甲勝，一個(gè)正面、一個(gè)反面算乙勝．這個(gè)游戲是否公平？請通過計(jì)算說明；
Ⅱ若投擲質(zhì)地均勻的三枚硬幣，規(guī)定：三枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)正面或同時(shí)出現(xiàn)反面算甲勝，其他情況算乙勝，這個(gè)游戲是否公平？請通過計(jì)算說明．已知向量，．
若，求的值；
若，求與的夾角的余弦值．在使三棱錐體積取得最大值，使這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．
如圖，是邊長為的等邊三角形，是的中點(diǎn)，將沿翻折形成圖中的三棱錐______，動(dòng)點(diǎn)在棱上．
證明：平面平面；
求直線與平面所成角的正切值的取值范圍．
在中，已知角，，的對邊分別為，，，且．
求角；
若的面積為，求的最小值．在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面平面，，分別是線段，的中點(diǎn)，證明：
平面；
平面．
年月日，第屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式在北京國家體育場鳥巢舉行，某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競賽，滿分分分及以上為認(rèn)知程度高，結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有人．
根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡和第百分位數(shù)；
現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者．
若有甲年齡，乙年齡兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，據(jù)此估計(jì)這人中歲所有人的年齡的方差．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法原則和復(fù)數(shù)的幾何含義，即可求解．
本題考查了復(fù)數(shù)的幾何含義，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：，，，
由正弦定理得，
解得：．
故選：．
根據(jù)正弦定理列式計(jì)算即可．
本題考查根據(jù)正弦定理解三角形，是基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：男員工應(yīng)抽取的人數(shù)為．
故選：．
總體的個(gè)數(shù)是人，要抽一個(gè)人的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是，用概率去乘以男員工的人數(shù)，得到結(jié)果
本題考查分層抽樣方法，本題解題的關(guān)鍵是注意在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，這是解題的依據(jù)．
 4.【答案】 【解析】解：由題意可知：，
則在上的投影向量為，
故選：．
由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合投影向量的概念求解即可．
本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了投影向量的概念，屬基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：事件“至少有名男生”與事件“至少有名女生”能同時(shí)發(fā)生，即兩名學(xué)生正好一名男生，一名女生，故兩事件既不是對立事件也不是互斥事件．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合對立事件、互斥事件的定義，即可求解．
本題主要考查對立事件、互斥事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：對于，因，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以；
當(dāng)時(shí)，如圖所示，在直線上取點(diǎn)，過作直線，則，過直線，的平面，
由，得，所以，
又，所以，而，所以，即A正確；

對于，若，，則，
又，則存在過直線的平面，使得，
所以，所以，所以，即B正確；

對于，如圖，在長方體中，取平面為平面，直線為直線，平面為平面，直線為直線，滿足，，，而，即C錯(cuò)誤；
對于，若，，則，
又，所以，即D正確．
故選：．
利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理可判斷，；舉例說明判斷；利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理可判斷．
本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，熟練掌握線與面平行或垂直的判定定理，性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，屬于中檔題．
 7.【答案】 【解析】解：
．
故選：．
可畫出圖形，根據(jù)向量加法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可表示出向量．
本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：如圖，

取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
由已知可得是等邊三角形，得．
平面平面，且平面平面，
平面，得．
，可得為直角三角形，則為的外心，
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則平面，
設(shè)外接球半徑為，由已知可得，，
則，，
在直角梯形中，，由勾股定理可得，解得，
三棱錐外接球的表面積．
故選：．
由面面垂直可得線面垂直，進(jìn)而可確定球心的位置在上，根據(jù)勾股定理即可求解．
本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：由于，則，
所以的實(shí)部為，虛部為，
所以，．
故選：．
結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，先對化簡，即可依次求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查實(shí)部和虛部的定義，共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：對于選項(xiàng)A：由圖可知，月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額名義增速和實(shí)際增速都小于，
所以月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額明顯下降，故選項(xiàng)A正確，
對于選項(xiàng)B：由圖可知，社會(huì)消費(fèi)品的零售總額前期增長較快，后期增長放緩，所以選項(xiàng)B正確，
對于選項(xiàng)C：由圖可知，月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額名義增速回升幅度為，
月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額名義增速回升幅度為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對于選項(xiàng)D：由圖可知，月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額名義增速回升幅度為，
月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額名義增速回升幅度為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：．
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，逐個(gè)分析選項(xiàng)，即可判斷出正誤．
本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的高之比為：，
所以，上部分為小棱錐，下部分為棱臺(tái)，小棱錐與原棱錐的底面邊長之比為：，高之比為：，
所以小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比為：，體積之比為：，
即小棱錐與棱臺(tái)的側(cè)面積之比為：，體積之比為：．
故選：．
利用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分的高、底面邊長對應(yīng)比值相等，上下底面面積之比等于對應(yīng)高的平方比，進(jìn)行判斷求解．
本題考查了棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積與體積的比例關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】解：對于，由于，整理得，即，
所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；
對于，由，得，由于，
則為鈍角，故B正確；
對于，由正弦定理整理得，得，則，由于，
所以，故C正確；
對于，由，可知，即，
因?yàn)?/span>，為的內(nèi)角，所以，所以是等腰三角形，故D錯(cuò)誤．
故選BC．
直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理及余弦定理的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：復(fù)數(shù)，
復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，
即且，
解得：．
所以，則，
故答案為：．
由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，即有虛部為再求解即可．
本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的模，考查了一元二次方程的解法，是基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：圓柱的側(cè)面展開圖是面積為的正方形，
該圓柱的底面圓周長為其側(cè)面展開圖正方形的邊長，等于，
設(shè)該圓柱底面圓半徑為，由，得，
該圓柱一個(gè)底面的面積．
故答案為：．
由圓柱的側(cè)面展開圖可知底面圓的周長等于正方形的邊長，即可求出底面圓的半徑，進(jìn)而可求底面的面積．
本題考查圓柱的結(jié)構(gòu)特征，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：設(shè)事件表示“甲射擊一次命中目標(biāo)”，事件表示“乙射擊一次命中目標(biāo)”，則，相互獨(dú)立，
停止射擊時(shí)甲、乙共射擊了四次，說明甲、乙第一次射擊都未命中，甲第二次射擊未命中，乙第二次射擊命中，此時(shí)的概率，
故停止射擊時(shí)，甲、乙共射擊了四次的概率是．
故答案為：．
設(shè)事件表示“甲射擊一次命中目標(biāo)”，事件表示“乙射擊一次命中目標(biāo)”，則，相互獨(dú)立，分析試驗(yàn)過程，并利用相互獨(dú)立事件的概率公式直接求概率．
本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
 16.【答案】 【解析】解：由題意，設(shè)，，
所以，．
又，，
所以
，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值．
故答案為：．
設(shè)，，用、表示、，再計(jì)算的最小值．
本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，數(shù)量積最值的求解等知識(shí)，屬于中等題．
 17.【答案】解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，
樣本空間正正，正反，反正，反反，
記事件，分別為“甲勝”，“乙勝”，
則，
故這個(gè)游戲是公平的，
拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，
樣本空間正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，
記事件，分別為“甲勝”，“乙勝”，
則，，
故這個(gè)游戲不公平． 【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型的公式，以及列舉法，若概率相同，則游戲公平，否則不公平．
本題主要考查古典概型的公式，掌握列舉法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：向量，，，
，
求得．
若，則，
，，
，． 【解析】由題意，利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì)，計(jì)算求得的值．
由題意，利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，計(jì)算求得結(jié)果．
本題主要考查兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩人向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．
 19.【答案】解：證明：若選擇，，
由于的面積為定值，所以當(dāng)到平面距離最大時(shí)，
三棱錐體積最大，
即當(dāng)平面時(shí)，體積有最大值．
因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．
若選擇，因?yàn)?/span>，
所以，
在中，，所以．
因?yàn)?/span>，所以，
因?yàn)?/span>，且，平面，所以平面．
因?yàn)?/span>平面，所以平面平面；
因?yàn)?/span>平面，所以就是直線與平面所成的角，
記，則，
又，
當(dāng)時(shí)，最大，最小，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，最小，最大，此時(shí)，
則，
所以直線與平面所成角的正切值的取值范圍是． 【解析】若選擇，利用可證平面，從而得到平面平面；
若選擇，由向量數(shù)量積結(jié)合余弦定理以及勾股定理可以證明，得到平面，從而得到平面平面；
先確定直線與平面所成的角，然后結(jié)合條件，求出直線與平面所成角的正切值的取值范圍．
本題考查了面面垂直的證明，線面角的范圍問題，考查了分類討論思想，屬于中檔題．
 20.【答案】解：，
由正弦定理得，
，
，
，
．
在中，，
，
又，
或．
的面積為，
，
，
由余弦定理得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
綜上所述，的最小值為． 【解析】運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡整理，即可得到角．
運(yùn)用余弦定理和面積公式，結(jié)合基本不等式，可得的最小值．
本題主要考查解三角形，掌握正弦定理，以及余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
 21.【答案】證明：取的中點(diǎn)，連接，，

，分別是，的中點(diǎn)，
，，
為的中點(diǎn)，四邊形為正方形，
，，
，，
四邊形為平行四邊形．
，
平面，平面．
平面．
四邊形為正方形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
連接，，為中點(diǎn)，，
又，，平面，
平面． 【解析】根據(jù)平行四邊形可證明，利用線面平行判定定理求解即可；
根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，可得，再由即可得證．
本題主要考查了線面平行和線面垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題．
 22.【答案】解：設(shè)這人的平均年齡為，
則歲．
設(shè)第百分位數(shù)為，
方法一：由，解得．
方法二：由，解得．
由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為，，，甲，第五組抽取人，記為，乙，
對應(yīng)的樣本空間為：
，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙甲，，乙，，共個(gè)樣本點(diǎn)．
設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則：
，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有個(gè)樣本點(diǎn)．
所以，．
設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，
則，，，．
設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為．
則，
，
因此第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為．
據(jù)此可估計(jì)這人中年齡在歲的所有人的年齡方差約為． 【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的公式以及百分位數(shù)的計(jì)算即可求解．
用列舉法列出所有的基本事件，根據(jù)古典概型的公式即可求解所求事件的概率，根據(jù)方差的公式即可求解．
本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)、百分位數(shù)、平均數(shù)、方差、概率、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 

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